2025-2026學(xué)年上海市民辦上寶中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）在△中，，如果，，那么的長為（）A． B．4 C．5 D．2．（4分）如果將一個(gè)銳角△的三邊的長都擴(kuò)大為原來的5倍，那么銳角的正切值（）A．沒有變化 B．不能確定 C．?dāng)U大為原來的5倍 D．縮小為原來的3．（4分）玻璃瓶中裝入不同量的水，敲擊時(shí)能發(fā)出不同的音符．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)液面高度與瓶高之比為黃金比（約等于時(shí)（如圖），可以敲擊出音符“”的聲音．若，且敲擊時(shí)發(fā)出音符“”的聲音，則液面高度約為（）A． B． C． D．4．（4分）下列命題中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（）（1）如果與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓；（4）同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等．A．4 B．3 C．2 D．15．（4分）已知二次函數(shù)（其中、、為常數(shù)，且的自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值如表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列判斷中不正確的是（）01230A．函數(shù)圖象開口向上 B．對(duì)稱軸是直線 C．（4） D．6．（4分）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸分別交于、兩點(diǎn)，將該拋物線分別平移后得到拋物線，，其中的頂點(diǎn)為點(diǎn)，的頂點(diǎn)為點(diǎn)，則這三條拋物線所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為A．8 B．16 C．32 D．無法計(jì)算二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比是，那么它們的面積比是．8．（4分）如果一段斜坡的水平寬度為30米，坡度，那么這段斜坡的鉛垂高度為．9．（4分）若正邊形的中心角為，邊長為10．那么它的邊心距為（用含的代數(shù)式表示）．10．（4分）將拋物線向左平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式是．11．（4分）如圖，是高為60米的某一建筑，在水塘的對(duì)面有一段以為坡面的斜坡，小明在點(diǎn)觀察點(diǎn)的俯角為，在點(diǎn)觀察點(diǎn)的俯角為，若坡面的坡度為，則的長為．12．（4分）如圖，分別在三角形紙板的頂點(diǎn)，處系一根線，把該三角形紙片懸掛起來，在紙板上分別畫出懸線的延長線和，相交于點(diǎn)．，，．則的長度是．13．（4分）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)在軸上，則的值為．14．（4分）在△中，，，，以為圓心、為半徑畫，使與線段有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是．15．（4分）等腰三角形的底邊長24，它內(nèi)接于半徑為13的中，腰長為．16．（4分）已知，與的半徑分別為和，兩圓相交于、兩點(diǎn)，且，則的長度為．17．（4分）如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的面積都為1，經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)的一條直線把網(wǎng)格圖分成了兩個(gè)部分，其中△的面積為3，則的值為．18．（4分）如圖，矩形中，，點(diǎn)在邊上，，聯(lián)結(jié)，將△沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，分別交邊于點(diǎn)、，如果，則的長為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且．設(shè)，．（1）用，表示向量；（2）如果點(diǎn)是△的重心，那么向量（用，表示），并在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如圖，已知△中，，，，過點(diǎn)作，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）求的長．（2）以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．22．（10分）【實(shí)踐情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課上，王老師發(fā)給每個(gè)小組一塊表面平整的矩形木板、一個(gè)內(nèi)角為的直角三角板（說明：僅能作、、的角）和一把無刻度的直尺（說明：僅能作直線）、四支木工筆、小刀、橡皮、手工鋸子．【實(shí)踐任務(wù)】僅利用提供的工具將木板三等分，使原木板的寬作為等分后木板的一邊．對(duì)核心任務(wù)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象：如圖①，已知矩形，利用含的直角三角板和無刻度直尺，在上確定點(diǎn)，使得．下面是各小組展示完成實(shí)踐任務(wù)的操作步驟：組：第一步：如圖②，分別以點(diǎn)、為頂點(diǎn)，、為邊作的角與交于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長交于點(diǎn)；第二步：如圖③，擦除線段，，，，點(diǎn)，，，僅保留，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長交于點(diǎn)．組：第一步，如圖④，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，為邊作的角交于點(diǎn)；第二步：【書面任務(wù)】（1）在圖②中，證明：為的中點(diǎn)；（2）在圖③中，證明：；（3）組某同學(xué)計(jì)劃先在上確定點(diǎn)，使，然后再確定點(diǎn)，使，請(qǐng)你結(jié)合該同學(xué)的操作思路，在圖④上利用含直角三角板和無刻度直尺作出滿足條件的點(diǎn)，并說明理由．23．（12分）如圖所示，正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．（1）證明：；（2）證明：正方形的邊長是與的比例中項(xiàng)．24．（12分）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）當(dāng)點(diǎn)位于直線下方時(shí)，求點(diǎn)到直線距離的最大值．（3）將上述拋物線沿著軸翻折，得到的新拋物線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)．25．（14分）（1）如圖1，正方形的邊長為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，愛思考的小王同學(xué)做了這樣的輔助線，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，請(qǐng)沿著小王同學(xué)的思路思考下去，則的值為；（2）如圖2，菱形的邊長為6，，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，若，求的值；（3）如圖3，在四邊形中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，，求的長．

參考答案一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）在△中，，如果，，那么的長為（）A． B．4 C．5 D．解：在△中，，，則，即，解得，，故選：．2．（4分）如果將一個(gè)銳角△的三邊的長都擴(kuò)大為原來的5倍，那么銳角的正切值（）A．沒有變化 B．不能確定 C．?dāng)U大為原來的5倍 D．縮小為原來的解：由題知，將一個(gè)銳角△的三邊的長都擴(kuò)大為原來的5倍，所得新三角形與原三角形相似，所以銳角的大小沒有改變，所以銳角的正切值沒有變化．故選：．3．（4分）玻璃瓶中裝入不同量的水，敲擊時(shí)能發(fā)出不同的音符．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)液面高度與瓶高之比為黃金比（約等于時(shí)（如圖），可以敲擊出音符“”的聲音．若，且敲擊時(shí)發(fā)出音符“”的聲音，則液面高度約為（）A． B． C． D．解：由題知，因?yàn)橐好娓叨扰c瓶高之比為黃金比，且，所以．故選：．4．（4分）下列命題中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（）（1）如果與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓；（4）同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等．A．4 B．3 C．2 D．1解：（1）如果與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，正確，符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；（3）經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；（4）同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤，不符合題意．正確的有2個(gè)，故選：．5．（4分）已知二次函數(shù)（其中、、為常數(shù)，且的自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值如表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列判斷中不正確的是（）01230A．函數(shù)圖象開口向上 B．對(duì)稱軸是直線 C．（4） D．解：觀察表格可知（1）（3），故對(duì)稱軸為直線，故選項(xiàng)正確；，故選項(xiàng)不正確；觀察對(duì)稱軸左邊數(shù)據(jù)，自變量從0到2逐漸增大，函數(shù)值從0到逐漸減小，故在對(duì)稱軸左邊呈“左降”趨勢(shì)，故拋物線開口向上，選項(xiàng)正確；，根據(jù)“左降”變化趨勢(shì)，，故選項(xiàng)正確；故選：．6．（4分）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸分別交于、兩點(diǎn)，將該拋物線分別平移后得到拋物線，，其中的頂點(diǎn)為點(diǎn)，的頂點(diǎn)為點(diǎn)，則這三條拋物線所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為A．8 B．16 C．32 D．無法計(jì)算解：，，，則．又當(dāng)時(shí)，，則，故．拋物線是由拋物線向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度得到的，拋物線是由拋物線向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度得到的，．故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比是，那么它們的面積比是．解：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比是，它們面積的比是相似比的平方，它們的面積比是，故答案為：．8．（4分）如果一段斜坡的水平寬度為30米，坡度，那么這段斜坡的鉛垂高度為10米．解：設(shè)這段斜坡的鉛垂高度為米，斜坡的坡度，水平寬度為30米，，，則這段斜坡的鉛垂高度為10米，故答案為：10米．9．（4分）若正邊形的中心角為，邊長為10．那么它的邊心距為（用含的代數(shù)式表示）．解：如圖，由題意得，，，，，，，在△中，，，，即正邊形的中心角為，邊長為10．那么它的邊心距為，故答案為：．10．（4分）將拋物線向左平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式是．解：，將拋物線向左平移2個(gè)單位則平移后的拋物線解析式為：．故答案為：．11．（4分）如圖，是高為60米的某一建筑，在水塘的對(duì)面有一段以為坡面的斜坡，小明在點(diǎn)觀察點(diǎn)的俯角為，在點(diǎn)觀察點(diǎn)的俯角為，若坡面的坡度為，則的長為米．解：延長，交于，過作于，由題意得，，，，米，米，（米，米，，，坡面的坡度為，，，米，米．故答案為：米．12．（4分）如圖，分別在三角形紙板的頂點(diǎn)，處系一根線，把該三角形紙片懸掛起來，在紙板上分別畫出懸線的延長線和，相交于點(diǎn)．，，．則的長度是．解：如圖所示，連接并延長交于點(diǎn)，，，，，△是直角三角形，依題意，為△的重心，，在△中，，，故答案為：．13．（4分）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)在軸上，則的值為．解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，把代入解析式可得，頂點(diǎn)在軸上，，解得，故答案為：．14．（4分）在△中，，，，以為圓心、為半徑畫，使與線段有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是．解：如圖，，以為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)．根據(jù)勾股定理求得．圓與相切時(shí)，即；與線段有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，．故答案為：．15．（4分）等腰三角形的底邊長24，它內(nèi)接于半徑為13的中，腰長為或．解：設(shè)△是的內(nèi)接三角形，，，的半徑為13，如圖1，頂點(diǎn)與圓心在直線異側(cè)，連接交于點(diǎn)，連接，則，，，垂直平分，，，，，；如圖2，頂點(diǎn)與圓心在直線同側(cè)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，則，，，垂直平分，，，，，，綜上所述，該等腰三角形的腰長為或，故答案為：或．16．（4分）已知，與的半徑分別為和，兩圓相交于、兩點(diǎn)，且，則的長度為或．解：設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，，與的半徑分別為和，兩圓相交于、兩點(diǎn)，且，，，，，△和△都是直角三角形，依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，如圖所示：在△中，由勾股定理得：，在△中，由勾股定理得：，，此時(shí)的長度為：；②當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，如圖2所示：同理：，，，此時(shí)的長度為：，綜上所述：的長度為或．故答案為：或．17．（4分）如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的面積都為1，經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)的一條直線把網(wǎng)格圖分成了兩個(gè)部分，其中△的面積為3，則的值為．解：如圖，設(shè)，，，又，△△，，即，，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的面積都是1，△的面積為3，，，，，解得，（舍去），，，故答案為：．18．（4分）如圖，矩形中，，點(diǎn)在邊上，，聯(lián)結(jié)，將△沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，分別交邊于點(diǎn)、，如果，則的長為．解：延長交的延長線于點(diǎn)，如圖所示：，設(shè)，，四邊形是矩形，且，，，，，點(diǎn)在邊上，，，由翻折性質(zhì)得：，，，，，△△，，，，在△中，由勾股定理得：，由三角形面積公式得：，，，，解得：，，在△中，，在△中，，，，又，，在△和△中，，，△△，，，，，的長為．故答案為：．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．解：原式．20．（10分）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且．設(shè)，．（1）用，表示向量；（2）如果點(diǎn)是△的重心，那么向量（用，表示），并在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．解：（1），，，．（2）四邊形為平行四邊形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為△的中線．取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，．，．，，，．如圖，分別為在和方向上的分向量．故答案為：．21．（10分）如圖，已知△中，，，，過點(diǎn)作，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）求的長．（2）以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．解：（1）在△中，，，，，，，，△△，，，解得；（2）直線與相切．由（1）得，在△中，設(shè)邊上的高為，，解得，即邊上的高為，是半徑，直線與相切．22．（10分）【實(shí)踐情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課上，王老師發(fā)給每個(gè)小組一塊表面平整的矩形木板、一個(gè)內(nèi)角為的直角三角板（說明：僅能作、、的角）和一把無刻度的直尺（說明：僅能作直線）、四支木工筆、小刀、橡皮、手工鋸子．【實(shí)踐任務(wù)】僅利用提供的工具將木板三等分，使原木板的寬作為等分后木板的一邊．對(duì)核心任務(wù)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象：如圖①，已知矩形，利用含的直角三角板和無刻度直尺，在上確定點(diǎn)，使得．下面是各小組展示完成實(shí)踐任務(wù)的操作步驟：組：第一步：如圖②，分別以點(diǎn)、為頂點(diǎn)，、為邊作的角與交于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長交于點(diǎn)；第二步：如圖③，擦除線段，，，，點(diǎn)，，，僅保留，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長交于點(diǎn)．組：第一步，如圖④，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，為邊作的角交于點(diǎn)；第二步：【書面任務(wù)】（1）在圖②中，證明：為的中點(diǎn)；（2）在圖③中，證明：；（3）組某同學(xué)計(jì)劃先在上確定點(diǎn)，使，然后再確定點(diǎn)，使，請(qǐng)你結(jié)合該同學(xué)的操作思路，在圖④上利用含直角三角板和無刻度直尺作出滿足條件的點(diǎn)，并說明理由．【解答】（1）證明：如圖③中，四邊形是矩形，，，，△△，，，，，△△，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）證明：如圖3中，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，即；（3）解：如圖，點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．作法：①連接，交于點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)；③利用角，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．理由：四邊形是矩形，，，，垂直平分線段，，，由（2）可知，，，，，，，．23．（12分）如圖所示，正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．（1）證明：；（2）證明：正方形的邊長是與的比例中項(xiàng)．【解答】（1）證明：連接，由正方形對(duì)角線性質(zhì)可知，，．，△△，，即；（2）證明：，，又，，又，△△，，，即，即正方形的邊長是與的比例中項(xiàng)．24．（12分）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）當(dāng)點(diǎn)位于直線下方時(shí)，求點(diǎn)到直線距離的最大值．（3）將上述拋物線沿著軸翻折，得到的新拋物線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）由題可得交點(diǎn)式：，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，；（2）如圖，過作于點(diǎn)，則即為點(diǎn)到直線距離，令，得，，即，，，再過作軸交于點(diǎn)，則，△為等腰直角三角形，，由點(diǎn)、