專題4.1指數、指數函數【清單01】根式(1)n次方根的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．②a的n次方根的表示：xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，當n為奇數且n∈N*，n＞1時，,x＝±\r(n,a)，當n為偶數且n∈N*時.))(2)根式的性質①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n為偶數.))【方法點撥】根式化簡或求值的注意點：解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質進行化簡或求值．【清單02】有理數指數冪(1)冪的有關概念①正分數指數冪：aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負分數指數冪：aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義．(2)有理數指數冪的運算性質①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．提醒：有理數指數冪的運算性質中，要求底數都大于0，否則不能用性質來運算．【方法點撥】指數冪運算的一般原則：(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數運算．(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．(3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數．(4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．【清單03】指數函數1.指數函數的圖象和性質y＝axa>10<a<1圖象性質函數的定義域為eq\a\vs4\al(R)；值域為(0，＋∞)函數圖象過定點(0,1)，即當x＝eq\a\vs4\al(0)時，y＝eq\a\vs4\al(1)當x>0時，恒有y>1；當x>0時，恒有0<y<1；當x<0時，恒有0<y<1當x<0時，恒有y>1函數在定義域R上為增函數函數在定義域R上為減函數2．指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數越大．【考點題型一】根式的化簡與求值【例1】（24-25高一上·湖南常德·期中）求值：(1)；(2)(3)；【答案】(1)(2)(3)3【知識點】根式的化簡求值、指數冪的運算、指數冪的化簡、求值【分析】利用根式與分數指數冪的運算性質即可對（1）（2）（3）進行求解．【詳解】（1）原式（2）原式（3）原式【變式1-1】（24-25高一上·上?！て谥校┊敃r，化簡：.【答案】【知識點】根式的化簡求值、指數冪的化簡、求值【分析】根據將根式化簡、去絕對值計算即可得出結果.【詳解】由可得.故答案為：【變式1-2】（24-25高一上·上海浦東新·期中）當時，化簡.【答案】4【知識點】根式的化簡求值【分析】將根式里面進行配方，結合的范圍即可化簡.【詳解】因為,所以,所以,故答案為：4.【變式1-3】（24-25高一上·安徽馬鞍山·期中）.【答案】【知識點】根式的化簡求值、指數冪的運算【分析】利用分數指數冪和根式運算法則得到答案.【詳解】.故答案為：【變式1-4】（24-25高一上·福建漳州·期中）化簡求值：(1)(2)【答案】(1)；(2)；【知識點】根式的化簡求值、指數冪的運算、指數冪的化簡、求值【分析】（1）將根式化成分數指數冪，再根據冪的運算法則，即可得到答案；（2）根據冪的運算法則，即可得到答案；（3）由完全平方和公式，即可得到答案.【詳解】（1）原式；（2）原式.【考點題型二】指數冪的化簡與求值【例2】（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）32；（2）【知識點】指數冪的運算、指數冪的化簡、求值【分析】（1）根據指數的運算即可求出答案；（2）通過，及即可求結果.【詳解】（1）原式；（2）由，因為，所以，，所以.故.【變式2-1】（24-25高一上·北京·期中）.【答案】【知識點】指數冪的化簡、求值【分析】利用有理數指數冪的運算性質化簡求值.【詳解】.故答案為：【變式2-2】（24-25高一上·浙江·期中）計算：.【答案】/0.5【知識點】指數冪的化簡、求值【分析】根據指數冪運算求解即可.【詳解】由題意可得：.故答案為：.【變式2-3】64．（24-25高一上·浙江·期中）化簡求值（需要寫出計算過程）．(1)已知，求的值；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】指數冪的運算、指數冪的化簡、求值【分析】（1）兩邊同時平方即求解即可；（2）由指數冪的運算性質求解即可.【詳解】（1）由題意，得

則．所以.（2）原式．【變式2-4】（24-25高一上·福建福州·期中）（1）計算.（2）已知，求的最小值.【答案】（1），（2）【知識點】指數冪的化簡、求值、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據指數冪的運算性質，絕對值的定義直接計算即可；（2）利用基本不等式求最小值即可.【詳解】（1）.（2）由，得，由基本不等式可得，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.【考點題型三】指數函數解析式與求值問題【例3】（23-24高一上·新疆·階段練習）已知函數，則（

）A．2 B．0 C． D．【答案】C【知識點】求分段函數解析式或求函數的值、指數函數的判定與求值【分析】直接代入求值即可.【詳解】因為，，所以，又因為，所以，故選：C.【變式3-1】（23-24高一下·廣東湛江·開學考試）若函數（，且）滿足，則的值為（）A．± B．±3 C． D．3【答案】C【知識點】求函數值、指數冪的運算、指數函數的判定與求值【分析】首先由可求得的值，即可得函數表達式，進一步代入求值即可.【詳解】因為，所以，從而，.故選：C.【變式3-2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）（1）已知指數函數，則實數的取值范圍是；（2）已知指數函數的圖像經過點，則時，函數值為．【答案】【知識點】根據函數是指數函數求參數、求指數函數解析式【分析】（1）根據指數函數的定義求解；（2）把已知點坐標代入求得后，再計算函數值．【詳解】（1）由已知且，解得且，所以的范圍是；（2）由已知，，函數式為，時，．故答案為：；．【變式3-3】（24-25高一上·北京·期中）已知指數函數的圖象經過點，則這個函數的解析式是．【答案】【知識點】求指數函數解析式【分析】利用待定系數法可得解.【詳解】由已知，設，且，又函數圖像過點，即，解得，即，故答案為：.【變式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知是定義在上的奇函數，當時，，則函數的解析式為．【答案】【知識點】由奇偶性求函數解析式、求指數函數解析式【分析】利用是定義在上的奇函數和時的解析式，求出時的解析式，注意定義在上的奇函數滿足.【詳解】當時，，所以，因為是定義在上的奇函數，故，綜上：函數的解析式為：故答案為：【考點題型四】根據指數函數求參數、求值【例4】（23-24高一上·山東泰安·階段練習）已知指數函數的圖像經過點，則（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】A【知識點】指數函數的判定與求值、求指數函數解析式【分析】根據指數函數的定義即可求解.【詳解】由指數函數的圖象經過點，可得，解得，所以，故選：A.【變式4-1】（22-23高一上·全國·課后作業(yè)）若函數為指數函數，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【知識點】根據函數是指數函數求參數【分析】利用指數函數的定義列方程組求解即可.【詳解】因為函數為指數函數，則，且，解得，故選：C【變式4-2】（23-24高二上·內蒙古呼倫貝爾·期末）已知指數函數且，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【知識點】求函數值、指數冪的運算、求指數函數解析式【分析】先根據函數值求出，再求函數值即可.【詳解】，故選：A.【變式4-3】（多選）（23-24高一上·江西新余·期中）若函數是指數函數，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【知識點】根據函數是指數函數求參數【分析】根據指數函數的定義求解.【詳解】因為函數是指數函數，所以，解得或.故選：AB【變式4-4】（22-23高一上·云南紅河·階段練習）已知指數函數，則的值為.【答案】27【知識點】求函數值、根據函數是指數函數求參數【分析】根據指數函數定義求得，進而代入求解即可.【詳解】因為為指數式，則，解得或，又因為且，可得，即，所以.故答案為：27.【考點題型五】根據指數函數型圖象確定參數范圍【例5】（多選）（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數（，且）的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．的圖象不經過第四象限【答案】BD【知識點】根據指數型函數圖象判斷參數的范圍【分析】根據圖象，結合指數函數的單調性，可得答案.【詳解】對于A，由圖象可知函數單調遞減，則0<a<1，故A錯誤；對于B，當x=0時，，由圖象可得，解得，故B正確；對于C，由，則，由是增函數，則，故C錯誤；對于D，由，0<a<1，則函數是增函數，當x=0時，，故D正確.故選：BD.【變式5-1】（24-25高一上·河南南陽·期中）已知兩個指數函數，的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【知識點】根據指數型函數圖象判斷參數的范圍【分析】先根據函數單調性得到，，并當時，，得，所以.【詳解】由圖可知函數，均單調遞增，則，.當時，，得，所以.故選：D【變式5-2】（多選）（23-24高一上·河北邯鄲·期中）若函數的圖象過第一，三，四象限，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【知識點】根據指數型函數圖象判斷參數的范圍【分析】作出函數大致圖象，結合指數函數性質可構造不等式求得結果.【詳解】由題意可知：函數大致圖象如下圖所示，若，則的圖象必過第二象限，不符合題意，所以．當時，要使的圖象過第一、三、四象限，，解得．故選：BC．【變式5-3】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）指數函數的圖象如圖所示，則二次函數圖象頂點的橫坐標的取值范圍為.【答案】【知識點】根據指數型函數圖象判斷參數的范圍【分析】由指數函數的圖象可知，結合二次函數性質分析求解即可.【詳解】由指數函數的圖象可知，所以二次函數圖象頂點的橫坐標.故答案為：.【變式5-4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）若函數的圖像不經過第二象限，則的取值范圍是．【答案】【知識點】根據指數型函數圖象判斷參數的范圍【分析】先根據指數函數性質得函數過點，再根據題意列不等式，解得結果．【詳解】解：指數函數過點，則函數過點，若圖像不經過第二象限，則，即．故答案為：．【考點題型六】指數型函數圖象過定點問題【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函數（且）過定點，點在一次函數，的圖象上，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【知識點】指數型函數圖象過定點問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指數函數恒過定點可得，代入可得，后由基本不等式可得答案.【詳解】因為且，令可得，，所以該函數過定點；又點在一次函數的圖象上，所以，因此，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值為.故選：B【變式6-1】（24-25高一上·山西太原·期中）函數（，且的圖象必經過的定點是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】指數型函數圖象過定點問題【分析】根據確定指數型函數圖象恒過的定點.【詳解】令，得x=1，代入解析式，得到圖象必經過的定點是.故選：A.【變式6-2】（24-25高一上·甘肅慶陽·期中）函數的圖象恒過定點，則點坐標為.【答案】【知識點】指數型函數圖象過定點問題【分析】根據，即可求解，代入即可得縱坐標.【詳解】令，則，故，因此，故答案為：【變式6-3】（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）函數且過定點，則________【答案】-2【知識點】指數型函數圖象過定點問題【分析】根據指數函數的性質求解.【詳解】當時，即函數恒過，此時故答案為：【變式6-4】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎登?，假設無論為何值，函數的圖像恒過一定點，則這個點的坐標為【答案】【知識點】指數型函數圖象過定點問題【分析】根據指數函數恒過定點求解即可.【詳解】當時，解得，代入函數解析式，有，因為且，解得，所以函數的圖像恒過定點.故答案為：【考點題型七】求指數型函數定義域【例7】（23-24高一上·福建漳州·期末）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】具體函數的定義域、求指數（型)函數的定義域【分析】函數定義域滿足，解得答案.【詳解】函數的定義域滿足，解得.所以該函數的定義域為.故選：B.【變式7-1】（2024高二上·北京·學業(yè)考試）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求指數型復合函數的定義域、由指數函數的單調性解不等式【分析】根據函數的解析式有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數有意義，則滿足，即，解得，所以函數的定義域為.故選：C.【變式7-2】（24-25高一上·天津南開·期中）函數的定義域是.【答案】【知識點】求指數型復合函數的定義域【分析】求出使式子有意義的的范圍．【詳解】由題意，解得且，故答案為：．【變式7-3】（23-24高一上·內蒙古赤峰·期末）函數的定義域為．【答案】．【知識點】具體函數的定義域、求指數（型)函數的定義域【分析】根據指數函數定義域及根號下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則其定義域為.故答案為：.【變式7-4】（23-24高一·上海·課堂例題）求下列函數的定義域：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識點】求指數型復合函數的定義域【分析】利用指數型函數定義域的求法即可得解.【詳解】（1）對于，有，解得，故的定義域為；（2）對于，有，即，故的定義域為.【考點題型八】求指數型函數值域【例8】（2024高三·全國·專題練習）設函數，的值域是．【答案】【知識點】求指數函數在區(qū)間內的值域、分段函數的值域或最值【分析】根據分段函數值域的求法來求得正確答案.【詳解】當時，，當時，，∴函數的值域為，另解：作出函數圖象如下圖所示，從圖象上可以看出函數的值域為.故答案為：【變式8-1】（20-21高一上·全國·單元測試）函數（且）的值域是，則實數（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【知識點】求指數型復合函數的值域、根據指數函數的值域或最值求參數（定義域）【分析】由指數函數的性質分別對和的情況討論單調性并求值域，從而列方程組即可得到答案.【詳解】函數（且）的值域為，又由指數函數的單調性可知，當時，函數在上單調遞減，值域是所以有，即，解得；當時，函數在上單調遞增，值域是所以有，即，解得.綜上所述，或.故選：C.【變式8-2】（24-25高一上·北京·期中）函數的值域為．【答案】【知識點】求指數函數在區(qū)間內的值域、分段函數的值域或最值【分析】分別討論和的值域，然后取并集即可求出結果.【詳解】當時，.當時，.所以函數值域為.故答案為：.【變式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）函數的值域為.【答案】【知識點】求二次函數的值域或最值、求指數函數在區(qū)間內的值域、分段函數的值域或最值【分析】根據函數的解析式求得函數的值域.【詳解】當時，，當時，，所以函數的值域為.故答案為：【變式8-4】（24-25高一上·上海·期中）已知函數是定義域為的奇函數，且當時，，則函數的值域為.【答案】【知識點】求指數函數在區(qū)間內的值域、奇偶函數對稱性的應用【分析】先求出時函數的取值范圍，再由奇函數的對稱性即可得出時函數的取值范圍，即可得解.【詳解】因為函數是定義域為R的奇函數，所以，又當時，，所以，當時，由奇函數的對稱性可知，所以函數的值域為?1,1,故答案為：?1,1【考點題型九】根據值域求參數范圍【例9】（24-25高三上·陜西西安·開學考試）已知函數（且），若函數的值域為，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用函數單調性求最值或值域、根據指數函數的值域或最值求參數（定義域）、根據分段函數的值域（最值）求參數【分析】分析可知當時，，由題意可知當時，則的值域包含，分和兩種情況，結合指數函數性質分析求解.【詳解】當時，則，且，所以，若函數的值域為，可知當時，則的值域包含，若，則在內單調遞減，可得，不合題意；若，則在內單調遞增，可得，則，解得；綜上所述：實數a的取值范圍是.故選：B.【變式9-1】（2023·全國·高一專題練習）已知函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于當時，，所以當時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【詳解】當時，，當時，，因為函數的值域為，所以，得，所以實數的取值范圍是，故選：D.【變式9-2】（多選）（23-24高一上·廣東茂名·階段練習）函數且，當時，值域為，則的值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】BC【知識點】根據指數函數的值域或最值求參數（定義域）【分析】分類討論且是增函數還是減函數，將對應值帶入計算即可.【詳解】當時，函數單調遞減，，解得當時，函數單調遞增，，解得．故選：BC．【變式9-3】（24-25高三上·北京西城·開學考試）已知函數的值域為，則實數a的取值范圍是.【答案】a≥1【知識點】分段函數的性質及應用、求指數函數在區(qū)間內的值域、根據指數函數的值域或最值求參數（定義域）、根據分段函數的值域（最值）求參數【分析】先分別求出分段函數在不同區(qū)間函數的值域，再結合函數值域為,得出參數范圍.【詳解】當,當,因為函數fx的值域為,所以.故答案為：a≥1.【變式9-4】（2023·全國·高一專題練習）求函數，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根據二次函數的性質即可得解.【詳解】，令，函數在上是單調減函數，∴，的對稱軸為，∴當時，，即當時，，即，∴在上的值域為.【考點題型十】指數型函數的單調性【例10】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函數，則函數（

）A．是偶函數，且在上單調遞增 B．是奇函數，且在上單調遞減C．是奇函數，且在上單調遞增 D．是偶函數，且在上單調遞減【答案】A【知識點】函數奇偶性的定義與判斷、判斷指數函數的單調性、根據解析式直接判斷函數的單調性【分析】根據定義判斷函數的奇偶性，然后根據解析式判斷函數的單調性。【詳解】由題意知函數定義域為R，，故函數為偶函數，當x∈0,+∞又因為都是增函數，所以在0,+∞上單調遞增，故選：A.【變式10-1】（多選）（24-25高一上·浙江·期中）下列函數中，在區(qū)間上為增函數的是（

）A． B． C．fx=x2?2x【答案】ABD【知識點】判斷指數函數的單調性、根據解析式直接判斷函數的單調性【分析】根據基本初等函數的單調性一一判斷即可.【詳解】對于A：因為與在區(qū)間上為增函數，所以在區(qū)間上為增函數，故A正確；對于B：因為在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數，所以在區(qū)間上為增函數，故B正確；對于C：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故C錯誤；對于D：在上單調遞增，故D正確.故選：ABD【變式10-2】（24-25高一上·江蘇南京·期中）函數的單調增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷指數型復合函數的單調性【分析】寫出復合過程，根據復合函數單調性同增異減得出結論.【詳解】設，則，外層函數在上單調遞增，所以整個函數的單調增區(qū)間為內層函數的增區(qū)間，而內層函數的增區(qū)間為.故選：C【變式10-3】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數單調遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】判斷指數型復合函數的單調性【分析】根據復合函數的單調性與指數函數、二次函數的單調性判斷．【詳解】是增函數，的減區(qū)間是，因此根據同增異減法則得所求復合函數的減區(qū)間是.故選：C．【變式10-4】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關中學?？茧A段練習）已知函數滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數的單調性，再根據分段函數單調性的定義，列式求解.【詳解】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．【考點題型十一】比較大小問題【例11】（24-25高三上·山西大同·期中）設，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】比較指數冪的大小【分析】根據指數函數的單調性比較函數值的大小即可.【詳解】因為函數單調遞增，所以，故，又函數單調遞減，所以，所以．故選：A.【變式11-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）設，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】比較指數冪的大小【分析】根據指數函數的單調性即可比較作答.【詳解】，，故，由于，故，故，故選：D【變式11-2】（24-25高一上·北京·期中）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】比較指數冪的大小【分析】根據指數函數的性質來比較大小.先將化簡，再分別比較、、與特殊值、的大小關系，從而確定、、的大小順序.【詳解】化簡的值，.對于指數函數，因為底數，所以函數單調遞增.，所以，即.又因為，.對于，，即.則.故選：B.【變式11-3】（24-25高一上·安徽馬鞍山·期中）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】比較指數冪的大小【分析】根據可判斷，根據，即可求解.【詳解】由于，，故，又，故，故選：B【變式11-4】（多選）（22-23高一上·陜西咸陽·階段練習）函數的圖象如圖所示，其中為常數，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點】根據指數型函數圖象判斷參數的范圍、指數函數圖像應用、由指數（型）的單調性求參數【分析】根據的單調性確定，由確定.【詳解】，由圖知為減函數，故，所以，故A正確C錯誤；由圖知，所以，故B錯誤D正確.故選：AD【考點題型十二】指數型函數不等式恒成立問題【例12】（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知函數且.(1)若，求函數的最小值；(2)若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)1(2)【知識點】求二次函數的值域或最值、求指數型復合函數的值域、指數函數最值與不等式的綜合問題、函數不等式恒成立問題【分析】（1）換元令，可得，結合二次函數即可得最小值；（2）換元令，可得恒成立，結合運算求解.【詳解】（1）若，則，令，故原式化為，若時，可知在上單調遞增，可知在上單調遞增，可知；若時，可知在上單調遞減，可知在上單調遞減，可知；綜上所述：，可知當時，取到最小值為1.（2）因為，設，由題意得即恒成立，即恒成立，且，則，解得，所以實數的取值范圍為.【變式12-1（23-24高一下·江蘇鹽城·期末）設函數，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【知識點】指數函數最值與不等式的綜合問題、基本不等式的恒成立問題【分析】分與兩類討論，根據恒成立，得出的結論，從而得解.【詳解】若當時，，因為恒成立，所以恒成立，則，即，當時，，因為恒成立，所以恒成立，則，即，綜上，，同理時，又，所以，，當且僅當時，取等號故選：C.【變式12-2】（2007高一·全國·競賽）若，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【知識點】求已知指數型函數的最值、指數函數最值與不等式的綜合問題、解不含參數的一元二次不等式【分析】分離參數得恒成立，由復合型指數函數的最值得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】不等式可化為.因為，所以，所以的最大值為.所以，所以.故選：C.【變式12-3】（23-24高一下·黑龍江大慶·開學考試）已知定義在上的偶函數和奇函數滿足，且在上恒成立，則實數的取值范圍為.【答案】【知識點】函數奇偶性的應用、指數函數最值與不等式的綜合問題、根據函數的單調性解不等式、函數不等式恒成立問題【分析】由函數的奇偶性求出，不等式變?yōu)樵谏虾愠闪栴}，求出的最大值即可.【詳解】因為，①得，又和分別為偶函數和奇函數，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，設，則只需，易知在上為增函數，，所以，故答案為：.【變式12-4】（24-25高一上·海南三亞·期中）已知函數（其中為常數，且）的圖象經過點．(1)求的表達式；(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求指數函數解析式、指數函數最值與不等式的綜合問題【分析】（1）由函數經過兩點，列出方程組，求解即可.（2）利用函數的單調性求解函數的最小值，然后求解不等式即可.【詳解】（1）由題意，函數的圖象經過點,則，解得，所以函數.（2）不等式在上恒成立，則，令，因為函數在上是減函數，所以，所以.即實數的取值范圍為.【考點題型十三】解指數型函數不等式【例13】（2022秋·廣東江門·高一?？计谥校┮阎瘮凳侵笖岛瘮担宜膱D象過點．(1)求函數的解析式；(2)求，，；(3)畫出指數函數的圖象，并根據圖象解不等式．【答案】(1)(2)，，(3)作圖見解析，．【分析】設函數，且，把點代入即可求得的值，進而可得函數的解析式．根據函數的解析式求得、、的值．畫出指數函數的圖象，由不等式，可得，由此解得的范圍．【詳解】（1）設函數，且，把點代入可得，求得，所以函數的解析式為．（2）由（1）可知，所以，，．（3）畫出指數函數的圖象如下圖所示：

所以函數在上單調遞增；由不等式，可得，解得，故不等式的解集為．【變式13-1】（24-25高一上·浙江紹興·期中）已知函數是定義在上的單調函數，若對，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據函數的單調性求參數值、由指數函數的單調性解不等式【分析】根據題意，由條件可得，從而求得的值，再由函數的單調性，即可求解不等式.【詳解】因為函數是定義在上的單調函數，且對，都有，則為常數，設這個常數是，則，即，又，即，所以，因為在上單調，所以方程有唯一解，則，所以，且在上單調遞增，又，由可得，解得，所以不等式的解集為.故選：C【變式13-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，則的取值范圍為.【答案】【知識點】由指數函數的單調性解不等式【分析】根據指數函數的單調性得到，由此求解出結果.【詳解】因為，且在上單調遞增，所以，解得，故答案為：.【變式13-3】（24-25高一上·貴州·期中）已知函數，且，則不等式的解集為.【答案】【知識點】根據函數的單調性解不等式、由指數函數的單調性解不等式【分析】根據可得，再分析函數的單調性求解即可.【詳解】因為，故，解得.易得為增函數，為增函數，且當時，，，故在R上單調遞增.故即，故，解得.故答案為：【變式13-4】（2023·全國·高一專題練習）已知函數且，且的圖象過點.(1)求的解析式；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由，求得，從而可得答案；（2）根據在R上單調遞增，可得，進而可得答案.【詳解】（1）的圖象過點，，又（2）在R上單調遞增.【考點題型十四】指數型函數最值問題【例14】（23-24高一上·云南昆明·階段練習）已知函數.(1)當時，求在上的最值；(2)設函數，若存在最小值，求實數的值.【答案】(1)最小值為，最大值為8(2)6【知識點】求二次函數的值域或最值、含參指數函數的最值【分析】（1）根據題意，設，由換元法，結合二次函數的值域，代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，令，結合二次函數的最值，分類討論，即可得到結果.【詳解】（1）當時，，設，則，開口向上，對稱軸，所以函數在上單調遞減，上單調遞增，所以，，所以在上的最小值為，最大值為8.（2），設，當且僅當，即時取得等號，所以，，對稱軸.當，即時，，在上單調遞增，則當時，，解得，不滿足題意；當，即時，在上單調遞減，上單調遞增，所以時，，解得或（舍去），綜上，實數的值為6.【變式14-1】（2021·江蘇·高一期中）若指數函數在上的最大值與最小值的和為，則（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根據指數函數的定義可得出，然后分、兩種情況討論，分析函數的單調性，結合已知條件可得出關于實數的方程，解出即可.【詳解】因為函數為指數函數，所以.當時，在上的最大值為，最小值為，則，解得或（舍）；當時，在上的最大值為，最小值為，則，解得（舍）或（舍）.綜上可知，.故選：C.【變式14-2】（22-23高一上·北京·期末）函數在區(qū)間上的最小值是，則的值是.【答案】或【知識點】含參指數函數的最值、根據二次函數的最值或值域求參數【分析】分和兩種情況討論，結合復合函數單調性即可求解.【詳解】令，則，其對稱軸為，當時，因為，所以，所以函數在上單調遞減，所以當時，，解得，當時，因為，所以，所以函數在上單調遞減，所以當時，，解得.綜上，所以或.故答案為：或【變式14-3】（23-24高一上·四川宜賓·階段練習）已知函數（且）．(1)當時，解不等式；(2)已知函數在上的最大值與最小值之差為，求實數的值．【答案】(1)(2)或【知識點】根據指數函數的最值求參數、含參指數函數的最值、由指數函數的單調性解不等式【分析】（1）代入后求解即可；（2）對在與分類討論出最大值最小值，作差相減，解出即可得.【詳解】（1），，，即，解得，故原不等式解集是；（2）①當時，在上單調遞增，則，，所以，解得或（舍去）；②當時，在上單調遞減，則，，所以，解得或（舍去）；綜上所述；或.【變式14-4】（23-24高一上·上海·階段練習）已知函數．(1)若，求函數的最小值及取得最小值時x的取值；(2)若，求函數的最小值．【答案】(1)最小值為1，此時；(2)答案見解析；【知識點】利用函數單調性求最值或值域、求二次函數的值域或最值、含參指數函數的最值【分析】（1）將代入解析式可得，利用換元法根據二次函數性質即可求得函數的最小值為1，此時；（2）對參數進行分類討論，利用二次函數性質即可得出最小值.【詳解】（1）若，則，令，則，由二次函數性質可知，當時，，即時，函數的最小值為1，此時；（2）若，則，所以，當時，可知在上單調遞增，此時函數的最小值為；當時，可知在上單調遞減，在上單調遞增，此時函數的最小值為；綜上可知，當時函數的最小值為；當時，函數的最小值為.【考點題型十五】指數型函數圖象和性質的綜合問題【例15】（24-25高一上·福建福州·期中）已知定義域為的函數是奇函數，且.(1)求實數，的值；(2)試判斷的單調性，并用定義證明；(3)解關于的不等式.【答案】(1)，(2)函數在