/6.2黃金分割同步基礎(chǔ)練習(xí)題一．選擇題1．一本書的寬與長之比為黃金比，書的寬為14cm，則它的長為（）A．（75+7）cm B．（21﹣75）cmC．（75?7）cm D．（75?2．如圖△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是角平分線，則△DBC的與△ABC的面積之比是（）A．5?22 B．5?23 C．3．如圖，在△ABC中，點D是線段BC的黃金分割點（DC＞BD），若△ABD的面積是25?2，則△ABCA．4 B．5+3 C．6 D．254．寬與長的比是5?12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：如圖，作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點E，F(xiàn)，連接EF，DF，作∠DFC的平分線，交AD的延長線于點H，作HG⊥BC，交BC的延長線于點A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH5．點C為線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，下列說法正確的有（）①AC=5?12AB，②AC=3?52AB，③AB：AC＝ACA．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b（b＞a）以及實數(shù)x（0＜x＜1）確定實際銷售價格c＝a+x（b﹣a），這里x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得b?acA．12 B．54 C．5+17．黃金分割數(shù)5?12是一個很奇妙的數(shù)，大量應(yīng)用于藝術(shù)、建筑和統(tǒng)計決策等方面，請你估算A．在1.1和1.2之間 B．在1.2和1.3之間 C．在1.3和1.4之間 D．在1.4和1.5之間8．如圖，點O為正五邊形ABCDE外接圓的圓心，五邊形ABCDE的對角線分別相交于點P，Q，R，M，N．若頂角等于36°的等腰三角形叫做黃金三角形，那么圖中共有（）個黃金三角形．A．5 B．10 C．15 D．209．如果一個矩形的寬（即短邊）與長（即長邊）之比是5?12，那么這個矩形稱為黃金矩形．如圖，矩形ABCD是黃金矩形，點E、F、G、H分別為線段AD、BC、AB、A．5個 B．4個 C．3個 D．2個10．如圖所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC=12AC，以點B為圓心，BC長為半徑做弧，交AB于點D，再以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AC于點A．BCAB=55C．ECAC=3+二．填空題11．已知寬與長之比為5?12的長方形稱為黃金矩形，若某長方形為黃金矩形，它的長為4，則它的寬為12．若點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），AP＝2，則AB＝．13．黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．已知一條分割線的端點A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且AC＜BC，若NP＝2cm，則BC的長為cm（結(jié)果保留根號）．14．黃金分割廣泛存在于藝術(shù)、自然、建筑等領(lǐng)域，樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割（黃金比為5?12≈0.618)．如圖，B為AC的黃金分割點（AB＞BC），AC的長為4cm，則AB的長為15．黃金分割點是指一條線段被分為兩部分，使較長部分與整體線段的比值等于較短部分與較長部分的比值的點．20世紀(jì)70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，BE＞AE．已知AB為2米，則線段BE的長為米．（結(jié)果保留根號）16．“黃金比例分割法”是啟功先生研究的一套楷書結(jié)構(gòu)法，是將正方形按照黃金分割的比例來分割，形成“黃金格”（如圖，四條與邊平行的線的交點都是黃金分割點），漢字的筆畫至少要穿過兩個黃金分割點才美觀．若正方形“黃金格”的邊長為8cm，四個黃金分割點組成的正方形的邊長為．三．解答題17．在人體軀干和身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即（下半身長m與身高l）比例越接近0.618越給人以美感，某女士身高165cm，下半身長（腳底到肚臍的高度）與身高的比值是0.60，為盡可能達(dá)到勻稱的效果，她應(yīng)該選擇約多少厘米的高跟鞋看起來更美．（結(jié)果保留整數(shù)）18．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，S1表示AE為邊長的正方形面積，S2表示以BC為長，BE為寬的矩形面積，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面積，求S3：S2的值．19．（1）如圖所示，已知點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），試用一元二次方程的求根公式驗證黃金比ACAB（2）如圖所示，在（1）的條件下，取線段AC的黃金分割點C1（AC1＞CC1），判斷點C1是否為線段AB的另一黃金分割點，并說明理由．（3）如圖所示，在（2）的條件下，再取線段AC1的黃金分割點C2（AC2＞C2C1），并且AB＝1，試用5?12的正整數(shù)次冪的形式表示線段BC，CC1，C1C（4）已知(5?12)20．如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法：第一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．第二：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM和線段BN．（1）請問圖中∠1、∠2和∠3有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．（2）在第（1）題圖中，延長BN交AD于G，過G點作GH⊥BC于點H，得出一個以DG為寬的黃金矩形GHCD（黃金矩形就是符合黃金比例的矩形，即寬與長的比值為5?12），若已知AB＝4，求21．再讀教材：寬與長的比是5?12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形．問題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號）；（2）如圖④中的黃金矩形是：．（3）請寫出圖④中的一個黃金矩形，說明理由．

參考答案一．選擇題題號12345678910答案ACDCCDBDCC二．填空題11．2512．5+113．(514．（2515．(516．(85三．解答17．解：根據(jù)已知條件可知：下半身長是165×0.6＝99（厘米），設(shè)需要穿的高跟鞋為y厘米，則根據(jù)黃金分割定義，得99+y解得：y≈8，經(jīng)檢驗y≈8是原方程的根，答：她應(yīng)該選擇大約8厘米的高跟鞋．18．解：如圖，設(shè)AB＝1，∵點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，∴AE＝GF=5∴BE＝FH＝AB﹣AE=3?∴S3：S2＝（GF?FH）：（BC?BE）＝（5?12×=5故答案為：5?119．解：（1）設(shè)AB＝1，AC＝x，則有BC＝1﹣x，∵點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），∴BCAC∴AC2＝BC?AB，∴x2＝（1﹣x）×1整理得：x2+x﹣1＝0，解得x1=?1+52，x∴AC=?1+∴ACAB（2）點C1是線段AB的另一黃金分割點，理由如下：∵點C1是線段AC的黃金分割點（AC1＞CC1），∴CC∴AC1=5?12AC＝（5∴BC1＝AB﹣AC1＝1﹣（5?12）2＝1∴BC∴點C1是線段AB的另一黃金分割點．（3）∵點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），∴BCAC∵AB＝1，∴AC=?1+BC=5?12AC＝（5∵點C1是線段AC的黃金分割點（AC1＞CC1），∴CC∴AC1=5?12AC＝（5CC1=5?12AC1＝（5∵點C2是線段AC1的黃金分割點（AC2＞C2C1），∴C1∴C2A＝（5?12）C1C2=5?12AC2＝（5∴線段BC，CC1，C1C2的長度為：（5?12）2，（5?12）3，（（4）由以上證明可得以下規(guī)律：BC＝AC1，CC1＝AC2，C1C2＝AC3，…，?nCn+1＝ACn+2（n為正整數(shù)）．CC1＝（5?12）C1C2＝（5?12）?nCn+1＝（5?12）n+3（∴(＝BC+CC1+C1C2+C2C3+…+C10C11＝BC11＝AB﹣AC11＝AB﹣C9C10＝1﹣（5?12＝1﹣[（5?12）2＝1﹣（3?52＝1﹣[（3?52）2＝1﹣（7?352＝1﹣（7?352）2×（＝1﹣（47?2152）×（＝1﹣（161﹣725）＝725?故答案為：725?20．解：（1）如圖，連接AN，由折疊可得：∠1＝∠2，AB＝NB，EF垂直平分AB，∴NA＝NB，∴AB＝NA＝NB，∴△ABN為等邊三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠1＝∠2＝30°．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝∠ABC﹣∠NBC＝90°﹣60°＝30°；∴∠1＝∠2＝∠3；（2）如圖：∵ABCD是矩形紙片，GH⊥BC，∴AB＝GH＝DC＝4，∵黃金矩形GHCD以DG為寬，GH＝4，