2025【南京市】高一上期末考試一、單選題1設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.2.“”是“”的（）A.必要且不充分條件 B.充分且不必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義計(jì)算即可.【詳解】顯然由不能推出，此時(shí)可以為0，即不滿足充分性；而可以推出，滿足必要性.故選：A3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)有意義列出不等式，求解得函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)有意義，則，即，解得，所以所求的定義域?yàn)?故選：D4.將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象變換直接求出解析式即可.【詳解】將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式為.故選：B5.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及同角公式計(jì)算得解.【詳解】由，則，得.故選：D6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)值符號(hào)比較大小.【詳解】依題意，，，，所以.故選：B7.根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)，室內(nèi)二氧化碳濃度應(yīng)不超過1000ppm，在這個(gè)范圍內(nèi)，室內(nèi)空氣質(zhì)量良好，人體健康不受到影響.已知某室內(nèi)二氧化碳濃度與開窗通風(fēng)的時(shí)長（分鐘）之間的關(guān)系式為.經(jīng)測(cè)定，該室內(nèi)初始時(shí)刻的二氧化碳濃度為2000ppm，要使該室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國際標(biāo)準(zhǔn)，則需要開窗通風(fēng)的時(shí)長至少約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6分鐘 B.8分鐘 C.10分鐘 D.12分鐘【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的信息求出函數(shù)關(guān)系式，再建立不等式求解即得.【詳解】依題意，時(shí)，，則，解得，因此，由，得，解得，則，，所以需要開窗通風(fēng)的時(shí)長至少約為10分鐘.故選：C8.若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】變形給定的不等式，將不等式恒成立問題，借助單調(diào)性轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在上必有相同零點(diǎn)求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，方程必有一個(gè)正根，函數(shù)在上單調(diào)遞增，命題“，”是真命題，則函數(shù)在上必有相同零點(diǎn)，否則存在使得，因此函數(shù)在上的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，即，而，解得，所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，借助函數(shù)單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有正零點(diǎn)問題是求解的關(guān)鍵.二、多選題9.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，則，，C正確；對(duì)于D，由，得，則，D錯(cuò)誤.故選：AC10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，角的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓）交于點(diǎn)（，不重合），下列說法正確的是（）A.若，則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱B.若，則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱C.若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則D.若和相互垂直，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合選項(xiàng)的條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)判斷ABC；用表示終邊過點(diǎn)的角，再利用正切函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式求出判斷D.【詳解】設(shè)點(diǎn)，且，不重合，則，對(duì)于A，由，得，則，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由，得，則或，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得，則，C正確；對(duì)于D，由和相互垂直，得終邊過點(diǎn)的角為或，則，，或，，D正確.故選：ACD11.函數(shù)滿足：.已知當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.為周期函數(shù)C.為偶函數(shù) D.方程恰有3個(gè)解【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期、偶函數(shù)的定義，結(jié)合賦值法，數(shù)形結(jié)合思想逐一判斷即可.【詳解】A：在中，令中，有，所以本選項(xiàng)不正確；B：由，所以由，所以是周期為的周期函數(shù)，因此本選項(xiàng)正確；C：時(shí)，，而，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，因此本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，且為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此方程恰有3個(gè)解，所以本選項(xiàng)正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想判斷方程解的個(gè)數(shù)問題.三、填空題12.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)求出即可.【詳解】對(duì)任意，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，因此函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，則，所以.故答案為：13.已知函數(shù)且，則_____，使得成立的的取值范圍是_____.【答案】①.##②.【解析】【分析】利用代入法，結(jié)合函數(shù)解析式、冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，有，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，有，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，因此由，故答案為：；14.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，一條對(duì)稱軸是直線，且在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則_____.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性列式求出及的表達(dá)式，再利用零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出范圍，求出值并驗(yàn)證得解.【詳解】依題意，，解得，，而，則，，由，得，由在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，于是，或，當(dāng)時(shí)，，，不符合要求，當(dāng)時(shí)，，，符合題意，所以.故答案為：18【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題利用給定的信息求出的值，不注意驗(yàn)證即可得出錯(cuò)誤答案，在不只一個(gè)結(jié)果時(shí)，驗(yàn)證是必須的.四、解答題15.已知，.（1）求的值；（2）用，表示【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）逆用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.（2）化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式，再利用換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解.【小問1詳解】由，，得.【小問2詳解】由，，得，所以.16.已知.（1）若，且，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）解法1由平方關(guān)系得到，從而解出即可；解法2由同角的三角函數(shù)關(guān)系解出，從而求出結(jié)果；（2）解法1由同角的三角函數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系計(jì)算即可；解法2由已知得到，再由同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得到；【小問1詳解】解法1：，因?yàn)?，所以，即，從而，因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以，因此，從而，故．解?：由及，解得，，或，，因?yàn)?，所以，，所以，因此．【小?詳解】解法1：，所以，假設(shè)，則由上式知，與矛盾，所以，從而．則解法2：，所以，又，所以，即，因此．17.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù).（1）判斷的奇偶性，并加以證明；（2）若.①用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞減；②解關(guān)于的不等式.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）利用奇偶性函數(shù)定義判定證明.（2）①利用減函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推理得證；②利用奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性脫去法則“g”，再解析指數(shù)不等式.【小問1詳解】是R上的奇函數(shù)．顯然定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的，都有，，所以是R上的奇函數(shù).【小問2詳解】①由，得，任取，由，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得，即，因此，即，所以在上單調(diào)遞減.②由（1）及①知，是上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，不等式，則有，即，因此，解得，所以原不等式的解集為.18.已知函數(shù)圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)分別為，.（1）求的解析式；（2）求在上的單調(diào)增區(qū)間；（3）設(shè)，證明：函數(shù)在上必有零點(diǎn).【答案】（1）（2）和（3）證明過程見解析【解析】【小問1詳解】因?yàn)閳D象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)分別為，，所以該函數(shù)的最小正周期為，且，又因?yàn)?，所以由，把代入解析式中，得，又因?yàn)?，所以令，即，因此；【小?詳解】由，因?yàn)?，所以令，得，即，而，所以；令，得，即，而，所以所以函?shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，和；【小問3詳解】，當(dāng)時(shí)，，則，且在上的圖象為一條連續(xù)不間斷的曲線，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在原理，函數(shù)在上必有零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是在利用函數(shù)零點(diǎn)存在原理時(shí)特殊點(diǎn)的選取.19.設(shè)函數(shù)在非空數(shù)集上的取值集合為.若，則稱為上的“函數(shù)”.（1）判斷是否為上的“函數(shù)”，并說明理由；（2）若為上的“函數(shù)”，證明：；（3）若存在實(shí)數(shù)，使得為上的“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）是，理由見解析過程（2）證明過程見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題中定義進(jìn)行判斷求解即可；（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合題中定義、基本不等式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算證明即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合題中定義分類討論進(jìn)行求解即可.小問1詳解】是上的“函數(shù)”，理由如下：當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)?，所以是上的“函?shù)”；【小問2詳解】由，因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)集上的增函數(shù)，是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，且，因?yàn)闉樯系摹昂瘮?shù)”，所以，則有當(dāng)且