PAGE（時間：100分鐘滿分：100分）一、選擇題（每小題2分，共20分）1.（2012·杭州）已知平行四邊形ABCD中，∠B＝4∠A，則∠C＝（）A.18°B.36°C.72°D.144°解析如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C＝∠A，BC∥AD，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，∴∠C＝∠A＝36°.答案B2.（2012·大連）如圖，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，則菱形的周長是 （）A.20 B.24C.28 D.40解析∵菱形對角線互相垂直平分，∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，∴AB＝eq\r(AO2＋BO2)＝5，故菱形的周長為20.答案A3.（2012·天津）將下列圖形繞其對角線的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所得圖形一定與原圖形重合的是 （）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形解析由題意可得，此四邊形的對角線互相垂直、平分且相等，則這個四邊形是正方形.答案D4.（2012·蘇州）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，則四邊形CODE的周長 （）A.4 B.6 C.8 D.10解析∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝eq\f(1,2)AC＝2，∴四邊形CODE是菱形，∴四邊形CODE的周長為：4OC＝4×2＝8.答案C5.（2012·岳陽）如圖，兩個邊長相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的頂點E固定在正方形ABCD的對稱中心位置，正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)，設它們重疊部分的面積為S，旋轉(zhuǎn)的角度為θ，S與θ的函數(shù)關系的大致圖象是 （）解析如圖，過點E作EM⊥BC于點M，EN⊥AB于點N，∵點E是正方形的對稱中心，∴EN＝EM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠NEK＝∠MEL，在Rt△ENK和Rt△EML中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠NEK＝∠MEL，,EN＝EM，,∠ENK＝∠EML.))故可得△ENK≌△EML，即陰影部分的面積始終等于正方形面積的eq\f(1,4).答案B6.在下列四個圖案中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是 （）答案B7.（2012·青島）如圖，將四邊形ABCD先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，那么點A的對應點A′的坐標是 （）A.（6，1） B.（0，1）C.（0，－3） D.（6，－3）解析∵四邊形ABCD先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，∴點A也先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，∴由圖可知，A′坐標為（0，1）.答案B8.（2012·海南）如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的是 （）A.∠ABD＝∠C B.∠ADB＝∠ABCC.eq\f(AB,BD)＝eq\f(CB,CD) D.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)解析∵∠A是公共角，∴當∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC時，△ADB∽△ABC（有兩角對應相等的三角形相似）；故A與B正確；當eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)時，△ADB∽△ABC（兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似）；故D正確；當eq\f(AB,BD)＝eq\f(CB,CD)時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，故C錯誤.答案C9.（2012·荊州）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是 （）解析根據(jù)勾股定理，AB＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，所以△ABC的三邊之比為eq\r(2)∶2eq\r(2)∶eq\r(10)＝1∶2∶eq\r(5)，A項三角形的三邊分別為2，eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，三邊之比為2∶eq\r(10)∶3eq\r(2)＝eq\r(2)∶eq\r(5)∶3，故本選項錯誤；B項三角形的三邊分別為2，4，eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，三邊之比為2∶4∶2eq\r(5)＝1∶2∶eq\r(5)，故本選項正確；C項三角形的三邊分別為2，3，eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，三邊之比為2∶3∶eq\r(13)，故本選項錯誤；D項三角形的三邊分別為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，4，三邊之比為eq\r(5)∶eq\r(13)∶4，故本選項錯誤.答案B10.（2012·濰坊）已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD＝ （）A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\r(3) D.2解析∵AB＝1，設AD＝x，則FD＝x－1，F(xiàn)E＝1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴eq\f(EF,FD)＝eq\f(AD,AB)，eq\f(1,x－1)＝eq\f(x,1)，解得x1＝eq\f(\r(5)＋1,2)，x2＝eq\f(1－\r(5),2)（負值舍去），經(jīng)檢驗x1＝eq\f(\r(5)＋1,2)是原方程的解.答案B二、填空題（每小題2分，共20分）11.（2012·鹽城）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何輔助線的前提下，要想該四邊形成為矩形，只需再加上的一個條件是.（填上你認為正確的一個答案即可）解析∵AB∥DC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形.答案∠A＝90°12.（2012·南京）如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個外角.若∠A＝120°，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝.解析由題意得，∠5＝180°－∠EAB＝60°，又∵多邊形的外角和為360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠5＝300°.答案300°13.（2012·宿遷）已知點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是.（填“梯形”、“矩形”或“菱形”）解析根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：∵點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，∴EH為△ABD的中位線，F(xiàn)G為△BCD的中位線，∴EH＝eq\f(1,2)BD，EH∥BD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，又HG為△ACD的中位線，∴HG∥AC，又HE∥BD，∴四邊形HMON為平行四邊形，又AC⊥BD，即∠AOD＝90°，∴四邊形HMON為矩形，∴∠EHG＝90°，∴四邊形EFGH為矩形.答案矩形14.（2012·長春）如圖，?ABCD的頂點B在矩形AEFC的邊EF上，點B與點E、F不重合，若△ACD的面積為3，則圖中陰影部分兩個三角形的面積和為Ｗ.解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，DC＝AB，∵在△ADC和△CBA中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC,DC＝AB,AC＝AC))，∴△ADC≌△CBA，∵△ACD的面積為3，∴△ABC的面積是3，即eq\f(1,2)AC×AE＝3，AC×AE＝6，∴陰影部分的面積是6－3＝3.答案315.（2012·臺州）如圖，將正方形ABCD沿BE對折，使點A落在對角線BD上的A′處，連接A′C，則∠BA′C＝度.解析∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠CBD＝45°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：A′B＝AB，∴A′B＝BC，∴∠BA′C＝∠BCA′＝eq\f(1,2)（180°－∠CBD）＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.答案67.516.（2012·黃岡）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，AB＝CD＝5，∠B＝60°，則下底BC的長為Ｗ.解析過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，∵AB＝5，∠B＝60°，∴BE＝eq\f(5,2)；同理可得CF＝eq\f(5,2)，故BC的長＝BE＋EF＋FC＝5＋AD＝9.答案917.（2012·常州）已知點P（－3，1），則點P關于y軸的對稱點的坐標是，點P關于原點O的對稱點的坐標是.解析∵點P的坐標為（－3，1），∴點P關于y軸的對稱點的坐標是（3，1），點P關于原點O的對稱點的坐標為（3，－1）.答案（3，1）（3，－1）18.（2012·玉林）如圖，兩塊相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一塊繞直角頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，點C′在AC上，A′C′與AB相交于點D，則C′D＝.解析∵∠A＝30°，AC＝10，∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，BC＝BC′＝eq\f(1,2)AC＝5，∴△BCC′是等邊三角形，∴CC′＝5，∵∠A′C′B＝∠C′BC＝60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位線，∴DC′＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)91.（2012·婁底）如圖，在一場羽毛球比賽中，站在場內(nèi)M處的運動員林丹把球從N點擊到了對方內(nèi)的B點，已知網(wǎng)高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，則林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM＝米.解析根據(jù)題意得：AO⊥BM，NM⊥BM，∴AO∥NM，∴△ABO∽△NBM，∴eq\f(OA,NM)＝eq\f(OB,BM)，∵OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，∴BM＝OB＋OM＝4＋5＝9（米），∴eq\f(1.52,MN)＝eq\f(4,9)，解得：NM＝3.42（米），∴林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM為3.42米.答案3.4220.（2012·岳陽）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折疊，使點B落在斜邊AC上，若AB＝3，BC＝4，則BD＝.解析如圖，點B′是沿AD折疊，點B的對應點，連接B′D，∴∠AB′D＝∠B＝90°，AB′＝AB＝3，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，∴B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，設BD＝B′D＝x，則CD＝BC－BD＝4－x，在Rt△CDB′中，CD2＝B′C2＋B′D2，即：（4－x）2＝x2＋4，解得：x＝eq\f(3,2)，∴BD＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)三、解答題（共60分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）21.（8分）（2012·衢州）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BE＝DF，連接AE、CF.請你猜想：AE與CF有怎樣的數(shù)量關系？并對你的猜想加以證明.解猜想：AE＝CF.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD,∠ABE＝∠CDF,BE＝DF))，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF.22.（8分）（2012·溫州）如圖，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形.證明由平移變換的性質(zhì)得：CF＝AD＝10cm，DF＝AC，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2＋CB2)＝eq\r(36＋64)＝10，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10，∴四邊形ACFD是菱形.23.（8分）（2012·荊門）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿AB向下翻折后，再繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜邊AE交BC于點F，直角邊DE分別交AB、BC于點G、H.（1）請根據(jù)題意用實線補全圖形；（2）求證：△AFB≌△AGE.解（1）畫圖，如圖.（2）證明由題意得：△ABC≌△AED.∴AB＝AE，∠ABC＝∠E.在△AFB和△AGE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠E，,AB＝AE，,∠α＝∠α.))∴△AFB≌△AGE（ASA）.24.（8分）（2012·梅州）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2）、B（1，3）.△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1.（直接填寫答案）（1）點A關于點O中心對稱的點的坐標為；（2）點A1的坐標為；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點B經(jīng)過的路徑為弧BB1，那么弧BB1的長為.解析（1）∵A（3，2），∴點A關于點O中心對稱的點的坐標為（－3，－2）；（2）（－2，3）；（3）根據(jù)勾股定理，OB＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，所以，弧BB1的長＝eq\f(90π·\r(10),180)＝eq\f(\r(10),2)π.答案（1）（－3，－2）（2）（－2，3）（3）eq\f(\r(10),2)π25.（8分）（2012·揚州）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足為E.求證：BE＝DE.證明作CF⊥BE，垂足為F，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，∴四邊形EFCD為矩形，∴DE＝CF，∵∠CBE＋∠ABE＝90°，∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△BAE和△CBF中，有∠CBE＝∠BAE，∠BFC＝∠BEA＝90°，AB＝BC，∴△BAE≌△CBF，∴BE＝CF＝DE，即BE＝DE.26.（10分）（2012·廈門）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.（1）求eq\f(AD,AB)的值；（2）若BD＝10，求sin∠A的值.解（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，又∵DE＝3，BC＝9，∴