2023學(xué)年順德區(qū)普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測（二）

數(shù)學(xué)試題

2024.2

本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘，注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第I卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考

生務(wù)必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在數(shù)學(xué)答題卡，并用2B

鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂考生號.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答

案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試

卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.集合m={小>1},N={x|lgxvl},則McN=（）

A.{鄧vxvlO}B.{x|0<x<l}

C.{.qOvxvl。}D.{X|*AO}

2.復(fù)數(shù)z=三在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.拋物線V=4），在點（2,1）處的切線的斜率為（）

A.—1B.—C.gD.1

22

4.在“8C中，AB=a,AC=b,若AC=2EC,BC=2DC,線段AO與班:交于點產(chǎn)，

則CF=（）

\212

A.-d+—bB.-d——b

3333

5.二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款

新車裸車價格，第一年汽車貶值30%,從第二年開始每年貶值10%,剛參加工作的小明

打算用7萬元入手一輛3?5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新

車裸車最高價位是〃Z（〃?WN）萬，則〃?:（）

A.14B.15C.16D.17

6.小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機的，且走1級臺階的概率為|,走2

級臺階的概率為g.小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他

走了3步的概率是（）

4「4r36

A.-B.—C.-D.—

9271361

7.已知函數(shù)'=任由卜-;

在區(qū)間[。，句，0a+-上的值域均為卜1,可，則實數(shù)。的

74j

取值范圍是（）

L

九

-57Lr

AC.:

J44

一

加37Ll

4-2

一

8.已知橢圓C:<+工=1（〃>〃>0）的卜、下焦點分別為點。在橢圓卜月位千

ab"

第三象限，滿足/刊記=120。,/刊記的角平分線與”相交于點Q,若P-Q-、2P—&,

則橢圓C的離心率為（）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，

有選錯的得0分.

9.一個平面截正方體所得的截面圖形可以是（）

A.等腰三角形B.菱形C.梯形D.正五邊形

23456

10.若（x-1）''=%+qx+a2x+?vv+a4x+a5x+a6x，則（）

A.4=】

B.4=2（）

C.2q+4a?+8%+16a4+32a$4-64ab=0

D.+/+%|

11.已知I員|A：M+（y_4）2=l,橢圓8:?+>2=],直線/:y=Mx-l）（AeR）,點加為

圓A上任意一點，點N為橢圓B上任意一點，以下的判斷正確的是（）

A.直線/與橢圓3相交

B.當(dāng)左變化時，點用到直線/的距離的最大值為J萬+1

C.|MV|nm=277+1

D.|嘰=6

12.函數(shù)/（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且它的最小正周期是7,已知

/b）=Jr。；八人）=/（八十a(chǎn)）（“gR）.下列四個判斷中，正確的有（）

——x,xe\—

12（42j

7

A.當(dāng)4=七?晨Z）時，g（x）+/（x）的值只有0或T:

B.當(dāng)a=h3人Z）時，函數(shù)g（x）+/（x）既有對稱軸又有對稱中心

C.對于給定的正整數(shù)人，存在aeR,使得力g—V—二。成立

D.當(dāng)〃=5時，對于給定的正整數(shù)〃，不存在正R且b1,使得，＞（吁）/（W）=0

成立

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.

13.已知a?0,5），2Gsinacosa=cos2a,貝！Ja=.

14.已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的

表面積分別為*邑，則今=.

15.一次考試后，學(xué)校將全體考生的成績分?jǐn)?shù)繪制成頻率分布直方圖（如下圖），并按

照等級劃分表（如下表）對考生作出評價，若甲考生的等級為2“，則估計甲的分?jǐn)?shù)

為.（寫出滿足條件的一個整數(shù)值即可）

八頻率/組距

0.032...............

a.....................................

0.02...........

撼工一二

。“607080901doi0d0成田/分

等級劃分范圍（分?jǐn)?shù)由高到低）

A+前20%（包括20%）

A前20%~35%（包括35%）

B+前35%?65%（包括65%）

B前65%~85%（包括85%）

C+前85%~95%（包括95%）

C最后5%

16.在如圖所示的長方形臺球桌面示意圖中，OM=4,MP=2,桌面的六個網(wǎng)分別位于

長方形的四個頂點及長邊中點上.現(xiàn)有三個臺球分別在從三點所在

的位置上，且4B、C三點共線.用球A貼著桌面移動去擊球C(不能碰到球8),使

得球C沿球A運動的方向徑直落入。尺“三個網(wǎng)③中之一.若球和網(wǎng)二近似地看成點,

且臺球在桌面上為直線運動，球A碰到桌邊緣后反彈符合入射角等于反射角.則球A擊

中球C前，球A移動的最短路徑的路程為.

2

BC

A°

----------------1物

四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝滿足q“+2〃=a“+2〃G〃,〃eN"),且%=5.

⑴求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)證明:+爭++/<1.

18.某市隨機抽取〃名市民進(jìn)行智能手機使用情況調(diào)直，使用5G手機(4類)和使用

4G及以下或不使用手機(B類)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)〃的比例統(tǒng)計如下表：

A類B類

大于或等于60歲10%15%

小于60歲45%30%

(1)若用樣本的頻率作為概率的估計值，在全體市民中任選3人，記4為3人中小于60

歲的人數(shù)，求《的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若以60歲為年齡分界，討論當(dāng)〃取不同值時，依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，

能否判斷使用手機類型與年齡有關(guān)?

n{ad-be)2

附：z2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

19.在四棱雉P—ABC。中，四邊形A8CD為矩形，PA=PD=AB=2,AD=2五,點E

為線段4。的中點.已知點?在平面人8CQ上的射影在四邊形ABCQ外，且直線正與

平面A8CO所成的角為45。.

(1)設(shè)點加為線段。。的中點，求證：BDJ.PM；

(2)求平面PAC與平面48co的夾角。的余弦值.

2c-I

20.在二ABC中，角A在。所對的邊分別為°,九c,其中。=1,cosA=——.

2b

⑴求角“的大??；

(2)如圖，D為48c外一點，AB=BD,ZABC=ZABD,求羋會空的最大值.

sinZCDB

21.己知雙曲線J-2=l(a>(),〃〉0)中，焦距為4及，且雙曲線過點夕(-3,1).斜率不

為零的直線與雙曲線交于AB兩點，旦以A8為直徑的圓過點P.

⑴求雙曲線的方程;

(2)是否存在直線A3,使得點P到直線A3的距離最大？若存在，求出直線A4的方程;

若不存在，請說明理由.

已知函數(shù)/(x)=bu+；d

22.-inx+m(mGR).

(1)討論函數(shù)f(r)的單調(diào)性：

⑵若函數(shù)/(x)有兩個極值點內(nèi)，七，且滿足&2五%(e為自然對數(shù)的底數(shù)，12.7183).

(i)求實數(shù)”的取值范圍；

(ii)證明:<-0.005.

I.A

【分析】先根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)化簡集合N,再根據(jù)集合交集的概念求解即可.

【詳解】由lgx<l解得0<x<10,所以N={M0<x<10},

又M={x|*l},所以MCN={X[1<X<10},

故選：A

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方以及除法運算可得z=；+gi,即可判斷出結(jié)論.

L1411+i1+i11.

【詳解】由i2=_]可知z=「=「=?\/1廣\=丁=彳+「)

1—11-1[1-1)[1+1)222

因此復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點坐標(biāo)為(d),位于第一象限.

故選：A

3.D

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令x=2求出/'(2)即為切線的斜率.

【詳解】令得得r⑵=i

414J2

故選：D

4.B

uuu2uuu

【分析】根據(jù)中線性質(zhì)得出人/二,斗。，再由平面向量線性運算即可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示：

由AC=2EC,3c=2QC可得。，石分別為8C,AC的中點，

uinn7llum

由中線性質(zhì)可得A/二§AD,

又A力=，（44+46）=，,+〃），所以A戶=2x，（4+/?）=，（a+/?）,

22323

|illltCF=CA+^F=-Z?+-（?+/7）=-d--/7.

故選：B

5.B

【分析】依據(jù)貶值規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)列不等式即可解得"7=15.

【詳解】根據(jù)題意可知，列不等式"(l-30%)x(l-10%廣27,

即小工券H15.24,

又加wN,可得加=15.

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級臺階”，事件8為“小明走了3步爬到第4

級臺階”,求出P(4),P(AB),進(jìn)而計算可得答案

【詳解】根據(jù)題章，設(shè)事件A為“小明爬到第4級臺階”,

事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”,

事件4包含3中情況,

(2)16

①走了4次I級臺階，其概率4

<3>81

②走了2次1級臺階，1次2級臺階，其概率6=C；xgx《J=[,即尸(A8)=[,

③走了2次2級臺階，其概率A=(g)

9

故小明爬到第4級臺階概率++g=

4

在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率尸(回力=窄野嚕嶗,

81

故選：D

7.A

【分析】利用正弦型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得.

【詳解】在[。，可上，,在0，〃+丁上，[-;M，

444L4J44

由題意，函數(shù))，二夜sin(x-￡)在兩個區(qū)間上最值相同，且最小值為-1,即兩區(qū)間左^點函

數(shù)值均為最小值，

所以兩區(qū)間右端點函數(shù)值不能小于T,但兩區(qū)間內(nèi)最大值相同,

如圖戶缶小圖的部分圖象，數(shù)形結(jié)合得a嚀且忖哼即竽弓

2IPFI2

【分析】由向量的關(guān)系，可得\P腎F\=￡，再由角平分線的性質(zhì)可得腎=可，由I耳尸21=2c,

由橢圓的定義可得IPEI，I26I的表達(dá)式，再由余弦定理可得a,C的關(guān)系，進(jìn)而求出離心

率的值.

【詳解】因為==則第=

3IVr2I。

由角平分線的性質(zhì)可得陰=;，

1%I3

因為|月入|=2%所以|P"

4

由橢圓的定義可知：\PF2\=2a-\PF,\=2a--ct

在外，NP￡K=120。，

由余弦定理可得IP瑪耳馬|2+|卅『-2|65|.|町|8$/町姆,

整理可得：5c2+4ac-3a2=0=>5

即be。+4e-3=0,可得e=

因為ee(OJ),所以八叵二.

故選：C.

9.ABC

【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖

形，然后逐一與四個答案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項.

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)截面為三角形時，可能出現(xiàn)等腰三角形；如圖：

故A正確；

當(dāng)8,D分別為正方體棱中點時，截面可以為菱形，如圖:

故B正確；

當(dāng)G。分別為正方體棱的中點，截面圖可以為等腰梯形，如圖:

當(dāng)截面為五邊形，如圖，不可能是正五邊形：若截面為王邊形，則該面恰與五個面相交，

而其中一定有兩組對面，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，故有兩組平行邊，但正五邊形沒有平行的邊，故截面不

可能是正五邊形.

故選：ABC.

10.ACD

2456

【分析】將x=0,x=2,x=±l代入(x-1)，=/++a2x++?4x+a5x+a6x判斷

ACD,利用二項式展開式的通項公式判斷B即可.

24

【詳解】將x=0代入(x-1成=%+qx+?2x+%/+?4x++//得(0_1y=%,解得

4)=1,A正確;

由二項式定理可知(x-l『展開式的通項為2=《產(chǎn)乂-1)’,

令6-r=3得r=3,所以%=C：(-1)，=-20,B錯誤；

23456

將x=2代入(xT)6=%+qx+a2x+a3x+a4x+a5x+a(x得

(2-1)6=4+2〃i+4a2+84+164+32as+64g?

即2al+4a2+8%+16%+32%+64a6=0,C正確；

245

將4=1代入(％-1)"=4++a2x+a/'+?4x+a5x+得

(l-l)6=4+4+〃2+6+〃4+as+4，

即4+4+。2+。3++%+〃6=0①，

2456

將x=—1代入(x—=%+qx+a2x++a4x+a5x+a6x得

6

(-1-1)=a0-?j+a2-?3+4_6+《，

即+%_%+/a>=64②，

①+②得2(4+/+/+%)=所以4+/+&+牝=32,

①-②得2(1+q+%)=-64,所以％+%+%一一32,

所以|陽+〃2+。4+。6|=|4-%+6|，D正確;

故選：ACD

11.ABD

【分析】根據(jù)直線過定點（1,0）,可得點在橢圓內(nèi)可判斷A,根據(jù)圓心A（0,4）,可得出點用

到直線/的距離的最大值判斷B,設(shè)出%（毛,%）,利用兩點間距離公式并由二次函數(shù)性質(zhì)可

求得|AN|a=5,進(jìn)而可得C錯誤，D正確.

【詳解】根據(jù)題意可知圓4：/+。，-4尸=1的圓心為4（0,4）,半徑為U=1,

橢圓8:二+，=1的長軸為《短軸為2,

4

直線/:y=Mx-l）（ZER）恒過定點C（l,0）,

顯然點（1,0）在橢圓"的內(nèi)部，如下圖所示：

顯然，直線/與橢圓8相交，即A正確；

當(dāng)k變化時，易知圓心從（0,4）到直線/的距離的最大值為人。=，（1—0）2+（0-4）2=如,

所以點M到直線/的距離的最大值為AC+r=，萬+I，即B正確；

設(shè)點N（%%）滿足,+），；=1且%+1』，可得片=4（1-湖

■知"=|也戶，

22

顯然IAN|二7（xo-O）4-（yt-4）=&+皿-8%+16=血1一鼎+4一8%+16

=J-3*-8%+20=J-3No+g）+等，

顯然當(dāng)先=-1時，|^L=13+8+20=5,可得|皿%、=|4\憶+1=6,

即可得C錯誤，D正確;

故選：ABD

12.BC

【分析】A選項，，當(dāng)攵=4時，a=T,晨力+/(力=2/(x),求出〃力的值域為|~一1,?|,

44

進(jìn)而得到g(x)+/(x)e，A錯誤；B選項，由于g(x)為/(“平移得到，故g(“的

T

最小正周期也為T,故只需研究攵=123,4即可，當(dāng)攵=1時，?=-,

4

g(X)+〃X)=dx+；］+/a),推出妝X)關(guān)于X=9軸對稱，結(jié)合/(X)為奇函數(shù)，得到〃(x)

關(guān)于(一('°)對稱，同理可得攵=2,3,4也滿足要求，B正確；C選項，推出/(力的圖象關(guān)于

點惇。)對稱，g")的圖象關(guān)于直線x='對稱，故

/(二〕g(衛(wèi)】+/［創(chuàng)業(yè)］g分〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)兩種情況，得到C

I〃八〃JI八八n}

T

正確；D選項，先得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，在c選項基礎(chǔ)上，得到時，

子)/(子)=0,此時k=D錯誤.

【詳解】選項A,當(dāng)&=4時，a=T,^(x)+/(x)=/(x+T)+/(x)=2/(x),

當(dāng)T。,；卜寸，/(X)=XG0,(,

當(dāng)xc百3］時，/(-r)=y--r€畤)

故工€0,y時，/(X)的值域為0,：,

又一(X)為奇函數(shù)，故當(dāng)xe-py時，/(X)的值域為C,

故g(x)+/(.l)=2/(x)w-py,

g(力為/(x)平移得到,故g(x)的最小正周期也為T.

故函數(shù)g(x)+/(x)的最小正周期為r,

故函數(shù)g(x)+/(x)值域為一三三，故A錯誤；

B選項，由于g")為/⑴平移得到，故g")的最小正周期也為兀故只需研究女=123,4

即可,

當(dāng)我=1時，a=；,g(x)+f(x)=fx+^-}+f(x),

TT.e法,此時/6+目…+^，

當(dāng)-x+,e0,—時,

2

當(dāng).也化工］xe0()，此時(x+孑==

2(42」時,

由于/(*)為連續(xù)函數(shù),

故/(r+J)=/(x)，故/(x)的圖象在上關(guān)于直線x=J對稱,

\)Lz」4

又/(力為奇函數(shù)，最小正周期為7,結(jié)合圖象可知，/("在圖象在R上關(guān)于直線X對

稱，

所以小4)=c

?*TF?、

令〃(x)=g(x)+/(x),則/?("=/--X+/(x),

14/

將x用替換，有/故《(一.,=/?(司,

所以網(wǎng)力關(guān)于x=J軸對稱，

O

又/(“為奇函數(shù)，故/(-x)+/(x)=0,

所以/(5+”+，一:一”)=?！秩?"=/1+5)+/0'

故MT-Wx+9+/(O“r)+《d

故力⑺+力/卜+;)+/(同+/(r)+f卜(_q=o,

故關(guān)于卜$。)對稱，所以Mx)=g(x)+〃x)既有對稱軸，又有對稱中心，

當(dāng)&=2,3,4時，同理可得〃(x)=g(x)+/(x)既有對稱軸，乂有對稱中心，B正確;

C選項，取.二；，則g(/)=/|x+；),

由于/(力為奇函數(shù),故人一力―(力,

又了(力的最小正周期為7,故〃T)=/(x+r),

即/(x+T)T(x),BP/(x+r)+/(x)=0,

故/(力的圖象關(guān)于點(彳.0)

對稱,

由B選項知，/(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，故g(￡l的圖象關(guān)于直線戶,對稱,

r?rip、

所以/—=-/，g

nn

當(dāng)〃為偶數(shù)時，/(W)=/(T)=o,所以(4)/(4)=0,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，/(r)=0,所以C正確;

|=|\n)\fJJ

D選項，由于〃=￡,所以6/三斗力"卜。成立，

4.=1II〃J

即匹力=77］，

--x,xe^0,-

故在xw-上g(-x)=g(x),

又g")的圖象關(guān)于直線工=1■對稱，且最小正周期為7，

故函數(shù)g("的圖象關(guān)于)'軸對稱，

所以小9MW｝而卻(手)《子卜。成立，

所以之｛一手)/(吁)=°，故存在&=-1成立，D錯誤.

故選：BC

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性：

若/(X+4)+/(T+")=C,則函數(shù)/("關(guān)于g9中心對稱，

若/(x+a)=〃r+〃)，則函數(shù)F(x)關(guān)于工=等對稱，

【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到ian2a=4,求出。二盍,

【詳解】2Gsinacosa=cos2a=>Gsin2a=cos2a=tan2a=—,

3

因為ac(0,5,所以2aw(O,7i),

故2a=3,解得。=白.

o12

故答案為：三

12

14.1

4

【分析】由幾何關(guān)系求出外接球和棱切球半徑，再由球的表面積公式求出表面積，最后求出

比值.

【詳解】

設(shè)正三棱柱的棱長為“，因為正三棱柱上下底面中心連線的中點。為外接球的球心,

9=2x3叫走〃

則外接球的半徑OB2=OD2+BD2，

323

所以彳

\乙)E一五

OF,所以。為楂切球的球心，則棱切球半徑

3

故答案為：(

5100（答案不唯一，100101,102,103/04』05任選其一）

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可求得。=0.025,再利用成績劃分等級標(biāo)準(zhǔn)分別求出等級為

的分?jǐn)?shù)區(qū)間，即可得出答案.

【詳解】利用頻率分布直方圖可得（0.4）6+0.冊）9+0.02+0.032+4+0.（乂）8）'10=1,解得

。=0.025,

成績在區(qū)間［110,120］內(nèi)的人數(shù)占8%,在［1（X）,110）內(nèi)的人數(shù)占25%,

設(shè)成績排在前20%位的分?jǐn)?shù)線為%則寫三二K，解得x=l°S2；

設(shè)成績排在前35%位的分?jǐn)?shù)線為＞，則用B=解得），=99.375；

1U。乙

因此考生的等級為“A”的分?jǐn)?shù)區(qū)間為［99.375,105.2）,又因為分?jǐn)?shù)取整數(shù),

所以可得甲的分?jǐn)?shù)所有可能取值為100,101,102,103,104,105.

故答案為：100（答案不唯一）

16.垣##3石

22

【分析】分三種情況，結(jié)合題意，連接點C與網(wǎng)③中其中之一，得到直線，根據(jù)反射得到

點A的運動路徑，得到最小值.

【詳解】因為用球A貼著桌面移動去擊球C（不能碰到球8）,

^yzl=izl1

連接RC并延長交于點兀直線KC5~7.,即3，=-？+3,

42

令x=4得，y=-2+3=l,故7（4,1）,則T為的中點，

故RC的反射直線為八憶則叱:5二^^+8，

將7（4,1）代入=力中，得〃=-1,故WT:），=gx—l,

令y=0得戶2,故W（2,0）,W為OM的中點，

直線WT經(jīng)過反射得到直線y=-1x+/?1,

將W（2,0）代入），=-gx+M中，得々=1,故y=-gx+l,

其中嗚V滿足）'=一$+1上，

故A球的軌跡為AW-W7-TC,其中AW=

WT=^(4-2)：+(1-0)2=逐

故軌跡長度為AW+WT+TC=￥,

連接MC并延長，交PQ于點V,

y-0_x-4

直線MC的方程為廠丁二，BPy=-^（x-4）,令），=2得K#,

42

故V償,21，根據(jù)反射得到反射直線心二支+用，將V佟2]代入得，

1x?+仇=2,解得/=_6,故直線VL:y=1x—6,

令），=0得gx—6=0,解得％=故（￡，0），

根據(jù)反射得到直線"：y=-5jt+H，將L/1彳2，。、代入得，

5125

-耳乂三+4:。，解得么=6,故直線KL:1y=-耳4+6,

令尸2得-■|x+6=2,解得x=|,故丫（|，2），

根據(jù)反射得到直線行：），=”卻將噌?代入得，

CQC

9聲仇=2,解得“=-2,故直線丫5:），=9-2,

令丁=。得x=],故s停（）），

一丁J31）上一353/曰53c7

由于從7,7?故令*：J=3%—2中的工=不得），=3乂7_2=彳，

故點A不在直線ys上，

故要想點A在直線ys上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會大于士叵，不合要求，舍去;

連接0C并延長，交PM于點H,則直線。，的方程為y=3，

14

令x=4得尸?故川吟），

根據(jù)反射得到直線反射直線HZ:.y=-5&，

將“4,-代入上式得，一"X4+4=T，解得々=三，

故直線成：），=-25力7§（）,令,=2得-531+2§（）=2,解得x=1m2故z門?2,2、,

1471475I5J

根據(jù)反射得到反射直線XZ:），=高"+4，將Z（^,2）代入得，

cioQ5R

_x_+Z?6=2,解得d=,故xz：），=荷x+亍，

令戶（）得yg故X?}

根據(jù)反射得到反射直線乂/:尸-5…，將x（o,外代入得

=—j^-X+y,

58,,,353817

由IT于4/3匕1R1，故令立片-亦+/的x=］得4fcl產(chǎn)-RX5+廠與，

/3i\R

故A彳，了不在反射直線X/:y=-%x+：上，

124）147

故要想點A在直線X7上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會大于地，不合要求，舍去;

2

綜上，球A移動的最短路徑的路程為平.

故答案為：竽

【點睛】新定義問題的方法和技巧：

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理

解；

(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解

的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么

情況下可以使用書上的概念.

17.(1)?,=2,?-1

⑵證明過程見解析

【分析】(1)得到｛q-2〃｝為常數(shù)列，結(jié)合4=5得到勺-2〃=-1,求出通項公式；

(2)包=*=竽，設(shè)也｝的前〃項和為大錯位相減法求和得到(=1-誓＜1.

JJJ

【詳解】(1)arn-2m=af-2nf故｛/-2〃｝為常數(shù)列，

其中4=5,故/-6=5-6=-1,

故?！?2〃=-1,即凡=2"-1；

(2)〃，喙=竽,設(shè)低｝的前幾項和為如

則小+A+竽①"小尹9+絮②，

2_2

力#小公妨212222/1-11323rt+,2〃-1

兩式①一②得，+系+三+…+1一中=§+不(-

3

22+2〃

o

18.⑴分布列見解析，E(4)二：

(2)答案見解析

（3、

【分析】（1）根據(jù)條件判斷出3,-,然后計算出《在不同取值下的概率，由此可求分

I4J

布列，根據(jù)分布列可求七《）；

（2）由已知表格得到列聯(lián)表，將表中數(shù)據(jù)代入K?的計算公式并將計算結(jié)果，分類討論與

6.635比較大小，由此可知結(jié)果

【詳解】（1）由表格可知，任取一人小于60歲的概率尸="竺竺竺=2色==,

nn4

由題意可知：4~8卜?

,4的可能取值為0，1,2,3

所以P（4=0）=C；x1-i-）XG）=2

m=c；x（i—￡|x2、9

4;64

27

3=/斗圖64

所以4的分布列為:

g0123

192727

p

64646464

1Q97?79,39

^tt^）=0x-+lx-+2x-+3x-=-（或者E（力叫北）?

（2）因為使用5G手機（八類）和使用4G及以下或不使用手機（8類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)〃的

比例統(tǒng)計如下表:

人類B類

大于或等于60歲10%15%

小于60歲45%30%

所以可得列聯(lián)表

A類B類總計

大于或等于60歲O.ln0.15〃0.25〃

小于60歲0.45〃0.3/?0.75n

總計0.55〃0.45〃n

因為O.ln,0.15〃，0.3//；0.45〃都是正整數(shù),

ftO.ln：0.15〃：0.3〃：0.45/1=2:3:6:9

所以〃是20的正整數(shù)倍，

因為尸=〃X(0.1〃X0.3-0.15〃X0.45〃)24003()303n,

0.55/2x0.45〃x0.25〃x0.75/?

當(dāng)n>220時,K~0.030303〃>6.66>6.6335，

當(dāng)n<2(X)時，K20.030303〃<6.061<6.6335,

所以當(dāng)220且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡旅游與

性別有關(guān)；

當(dāng)〃￡200且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡旅游與性別

有無關(guān).

19.(1)詳解見解析

⑵返

II

【分析】(I)建立空間直角坐標(biāo)系，求出K/〉PM=0,即得證

(2)利用空間向量法可求得平面加。的法向量和平面HBCO的一個法向量，利用向量的夾

角公式求解即可.

【詳解】(1)作POS平面A4CO,連接。A,。。，OE

所以直線莊與平面人8。所成的角即為NPEO=45。,

又因為在等腰三角形人中，PE=O,

所以「0=￡0=①尸七=1,

2

因為用=?。=2,所以04=00=6，故

以O(shè)為坐標(biāo)原點，以垂直于所在直線，OF,OP所在直線為x軸，y軸，Z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

所以0(0,0,1),3,0),C(-&,3,0),。(-夜2,0)

所以8Q=(―2&,-2,0),PM=(-72,2,-1),

BDPM=(-2>^)x(-V2)-2x2+0x(-l)=0,

所以

（2）點A（&,l,0）,設(shè)平面朋C的法向量為〃=（x,y,z）,

〃乂幺=（夜JT），AC=h2夜,2,0卜

則有

\J2x+y-z=0l廠

所以l，不妨令x=1,貝ijy=叵,z=2\[1.

-2y/2x+2y=0

所以〃=0,&,2夜),

取平面ABCD的一個法向量〃2=（0,0,1）,

八卜小〃|202722

貝|JcosO=-：--==-----

阿〃E11

20.⑴8=]

⑵石

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理將邊化為角，可得角的方程，化簡計算，即可得到結(jié)果:

C）根據(jù)題意’由正弦定理可得黑瀛二胎’再由余弦定理分別得到再由

基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】⑴因為,1,所以。源=需

ab,2sinC-sinA

由正弦定理,可得cosA=-----------

sinAsinBsinC2sinB

整理可得2sin8cosA=2sinC-sinA,

又因為sinC—sin(4+j?)=sin4cosB+sinBcosA,

化簡可得sinA=2sinAcos3,

而sinAxO,則cosB='，又笈￡(0,兀)，則8=g

23

2

⑵在△B8中‘由』二缶可得SENC"二答,

在樹中，由可得y=步

AC

E、IsinZCABCD

所以金女三二就'

設(shè)48=8。=(>0),

由余弦定理CD?=8A2+BC2-2BA3。cosNCBD，

AC2=BA2+BC2-2BA-BC-cosNCSA，

口『得67)2=/+1+，AC2=r+\-t,

22

CDt+\+t?2/〃2o

2

因此AC?r+1-/t+\-trr,

2匕7

當(dāng)且僅當(dāng)/=1時，即/=1等號成立，

t

所以當(dāng)察的最大值為6,MAB=BD=\.

smZCDB

21.⑴工工=1

62

(2)存在，y=-x-S

【分析】（1）待定系數(shù)法求解雙曲線方程；

（2）方法一：設(shè)直線A8：x="\，+〃，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)

PA?尸8=0得到（2〃?一〃一6）（/〃+〃+3）=0,即〃=一〃?一3或〃=2〃7-6,分兩種情況討論，得

到直線A8：x=〃?.v+〃過定點0（-6,-2）,要想f到直線的距離最大，則AA_LPQ,從而求

出直線A8的方程；

方法二：齊次化求解，平移雙曲線得（、一3）二（）'+1）2=|,設(shè)平移后的直線A*方程為

62

/?U-+WJ=I,變形得到（6n+3）（fJ+（6/〃+6〃）2+6〃7-1=0，根據(jù)斜率之枳為/得到則直

x

線〃氏+到=1過定點(-3,-3),從而原直線人5過定點。(~6,-2),要想f到直線人B的距離最

大，則A8_L/'Q,從而求出直線A8的方程；

9

【詳解】(1)由題意得2c=4&，且r-芯=1,

a~b~

y.a2+b2=c2,解得/=6萬=2,

故雙曲線方程為￡=1；

62

(2)設(shè)直線AB：X=〃7)，+〃，

22

聯(lián)立,一^.=1得-3))，2+2〃〃少+〃2-6=0,

設(shè)4(％2),6(%,為)，

2mn〃2—6

則y+%=一

加2一3

由題意得PA-PB=()，

即PAPB=(<xl+3,y(-l)(x2+3，H-1)=(內(nèi)+3){x2+3)+(^-l)(y2-1)

=("%+n+3)("%+n+3)+(y,-l)(y2-l)

2

=(62+l)y,y2+[〃?(〃+3)-l](j,+y2)+(n+3)+l=0,

將y+%=XH代入上式，

in-3m-3

(帆2+1)^^一["?(〃+3)一”^^+(〃+3『+1=°，

即(，〃2+1)0/-6)-2"看z(〃+3)+2加〃+(〃+3)~(〃/一3)+/-3=0,

化簡得2〃『+mn-n2-9〃-18=0,

變形為(2/"一〃-6)("2+〃+3)=0,

故n-一〃2-3或n=2m-6.

當(dāng)〃=-〃2-3時，直線A5:X=()，-1)〃L3,經(jīng)過定點與產(chǎn)重合，不合要求,

當(dāng)〃=26-6時，直線AB:x=(y+2)〃?-6,經(jīng)過定點。(-6,-2),

要想尸到直線A8的距離最大，則48_LPQ,其中

故直線AB的斜率砥8=-J-=T，故直線AB的方程為y+2=-(4+6),

Kpz?

經(jīng)檢驗，y=-x-8滿足要求.

方法二：平移雙曲線得（'-3）__（V+I）=1，即f-3），2-6x—6y=0,

62

設(shè)平移后的直線49方程為g+號=1,

貝IJ有r2—3y2—（6x+6y）（mx+）=0,

即（6〃+3））尸+（Gin+6n）.X）'+（bin-1）x2=0,

兩邊同除以』得（6〃+31—+（6〃?+6〃）上+6/〃一I=0>

由題意得P4'J_P8',

設(shè)A'（%,》）,？（%,%），則g=77==-?=>-3m-3n=l,

則直線爾+=1過定點（-3,-3）,

將（-3,-3）向左平移3個單位，向上平移I個單位，則原直線A3過定點。（-6,-2）,

-2-1