浙江省北斗星聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線，則直線傾斜角為（

）A． B． C． D．2．等差數(shù)列中，，，則（

）A．35 B．40 C．55 D．533．已知，，，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-34．已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，且點在橢圓上，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．5．正四棱錐中，點在線段上，且，記，，，則（

）A． B． C． D．6．記正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足，，則（

）A． B． C． D．7．已知半徑為1的動圓圓心在直線上，過橢圓上一點作圓的切線，切線長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．8．已知雙曲線，，若圓上存在點使得的中點在的漸近線上，則離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列滿足，，，則下列選項中正確的是（

）A． B．C．數(shù)列單調(diào)遞增 D．數(shù)列是周期數(shù)列10．在正三棱臺中，，，點是線段上的動點，則下列選項中正確的是（

）A．B．直線與直線所成角的取值范圍為C．存在點使得平面D．存在點使得平面11．過點的直線與拋物線交于兩點，過點分別作拋物線的切線，兩切線交于點為坐標原點，直線交直線于點，則下列選項正確的是（

）A．點的橫坐標為定值 B．可能是直角C． D．三、填空題12．已知直線，．若，則實數(shù)．13．動圓與圓外切同時與內(nèi)切，則的面積最大值為．14．已知三棱錐中，，，，，，則當三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為．四、解答題15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和．16．已知圓過點和，且圓心在直線上．(1)求圓的標準方程；(2)若圓與圓至多有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，，，，，，．(1)若，求證：平面；(2)若平面平面，求直線與平面夾角正弦值的最小值．18．已知橢圓的左頂點為，右焦點為，過點作斜率不為的直線與橢圓交于兩點，直線，分別與定直線交于兩點．若橢圓的離心率為，．(1)求橢圓的方程；(2)若點始終在以為直徑的圓上，（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）求四邊形面積的取值范圍．19．已知雙曲線的左右焦點分別為，，離心率為，斜率為的直線與的兩支分別交于A，B兩點，與軸交于點，且．(1)求雙曲線的方程；(2)雙曲線上存在點，使得的角平分線交軸于點．（Ⅰ）求的取值范圍：（Ⅱ）若，，求數(shù)列的前項和．

1．C將直線變?yōu)樾苯厥剑傻闷湫甭?，根?jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】將直線l變形為，所以斜率，設(shè)傾斜角為，則，解得.故選：C2．D設(shè)公差為d，根據(jù)條件，聯(lián)立求得，代入公式，即可得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以，則，又，聯(lián)立解得，所以.故選：D3．A根據(jù)數(shù)量積的坐標運算法則，即可得答案.【詳解】由題意，因為，所以，解得.故選：A4．B根據(jù)題設(shè)列式求出即可得橢圓的方程；【詳解】設(shè)半焦距為，則由題設(shè)有，故，故橢圓方程為：，又因為點在橢圓上，故，解得，則.所以橢圓標準方程為：.故選：B.5．D根據(jù)向量的線性運算法則，結(jié)合條件，化簡計算，即可得答案.【詳解】由題意.故選：D6．A利用等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，通過建立方程求出公比，再計算.【詳解】由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，，根據(jù)題設(shè)，，可得：，即，因為是等比數(shù)列，設(shè)公比為（，正項數(shù)列），則，代入上式得：，由于，兩邊同時除以得：，整理為，即，因為，所以，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式得：，因此.故選：A.7．B切線長()，故對應(yīng)，即求橢圓上點到直線的最小距離，首先設(shè)與已知直線平行的橢圓切線，再利用相切條件(判別式)，最后計算兩平行線間的距離.【詳解】設(shè)與直線平行的直線為，該直線與橢圓相切時，聯(lián)立方程，，化簡得：，即，即，解得已知直線為，兩條切線為和。直線與已知直線的距離：直線與已知直線的距離：所以，代入切線長公式得.故選：B8．B根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，設(shè)，設(shè)PA中點為Q，根據(jù)中點坐標公式，可得Q點坐標，根據(jù)Q在漸近線上，代入可得，由題意，點P為圓M與直線的公共點，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點到直線距離公式，計算化簡，即可得答案.【詳解】根據(jù)雙曲線方程可得，漸近線方程為，即，設(shè)，設(shè)PA中點為Q，由，得，因為Q在漸近線上，所以，即，所以點P為圓M與直線的公共點，由題意圓M的圓心為，半徑為2，則圓心M到直線的距離，，所以，解得.所以離心率的取值范圍為.故選：B9．ACD根據(jù)遞推公式分奇偶項討論，計算數(shù)列的前幾項或分析通項公式，進而判斷選項的正確性.【詳解】已知，根據(jù)遞推公式，分為奇數(shù)和偶數(shù)討論：當（奇數(shù)）時：，即；當（偶數(shù)）時：，即；當（奇數(shù)）時：，即；當（偶數(shù)）時：，即；當（奇數(shù)）時：，即；當（偶數(shù)）時：，即；當（奇數(shù)）時：，即；選項A：計算前項和：，因此選項A正確；選項B：觀察奇數(shù)項規(guī)律：，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項以為周期循環(huán)，因為是奇數(shù)，，對應(yīng)周期中的第項，即，因此選項B錯誤；選項C：分析偶數(shù)項，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，由于恒為正數(shù)，所以數(shù)列單調(diào)遞增，C正確；選項D：奇數(shù)項：，周期為，即是周期為的周期數(shù)列，因此選項D正確.故選：ACD.10．BCD建立空間直角坐標系，求出棱臺的各個頂點坐標，對A，利用向量的坐標運算可得，即可求解；對B，，利用線線角的向量法可得，再求出其范圍，即可解；對于C，利用線面平行的判定定理即可求解；對于D，利用，建立方程，求出，即可求解.【詳解】將正三棱臺補成如圖所示的正三棱錐，因為，則，所以為的中點，過作于，由正三棱臺的性質(zhì)得，又，則，過作平面于，則是的中心，連接并延長交于，易知為的中點，由，易得，，，所以，設(shè)平面于，連接并延長交于，易知為的中點，易得，，，過作交于，則，過點作直線平面，以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，對于A選項，，則，所以不垂直，故A錯誤；對于B選項，設(shè)，因為，設(shè)直線與直線所成的角為，則，又，令，令，則，當時，，當時，，又，則，故，則，又，所以，故B正確；對于C選項，當與重合時，此時即，易知，又平面，平面所以平面，故C正確，對于D選項，由選項B知，又則，得到，解得，故當與重合時，平面，故D正確，故選：BCD.11．ACD設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出交點坐標，進而得到切線交點M的坐標，再分析各選項的正確性.【詳解】A選項：設(shè)過點的直線方程為，代入拋物線得，設(shè)，則，拋物線在點的切線方程為，即；同理，在點的切線方程為，聯(lián)立兩切線方程，解得交點的橫坐標為，為定值，故A選項正確；B選項：計算：，代入，得：故不可能是直角，B選項錯誤；C選項：直線的斜率為，由得，直線的斜率為，兩者斜率之積為，故，C選項正確；D選項：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得交點的坐標為，通過坐標計算可得，則，當時，，即，故D選項正確.故選：ACD.12．3根據(jù)兩直線平行，系數(shù)的關(guān)系，可得m值，分別代入檢驗，分析即可得答案.【詳解】因為，所以，即，解得或3，當時，，即，，此時重合，不符合題意，舍去；當時，，，符合題意.故答案為：313．設(shè)圓M的半徑為r，求出圓的圓心和半徑，根據(jù)題意，可得，，即可得，根據(jù)橢圓的定義，可得M的軌跡方程，分析可得當M為短軸端點時，的面積最大，計算即可得答案.【詳解】設(shè)圓M的半徑為r，圓，圓心為，半徑為2，圓，圓心為，半徑為10，因為動圓與圓外切，所以，因為動圓與圓內(nèi)切，所以，所以，所以點M的軌跡是以為焦點的橢圓，且，所以，則，則方程為，當為短軸端點時，的面積最大，且最大值.故答案為：14．/先證點到平面的距離為定值，再說明當為等邊三角形時，面積最大，再求此時二面角的余弦值.【詳解】如圖：過作平面，垂足為，過作于，連接.因為平面，平面，所以.又，平面，，所以平面.平面，所以.因為，所以.類似地，可證.在中，，，，所以，.在中，，，所以，.所以.即點到平面的距離為.在中，.由余弦定理，得，所以，所以，當且僅當即為等邊三角形時取等號，此時三棱錐的體積最大.此時，看底面，如下圖：過作，交延長線于.因為，，，所以.設(shè)二面角為，則，所以.故答案為：15．(1)，(2)（1）設(shè)的公差為d，的公比為，由題意得，聯(lián)立可得和的值，即可得的通項公式，進而可得和的值，聯(lián)立可得d值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，根據(jù)裂項相消求和法，即可得答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為d，的公比為，由題意得，則，即，代入可得，所以.所以，，又，解得，所以.（2）由（1）可知，所以.16．(1)(2)（1）需要利用圓的標準方程和圓心在直線上的條件，結(jié)合已知點來求解圓心坐標和半徑；（2）需要先將圓化為標準方程，再根據(jù)兩圓至多有一個公共點的條件，通過圓心距與半徑的關(guān)系來確定的取值范圍.【詳解】（1）∵中點為，直線的斜率為，∴的中垂線為，即．聯(lián)立，解得：，∴圓心，半徑，∴．（2）圓，∴，∴，

∴或，即．17．(1)證明見解析(2)（1）取中點，連接、，證明四邊形是平行四邊形，從而證明線面平行.（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面的法向量，代入空間向量線面角公式，最后通過二次函數(shù)的最值來求角度的最小值.【詳解】（1）如圖，取中點，連接、．時，是中點，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵平面，平面，∴平面．

（2）如圖，以B為原點建立空間直角坐標系，由已知得，，，，．取中點，連接．已知，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，

∴，，則，，，設(shè)平面的一個法向量，則，解得，不妨取，則，

∴，

∴時，，即直線與平面夾角正弦值的最小值為．

18．(1)(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）通過橢圓離心率公式和聯(lián)立方程求出、，再由得到橢圓方程；（2）（Ⅰ）設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理得到和，根據(jù)點在圓上的條件求解；（Ⅱ）用表示四邊形面積，換元后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求取值范圍.【詳解】（1）由題意得：，解得：，∴橢圓．（2）（Ⅰ）設(shè)直線，，，設(shè)直線，直線，∴，．

聯(lián)立，得，∴，，

∴，又，∴．（Ⅱ）由（1）得：，，∴，

令，則關(guān)于u單調(diào)遞增，∴．19．(1)(2)