/第5章直角三角形5.4角平分線的性質(zhì)（2）?學習目標與重難點學習目標：1.理解角平分線性質(zhì)定理與逆定理的應用場景，能從圖形條件中識別“垂直距離”“線段相等”等關鍵要素，運用定理解決“判斷點的位置”“添加條件證明角平分線”“找特殊點”等問題。2.通過分析例題中的條件關聯(lián)，提升從復雜圖形中提煉核心關系的邏輯推理能力。3.體會幾何定理在簡化證明、解決實際位置問題中的價值，增強用數(shù)學知識解決幾何問題的意識。學習重點：角平分線性質(zhì)定理與逆定理的實際應用，能利用“距離相等”與“角平分線”的互逆關系解決問題。學習難點：從綜合條件（如面積相等、中點、垂直）中提煉出“點到角兩邊的距離關系”，準確區(qū)分性質(zhì)定理與逆定理的適用場景。?學習過程一、復習回顧【回顧】角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理是什么？二、探究新知探究：角平分線的性質(zhì)及逆定理的應用教材第179頁【說一說】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC邊上的點.若BE=CF，S△BDE=S△CDF，則點D在∠BAC的平分線上嗎？【說一說】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC邊上的點.若BE=CF，S△BDE=S△CDF，則點D在∠BAC的平分線上嗎？教師提問：三角形的面積公式是什么？三角形的面積=12教師講授：由于S△BDE=S△CDF，BE=CF，所以點D到BE，CF的距離相等，因而點D在∠BAC的平分線上.【思考】如圖，已知EF⊥CD于點E，EF⊥AB于點F，MN⊥AC于點N，M是EF的中點.需要添加一個什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？問題1：要證明它們是平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，需要滿足什么核心條件？教師講授：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.即證明MN=ME，MN=MF.問題2：由M是EF的中點可以得到什么信息？問題3：添加一個什么條件可以使得MN=ME，MN=MF？解：添加條件MN=ME即可.因為ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME，所以點M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線.又M是EF的中點，則MF=ME=MN.同理可證AM是∠CAB的平分線.三、例題精講例2如圖，在△ABC的外角∠CAD的平分線上任取一點P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關系.例2如圖，在△ABC的外角∠CAD的平分線上任取一點P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關系.解:因為AP是∠CAD的平分線，又PE⊥DB，PF⊥AC，所以PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，因此BE+PF>PB.

【做一做】任意作一個△ABC，在△ABC內(nèi)部找一點P，使其到三邊的距離相等.【做一做】任意作一個△ABC，在△ABC內(nèi)部找一點P，使其到三邊的距離相等.任務1：作∠BAC的角平分線；任務2：作∠BAC的角平分線.教師提問：這兩條角平分線有幾個交點？該交點到三邊的距離有什么關系？教師講授：在△ABC中分別作∠BAC與∠ABC的平分線，它們交于點P，如圖，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別為點D，E，F(xiàn).因為AP是∠BAC的平分線，PD⊥AB，PE⊥AC，所以PD=PE.因為BP是∠ABC的平分線，PD⊥AB，PF⊥BC，所以PD=PF.故PD=PE=PF，因此P為所求作的點.四、課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題1.三角形中到三條邊距離相等的點是（）A．三條邊的垂直平分線的交點 B．三條中線的交點C．三條高的交點 D．三條角平分線的交點2.∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為5，Q是射線OBA．PQ>5 B．PQ≥5 C．PQ<53.如圖1，這是一個平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構成，平板電腦放置在托板上，圖2是其側面結構示意圖．現(xiàn)量得托板長AB=10cm，支撐板頂端的C恰好是托板AB的中點，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動．當CD⊥AB，且射線DB恰好是A．3cm B．5cm C．6cm選做題4.如圖，一個加油站恰好位于兩條公路m，n所夾角的平分線上，若加油站到公路m的距離是80m，則它到公路n的距離是m5.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面積為45，△6.如圖，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，P是射線OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB．下列條件：①【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，在△ABC中，AD是角平分線，E，F(xiàn)分別為AC，AB上的點，且∠AED+∠AFD=18五、課堂小結這節(jié)課你收獲了什么，在運用過程中需注意什么？六、作業(yè)布置1.如圖，直線l1A．1處 B．2處 C．3處 D．4處2.東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設一批精品口袋公園．如圖所示，△ABC是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得SA．∠BAC的角平分線與ACB．∠BAC的角平分線與ABC．∠ABC的角平分線與ACD．∠ABC的角平分線與BC3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點F，作DE⊥AC，垂足為E，連接AD，若∠BADA．1 B．1.5 C．2 D．2.54.如圖，AD是△ABC的角平分線，∠C=90°，CD（1）連接DP，求DP的最小值；（2）若∠B=30°，求答案解析課堂練習：1.【答案】D【解析】解：三角形中到三條邊距離相等的點是三條角平分線的交點，故選：D2.【答案】B【解析】解：如圖，過點P作PE⊥∵OP是∠AOB∴PD=∵Q是OB上任一點，∴PQ≥∴PQ≥5故選：B．3.【答案】B【解析】解：過點B作BF⊥∵C是AB的中點，AB=10∴BC=∵CD⊥AB，BF⊥DE，射線∴BC=故選：B．4.【答案】80．【解析】解：∵加油站恰好位于兩條公路m，n所夾角的平分線上，且加油站到公路m的距離是80m∴加油站到公路m和公路n的距離是相等的，即它到公路n的距離是80m故答案為：80．5.【答案】25．【解析】解：延長AD交BC于E，如下圖，∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD∴∠ABD=∠EBD在△ABD和△∠ABD∴△ABD∴AD=∴S△ABD=∴S△故答案為：25．6.【答案】①②③④．【解析】解：∵∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分線，故①正確；

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE

∴OC是∠AOB的平分線，故②正確；

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠ODP=∠OEP=90°

∵OD=OE，OP=OP

∴Rt△ODP≌Rt△OEPHL

∴∠DOP=∠理由：如圖，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥∵AD平分∠BAC，

∵∠AED+∠AFD∴∠AFD在△FMD和△END中，∴△FMD≌△END（AAS），作業(yè)布置：1.【答案】D【解析】解：∵中轉(zhuǎn)站要到三條公路的距離都相等，∴貨物中轉(zhuǎn)站必須是三條相交直線所組成的三角形的內(nèi)角或外角平分線的交點，而外角平分線有3個交點，內(nèi)角平分線有一個交點，如圖，∴貨物中轉(zhuǎn)站可以供選擇的地址有4處．故答案為：D.

2.【答案】A【解析】解：如圖：∵AD平分∠BAC，點H在AD∴點H到AB、AC的距離相等，∵BE是AC邊上的中線，∴S△ABE=∴S△∴S△∴涼亭H是∠BAC的角平分線與AC故答案為：A．

3.【答案】A【解析】解：如圖，作DH⊥BC交BC的延長線于點H，連接∴∠H∵∠BAD∴DA⊥∵BD平分∠ABC，且DA⊥BA∴HD=∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC在△EDC和△∠DEC∴△EDC∴EC=∵AC=7∴AE=