初四上月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題）1．13A．36 B．33 C．162．如圖，矩形ABCD的對角線交于點O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDC＝∠α B．BC＝m?tanα C．AO=m2sinα D．3．如圖是某個幾何體的展開圖，則把該幾何體平放在平面上時，其俯視圖為（）A．B．C．D．4．以下說法合理的是（）A．小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是23B．某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票一定有5張中獎 C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是12D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的概率還是15．如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點G．若∠COD＝126°，則∠A．99° B．110° C．108° D．117°第5題圖第6題圖第7題圖6．《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB＝1尺（1尺＝10寸），則該圓材的直徑為（）A．13 B．24 C．26 D．287．如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．55°8．將拋物線y＝x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+3 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣39．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若AB與CD所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（）A．π B．2π C．32π?2 D．210．呼氣式酒精測試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測駕駛員是否酒后駕車．酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻（圖1中的R1），R1的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖2），血液酒精濃度M與呼氣酒精濃度K的關(guān)系見表．下列說法不正確的是（）信息窗M＝2200×K×10﹣3mg/100ml（M為血液酒精濃度，K為呼氣酒精濃度）非酒駕（M＜20mg/100ml）酒駕（20mg/100ml≤M≤80mg/100ml）醉駕（M＞80mg/100ml）A．呼氣酒精濃度K越大，R1的阻值越小 B．當(dāng)K＝0時，R1的阻值為100 C．當(dāng)K＝10時，該駕駛員為非酒駕狀態(tài) D．當(dāng)R1＝20時，該駕駛員為醉駕狀態(tài)二．填空題（共5小題，每題4分）11．已知點A（2，y1），B（6，y2）在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上，如果y1＞y2，那么k＝（請寫出一個符合條件的12．如圖，已知反比例函數(shù)y=5x和y=kx(k＞5)在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，與兩個反比例函數(shù)圖象分別交于點A、B，若S△AOB＝3，則k13．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2+c＞mx+n的解集是．14．如圖，用長為10米的籬笆，一面靠墻（墻的長度超過10米），圍成一個矩形花圃，設(shè)矩形垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為S平方米，則S關(guān)于x的函數(shù)解析式是（不寫定義域）．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B．當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為．（結(jié)果保留三．解答題（共8小題）16．(1)（2+1）0+（﹣1）2025?4+3tan45°；17．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=k2x的圖象分別交于C，D兩點，點C（2，4），點B是線段（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y=k（2）求△COD的面積；（3）直接寫出當(dāng)x取什么值時，k1x+b＜k

18．為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍(lán)，水更清，蓮花湖管委會定期利用無人機指引工作人員清理湖中垃圾，已知無人機懸停在湖面上的C處，工作人員所乘小船在A處測得無人機的仰角為30°，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行30米到達(dá)B處，測得無人機的仰角為45°，求無人機離湖面的高度．（結(jié)果不取近似值）19．為弘揚達(dá)州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當(dāng)售價為40元時，每天可以售出60件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．（1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是件；（2）為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應(yīng)該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；（3）文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當(dāng)售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？20．如圖，△ABC的頂點A，C在⊙O上，圓心O在邊AB上，∠ACB＝120°，BC與⊙O相切于點C，連接OC．（1）求∠ACO的度數(shù)；（2）求證：AC＝BC．

21．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點O是邊AB上一點，以點O為圓心、OB長為半徑作圓，⊙O恰好經(jīng)過點D，交AB于點E．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）若點E為AO的中點，AD＝3，求陰影部分的面積；（3）連接DE，若sin∠DBA=55，求cos22．綜合與實踐【問題背景】排隊是生活中常見的場景．如圖，某數(shù)學(xué)小組針對某次演出，研究了排隊人數(shù)與安檢時間，安排通道數(shù)之間的關(guān)系．【研究條件】條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數(shù)＝現(xiàn)場總?cè)藬?shù)﹣已入場人數(shù)；條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人．【模型構(gòu)建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場總?cè)藬?shù)y與安檢時間x之間滿足關(guān)系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．結(jié)合上述信息，請完成下述問題：（1）當(dāng)開通3條安檢通道時，安檢時間x分鐘時，已入場人數(shù)為，排隊人數(shù)w與安檢時間x的函數(shù)關(guān)系式為．【模型應(yīng)用】（2）在（1）的條件下，排隊人數(shù)在第幾分鐘達(dá)到最大值，最大人數(shù)為多少？（3）已知該演出主辦方要求：①排隊人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)（包含10分鐘）減少；②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支．若同時滿足以上兩個要求，可開設(shè)幾條安檢通道，請說明理由？【總結(jié)反思】函數(shù)可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結(jié)合更多變量（如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等）進行更深入的分析，以提高模型的準(zhǔn)確性和實用性．

23．如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，連接PB交⊙O于點C，連接AC，則∠PAC＝∠B．理由如下：∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB＝90°∴∠CAB+∠B＝90°∵PA與⊙O相切于點A∴PA⊥AB∴∠PAB＝90°∴∠CAB+∠PAC＝90°∴∠PAC＝∠B（1）小明根據(jù)以上結(jié)論，自主探究發(fā)現(xiàn)：如圖甲，當(dāng)AB是非直徑的弦，而其他條件不變時，∠PAC＝∠B仍然成立，請說明理由；（2）小明進一步探究發(fā)現(xiàn)：如圖乙，線段PA與線段PC，PB存在如下關(guān)系：PA2＝PC?PB．請你替小明證一證；（3）拓展應(yīng)用：如圖丙，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延長線與過點A的切線相交于P，若⊙O的半徑為1，請你利用小明的探究結(jié)論求PC的長．

【2025.12.24】初四上月考數(shù)學(xué)試卷-臨淄雪宮中學(xué)一．選擇題（共10小題）1．13A．36 B．33 C．16【解答】解：13=1=3故選：A．2．如圖，矩形ABCD的對角線交于點O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDC＝∠α B．BC＝m?tanα C．AO=m2sinα D．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本選項不符合題意；B、在Rt△ABC中，tanα=BC即BC＝m?tanα，故本選項不符合題意；C、在Rt△ABC中，AC=mcosα，即AOD、∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，cosα=DC所以BD=m故選：C．3．如圖是某個幾何體的展開圖，則把該幾何體平放在平面上時，其俯視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：因為幾何體的展開圖為一個扇形和一個圓形，故這個幾何體是圓錐，故選：B．4．以下說法合理的是（）A．小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒灒l(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是23B．某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票一定有5張中獎 C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是12D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的概率還是1【解答】解：A、小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是23是錯誤的，3次試驗不能總結(jié)出概率，故選項AB、某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票可能有5張中獎，但不一定有5張中獎，故選項B錯誤，不符合題意；C、某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是12不正確，中靶與不中靶不是等可能事件，故選項CD、小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的可能性是12，故選項D故選：D．5．如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點G．若∠COD＝126°，則∠A．99° B．110° C．108° D．117°【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵AB=∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC=12∠COD∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．故選：C．6．《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB＝1尺（1尺＝10寸），則該圓材的直徑為（）A．13 B．24 C．26 D．28【解答】解：設(shè)圓心為O，過O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，連接OA，如圖所示：∴AC=12AB設(shè)⊙O的半徑為r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，則有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直徑為26寸，故選：C．7．如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．55°【解答】解：∵PA、PB是圓O的切線，∴PA＝PB，∵AC是⊙O的直徑，∠BAC＝35°，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，故選：C．8．將拋物線y＝x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+3 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3【解答】解：拋物線y＝x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝（x+2）2﹣3，故選：A．9．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若AB與CD所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（）A．π B．2π C．32π?2 D．2【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，∴∠AOC＝∠ACO＝45°，同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，由勾股定理得：OC=22+∴陰影部分的面積S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）＝[45π×(22)2＝π?12=3π故選：C．10．呼氣式酒精測試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測駕駛員是否酒后駕車．酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻（圖1中的R1），R1的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖2），血液酒精濃度M與呼氣酒精濃度K的關(guān)系見表．下列說法不正確的是（）信息窗M＝2200×K×10﹣3mg/100ml（M為血液酒精濃度，K為呼氣酒精濃度）非酒駕（M＜20mg/100ml）酒駕（20mg/100ml≤M≤80mg/100ml）醉駕（M＞80mg/100ml）A．呼氣酒精濃度K越大，R1的阻值越小 B．當(dāng)K＝0時，R1的阻值為100 C．當(dāng)K＝10時，該駕駛員為非酒駕狀態(tài) D．當(dāng)R1＝20時，該駕駛員為醉駕狀態(tài)【解答】解：A、呼氣酒精濃度K越大，R1的阻值越小，故A正確，不符合題意；B、當(dāng)K＝0時，R1的阻值為100，故B正確，不符合題意；C、當(dāng)K＝10時，M＝2200×10×10﹣3＝22mg/100mL，∴當(dāng)K＝10時，該駕駛員為酒駕狀態(tài)，故C不正確，符合題意；D、當(dāng)R1＝20時，K＝40，則M＝2200×40×10﹣3＝88mg/100mL，∴該駕駛員為醉駕狀態(tài)，故D正確，不符合題意；故選：C．二．填空題（共5小題）11．已知點A（2，y1），B（6，y2）在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上，如果y1＞y2，那么k＝6（答案不唯一）（請寫出一個符合條件的【解答】解：∵點A（2，y1），B（6，y2）且y1＞y2，∴反比例函數(shù)的增減性是在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴k＞0，不妨令k＝6，故答案為：6（答案不唯一）．12．如圖，已知反比例函數(shù)y=5x和y=kx(k＞5)在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，與兩個反比例函數(shù)圖象分別交于點A、B，若S△AOB【解答】解：設(shè)AB與y軸交于點C，如圖所示：∵點A在反比例函數(shù)y=5∴設(shè)點A的坐標(biāo)為(a，5∴AC＝a，OC=5∵AB∥x軸，∴點B的縱坐標(biāo)為5a∵點B在反比例函數(shù)y＝k/x（k＞5）的圖象上，∴對于y=kx（k＞5），當(dāng)y=5∴x=ak∴點B的坐標(biāo)為(ak∴BC=ak∴AB＝BC﹣AC=ak∴S△AOB=12AB?∴12解得：k＝11．故答案為：11．13．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3．【解答】解：∵點A，B橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，∴x＜﹣1或x＞3時，拋物線在直線上方，∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案為：x＜﹣1或x＞3．14．如圖，用長為10米的籬笆，一面靠墻（墻的長度超過10米），圍成一個矩形花圃，設(shè)矩形垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為S平方米，則S關(guān)于x的函數(shù)解析式是S＝﹣2x2+10x（不寫定義域）．【解答】解：設(shè)平行于墻的一邊為（10﹣2x）米，則垂直于墻的一邊為x米，根據(jù)題意得：S＝x（10﹣2x）＝﹣2x2+10x，故答案為：S＝﹣2x2+10x15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B．當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為π3【解答】解：當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，∴AC⊥x軸，BD⊥x軸，∵半徑為1，∴AC＝BD＝1，∴A點的縱坐標(biāo)為1，把y＝1代入y=3x，求得x∴A（3，1），∴OC=3，AC∴tan∠OAC=OC∴∠OAC＝60°，∴第一象限中陰影的面積S1=60π×同理，第一象限中陰影的面積S2=π∴S陰影=π故答案為：π3三．解答題（共8小題）16．(1)（2+1）0+（﹣1）2025?(2)?【解答】解：(1)（2+1）0+（﹣1）2025?＝1﹣1﹣2+3×1＝1．(2)＝4?3+2?＝317．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=k2x的圖象分別交于C，D兩點，點C（2，4），點B（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y=k（2）求△COD的面積；（3）直接寫出當(dāng)x取什么值時，k1x+b＜k【解答】解：（1）∵點C（2，4）在反比例函數(shù)y=k∴k2＝2×4＝8，∴y2=8如圖，作CE⊥x軸于E，∵C（2，4），點B是線段AC的中點，∴B（0，2），∵B、C在y1＝k1x+b的圖象上，∴2k解得k1＝1，b＝2，∴一次函數(shù)的解析式為y1＝x+2；（2）由y=x+2y=解得x=2y=4或x=?4∴D（﹣4，﹣2），∴S△COD＝S△BOC+S△BOD=12×（3）由圖可得，當(dāng)0＜x＜2或x＜﹣4時，k1x+b＜k18．為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍(lán)，水更清，蓮花湖管委會定期利用無人機指引工作人員清理湖中垃圾，已知無人機懸停在湖面上的C處，工作人員所乘小船在A處測得無人機的仰角為30°，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行30米到達(dá)B處，測得無人機的仰角為45°，求無人機離湖面的高度．（結(jié)果不取近似值）【解答】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BD＝x米，∵AB＝x米，∴AD＝AB+BD＝（x+30）米，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD?tan30°=33（在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD?tan45°＝x（米），∴x=33（解得：x＝153+∴CD＝（153+∴無人機離湖面的高度為（153+19．為弘揚達(dá)州地方文化，讓更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文創(chuàng)產(chǎn)品．已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當(dāng)售價為40元時，每天可以售出60件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可以多售出10件．（1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是（60+10x）件；（2）為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應(yīng)該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；（3）文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利潤為W元，當(dāng)售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？【解答】解：（1）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是（60+10x）件，故答案為：（60+10x）；（2）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)題意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630，整理可得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，由于要讓利于游客，x＝1舍去，∴該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元；（3）設(shè)該款巴小虎吉祥物降價x元，則W＝（40﹣30﹣x）（60+10x）＝（10﹣x）（60+10x）＝﹣10x2+40x+600＝﹣10（x﹣2）2+640，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝2時，W取最大值為640元，此時銷售價為38元，答：售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元．20．如圖，△ABC的頂點A，C在⊙O上，圓心O在邊AB上，∠ACB＝120°，BC與⊙O相切于點C，連接OC．（1）求∠ACO的度數(shù)；（2）求證：AC＝BC．【解答】（1）解：∵BC與⊙O相切于點C，∴OC⊥CB，∴∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°；（2）證明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC．21．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點O是邊AB上一點，以點O為圓心、OB長為半徑作圓，⊙O恰好經(jīng)過點D，交AB于點E．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）若點E為AO的中點，AD＝3，求陰影部分的面積；（3）連接DE，若sin∠DBA=55，求cos【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB是⊙O的半徑，⊙O恰好經(jīng)過點D，交AB于點E，∴OE＝OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴OD⊥AC，又∵OD是⊙O半徑，∴直線AC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，∴OD＝OE＝OB＝R，∵點E是AO的中點，∴AE＝OE＝R，∴AO＝2R，由（1）可知：OD⊥AC，∴在Rt△AOD中，sinA=OD∴∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∵AD＝3，∴tanA=OD∴OD＝AD?tanA＝3×tan30°=3∴S△AOD=12AD?OD=12×3×3∴陰影部分的面積為：S△AOD﹣S扇形EOD=3（3）∵BE是⊙O直徑，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE中，sin∠DBA=DE設(shè)DE=5a，BE＝5由勾股定理得：BD=B∴OD=12BE＝2.5∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDE∽△BCD，∴DECD∴5a∴CD＝2a，BC＝4a，∵由（1）可知：OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴ADAC∴ADAD+2a∴AD=10a在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=A∴cosA=AD22．綜合與實踐【問題背景】排隊是生活中常見的場景．如圖，某數(shù)學(xué)小組針對某次演出，研究了排隊人數(shù)與安檢時間，安排通道數(shù)之間的關(guān)系．【研究條件】條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數(shù)＝現(xiàn)場總?cè)藬?shù)﹣已入場人數(shù)；條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人．【模型構(gòu)建】若該演出前30分鐘開始進行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場總?cè)藬?shù)y與安檢時間x之間滿足關(guān)系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．結(jié)合上述信息，請完成下述問題：（1）當(dāng)開通3條安檢通道時，安檢時間x分鐘時，已入場人數(shù)為18x，排隊人數(shù)w與安檢時間x的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣x2+42x+100．【模型應(yīng)用】（2）在（1）的條件下，排隊人數(shù)在第幾分鐘達(dá)到最大值，最大人數(shù)為多少？（3）已知該演出主辦方要求：①排隊人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)（包含10分鐘）減少；②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支．若同時滿足以上兩個要求，可開設(shè)幾條安檢通道，請說明理由？【總結(jié)反思】函數(shù)可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結(jié)合更多變量（如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等）進行更深入的分析，以提高模型的準(zhǔn)確性和實用性．【解答】解：（1）若開設(shè)3條安檢通道，安檢時間為x分鐘，則已入場人數(shù)為（用x表示）18x，若排隊人數(shù)為w，則w與x的函數(shù)表達(dá)式為w＝y(tǒng)﹣18x＝﹣x2+42x+100；故答案為：18x，w＝﹣x2+42x+100；（2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541，∴當(dāng)x＝21時，Wmax＝541；答：排隊人數(shù)在第21分鐘達(dá)到最大值，最大人數(shù)為541人；（3