廣西欽州市第四中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓＝1的一個焦點為F，過原點O作直線（不經(jīng)過焦點F）與橢圓交于A，B兩點，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A. B.C. D.2．若直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴廣交會的四個不同地方服務(wù)，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.4．下列說法或運算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個三角形至少有兩個銳角”時需設(shè)“一個三角形沒有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切5．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機(jī)的時間進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③6．二次方程的兩根為2，，那么關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.7．（一）單項選擇函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（）A.0 B.C.1 D.e8．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.309．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面10．直線過橢圓內(nèi)一點，若點為弦的中點，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.11．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．若兩條直線與互相垂直，則的值為（）A.4 B.-4C.1 D.-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，若，是方程兩根，則________.14．已知是等差數(shù)列，，，設(shè)，數(shù)列前n項的和為，則______15．若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)（），則|z|=_____.16．已知正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段BC，AD的中點，點G是線段CD上靠近D的四等分點，則直線EF與AG所成角的余弦值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值18．（12分）已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點，點P在橢圓C上，若的面積為，求點P的坐標(biāo)19．（12分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在棱，上，且，（1）證明：點在平面BEF內(nèi)；（2）若，，，求直線與平面BEF所成角的正弦值20．（12分）已知圓關(guān)于直線對稱，且圓心C在軸上.（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于A、B兩點，若為等腰直角三角形，求直線的方程.21．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經(jīng)過定點22．（10分）已知橢圓：經(jīng)過點，設(shè)右焦點F，橢圓上存在點Q，使QF垂直于x軸且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于D，G兩點.是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點E（-1，0）?若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分情況討論當(dāng)直線AB的斜率不存在時，可求面積，檢驗是否滿足條件，當(dāng)直線AB的斜率存在時，可設(shè)直線AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝0，此時AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設(shè)直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A2、D【解析】由題可知，曲線表示一個半圓，結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】由得，畫出圖像如圖：當(dāng)直線與半圓O相切時，直線與半圓O有一個公共點，此時，，所以，由圖可知，此時，所以，當(dāng)直線如圖過點A、B時，直線與半圓O剛好有兩個公共點，此時，由圖可知，當(dāng)直線介于與之間時，直線與曲線有兩個公共點，所以.故選：D.3、B【解析】先按要求分為四組，再四個不同地方，四個組進(jìn)行全排列.【詳解】兩個組各2人，兩個組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個不同地方服務(wù)，則不同的分配方案有種.故選：B4、D【解析】對于A：可以解決；對于B:“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”；對于C：全稱否定必須是全部否定；對于D：需要觀察出所給直線是過定點的.【詳解】A：，故錯誤；B：“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”，所以用反證法時應(yīng)假設(shè)只有一個銳角和沒有銳角兩種情況，故錯誤；C：的否定形式是，故錯誤；D：直線是過定點（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點在圓內(nèi)，故正確；故選：D.5、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.6、B【解析】根據(jù)，確定二次函數(shù)的圖象開口方向，再由二次方程的兩根為2，，寫出不等式的解集.【詳解】因為二次方程的兩根為2，，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以不等式的解集為或，故選：B7、B【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選；B8、C【解析】模擬運行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C9、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當(dāng)所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當(dāng)三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標(biāo)系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D10、A【解析】設(shè)點與的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示與，再結(jié)合兩點在橢圓上，可得的值.【詳解】設(shè)點與，則，，所以，，又點與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.11、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.12、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件知：，即可求的值.【詳解】由兩直線垂直，可知：，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】由題意求得，，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意知，，是方程的兩根，可得，，又由，，所以，，可得，又由，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、-3033【解析】先求得，進(jìn)而得到，再利用并項法求解.【詳解】解：因為是等差數(shù)列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：-303315、【解析】利用復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數(shù)的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.16、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長為，即可求出點的坐標(biāo)，從而求出異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長為，則，所以，所以，所以，，，，，設(shè)，因為，所以，所以，所以，，設(shè)直線與所成角為，則故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在平面中構(gòu)造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個平面的法向量，利用向量法即可求得兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，如下所示：因為為正方形，為中點，故可得//；在△中，因為分別為的中點，故可得//；故可得//，則四邊形為平行四邊形，即//，又面面，故//面.【小問2詳解】因為面面，故可得，又底面為正方形，故可得，則兩兩垂直；故以為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：故可得，設(shè)平面的法向量為，又則，即，不妨取，則，則，取面的法向量為，故.設(shè)平面的夾角為，故可得，即平面MND與平面PAD的夾角的余弦值為.18、（1）（2）或或或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)三角形的面積列方程，化簡求得點的坐標(biāo).【小問1詳解】設(shè)橢圓C的焦距為，由題意有，得，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)點P的坐標(biāo)為，由的面積為，有，得，有，得，故點P的坐標(biāo)為或或或19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)、、、AC與BD的交點為O，由直四棱柱的性質(zhì)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定、的坐標(biāo)可得，即可證結(jié)論.（2）由題設(shè)，求出、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面BEF的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面BEF所成角的正弦值【小問1詳解】由題意，，設(shè)，，，設(shè)AC與BD的交點為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以BD，AC所在直線為x，y軸建立如下空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，得，即，因此點在平面BEF內(nèi)【小問2詳解】由（1）及題設(shè)，，，，，所以，，設(shè)為平面BEF的法向量，則，令，即設(shè)直線與平面BEF所成角為，則20、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意得到等量關(guān)系，求出，，進(jìn)而求出圓的方程；（2）結(jié)合第一問求出的圓心和半徑，及題干條件得到圓心到直線的距離為，列出方程，求出的值，進(jìn)而得到直線方程【小問1詳解】由題意得：直線過圓心，即，且，解得：，，所以圓C的方程為；【小問2詳解】的圓心為，半徑為2，由題意得：，圓心到直線的距離為，即，解得：或，所以直線的方程為：或.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達(dá)定理，利用N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關(guān)系，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得的值，從而得直線BP所過定點【小問1詳解】因為，所以，動點M的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個交點，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方