高階常系數(shù)線性微分方程的解法概述目錄TOC\o"1-3"\h\u29800高階常系數(shù)線性微分方程的解法概述 131611（一）高階常系數(shù)線性齊次微分方程解法 164741.特征根是單根的情況 2301372.特征根是重根的情況 34619（二）高階常系數(shù)線性非齊次方程的解法 4283271.常數(shù)變易法解微分方程 4124902.比較系數(shù)判別法解微分方程 6236643.拉普拉斯變換法解微分方程 7（一）高階常系數(shù)線性齊次微分方程解法對于一個最高階為n階的常系數(shù)線性齊次方程.其中方程式中的y為關(guān)于x的一個不確定性函數(shù)，而該系數(shù)則為一個實常數(shù)。如果我們是所求方程的一個根，那么把這一個根直接帶入我們到所求方程式中，得,因為，因此 , 反之，如果滿足上列的恒等式(2.2)，則即為該積分方程(2.1)的一個理想積分化解。而這個式子(2.2)式子就是關(guān)于的一個最高次數(shù)為n次的一個代數(shù)特征方程式，那么我們把這個新的代數(shù)程式就稱作微分方程(2.1)式子中的一個特征方程，這個代數(shù)方程式的根也就被我們稱作特征根。下面就求解特點和方法根據(jù)情況來分別討論一下對上述方程進(jìn)行求解。1.特征根是單根的情況我們把稱為方程 .的特征方程，所得的方程的根叫做特征根。在這里把叫做待定系數(shù)。定理：若股票特征方程由有n個互不相同的根，則 ,是方程 ,的一個基本解組?？紤]到這個特征方程式很有可能會具有復(fù)根而且其系數(shù)都是實的，那么這個復(fù)根必然會是共軛并且以成對代數(shù)的形式存在。即此時在兩個互不同的特征根中都會有復(fù)數(shù)。比如(a,b為實數(shù)亦是的根)。對應(yīng)于兩個特征根的求解為實際變量的復(fù)值函數(shù)。 , .例題1：求方程的通解解：計算特征方程，得出它們的根是，得出的根中有兩個是實數(shù)根，有兩個是復(fù)數(shù)根，但不管實數(shù)根或復(fù)數(shù)根都是單根，所以方程的通解是.這里的都是常數(shù)。2.特征根是重根的情況如果方程具有不同的特征根，他們的重數(shù)分別是并且，那么他們相對應(yīng)方程的的特解是 ,并且這個特解構(gòu)成方程在區(qū)間上的一個基本解組。例題2：解初值問題 .解：計算特征方程，得到這個特征方程的特征根是，可以得到方程的通解是 又因為 , , ,根據(jù)初始條件得 ,再解方程組，得 ,于是初值問題得解是 .（二）高階常系數(shù)線性非齊次方程的解法對于最高階為n階的常系數(shù)線性非齊次微分方程 . 該通解就相當(dāng)于齊次微分方程中的一個通解再加上另外與其相應(yīng)的非齊次微分方程中的一個特解。在上一節(jié)中我們已經(jīng)知道了怎么求齊次微分方程的通解，下面我們主要一起來為大家介紹一下關(guān)于對非齊次微分方程進(jìn)行特解求解的方法。1.常數(shù)變易法解微分方程所謂的常數(shù)變易法實際上是把方程中的常數(shù)進(jìn)行變量變換的方法，所以在這里我們簡單的介紹一下這種方法在最高階為n階的方程中的應(yīng)用。我們設(shè)方程(2.3)的特解是： .其中是常數(shù)。并且常數(shù)代入到原方程(2.3)中，然后給方程加上n-1個條件，就可以得到方程組 , 解方程組(2.5)就會得到關(guān)于的表達(dá)式，把它們分別進(jìn)行積分進(jìn)而得到,再把它們代入到(2.4)式中，繼而求得方程(2.3)的一個特解。然而由于這種方法對的形式是沒有限制的，所以相應(yīng)的使用的范圍會比較廣，這對于求解的工作量來說會大一些。例題3：求解方程 .的通解，cost，sint是它所對應(yīng)的齊次線性方程的基本解組。解：運用常數(shù)變易法設(shè) ,并且把它代入到方程里，就可以得到關(guān)于的兩個方程 ,和 解得 據(jù)此得到 所以原方程的通解是 其中是常數(shù)。2.比較系數(shù)判別法解微分方程對于常系數(shù)非線性微分方程(2)3)，通常認(rèn)為需要采用的一種方法是也就是比較系數(shù)法，它主要指的就是把所有的需要求解微分方程的問題直接轉(zhuǎn)化求解為代數(shù)問題，在自由項中也就是 （其中分別是m次，n次，s次的多項式，都是實數(shù)）就可以確定特解的形式，即分別令 是一個待定m次的多項式，k是方程的特征方程有根時的次數(shù)，或者 .(其中為兩個相互待定的m次多項式，k為一個方程中所含有的根的次數(shù))然后把它們代入到一個方程(2.3)中，再對其進(jìn)行相應(yīng)的比較等式中左右兩邊相同次冪之間的系數(shù)計算來判斷待定的系數(shù)為多項式。再依靠線性微分方程解的結(jié)構(gòu)就可以得到求解方程的一般通解。例題4：求方程的通解。解：特征方程,有三重根，所對應(yīng)的齊次方程通解是 ,其中方程有的特解，將它帶入方程中的 ,在比較兩邊系數(shù)求得 ,進(jìn)而 ,所以所求的方程的通解是 .其中是常數(shù)。3.拉普拉斯變換法解微分方程根據(jù)積分,所定義的函數(shù)是一個可以確定的存在復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)為s的一個函數(shù)，叫做函數(shù)的拉普拉斯變換，其中在對于上述兩個新的函數(shù)都有一個新的定義，并且它們滿足其上下列不等式 ,在這里是某兩個正常數(shù)。我們把稱為原函數(shù)，而把稱為象函數(shù)。設(shè)所給定的微分方程 , 和初始條件 其中是常數(shù)，而是連續(xù)的并且滿足原函數(shù)的條件?？梢宰C明，假如是方程(2.1)的任意解，則以及它的各階的導(dǎo)數(shù)都是原函數(shù)。記 ,那么，根據(jù)原函數(shù)的微分性質(zhì)就有 于是，再對方程(2.6)的兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并且運用線性性質(zhì)就可以得到 ,即 ,或者,其中都是已知的多項式，由此得到 這是滿足給定方程（2.6）的初始條件的解x（t）的象函數(shù)。x（t）可以直接查表，或者根據(jù)反變換