/第3章勾股定理訓練一、單選題1．下列各組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（

）A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，，2．下列各組數(shù)據(jù)分別為三角形的三邊長，不能組成直角三角形的是（

）．A．3、4、5 B．3、5、7 C．9、12、15 D．8、15、173．一個三級臺階如圖所示，A和B是這個臺階兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻想到點B處去吃可口的食物．若這個臺階的每一級的長、寬和高分別為8，3和2，則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程為（

）A．23 B．17 C．15 D．134．如圖，在中，，將折疊，使點B恰好落在邊上，與點重合，為折痕，則的長為（）A．3 B． C． D．15．如圖，在中，，，D是線段上的動點（不含端點B，C），則滿足線段的長為正整數(shù)的點D的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．3 D．26．下列說法中正確的是（）A．已知，，分別是直角三角形的三邊長，則必有B．直角三角形中，兩條邊的平方和等于第三邊的平方C．在中，若，邊、、的長分別是，，，則D．在中，若，，，分別是，，的對邊，則7．如圖，數(shù)軸上一點A，表示，過點A作數(shù)軸的垂線，并在垂線上截取，連結(jié)，以點O為圓心，為半徑作弧交x軸的負半軸于點D，則點D表示的數(shù)為（）A． B． C． D．8．如圖，梯子斜靠在墻面上，，，當梯子的頂端A沿方向下滑時，梯足B沿方向滑動，則x與y的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定9．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將按如圖所示方式折疊，使點A與點B重合，折痕為，則的值是（

）A． B． C． D．10．如圖，在中，，分別以、為邊作正方形．若，則正方形和正方形的面積和為（

）A．16 B．24 C．32 D．64二、填空題11．若一個直角三角形兩邊的長分別為6和8，則第三邊的長為．12．如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是．13．如圖，正方形的邊長為6，線段在邊上左右滑動，若，則的最小值為．14．如圖，在中，，，，點為上一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，點在射線上，當?shù)拇怪逼椒志€經(jīng)過一邊中點時，的長為．15．如圖，中，為邊上的一點，連接并延長，過點作，垂足為，若，，，；記的面積為，的面積為，則的值為．三、解答題16．如下圖，在四邊形中，，連接交于點．(1)若，試說明：．(2)若，，，求的面積．17．折疊如圖所示的直角三角形紙片，使點C落在上的點處，折痕為(點D在邊上)．(1)用直尺和圓規(guī)畫出折痕；(不寫作法，保留畫圖痕跡)(2)若，求折痕的長．18．臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，常在周圍幾百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿東西方向由點向點移動，已知點為一海港，且點與，兩點之間的距離，分別為，，，以臺風中心為圓心周圍以內(nèi)（包括）為受影響區(qū)域．(1)海港受臺風影響嗎？為什么？(2)若海港受臺風影響，且臺風中心移動的速度為，臺風影響海港持續(xù)的時間有多長？（若海港不受臺風影響，則忽略此問）19．推理能力

如圖，在中，．若，如圖①，根據(jù)勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如圖②、圖③所示的銳角三角形和鈍角三角形．(1)請你類比勾股定理，猜想與的關(guān)系：圖②中，______；圖③中，______．(2)說明你在（1）中猜想結(jié)論的正確性．(3)在圖②中，若，請你求出的面積．20．如圖，在中，，動點P從點C出發(fā)，按的路徑，以每秒的速度運動，設運動時間為t秒．(1)當時，求的面積．(2)t為何值時，線段是的平分線？(3)請利用備用圖2繼續(xù)探索：當t為何值時，是以為腰的等腰三角形？（直接寫出結(jié)論）《第3章勾股定理訓練2025—2026學年蘇科版（2024）數(shù)學八年級上冊》參考答案題號12345678910答案BBBACDCBCD1．B【分析】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)是滿足勾股定理且均為正整數(shù)的三個數(shù)，需逐一驗證各選項是否同時滿足這兩個條件．【詳解】A、，不滿足勾股定理，故本選項不符合題意；B、，滿足勾股定理且均為正整數(shù)，故本選項符合題意；C、，1，含小數(shù)，非正整數(shù)，故本選項不符合題意；D、，，，含分數(shù)，非正整數(shù)，故本選項不符合題意；故選：B．2．B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，求出較小兩邊平方的和，將其與最大邊的平方比較后即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、，長為3，4，5的三條邊，能組成直角三角形，選項A不符合題意；B、，長為3，5，7的三條邊，不能組成直角三角形，選項B符合題意；C、，長為9、12、15的三條邊，能組成直角三角形，選項C不符合題意；D、，長為8，15，17的三條邊，能組成直角三角形，選項D不符合題意．故選：B．3．B【分析】本題考查了平面展開最短路徑問題．用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．【詳解】解：如圖，三級臺階平面展開圖為長方形，長為，寬為8，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長，即．故選：B4．A【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)，勾股定理，解答即可．本題考查了折疊性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)折疊可得，，設，則，在中，，∴，∴，在中，由勾股定理得，解得，故選：A．5．C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確利用勾股定理計算出的最小值，然后求出的取值范圍．首先過作，當與重合時，最短，首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得，進而可得的長，利用勾股定理計算出長，然后可得的取值范圍，進而可得答案．【詳解】解：過作，，，，∵是線段上的動點（不含端點、）．，或4，∵線段長為正整數(shù)，∴可以有三條，長為4，3，4，∴點的個數(shù)共有3個，故選：C．6．D【分析】本題考查了勾股定理的運用，勾股定理的內(nèi)容：在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，在運用的時候一定要分清楚直角邊和斜邊，掌握勾股定理的運用是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理逐項求解判斷即可．【詳解】解：A、無法確定、、哪條是斜邊，故無法確定，此說法錯誤；B、直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，此說法錯誤；C、由，故是斜邊，則，此說法錯誤；D、由，可得是斜邊，故，此說法正確．故選：D．7．C【分析】本題主要考查了實數(shù)和數(shù)軸，勾股定理，正確記憶勾股定理的公式解題關(guān)鍵．先根據(jù)題意確定，再根據(jù)勾股定理求出，可得答案．【詳解】解：由題意可知，根據(jù)勾股定理，得，，因為點在x軸負半軸，所以點對應的實數(shù)為．故選：C．8．B【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．設，利用梯子下滑過程中的長度保持不變，建立a，x，y的等式，然后進行判斷即可．【詳解】解：設，由勾股定理得：，∴，化簡得：，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B．9．C【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意易得，由折疊的性質(zhì)可得，設，則，然后根據(jù)勾股定理可進行求解．【詳解】解：由題意，得，由翻折的性質(zhì)得，設，則，在直角三角形中，，即，解得，∴，∴．故選：C．10．D【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求解即可．【詳解】解：正方形的面積為：，正方形的面積為：；在中，，又∵，∴，故選：D．11．10或【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應用以及分類討論思想，解題的關(guān)鍵是分情況討論已知的兩邊是直角邊還是其中一邊為斜邊，再利用勾股定理計算第三邊的長度．分兩種情況計算：當6和8為直角邊時，第三邊為斜邊，由勾股定理得第三邊長為；當8為斜邊、6為直角邊時，第三邊為另一條直角邊，由勾股定理得第三邊長為．【詳解】解：本題可分兩種情況討論：情況一：若6和8均為直角邊，根據(jù)勾股定理，第三邊（斜邊）的長為；情況二：若8為斜邊，6為直角邊，根據(jù)勾股定理，第三邊（另一條直角邊）的長為．故第三邊的長為10或．故答案為：10或．12．25【分析】本題主要考查幾何體的展開圖及勾股定理，熟練掌握幾何體的展開圖及勾股定理是解題的關(guān)鍵．把長方體按照正面和右側(cè)進行展開，或沿長方體的右側(cè)和上面進行展開，分別計算長度進行比較即可得到答案．【詳解】由題意得：①當把長方體按照正面和右側(cè)進行展開時，如圖所示：∴，，∴在中，；則；②當沿長方體的右側(cè)和上面進行展開時，如圖所示：∴，，∴在中，；∵，∴一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是，由長方體的特征可得其他路徑必定比①②兩種更遠，故不作考慮；故答案為：25．13．14【分析】本題考查了利用軸對稱求最短路徑問題、勾股定理、平移的性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．作A關(guān)于的對稱點，將線段沿射線平移的長度，得到，連接、、、，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和平移的性質(zhì)可推出，再由兩點之間線段最短可知當、、三點共線時，取得最小值，最小值為，最后利用勾股定理得到即可解答．【詳解】解：如圖，作A關(guān)于的對稱點，連接、，則，，∵正方形的邊長為6，∴，，，∴點、、三點共線，即，∵，，∴將線段沿射線平移的長度，得到，連接、，此時，，∴，∵，，∴當、、三點共線時，取得最小值，此時，取得最小值，最小值為，在中，，，∴，∴的最小值為．故答案為：14．14．或或【分析】本題分三種情況討論，當?shù)拇怪逼椒志€分別經(jīng)過的、邊中點時，利用含角的直角三角形性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理來求解的長度．【詳解】解：∵，，，∴，，∵的垂直平分線經(jīng)過一邊中點，可分為以下三種情況：經(jīng)過的中點；經(jīng)過的中點；經(jīng)過的中點；第一種：當經(jīng)過的中點時，交于點，如圖：，∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，∴，∴，∵是的外角，∴，∵垂直平分，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，；第二種：當經(jīng)過的中點時，交于點，如圖：，∵，垂直，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∵點在上，∴，∴，∵是的外角，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，由勾股定理得：；第三種：當經(jīng)過的中點時，交于點，如圖：，同理可證：，在中，，，∴，綜上：的長為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題目綜合考查了直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、中點的性質(zhì)以及幾何計算與證明等知識點；通過分類討論，逐步推導出的可能長度．15．66【分析】此題考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面積．根據(jù)勾股定理求出，進而推出，再根據(jù)題意推出，根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，∵，，∴，，∴，∵，，∴，故答案為：66．16．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查勾股定理以及三角形面積公式，掌握這些定理和公式是解題關(guān)鍵．（1）通過勾股定理和代數(shù)變形證明等式即可；（2）過點A作，垂足為F，利用勾股定理求出、長度，再通過三角形面積公式計算的面積．【詳解】（1）解：，．，，．（2）（2）如圖，過點A作，垂足為F．，，．，，，，，．17．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了作圖—基本作圖、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由折疊的性質(zhì)可知，用直尺和圓規(guī)作出的平分線即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，由折疊的性質(zhì)可得、．設，則，再運用勾股定理列方程求得，即．最后再運用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．（2）解：在中，，∴，∵是由沿翻折得到的，∴，∴．設，則在中，，∴，即，解得：，即．在中，．18．(1)受臺風影響，理由見解析；(2)臺風影響海港持續(xù)的時間為．【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面積公式以及點到直線的距離在實際問題中的應用，解題的關(guān)鍵是通過計算海港到臺風移動路徑的最短距離判斷是否受影響，再結(jié)合勾股定理求出臺風影響的路徑長度，進而計算持續(xù)時間．（1）通過勾股定理逆定理判斷為直角三角形，利用面積法求出C到的距離，比較與的大小，確定海港是否受影響；（2）以C為圓心、為半徑作圓，交于E、F，利用勾股定理求出的長度，得到的距離，再根據(jù)速度公式計算臺風影響的持續(xù)時間．【詳解】（1）解：海港受臺風影響．理由：如圖，過點作于點，因為，，，,所以是直角三角形．,由三角形面積相等可得：，即，所以．因為以臺風中心為圓心周圍以內(nèi)(包括)為受影響區(qū)域，所以海港受臺風影響．（2）如圖，設臺風中心移動到點，處時剛好影響海港，連接，，則，所以，因，所以．因為臺風中心移動的速度為，，所以臺風影響海港持續(xù)的時間為．19．(1)，(2)見解析(3)【分析】本題考查勾股定理及應用；（1）根據(jù)題目猜想結(jié)論即可；（2）作邊上的高，垂足為，利用勾股定理解答即可；（3）設，則，利用勾股定理求出x的值，然后求出三角形的高長，再根據(jù)三角形的面積公式計算解答即可．【詳解】（1）解：圖②中，；圖③中，，故答案為：，；（2）解：如圖①，作邊上的高，垂足為．設，則在和中，由勾股定理，得，整理，得．因為，所以．如圖②，作邊上的高，垂足為．設，則在和中，由勾股定理，得，整理，得．因為，所以．（3）解：如圖①，設，則．同（2）可得，因為，所以，解得，所以，所以，所以的面積為．20．(1)(2)(3)或或6【分析】本題考查了等腰三角形的定義