山東省東營(yíng)市墾利縣第一中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的最小值為（）A. B.1C.2 D.e2．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開(kāi)口越小 B.越小，雙曲線開(kāi)口越大C.越大，雙曲線開(kāi)口越大 D.越小，雙曲線開(kāi)口越大3．已知分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，那么是下列哪個(gè)事件的概率（）A事件同時(shí)發(fā)生B.事件至少有一個(gè)發(fā)生C.事件都不發(fā)生D事件至多有一個(gè)發(fā)生4．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.5．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.8．在長(zhǎng)方體，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．2020年12月4日，嫦娥五號(hào)探測(cè)器在月球表面第一次動(dòng)態(tài)展示國(guó)旗.1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn).有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，，，，分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.11．在數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.12．已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1C.－2或1 D.2或－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則正整數(shù)___________.14．對(duì)于下面這個(gè)等式我們除了可以用等比數(shù)列的求和公式獲得，還可以用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行證明“”，那么在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，當(dāng)驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊的式子應(yīng)該是_______15．已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為②過(guò)點(diǎn)P作過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.16．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個(gè)正方形分成9個(gè)全等的小正方形，對(duì)中間的一個(gè)小正方形進(jìn)行著色得到第1個(gè)圖案（圖1）；在第1個(gè)圖案中對(duì)沒(méi)有著色的小正方形再重復(fù)以上做法得到第2個(gè)圖案（圖2）；以此類推，每進(jìn)行一次操作，就得到一個(gè)新的正方形圖案，設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為1，記第n個(gè)圖案中所有著色的正方形的面積之和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直交橢圓于兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，已知（1）求角B的大?。唬?）求三角形ABC的面積.19．（12分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設(shè)面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內(nèi)是否存在一點(diǎn)E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知直線：，直線：（1）若，之間的距離為3，求c的值：（2）求直線截圓C：所得弦長(zhǎng)21．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離22．（10分）已知雙曲線（）的一個(gè)焦點(diǎn)是，離心率.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先化簡(jiǎn)為，然后通過(guò)換元，再研究外層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值【詳解】化簡(jiǎn)可得：令，故的最小值即為的最小值，是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，易知對(duì)求導(dǎo)可得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增則有：故選：B2、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合離心率對(duì)雙曲線開(kāi)口大小的影響即可得解.【詳解】解：對(duì)于A，越大，雙曲線開(kāi)口越大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，越小，雙曲線開(kāi)口越小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，越大，則越大，雙曲線開(kāi)口越大，故C正確；對(duì)于D，越小，則越小，雙曲線開(kāi)口越小，故D錯(cuò)誤.故選：C.3、C【解析】表示事件至少有一個(gè)發(fā)生概率，據(jù)此得到答案.【詳解】分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，表示事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率，故表示事件都不發(fā)生的概率.故選：C.4、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.5、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選6、A【解析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，進(jìn)而得時(shí)，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因?yàn)榈亩x域是，所以，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.7、D【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】因?yàn)槊}是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，故選：D8、A【解析】在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量，的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖，由題意可知DA，DC，兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，從而，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：A.9、A【解析】設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出【詳解】設(shè)，定義域?yàn)?，則，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，且所以當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，所以所以，即故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個(gè)角，過(guò)作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點(diǎn)，平分第三顆小星的一個(gè)角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過(guò)作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過(guò)做輔助線找到直線的傾斜角，通過(guò)幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，代入數(shù)據(jù)，逐步計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故選：D12、B【解析】?jī)芍本€平行，傾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，據(jù)此即可求解.【詳解】：，：斜率不可能同時(shí)不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時(shí)，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意，，得.故答案為：6.14、【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的定義，即可求解.【詳解】當(dāng)，，故此時(shí)式子左邊=.故答案為：.15、②③④【解析】由拋物線過(guò)點(diǎn)可得拋物線的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線方程為：，對(duì)于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.16、【解析】根據(jù)題意，歸納總結(jié)，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的通項(xiàng)公式.【詳解】結(jié)合已知條件，歸納總結(jié)如下：第一個(gè)圖案中，著色正方形的面積即；第二個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第三個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即.故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)AB中點(diǎn)為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系18、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系先求，由正弦定理可求值，從而可求的值；（2）先求得的值，代入三角函數(shù)面積公式即可得結(jié)果.詳解：(1)由正弦定理又∴B為銳角sinA=,由正弦定理B=300(2),∴.點(diǎn)睛：以三角形和為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問(wèn)題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?所以，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)槠矫妫移矫婷?，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，【小?wèn)2詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椤鱌DC是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由已知得，則，所以，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，則所以，整理得，解得（舍去），或，所以20、（1）或（2）【解析】（1）根據(jù)兩條平行直線的距離公式列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（2）利用弦長(zhǎng)公式求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間的距離為3，所以解得或.【小問(wèn)2詳解】圓C：，圓心為，半徑為.圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)與交點(diǎn)為，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)證明，再結(jié)合底面得，進(jìn)而證明平面即可證明結(jié)論；（2）由得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的，進(jìn)而過(guò)作，垂足為，結(jié)合（1）得點(diǎn)到平面的距離等于，再在中根據(jù)等面積法求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)與交點(diǎn)為，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)樗睦忮F的底面為直角梯形，，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)樗?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以又因?yàn)榈酌妫?，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面【小?wèn)2詳