4.1指數(shù)冪與冪函數(shù)1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.①正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示．②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．這時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)－eq\r(n,a)表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成±eq\r(n,a)．③負(fù)數(shù)沒有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是0，記作．(2)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)根式的性質(zhì)：n為奇數(shù)時(shí)，＝a；n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝.2．冪的有關(guān)概念及運(yùn)算(1)零指數(shù)冪：a0＝1.這里a≠0.(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．(3)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(5)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(6)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①；②；③．3．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù).注意：冪函數(shù)中底數(shù)是自變量，而指數(shù)函數(shù)中指數(shù)為自變量.(2)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)①五個(gè)常見冪函數(shù)的圖像②五個(gè)常見冪函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3函數(shù)圖像定義域RRR值域RR奇偶性奇非奇非偶偶奇奇單調(diào)性R上增上增(－∞，0)上減[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上減(0，＋∞)上減公共點(diǎn)（1）所有的冪函數(shù)在區(qū)間上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都過點(diǎn).（2）如果，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)，并且在上是增函數(shù)（3）如果，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)，并且在上是減函數(shù)一、根式、冪的有關(guān)概念及運(yùn)算【典例1】=.【答案】π-3【解析】＝|3－π|＝π－3.【典例2】有下列四個(gè)式子：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】①正確；②，②錯(cuò)誤；③，③錯(cuò)誤；④，若，則，若，則，故④錯(cuò)誤．故選A.【典例3】用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0，b>0).(1)；(2)【答案】(1);(2)【解析】解：(1)原式＝.(2)原式＝.【典例4】計(jì)算下式：＋0.1－2＋－3π0＋ 【答案】100【解析】解：原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.【典例5】若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】a≤【解析】，因?yàn)閨2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.1、若有意義，則是（）A．正偶數(shù) B．正整數(shù) C．正奇數(shù) D．整數(shù)【答案】C【解析】被開方數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)只能開奇數(shù)次方，所以n為正奇數(shù)，故選C.2、下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于，，，故A，B，D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.3、用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0，b>0)．(1)；(2)【答案】(1);(2)【解析】解：(1)原式＝.(2)原式＝.4、計(jì)算下式：＋2－2×－(0.01)0.5【答案】【解析】解：原式＝1＋＝.5、化簡＝________．【答案】a－1【解析】由a－1≥0，a≥1.故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1.二、冪函數(shù)【典例1】下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，冪函數(shù)的模型為（是有理數(shù)），故只有函數(shù)與函數(shù)是冪函數(shù)，其余均不是，故選：B.【典例2】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(8,4)，則（

）A．3 B． C．9 D．【答案】C【解析】令，則，可得，所以，故，故選：C.【典例3】下列函數(shù)中與函數(shù)定義域相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)椋蔬x：D.【典例4】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于冪函數(shù)，若，在上單調(diào)遞增；若，上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故選：D.【典例5】已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.1、在函數(shù)①，②，③，④，⑤，⑥中，是冪函數(shù)的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【答案】C【解析】冪函數(shù)是形如（，為常數(shù)）的函數(shù)，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù)，故選：C.2、已知為冪函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，設(shè)，則，所以，可得，則.故選：B.3、設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（

）A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；當(dāng)或時(shí)，滿足函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，故選：A.4、下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在R上為增函數(shù)，選項(xiàng)B正確；在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.5、下列冪函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A中，函數(shù)