專題06函數(shù)的基本性質(zhì)【清單01】函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).【清單02】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.對二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.【清單03】函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱【考點(diǎn)題型一】常見函數(shù)的單調(diào)性【例1】.函數(shù)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，，解得．故選：C．【變式1-1】.函數(shù)在上是減函數(shù)．則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在上是減函數(shù)，則有，解得，故選：B．【變式1-2】.如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【變式1-3】.已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且對任意的，總有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)?，，?則，若對任意的，都有，則只要即可，即，解得：，又因?yàn)椋瑒t.故選：D.【變式1-4】.已知在上滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由在上滿足，設(shè)，則，即在上為減函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.【變式1-5】.（多選）下列函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，對稱軸為，開口向上，故在上單調(diào)遞減，B正確；C選項(xiàng)，對稱軸為軸，開口向上，故在上單調(diào)遞增，C錯誤；D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，D正確.故選：ABD【考點(diǎn)題型二】二次函數(shù)的最值【例2】.設(shè)函數(shù)，.(1)若對于任意的，恒成立，求a的取值范圍；(2)若的解集為.①求a，b的值;②求函數(shù)在的最大值.【答案】(1)(2)①；②.【詳解】（1）法1：由題知，任意有，即當(dāng)，只需，由的對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，解得，與前提矛盾，舍去；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即，與前提矛盾，舍去.綜上所述：a的取值范圍.法2：由題，得對任意都成立，即，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，故，即，所以a的取值范圍.（2）①，即的解集為，則有，解得，②由于當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以；綜上所述，所以【變式2-1】.若函數(shù)y=fx的表達(dá)式為，且存在最小值，則a的取值范圍為．【答案】【詳解】若，，∴，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，∴或，解得.綜上所述，a的取值范圍為0,1.故答案為：0,1.【變式2-2】.已知二次函數(shù).

(1)畫出它的圖象并指出圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間.(3)求函數(shù)y=fx在時(shí)的值域【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3).【詳解】（1），故函數(shù)的圖象的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其圖象如圖所示：

（2）由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）因?yàn)?，結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域?yàn)?【變式2-3】.已知函數(shù)．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，求的值．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）不等式，即，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，①若時(shí)，則，解得或，②若時(shí)，則，解得，③若時(shí)，則，解得，④若時(shí)，則，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．（2），，對稱軸，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，即；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即（舍去）.綜上所述，．【變式2-4】.已知二次函數(shù)，若不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值域：(3)當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】(1)1(2)【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以，解得，所以的值?；（2）由（1）可得，所以，二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?；?）因?yàn)?，二次函?shù)的圖像開口向上，對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，所以；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，所以的最小值.【考點(diǎn)題型三】函數(shù)的奇偶性【例3】.已知函數(shù)，其中.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，對，，所以函?shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，對，，此時(shí)，此時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)；（2）設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，，若為上的增函?shù)，則成立，則成立，所以成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式3-1】.若函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，f3=0，則不等式的解集為（

）．A．B．C．D．【答案】B【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且f3=0，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞減．由此畫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，

由圖可知，的解集是，故選：B．【變式3-2】.已知是定義在上的偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C．4 D．9【答案】D【詳解】因是R上的偶函數(shù)，且，用替換，得用替換，可得，即函數(shù)的一個(gè)周期為4，在中，令，得，因，代入整理，解得或，因，故，于是，，則故選：D.【變式3-3】.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?所以,解得,經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，故選：B.【變式3-4】.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?,+∞，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不是偶函數(shù)，故A錯誤；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，故B錯誤；C選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，所以?,+∞上不單調(diào)遞增，故C錯誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞增，故滿足要求，故D正確．故選：D．【變式3-5】.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，即，即所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，故選：A.【變式3-6】.（多選）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中一定正確的有（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．C．D．在上單調(diào)遞減【答案】ACD【詳解】把的圖象向右平移2個(gè)單位得的圖象，因此直線是圖象的對稱軸，A正確；在0,2上單調(diào)遞增，則的符號不確定，所以無法確定，的大小，B錯誤；在上單調(diào)遞減，所以，C正確；在上單調(diào)遞減，由，得，所以在上單調(diào)遞減，D正確.故選：ACD.【變式3-7】.（多選）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法中錯誤的是（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為 B．C．的最大值為4 D．的解集為【答案】ABD【詳解】A.兩個(gè)單調(diào)區(qū)間中間要用和分開，故A錯誤；B.因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞減，則，故B錯誤；C.當(dāng)時(shí)，，最大值為4，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的最大值為4，故C正確；D.如圖所示：的解集為，故D錯誤．故選：ABD．【變式3-8】.已知奇函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求在上的值域.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，證明見解析(2)【詳解】（1）由題意可得解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)fx是奇函數(shù)，所以.在1,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：，且.因?yàn)椋?所以，即，所以在1,+∞上單調(diào)遞減.（2）由（1）得在1,+∞上單調(diào)遞減.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.，故在上的值域?yàn)?1.已知函數(shù)是減函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)是減函數(shù)，則有，解得，則a的取值范圍為.故選：B.2.已知定義在上的函數(shù)f（x）滿足對，，都有，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，令，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，由，得，即，則，解得，所以原不等式的解集為.故選：C3.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的對稱軸為：，由題意可得，解得.故選：D4.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，的圖象關(guān)于直線對稱，令，則是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，恒有，故在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則，即得解得或.故選：C.6.函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由于是定義在0,+∞上的遞減函數(shù)，故命題等價(jià)于在1,+∞上單調(diào)遞增且取值恒為正.若，則，從而在1,+∞上取值不恒為正，不滿足條件；若，則對任意x∈1,+∞都有，且由知對任意都有.故在1,+∞上單調(diào)遞增且取值恒為正，滿足條件.所以使得原命題成立的充分必要條件是，從而觀察選項(xiàng)可知A是充分不必要條件，B是充要條件，C，D是既不充分也不必要條件.故選：A.7.函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故C錯；令，則，故B錯；令，則，故D錯.選項(xiàng)A正確.故選：A8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?有下列四個(gè)結(jié)論：①②為偶函數(shù)③④在區(qū)間上單調(diào)遞減其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【詳解】令，則，則，故①錯誤；令，則，所以為偶函數(shù)，故②正確；令，則，即，則，故，則，故，故③正確；由為偶函數(shù)，可知的圖像關(guān)于對稱，由，可知的圖像關(guān)于對稱，故在區(qū)間0,4上不單調(diào)，故④錯誤；故選：B9.（多選）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)；故A是偶函數(shù)；令，則，所以是偶函數(shù)，故B是偶函數(shù)；令，則，所以是偶函數(shù)，故C是偶函數(shù)；令，則，所以是奇函數(shù)，故D是奇函數(shù)．故選：ABC.10.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是“函數(shù)為奇函數(shù)”．易知為奇函數(shù)，則的圖象的對稱中心為；的解集為．【答案】【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，而，即為奇函數(shù)，由題意知，的圖象的對稱中心是；所以，從而可化為，即，由為上單調(diào)遞減函數(shù)，所以為上單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即．故的解集為．故答案為：①；②.11.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，現(xiàn)有函數(shù)和函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若對于，，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為3(2)(3)【詳解】（1）由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，，所以函數(shù)的最小值為，最大值為3.（2）由題意，關(guān)于x的不等式的解集為，即不等式對于恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式為，即不恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）由題意，對于，，使得成立，則.對于函數(shù)，，由（1）知，.對于函數(shù)，，若，，則，而，不符合題意.若，當(dāng)，即，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，則，即，不符合題意；若，當(dāng)，即時(shí)，，則，即