專題03等式與不等式（易錯必刷54題9種題型專項訓練）不等關系與不等式解一元二次不等式由一元二次不等式的解求參數(shù)一元二次不等式恒成立問題一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系運用基本不等式比較大小運用基本不等式求最值運用“1”的代換構造基本不等式運用基本不等式解決實際問題一．不等關系與不等式1．（2023秋?海淀區(qū)期末）若實數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】由，取，，則可排除，，當時，，故錯誤，由，可得，故正確．故選：．2．（2023秋?那曲市期末）若，則下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】因為，所以，正確；當，時，滿足，但是，，不正確；當，時，滿足，但是，不正確．故選：．3．（2023秋?阿勒泰地區(qū)期末）如果，，，，則正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則【解析】對于，令，，滿足，但，故錯誤，對于，當時，，故錯誤，對于，，，由不等式的可加性可得，，故正確，對于，令，，，，滿足，，但，故錯誤．故選：．4．（2024春?臨汾期末）若，則A． B． C． D．【解析】對選項，，，所以，所以，錯誤；對選項：取，，，，則，，錯誤；對選項，且，，所以，所以，正確；對選項：取，，，，則，，錯誤．故選：．5．（2024春?龍?zhí)秴^(qū)校級期末）已知實數(shù)，，則下列結論一定正確的是A． B． C． D．【解析】，當，，時，則，錯誤，，當，，時，則，錯誤，，當，時，則，錯誤，，，，，，正確，故選：．6．（2024春?海淀區(qū)期末）已知、、，則下列選項可能成立的是A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、【解析】因為、，故，排除；因為，所以，，又，所以，故錯誤，正確．故選：．7．（2024春?瀘縣校級期末）已知實數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是A． B． C． D．【解析】不妨設，，，，此時，錯誤，，錯誤；因為，，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，同向可加性得到：，正確；，，，時，，顯然錯誤．故選：．8．（2023秋?許昌期末）關于實數(shù)，，，下列結論正確的有A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【解析】對于，當時，，，故不成立；對于，由不等式的加法法則可得如果，那么，故成立；對于，時，，故不成立；對于，由不等式的倒數(shù)法則可得：如果，那么，故不成立．故選：．9．（2023秋?廣州期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了．將這一事實表示成一個不等式為A． B． C． D．【解析】這一事實表示成一個不等式為：，證明如下：，，則，即．，故選：．二．解一元二次不等式10．（2023秋?潁上縣校級期末）不等式的解集是A． B． C． D．【解析】不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．故選：．11．（2024春?達州期末）已知集合，則A． B． C．， D．【解析】因為，所以或，故錯誤；所以，故錯誤；所以，，故正確；所以不是的子集，故錯誤．故選：．12．（2023秋?山西期末）不等式的解集為A． B． C．，， D．，，【解析】不等式，轉(zhuǎn)換為，解得：，故不等式的解集．故選：．13．（2024春?阜陽期末）設集合，集合，，，1，2，，則A．，，1，2， B．， C．，， D．【解析】，則或，，，1，2，，則．故選：．14．（2024春?長治期末）已知集合，，若，則集合的個數(shù)有A．2 B．3 C．4 D．5【解析】，，，1，2，，因為，所以集合可以為，，，1，，，2，，，1，2，共4個．故選：．15．（2023秋?迪慶州期末）不等式的解集為A．或B． C．或 D．【解析】由不等式可得，或，故不等式的解集為或，故選：．16．（2024春?海淀區(qū)期末）已知命題：關于的不等式與的解集相同，命題，則是成立的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解析】若，則可化為，則與的解集不同，必要性不成立，若、的解集都為空集，如、，此時兩不等式解集都為空集，不滿足，充分性不成立，綜上所述，是成立的既不充分又不必要條件．故選：．17．（2023秋?中牟縣期末）二次函數(shù)的部分對應值如表所示：340則關于的不等式的解集為A． B． C．，， D．，，【解析】由（4），得圖象的對稱軸為直線，又因為（3），所以因為，所以的圖象開口向下，所以的解集為．故選：．三．由一元二次不等式的解求參數(shù)18．（2023秋?云南期末）已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為A． B． C． D．【解析】因為關于的不等式的解集為，所以2和3是方程的解，由根與系數(shù)的關系得，，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為，故選：．19．（2024春?秀英區(qū)校級期末）已知，關于的不等式的解集是，則的最小值為A．2 B． C．4 D．【解析】因為不等式的解集是，所以，是的兩不同根，△，由韋達定理可得，所以，當且僅當，即時等號成立．故選：．20．（2023秋?渭南期末）已知不等式的解集為或，則不等式的解集為A． B．或 C． D．或【解析】因為不等式的解集為或，所以，是的根，所以，解得，，不等式，解得．故選：．21．（2023秋?亭湖區(qū)校級期末）已知，關于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則的值不可能是A．13 B．14 C．15 D．16【解析】設方程的兩根為，，則的解集為，．由題有．又，，則，則的值不可能是16．故選：．22．（2024春?本溪期末）已知甲正確解出不等式的解集為，乙正確解出不等式的解集為，且，，則A． B． C．0 D．12【解析】因為不等式的解集為，不等式的解集為，且，，則方程與方程的根組成集合，，2，，由方程的根與系數(shù)關系可知，則其兩根為，6，所以，方程的兩根為，2，則，所以，所以．故選：．23．（2023秋?譙城區(qū)校級期末）一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為A． B． C． D．【解析】據(jù)題意可知，，，則，，所求的不等式可化為：，即，解得：或．故選：．四．一元二次不等式恒成立問題24．（2024春?商丘期末）若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】因為的解集為，即恒成立，當時，即，不符合題意；當時，則解得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故選：．25．（2023秋?鄠邑區(qū)期末）已知關于的不等式恒成立，則的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解析】不等式恒成立，即不等式恒成立，①當時，不等式化為，顯然恒成立，符合題意，②當時，則，解得，綜上所述，的取值范圍是，．故選：．26．（2023秋?大通縣期末）若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．，或 D．【解析】當時，顯然成立；當時，要使問題成立，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：．27．（2023秋?豐臺區(qū)期末）能說明“關于的不等式在上恒成立”為假命題的實數(shù)的一個取值為．【解析】當“關于的不等式在上恒成立”為假命題時，命題“存在，使不等式”為真命題，記，則的最小值小于或等于0，即，，整理得，即或，因此，的取值范圍是，，，符合題意的的一個取值為．故答案為：0（答案不唯一）．28．（2024春?相山區(qū)校級期末）已知，若關于的不等式的解集是．（1）求的值；（2）若關于的不等式在，上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題知1和是的兩根，所以，解得；（2）由（1）可知不等式在，上恒成立，即在，上恒成立，因為函數(shù)在，上單調(diào)遞減，所以時，所以，即實數(shù)的取值范圍為，．29．（2023秋?呼和浩特期末）（1）若關于的不等式對都成立，求的取值范圍；（2）已知二次不等式的解集為，且，求的值．【解析】（1）時，不等式為，滿足題意；時，應滿足，解得，所以的取值范圍是；（2）由題意知，、是方程的實數(shù)根，且，由根與系數(shù)的關系知，，因為，所以，解得．五．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系30．（2023秋?陽江期末）若關于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，，【解析】設函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，作圖：根據(jù)關于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則有，解得．故選：．31．（2023秋?錢塘區(qū)校級期末）已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】一元二次方程的兩根都在內(nèi)，令，，解得，故選：．32．（2023秋?孝南區(qū)校級期末）已知集合，，若中元素至多有1個，則的取值范圍是．【解析】由題意，方程，的解至多有1個①時，方程，只有一個解；②時，方程，的解至多有1個則△，綜上所述，的取值范圍是或故答案為：或33．（2023秋?嘉定區(qū)校級期末）已知方程的兩根為、，則．【解析】方程的兩根為、，，，則．故答案為：7．34．（2024春?遼寧期末）已知關于的方程的兩個實數(shù)根同號，則實數(shù)的取值范圍為．【解析】根據(jù)題意得到，即，解得．故答案為：，．35．（2023秋?普陀區(qū)校級期末）已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，則實數(shù)的值為．【解析】一元二次方程的兩個實根分別為、，，，△．，則實數(shù)，故答案為：5．六．運用基本不等式比較大小36．（2024秋?松江區(qū)期末）已知，以下四個數(shù)中最大的是A． B． C． D．【解析】由題意，所以，由已知有，則，，而、都是正數(shù)，所以．故選：．37．（2023春?泉州期末）若，，，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】：由，得，錯誤；，當且僅當時取等號，所以，錯誤；，當且僅當且，即，時取等號，錯誤；恒成立，故選：．38．（2022秋?富錦市校級期末）已知，，則，之間的大小關系是A． B． C． D．不確定【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，因為，所以．故選：．七．運用基本不等式求最值39．（2024春?紅橋區(qū)期末）已知，，且，則的最小值為A．2 B． C． D．【解析】因為，，且，所以，所以，所以；所以，所以，所以，當且僅當，即時取“”，所以的最小值為2．故選：．40．（2024春?臺州期末）已知，為正實數(shù)，，則A．的最小值為4 B．的最大值為4 C．的最小值為2 D．的最大值為2【解析】因為，為正實數(shù)，，又，當且僅當，即，時取等號，所以，即的最小值為4．故選：．41．（2024春?金安區(qū)校級期末）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為A． B． C． D．【解析】因為，所以，解得，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值為．故選：．42．（2024春?膠州市期末）已知，，，則的最小值為A．2 B．4 C．6 D．8【解析】因為，，所以，，則，當且僅當，即，時，等號成立，則的最小值為6．故選：．43．（2024春?和平區(qū)校級期末）已知，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值為A．1 B．2 C．4 D．8【解析】在上，，當且僅當，即時，取得等號，所以有最小值為，因為不等式在上恒成立，所以，解得，所以的最小值為4．故選：．44．（2023秋?河南期末）已知，，且，則的最大值是．【解析】因為，，，所以，所以．當且僅當，即時，等號成立．所以的最大值是．故答案為：．45．（2023秋?涪城區(qū)校級期末）已知，，，則的最小值為．【解析】，，，，，故，故，當且僅當，時取等，此時，，故的最小值為．故答案為：．八．運用“1”的代換構造基本不等式46．（2024春?張家口期末）已知，，且，則的最小值為A． B． C． D．【解析】因為，，且，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為．故選：．47．（2024春?鞍山期末）若正數(shù)，滿足，則的最小值為A．2 B． C．3 D．【解析】由正數(shù)，滿足，得，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為．故選：．48．（2024春?福州期末）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為A．24 B．25 C．26 D．27【解析】由題意，所以，所以，當且僅當時取等．故選：．49．（2024春?聊城期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為．【解析】正數(shù)，滿足，則，當且僅當，，時，取等號．則的最小值為9．故答案為：9．50．（2024春?舟山期末）已知實數(shù)，，且，則的最小值為．【解析】因為，，且，則，當且僅當，即，時，取等號，所以的最小值為．故答案為：．51．（2024春?臨汾期末）已知，，且恒成立，則的取值范圍為A． B．， C． D．，【解析】因為，當且僅當，即時等號成立．故．故選：．九．運用基本不等式解決實際問題52．（2023秋?西山區(qū)期末）如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計劃在一塊直角三角形空地中建一個內(nèi)接矩形健身廣場（陰影部分），則健身廣場的最大面積為A． B． C． D．【解析】設矩形健身廣場的長為，寬為，由三角形相似的性質(zhì)可得，，，，整理得，，因為，當且僅當，即，時取等號，所以，故健身廣場的面積為．故選：．53．（2022秋?西安區(qū)期末）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則最小值是萬元．【解析】由題意得，總運費與總存儲費之和為，當且僅當，即時取等號．故答案為：240．54．（2023秋?