PAGE12025年南通市高一學(xué)年度質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無(wú)效．3．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由題意得，由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式得，故C正確.故選：C2.南通軌道交通1號(hào)線從南通西站到孩兒巷共個(gè)車站，某時(shí)刻各站上車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A.25 B.30 C.55 D.60【答案】D【解析】【分析】利用總體百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)，即為，故D正確.故選：D3.已知向量，滿足，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量夾角公式求出，再結(jié)合投影向量公式求解即可.【詳解】由向量的夾角公式得，由投影向量公式得在上的投影向量為，故D正確.故選：D4.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理邊化角，再利用兩角差的正弦公式得到，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，判斷三角形形狀即可.【詳解】在中，因?yàn)椋越Y(jié)合正弦定理可得，則，可得，由兩角差正弦公式得，因?yàn)?，，所以，可得，解得，即的形狀是等腰三角形，故A正確.故選：A5.已知，，是三個(gè)不同的平面，l是一條直線，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)判斷C，舉反例判斷A，B，D即可.【詳解】對(duì)于A，若，，則可能會(huì)相交也可能平行，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，，則可能會(huì)相交或平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由線面垂直的性質(zhì)得若，，則，故C正確，對(duì)于D，若，，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式將目標(biāo)式化為，再利用二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式得，由二倍角的余弦公式得，故B正確.故選：B7.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇環(huán)，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圓臺(tái)的性質(zhì)求出母線長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理求出高，再利用體積公式求解即可.【詳解】由題意得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇環(huán)，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)度為，設(shè)圓臺(tái)的高為，由勾股定理得，由圓臺(tái)的體積公式得體積為，故A正確.故選：A8.如圖，用三種不同元件連接成系統(tǒng)，每個(gè)元件是否正常工作不受其它元件的影響．當(dāng)元件都正常工作或正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知元件正常工作的概率分別為，則系統(tǒng)正常工作的概率為（）A.0.504 B.0.846 C.0.902 D.0.956【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)立事件的概率公式將目標(biāo)事件合理轉(zhuǎn)化，再結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【詳解】由題意得，，，且系統(tǒng)正常工作的對(duì)立事件為系統(tǒng)不都正常工作且也不正常工作，而每個(gè)元件是否正常工作不受其它元件的影響，則相互獨(dú)立，可得不都正常工作的概率為，

故系統(tǒng)不正常工作的概率為，由對(duì)立事件的概率公式得系統(tǒng)正常工作的概率為，故D正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列等式中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式判斷A，利用二倍角的余弦公式判斷B，利用兩角和的正切公式判斷C，利用兩角差的正切公式判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，由兩角和的正弦公式得，故A正確，對(duì)于B，由二倍角的余弦公式得，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由題意得，由兩角和的正切公式得，則，代入可得，故C正確，對(duì)于D，由題意結(jié)合兩角差的正切公式得，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是1”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和是8”為事件，則（）A.與B相互獨(dú)立 B.與互斥C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用古典概型公式求出，，，進(jìn)一步結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的定理逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.詳解】由題意得共有個(gè)基本事件，第一次向上的點(diǎn)數(shù)是1有，共6種情況，由古典概型概率公式得，第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)有，共種情況，由古典概型概率公式得，兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和是8有，共5種情況，由古典概型概率公式得，而事件表示第一次向上的點(diǎn)數(shù)是且第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，符合條件的有，共3種，則，下面，我們開始分析各個(gè)選項(xiàng)，對(duì)于A，由已知得，，滿足，則與相互獨(dú)立，故A正確，對(duì)于B，事件表示第一次向上的點(diǎn)數(shù)是1和兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和是8至少有1個(gè)發(fā)生，符合條件的有，，共11個(gè)，故，滿足，可得與互斥，故B正確，對(duì)于C，由概率加法公式得，即C正確，對(duì)于D，題意得共有個(gè)基本事件，則表示第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)且兩次且向上點(diǎn)數(shù)之和是8，符合條件的有，共3種，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.在正三棱柱中，，，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱上，且，則（）A. B.平面C.直線MN與平面所成角為 D.三棱錐的外接球表面積為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：先證明平面,利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；對(duì)于B：利用線面平行判定定理即可證明；對(duì)于C：找出線面角即可求得結(jié)果，對(duì)于D：求出外接球的半徑即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)檎庵云矫?平面，故,又因?yàn)槿切螢檎切?，M為BC的中點(diǎn)，故,因?yàn)?且平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：如圖，連接兩線相交于點(diǎn)O，再連接OM，因?yàn)槭钦庵?，所以四邊形為長(zhǎng)方形，故點(diǎn)O為直線的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M為三角形的中位線，故,因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：如圖，找直線的中點(diǎn)H，直線AC的中點(diǎn)G，連接,因?yàn)?，所以點(diǎn)N是的四等分點(diǎn)，故點(diǎn)N為的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，故,所以直線MN與平面所成角即為直線BH與平面所成角，因?yàn)檎庵?，所以平面，平面，?又因?yàn)槿切螢檎切?，G為AC的中點(diǎn)，故,因?yàn)?且平面，故平面，故即為所求線面角，設(shè)線面角為，因?yàn)?所以,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)檎庵?，所以平?所以球心到平面的距離為,又因?yàn)槿切蔚耐饨訄A圓心為，所以外接球半徑,故，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一組數(shù)據(jù)2，4，，6，8的平均數(shù)為5，該數(shù)據(jù)的方差為_______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)求出實(shí)數(shù)，再求出方差.【詳解】由題：一組數(shù)據(jù)2,4,,6,8的平均數(shù)為5，即，解得，所以該組數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)平均數(shù)求某個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)求解方差，關(guān)鍵在于熟練掌握公式，根據(jù)公式求解.13.在中，，，，且，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，即可求解.【詳解】由于，故,故,又,故,故,故，由于，故，故答案為：14.在中，，的角平分線交于，，則面積的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及正弦定理邊角轉(zhuǎn)化可得為直角，由等面積法得，結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】設(shè)在中，角所對(duì)的邊分別為.因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理可得，故，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以.由得，整理得，即.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故面積的最小值為8.故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，滿足，，與的夾角為．（1）求；（2）若，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解，（2）根據(jù)垂直的向量關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可代入求解.【小問1詳解】由可得，故，故【小問2詳解】由于，故，即，故，解得，16.為調(diào)查學(xué)生體能狀況，現(xiàn)從某校高一年級(jí)參加體能測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)，這組數(shù)據(jù)均在區(qū)間，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求m的值；（2）用組中值估計(jì)該校高一學(xué)生的平均體能測(cè)試成績(jī)；（3）現(xiàn)用分層抽樣的方法從區(qū)間，，抽取5人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人，求這2人體能測(cè)試成績(jī)?cè)诘母怕剩敬鸢浮浚?）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和1即可求解，（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解，（3）列舉樣本點(diǎn)，即可根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.【小問1詳解】由題意可得，解得，【小問2詳解】平均數(shù)為【小問3詳解】，，的頻率分別為，故之比為，因此從，，抽取5個(gè)人，則需要從，，分別抽取的人數(shù)為1，3，1，設(shè)的1個(gè)人為，的3個(gè)人為，的1一個(gè)人為,故樣本空間為,共有10個(gè)，則2人體能測(cè)試成績(jī)?cè)诘臉颖军c(diǎn)有共有3個(gè)，故概率為，17.已知，．（1）求；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)和差角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得結(jié)果.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式及兩角差的正弦公式可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，即，?【小問2詳解】由，得，且，所以.因?yàn)?，所以，由得，所以，所?18.一副三角板按如圖所示的方式拼接，將折起，使得．（1）證明：平面平面；（2）求二面角余弦值；（3）設(shè)BD，CD的中點(diǎn)分別為M，N，平面AMN與平面ABC的交線為l，求直線l與BD所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定可得平面，即可由面面垂直的判定求解，（2）根據(jù)二面角的定義，結(jié)合垂直關(guān)系可得為所求角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解，（3）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得與所成的角即為直線l與BD所成角的角，即可求解.【小問1詳解】，又，平面，故平面，又平面，故平面平面；【小問2詳解】取中點(diǎn)為，過作于，連接，由（1）知平面平面，且兩平面的交線為,由于,是的中點(diǎn)，故,平面，故平面，平面，則，結(jié)合，平面，故平面，平面，故，因此為二面角的平面角，設(shè),則,故【小問3詳解】由于M，N分別為BD，CD的中點(diǎn)，故,平面，平面，故平面,平面,且平面與平面的交線為l，故，故與所成的角即為直線l與BD所成角的角，由于與所成的角為故直線l與BD所成角的余弦值為．19.在平面四邊形ABCD中，，，，．（1）若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求AC；（2）若為銳角，且四邊形ABCD的面積為，求；（3）求BD的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定