專題2.3

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（糾錯(cuò)檔案）1.解不等式：.2.若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3.解關(guān)于的不等式．4.不等式的解集為A．C．B．D．5.任意，使得不等式恒成立.則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A．

B．

C．

D．類型一：系數(shù)未化正【錯(cuò)因解讀】本類題的錯(cuò)誤在于沒有將二次項(xiàng)化為正數(shù)或未將配方后的未知量的系數(shù)未化為正數(shù).【典例引導(dǎo)】解不等式：.【錯(cuò)誤解法】由題意，在中，，解得：或.【正確解法】由題意，在中，，解得：.【補(bǔ)救措施】本題的錯(cuò)誤在于沒有將二次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù).總結(jié)：在求解一元二次不等式時(shí)需要先確認(rèn)“一正”，非正則代換.【再練一個(gè)】（2027屆新疆和田高一上期期末）1．不等式的解集為（

）A． B． C． D．類型二：忽略二次項(xiàng)系數(shù)可能為0【錯(cuò)因解讀】默認(rèn)不等式為一元二次不等式.【典例引導(dǎo)】若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【錯(cuò)誤解法】由題意，，在中，，解得：，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【正確解法】由題意，，在中，當(dāng)時(shí)，原不等式化為成立，所以原不等式恒成立．當(dāng)時(shí)，解得．綜上可知，．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．【補(bǔ)救措施】本題的錯(cuò)誤在于沒有對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行分類討論，默認(rèn)不等式是一元二次不等式.總結(jié)：解形如類型的不等式的步驟：首先判斷二次項(xiàng)系數(shù)與0的大小，否則分類討論，當(dāng)時(shí)，利用不等式性質(zhì)化為正值，然后若能分解因式，則分解因式，然后判斷根的大小，寫出解集；若不能分解因式，需判斷判別式，若判別式符號(hào)不確定，則分三類討論；在解題中注意三個(gè)二次（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）之間的聯(lián)系，同時(shí)要樹立起函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．【再練一個(gè)】2．若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．類型三：分類討論不當(dāng)【錯(cuò)因解讀】在求解不等式時(shí)，對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)分類討論不全導(dǎo)致.【典例引導(dǎo)】解關(guān)于的不等式．【錯(cuò)誤解法】由題意，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．當(dāng)時(shí)，不等式化為．當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；【正確解法】由題意，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．當(dāng)時(shí)，不等式化為．當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．【補(bǔ)救措施】本題的錯(cuò)誤在于忽視了對(duì)根的大小的討論.總結(jié)：1.解本類題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：（1）認(rèn)定這個(gè)不等式就是一元二次不等式，忽視了對(duì)時(shí)情況的討論；（2）在不等式兩端約去系數(shù)時(shí)，若，忘記改變不等號(hào)的方向；（3）忽視了對(duì)根的大小的討論，特別是對(duì)等根的討論；（4）分類討論后，沒有對(duì)結(jié)論進(jìn)行整合．這幾點(diǎn)有一個(gè)地方出錯(cuò)都會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤或解題不完整．2.含參數(shù)不等式求解的通法是＂定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵＂．注意解完之后要寫上：＂綜上，原不等式的解集是……＂．3.注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集．4.提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值．【再練一個(gè)】3．若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．類型四：等價(jià)轉(zhuǎn)化不當(dāng)【錯(cuò)因解讀】在求解含有二次的不等式時(shí)，沒有注意根式內(nèi)大于0，分母不能為0等隱含條件.【典例引導(dǎo)】不等式的解集為A．C．B．D．【錯(cuò)誤解法】由題意，不等式等價(jià)于，解得：.故選：B.【正確解法】由題意，不等式等價(jià)于，解得：.故選：A.【補(bǔ)救措施】本題的錯(cuò)誤在于沒有注意到分式中分母不能為0.總結(jié)：求解含分式不等式時(shí)需要確保分母對(duì)應(yīng)的因式不能為0，有根式的還要注意保證根號(hào)有意義等隱含條件.【再練一個(gè)】4．不等式的解集是（

）A． B．C． D．類型五：混淆恒成立、能成立與恰成立問題【錯(cuò)因解讀】沒有弄清不同成立情況的區(qū)別，將不同的成立問題混淆.【典例引導(dǎo)】任意，使得不等式恒成立.則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A．

B．

C．

D．【錯(cuò)誤解法】由題意，因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立.所以，其中，設(shè)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)，取最大值，最大值為，所以，故選：D.【正確解法】由題意，因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立.所以，其中，設(shè)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)，取最小值，最小值為，所以，故選：B.【補(bǔ)救措施】本題的錯(cuò)誤在于將恒成立與存在性的能成立混淆.總結(jié)：不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題．不等式成立問題的常規(guī)處理方式（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和＂分離變量法＂轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）.（1）恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上；若不等式在區(qū)間上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上．（2）能成立問題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間上的．（3）恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立，則等價(jià)于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立，則等價(jià)于不等式的解集為．【再練一個(gè)】5．已知存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（易錯(cuò)點(diǎn)：系數(shù)未化為正）6．不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．（易錯(cuò)點(diǎn)：忽略二次項(xiàng)系數(shù)可能為0）（2027屆陜西渭南瑞泉中學(xué)高一上期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）7．關(guān)于的不等式，其中，則該不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．（易錯(cuò)點(diǎn)：分類討論不當(dāng)）（2027屆廣東汕頭金平高一上期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)）8．對(duì)于給定實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．（易錯(cuò)點(diǎn)：等價(jià)轉(zhuǎn)化不當(dāng)）9．不等式的解集為（

）A． B． C． D．（易錯(cuò)點(diǎn)：混淆恒成立、能成立與恰成立問題）（2027屆江蘇丹陽高中高一預(yù)備年級(jí)下期第一次階段考試（3月））10．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．《2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【錯(cuò)題檔案】（我的錯(cuò)題本）人教A必修一》參考答案：1．B【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的因式分解和不等式的性質(zhì)求解一元二次不等式的解即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以，所以或.所以不等式的解集為.故選：B.2．A【分析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，解得，顯然解集不是，不符合題意；當(dāng)，由不等式的解集為，則，，解得，即的取值范圍為．故選：A．3．B【詳解】當(dāng)時(shí)，解得：，不滿足條件；故，關(guān)于的不等式可得，所以，即，方程的兩根為，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，，解集為：，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為：，要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則，又因?yàn)椋粷M足條件；當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為空集，當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為，要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：B.4．C【分析】根據(jù)條件，利用分式不等式的解法，即可求解.【詳解】由，得到，整理得到，等價(jià)于且，解得，故選：C.5．C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的最值性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，令，則，其圖象開口向上，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，即，即，解得，所以的取值范圍是，故選：C.6．D【分析】先整理不等式為二次項(xiàng)系數(shù)為正的情況，然后結(jié)合二次函數(shù)圖像與判別式【詳解】不等式等價(jià)于，二次函數(shù)圖象開口向上，，所以不等式的解集為全體實(shí)數(shù)，故選：D.7．C【分析】考慮和兩種情況，當(dāng)時(shí)將不等式變形為，根據(jù)根的大小關(guān)系得到，，三種情況，解不等式對(duì)比選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，即，，故不等式的解集為，故A可能；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，的解集為，故D可能；當(dāng)時(shí)，不等式無解；當(dāng)時(shí)，的解集為，故B可能.故選：C8．A【分析】根據(jù)參數(shù)的符號(hào)，以及和的大小關(guān)系分類討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式為，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.9．A【分析】根據(jù)分式不等式解法求解分式