專題07冪函數(shù)【清單01】?jī)绾瘮?shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).【清單02】?jī)绾瘮?shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).【清單03】常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)【考點(diǎn)題型一】?jī)绾瘮?shù)的解析式【例1】.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為增函數(shù) D．為減函數(shù)【答案】D【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，即，又的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以，則為上的增函數(shù)，則，則函數(shù)的定義域?yàn)?，所以非奇非偶函?shù)，且為上的減函數(shù).故選：D.【變式1-1】.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，由的圖象過點(diǎn)，則，解得，所以，故選：A【變式1-2】.已知冪函數(shù)fx滿足，求的值（

）A．3 B． C．4 D．【答案】D【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，，所以.故選：D【變式1-3】.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1)求函數(shù)的解析式;(2)用定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設(shè)，將代入上式得.（2）任取，由于，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）的定義域?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.由得，，所以不等式的解集為.【考點(diǎn)題型二】?jī)绾瘮?shù)的圖像【例2】.已知是整數(shù)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求的解析式；(2)若，畫出函數(shù)的大致圖象；(3)圖象寫出的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)作圖見解析(3)單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為，【詳解】（1）由題意可知，，即，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上可知，的解析式為.（2）由（1）知，則，函數(shù)的圖象如圖所示，（3）由（2）可知，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為，.根據(jù)【變式2-1】.已知冪函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．或1【答案】B【詳解】∵是冪函數(shù)，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，，圖象與x軸有公共點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，符合題意，綜上，.故選：B.【變式2-2】.已知冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，則（

）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】由題意得，，解得或．當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，不滿足題意．故選：A．【變式2-3】.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，將代入得，解得，故，其定義域?yàn)?，由冪函?shù)的常見函數(shù)圖象可知，C正確.故選：C【變式2-4】.若冪函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)冪函數(shù)定義可知，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，由圖可知不合題意，所以，故選：A.【考點(diǎn)題型三】?jī)绾瘮?shù)的單調(diào)性及應(yīng)用【例3】.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)若，用定義法證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由冪函數(shù)的定義可知，，解得，由冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，可得，所以．（2）證明：由的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，所以．則．對(duì)，且，則有，因?yàn)?，所以，，所以．因?yàn)?，所以，所以，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．【變式3-1】.“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，故充分性成立；若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得或，故必要性不成立，因此""是"冪函數(shù)在上是減函數(shù)"的一個(gè)充分不必要條件.故選：B【變式3-2】.已知冪函數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，因此，所以是定義在上的增函數(shù)，又因?yàn)?，所以，解得，故選：A.【變式3-3】.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，所以，即.故選：A.【變式3-4】.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集是【答案】【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，則.由，解得，所以不等式的解集是.故答案為：【變式3-5】.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．(1)求的值；(2)若函數(shù)，且，判斷的單調(diào)性，并證明．【答案】(1)1(2)在區(qū)間單調(diào)遞增，證明見解析【詳解】（1）由題意知，解得：或2，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)，此時(shí)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)，此時(shí)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；所以的值為1．（2），在區(qū)間單調(diào)遞增．

證明如下：任取，則，

由可得：，，則，即，

故在區(qū)間單調(diào)遞增．【考點(diǎn)題型四】?jī)绾瘮?shù)的奇偶性【例4】.已知冪函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，得或．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，符合題意．故fx（2）由題意得，且，．由，得，得，所以，即．故在上單調(diào)遞增．【變式4-1】.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)冪函數(shù)奇偶性知和為奇函數(shù)，故BD錯(cuò)誤；對(duì)C，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)A，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知其為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故A正確.故選：A.【變式4-2】.已知冪函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意;∴或.故選：D.【變式4-3】.冪函數(shù)，，都有成立，則下列說法正確的是（

）A． B．或C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，因?yàn)?，都有成立，所以該函?shù)在是減函數(shù)，所以，即，定義域?yàn)?，則，所以是奇函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.【變式4-4】.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，與已知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱矛盾，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是得，不等式化為：，而是偶函數(shù)且它在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：【變式4-5】.已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，.(1)若，求；(2)已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）對(duì)于冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，不是奇函數(shù)，舍去，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意.∴，∵，∴.（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，下面先研究函數(shù)的單調(diào)性，不妨設(shè)，則，∵，∴，，，∴，即，故在上單調(diào)遞增，∴，由題意，，解得，所以的取值范圍是.【變式4-6】.已知冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（ⅰ）求函數(shù)的解析式；（ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）由題知，，即，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，是非奇非偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是偶函數(shù)，所以的解析式是.（2）當(dāng)時(shí)，，（?。┰O(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，.即.（ⅱ）作函數(shù)的圖像如圖所示，要使在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象知，所以，所以的取值范圍是.一、單選題1．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)時(shí)，總存在使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知，得或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．又y=fx在0,+∞單調(diào)遞增，∴fx在上的值域?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)時(shí)，總存在使得，是的子集，，即．故選：B．2．下列關(guān)于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和；B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限；C．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則它的圖象也經(jīng)過點(diǎn).D．當(dāng)指數(shù)取1，3，時(shí)，冪函數(shù)是其定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)；【答案】D【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)不過原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)過第三象限，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，所以冪函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，故D正確；故選：D3．若冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或,當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意；當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，不符合題意.故選：D.4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【詳解】的定義域?yàn)镽，函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，又，故，則，即，解得或.故選：B5．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B.6．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)【答案】D【詳解】由題意可知由題意可知定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)，為增函數(shù)，x∈0,+∞，所以在上不是增函數(shù)也不是減函數(shù)，又因，則是偶函數(shù).故選：D7．若冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由冪函數(shù)的定義，得，解得或.若，則，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意，舍去；若，則，其圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意.故選：A8．已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，，，，，又，，，，，故選：B.9．下列關(guān)于冪函數(shù)的判斷：①定義域?yàn)椋虎谥涤驗(yàn)镽；③是偶函數(shù)；④在上單調(diào)遞減.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】，對(duì)于