/4.4探究三角形相似的條件相似三角形的有關(guān)概念及判定定理1基礎(chǔ)夯實知識點(diǎn)1相似三角形的概念1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,則BCBA.2 B.4C.3 D162.如圖,△ABC∽△ACP.(1)若∠A=75°,∠APC=65°,則∠BCP的大小為度.(2)若△ABC與△ACP的相似比為53,AP=6,則AC=,BP=知識點(diǎn)2相似三角形的判定定理13.如圖,在△ABC紙片中,∠A=76°,∠B=34°.將△ABC紙片沿某處剪開，下列四種方式中剪下的陰影三角形與原三角形相似的是 ()A.①② B.②④C.①③ D.③④4.下列描述中的各組圖形，不一定相似的是()A.各有一個角是50°的兩個等腰三角形B.各有一個角是60°的兩個等腰三角形C.各有一個角是100°的兩個等腰三角形D.兩個等腰直角三角形5.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB，AC上.添加一個條件使△ADE∽△ACB,則這個條件可以是.(寫出一個條件即可)6.如圖,已知AD是△ABC的角平分線,AD=BD,求證:△ABC∽△DAC.7.如圖，在△ABC中,∠ACB=90°.(1)在AB上求作點(diǎn)D,使△CDB∽△ACB.(要求:尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,求證:CB8.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形，G是DC的延長線上一點(diǎn)，AG分別與DB,CB交于點(diǎn)E,F,下列結(jié)論錯誤的是()A.△ADG∽△FCG B.△ADE∽△FBEC.△ABE∽△GDE D.△ABF∽△GDE9.如圖,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AB上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,則AD的長為 ()A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.210.如圖，△ABC中，CE⊥AB,垂足為E,BD⊥AC,垂足為D,CE與BD交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形有 ()A.6對 B.5對 C.4對 D.3對11.如圖,四邊形ABCD為菱形,點(diǎn)E在AC的延長線上,∠ACD=∠ABE.(1)求證:△ABC∽△AEB.(2)當(dāng)AB=6,AC=4時,求CE的長.12.如圖,四邊形ABCD中,BD平分∠ABC,∠ADB=∠DCB=90°,E為AB的中點(diǎn),CE與BD交于點(diǎn)F.(1)求證:△ABD∽△DBC.(2)求證:DE∥BC.(3)若DF:BF=2:3,CD=6,求DE的長.13.如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F.(1)求證:△PFA∽△ABE.(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動時,設(shè)PA=x,是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似?若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.第2課時相似三角形的判定定理2基礎(chǔ)夯實知識點(diǎn) 相似三角形的判定定理21.解釋教材或選練習(xí)如圖，已知△ABC，則選項中的三角形與△ABC相似的是 ()2.易錯題教材變式「2025山東濟(jì)南育英中學(xué)期末」如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上,添加一個條件,使得△ADB∽△ABC，下列不正確的是 ()A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABCC.ABAC3.「2025上海崇明一?！谷鐖D，在三角形紙片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是 ()4.「2025福建三明三元期中」如圖，用一個卡鉗測量某個零件的內(nèi)孔直徑AB，其中AD=BC,OAOD=5.如圖,BD平分∠ABC,且AB=4,BC=6,則當(dāng)BD=時,△ABD∽△DBC.6.「2025廣東普寧期末」如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),且AD=1,AB=3,AC=3求證:△ACD∽△ABC.7.「2024廣東廣州中考」如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求證:△ABE∽△ECF.能力提升8.△ABC按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上,記為點(diǎn)B',折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點(diǎn)B′、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,那么BF的長度是______C9.如圖,在△ABC中,AB=23,(1)用尺規(guī)作出點(diǎn)D.(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)連接BD,并證明:△ABD∽△ACB.10.如圖,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=12cm,AB=65cm,點(diǎn)P從O開始沿OA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動;點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1cm/s的速度移動,如果P,Q同時出發(fā),設(shè)時間為xs(0<x<6),那么:(1)當(dāng)x為何值時,△OPQ的面積為5cm2?(2)當(dāng)x為何值時，以P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?11.如圖,四邊形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.(1)△ACF與△ACG相似嗎?說說你的理由.(2)求∠1+∠2的度數(shù).素養(yǎng)提優(yōu)12.如圖,已知∠MON=90°,A是∠MON內(nèi)部的一點(diǎn),連接OA,過點(diǎn)A作AB⊥ON,垂足為B,AB=3cm,OB=4cm,動點(diǎn)E,F同時從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)E以1.5cm/s的速度沿ON方向運(yùn)動,點(diǎn)F以2cm/s的速度沿OM方向運(yùn)動,EF與OA交于點(diǎn)C.當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t(t>0)s.(1)當(dāng)t=1時,△EOF與△ABO是否相似?請說明理由.(2)在運(yùn)動過程中，無論t取何值時，總有EF⊥OA,為什么?相似三角形的判定定理3基礎(chǔ)夯實知識點(diǎn) 相似三角形的判定定理31.若△ABC的三邊長分別是3，5，6，則與△ABC相似的△DEF的各邊長可能滿足()A.DE=6,DF=8,EF=10B.DE=9,EF=18,DF=25C.DE=1,EF=2,DF=2.5D.DE=6,DF=10,EF=122.「2025湖南新田期中」已知點(diǎn)D、E、F分別為△ABC的三邊AB、BC、AC的中點(diǎn),連接DE、EF、DF,則下列結(jié)論不一定正確的是 ()A.DE∥AC BC.DF=EF D.△DEF∽△CAB3.「2024山東鄒平期末」如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是 ()A.①與③ B.②與③ C.①與④ D.③與④4.如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),DF=3CF,那么△AEF和△ECF是否相似?并說明理由.5.如圖，某地四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)A，B，C，D之間建有公路，已知AB=14千米,AD=28千米,BD=21千米,BC=42千米,DC=31.5千米,公路AB與CD平行嗎?說出你的理由.單位：千米6.學(xué)科教材變式特色P94例3如圖,在四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)F,點(diǎn)E在BD上,且AB(1)∠1與∠2相等嗎?為什么?(2)判斷△ABE與△ACD是否相似,并說明理由.能力提升7.△ABC的坐標(biāo)分別是(1,1),(1,5),(5,1),(7,1),以C,D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是 ()(7,-2) B.(5,-1)C.(6,0) D.(7,3)8.在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.如圖，△ABC是格點(diǎn)三角形，在圖中作出格點(diǎn)△ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格點(diǎn)△ADE只算一個)，這樣的格點(diǎn)三角形一共有個.9.如圖所示的是由4個邊長為1的正方形組成的圖形.(1)求證:△ABD∽△BCD.(2)求∠ABC的度數(shù).10.一個鋼筋三角形支架邊長分別是20cm,50cm,60cm,現(xiàn)在要做一個與其相似的鋼筋三角形支架，而只有長為30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段(允許有余料)作為兩邊，有幾種不同的截法?素養(yǎng)提優(yōu)11.新排班推理能力如圖①,在△ABC和△A'B'C'中,D、D'分別在,AB、A'B'上,AD(1)當(dāng)CDC(2)當(dāng)CDC(3)如圖②,M是AC的中點(diǎn),P,Q是BC的三等分點(diǎn),AP、AQ分別交BM于點(diǎn)D、點(diǎn)E,則BD:DE:EM=.黃金分割基礎(chǔ)夯實知識點(diǎn)黃金分割1.已知點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC、BC,且AC>BC，下列說法錯誤的是 ()A.如果ACABB.如果ACC.如果線段AB被點(diǎn)C黃金分割，那么BC與AB的比叫做黃金比D.0.618是黃金比的近似值2.大自然中，一片小小的樹葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美.黃金分割比的比值為5?12A.55?5cmC.6.18cm D3.如圖1，在線段AB上找一點(diǎn)C,點(diǎn)C把線段AB分為AC和CB兩段,其中AC是較短的一段，若ACCB=CBA.5?12 B.54.如圖，樂器上的一根弦AB=80cm，兩個端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為cm.(結(jié)果保留根號)能力提升5.能教材變量練習(xí)「2024四川南充中考，如圖，已知線段AB,按以下步驟作圖:①過點(diǎn)B作BC⊥AB,使BC=12A.5?1C.5?16.如圖，在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以點(diǎn)C為圓心，以BC長為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于124B的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P,作射線CP交AB于點(diǎn)E,連接DE.下列結(jié)論不正確的是 A.∠BCE=36° B.BC=AEC.BEAC4探究三角形相似的條件第1課時相似三角形的有關(guān)概念及判定定理1基礎(chǔ)夯實1.B∵△ABC∽△A'B'C',∴BC2.答案(1)25(2)10,32解析(1)∵∠A=75°,∠APC=65°,∴∠ACP=40°,∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=25°.(2)∵△ABC∽△ACP,相似比為-53,AP=6,∴AC3.C題圖①中,∠B=∠B,∠A=∠BDE=76°,所以△BDE和△ABC相似;題圖②中，僅有∠B=∠B一個條件，不能推出△BCD和△ABC相似;題圖③中,∠C=∠C,∠CED=∠B,所以△CDE和△CAB相似;題圖④中，僅有∠C=∠C一個條件，不能推出△CDE和△ABC相似.所以陰影三角形與原三角形相似的有①③，故選C.4.A選項A，當(dāng)一個等腰三角形中50°的角為頂角，底角為65°，另一個等腰三角形中50°的角為底角，頂角為80°時，這兩個等腰三角形不相似，故選A.5.答案∠ADE=∠C(答案不唯一)解析∵∠DAE=∠BAC,∴添加的條件可以是∠ADE=∠C，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,可判定△ADE∽△ACB.(答案不唯一)6.證明∵AD是△ABC的角平分線,·∠BAD=∠CAD,∵AD=BD,∴∠BAD=∠B,∴∠CAD=∠B,又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.7.解析(1)如圖，點(diǎn)D就是所求作的點(diǎn).證明:∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠CAD,∴△ADC∽△CDB,∴ADCD=能力提升8.D∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴△ADG∽△FCG,△ADE∽△FBE,故選項A、B均正確，不符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC,∴△ABE∽△GDE,故選項C正確,不符合題意；無法證明△ABF∽△GDE，故選項D錯誤，符合題意.故選D.9C△ABC是等邊三角形,∴BC=AC,∠B=∠C=60°,∴∠CAD+∠ADC=120°,∵∠ADE=60°,∴∠BDE+∠ADC=120°,∴∠CAD=∠BDE,∴△ADC△∵BD=4DC,∴設(shè)DC=x,則BD=4x,∴BC10.A∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠AEC=∠ADB=90°,∠BEF=∠CDF=90°,又∵∠A=∠A,∠EFB=∠DFC,..△AEC∽△ADB,△BEF∽△CDF,∵∠EBF=∠ABD,∠BEF=∠ADB=90°,..△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF,..共有6對相似三角形.故選A.11.解析(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形,∴∠ACD=∠BCA,∵∠ACD=∠ABE,∴∠BCA=∠ABE,∵∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB.(2)∵△ABC∽△AEB,∴ABA=ACAB,∵AB=6,AC=4,612.解析(1)證明:∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD,∵∠ADB=∠DCB,∴△ABD∽△DBC.(2)證明;∵E是AB的中點(diǎn),∠ADB=90°,∴DE=BE=AE,∴∠EDB=∠EBD,∵∠CBD=∠EBD,∴∠CBD=∠EDB,..DE∥BC.(3)∵∠EDF=∠CBF,∠EFD=∠CFB,∴△DEF∽△BCF,∴設(shè)AB=4m,則BC=3m,由(1)知△ABD∽△DBC,∴ABBD=BDBC=ADCD∴素養(yǎng)提優(yōu)13.解析∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∠B=90°.(1)證明:∵AD∥BC,..∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠B=90°,∴△PFA∽△ABE.(2)存在.∵PF⊥AE,∴∠PFE=90°=∠B.∴當(dāng)以P,F，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時，有兩種情況：如圖①,若△EFP∽△ABE,則∠PEF=∠EAB,..PE∥AB.∴四邊形ABEP為矩形PA=EB=2,即x=2.如圖②,若△PFE∽△ABE,則∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB,∴∠PEF=∠PAF…PE=PA.∵PF⊥AE,∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn).∴PEAE=EFEB綜上可知，x的值為2或5.第2課時相似三角形的判定定理2基礎(chǔ)夯實1.D·AB=AC=6,∠B=75°,.∠C=∠B=75°,∴∠A=30°,根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可知D中三角形與△ABC相似.2.C選項A,若∠ABD=∠C,∠A=∠A,則△ADB∽△ABC，故此選項不符合題意；選項B,若∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,則△ADB∽△ABC，故此選項不符合題意；選項C，當(dāng)ABAC選項D，若ADAB3.A在三角形紙片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.A∴沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項符合題意；B∴沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項不符合題意；C∴沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項不符合題意；D∴沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項不符合題意.故選A.4.答案12解析∵AD,BC相交于O,∴∠COD=∠AOB,∵OA5.答案26解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,當(dāng)ABBD=BDBC時,△ABD∽△DBC,∵AB=4,BC=6,∴40B=BD,1解得6.證明∵AD=1,AB=3,AC=3∴又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.7證明∵BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,∵∴△ABE∽△ECF.能力提升8答案127解析由折疊易知BF=B'F,在△B'FC與△ABC中,∠ACB=∠B'CF.若B'CAC=CFCB,則△B'FC∽△ABC,易知B'F=B'C,AB=AC=3,B'F=BF,∴BF/?=4-B/F,解得B'F=易錯點(diǎn)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系不確定時，需分類討論，避免漏解.9解析(1)如圖，點(diǎn)D即為所求.(2)證明:∵∵∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB.10.解析(1)∵∠AOB=90°,∴BO2=AB2-AO2,..BO=6cm.在Rt△OPQ中,OQ=(6-x)cm,OP=2xcm,∵△OPQ的面積為5cm2,∴12OQ?(2)在△AOB和△OPQ中,∠AOB=∠POQ=90°,若OPOA=OQOB,則△OPQ∽△OAB,故2x12=6?綜上所述，當(dāng)x=3或-65解析(1)相似.理由；設(shè)正方形的邊長為a，則AC?∵∠ACF=∠GCA,∴△ACF∽△GCA.(2)∵△ACF∽△GCA,∴∠1=∠CAF,∵∠CAF+∠2=45°,∴∠1+∠2=45°.素養(yǎng)提優(yōu)12.解析(1)相似.理由如下:當(dāng)t=1時,OE=1.5cm,OF=2cm.∵又∵∠EOF=∠ABO=90°,∴△EOF∽△ABO.(2)在運(yùn)動過程中,OE=1.5tcm,OF=2tcm.∵AB=3cm,OB=4cm,∴OEB=OFB=1又∵∠EOF=∠ABO=90°,∴△EOF∽△ABO.∴∠EFO=∠AOB.又∵∠AOB+∠FOC=90°,∴∠EFO+∠FOC=90°.∴∠FCO=90°,即EF⊥OA.第3課時相似三角形的判定定理3基礎(chǔ)夯實1.D已知△ABC的三邊長分別是3,5,6.選項A,當(dāng)DE=6,DF=8,EF=10時,36選項B,當(dāng)DE=9,EF=18,DF=25時,39選項C,當(dāng)DE=1,EF=2,DF=2.5時,31選項D,當(dāng)DE=6,DF=10,EF=12時,362.C∵點(diǎn)D、E、F分別為△ABC的三邊AB、BC、AC的中點(diǎn),∴DE、DF、EF是△ABC的中位線,∴DE∥AC,DF‖BC,EF‖AB,3.A設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則三角形①的三邊長分別為2,2,.12+3三角形③的三邊長分別為2，22+2三角形④的三邊長分別為2?24.解析△AEF與△ECF相似.理由:設(shè)正方形ABCD的邊長為4a.∵E是BC的中點(diǎn),DF=3CF,,BE=EC=2a,CF=a,DF=3a.根據(jù)勾股定理易得AEAE5.解析公路AB與CD平行.理由:∵ABBD=6.解析(1)∠1與∠2相等.理由如下:∵ABBC=BCE=ACD,∴△ABC∽△AED,∴∠BAC=∠EAD,∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2.(2)△ABE與△ACD相似.理由如下:?又∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD.能力提升7.A、點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(1,1),(1,5),(5,1),∴AB=AC=4,∠BAC=90°,即△ABC為等腰直角三角形,∵D(7,1),∴CD=2,∵以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,∴△CDE為等腰直角三角形.當(dāng)CD=CE=2或CD=DE=2時,如圖,可知E?(5,3),E?(7,3),E?(5,-1),E?(7,-1);當(dāng)CE=DE時,過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F,如圖;∵CE=DE,EF⊥CD,∴點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),∴CF=1,∵∠CED=90°,∴EF綜上,點(diǎn)E的坐標(biāo)可能是(5,3)或(7,3)或(5,-1)或(7,1)或(6,2)或(6,0).故選A.8.答案6解析如圖.結(jié)合題意知,使得△ADE∽△ABC的格點(diǎn)△ADE一共有6個.故答案為6.9.解析(1)證明：【證法一】由題意得AB=10∴ABC=ADD=BDDC,∴△ABD∽△BCD.【證法二】根據(jù)題意得AD=2,BD=由正方形的性質(zhì)得∠1=45°，∴∠ADB=∠BDC=135°.∴△ABD∽△BCD.(2)∵△ABD∽△BCD,∴∠BAD=∠CBD.∴∠1=∠BAD+∠ABD=∠CBD+∠ABD=45°,即∠ABC=45°.10.解析當(dāng)取30cm為一邊長時，設(shè)另兩邊長分別為xcm、ycm(x<y).若30cm與20cm對應(yīng),則x解得：x=75,y=90.75+90>50,故此種情況不存在.若30cm與50cm對應(yīng),則x2012+36=48<50,故此種情況存在.若30cm與60cm對應(yīng),則x2010+25=35<50,故此種情況存在.當(dāng)取50cm作為一邊長時，無法得到符合