甘肅省武威第八中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)與直線(xiàn)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-23．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.4．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于軸的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B.C. D.5．用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A. B.C. D.6．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C對(duì)任意， D.對(duì)任意，7．已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為（）A. B.C. D.8．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.9．過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線(xiàn)分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.10．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線(xiàn)時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率依賴(lài)于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無(wú)限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對(duì)，且．總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.11．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B.2C. D.412．“”是“直線(xiàn)與互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則k的取值范圍是______14．圍棋是一種策略性?xún)扇似孱?lèi)游戲．已知某圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率為，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，則2粒恰好都是白子的概率是______15．直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，則______.16．圓和圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：“，”為假命題，命題q：“實(shí)數(shù)滿(mǎn)足”．若是真命題，是假命題，求的取值范圍18．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）冬奧會(huì)的全稱(chēng)是冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在中國(guó)北京和張家口舉行．為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，廣安市某中學(xué)校從全校隨機(jī)抽取50名學(xué)生參加冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，并根據(jù)這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）20．（12分）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，，其中為常數(shù).（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）是否存在，使得是等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.21．（12分）已知點(diǎn)是橢圓E：一點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（1）求此橢圓E方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A向上作一射線(xiàn)交橢圓E于點(diǎn)B，以AB為邊作矩形ABCD，使得對(duì)邊CD經(jīng)過(guò)橢圓中心O.（i）求矩形ABCD面積的最大值；（ii）問(wèn)：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線(xiàn)AB的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)一般式中直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的系數(shù)關(guān)系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)和橢圓焦點(diǎn)與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，橢圓左焦點(diǎn)為，∴.故選：B.3、C【解析】求出圓心到直線(xiàn)的距離，由這個(gè)距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑，則圓心C到直線(xiàn)的距離為，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值為.故選：C4、B【解析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可得為等腰三角形，且，所以，求出的長(zhǎng)，結(jié)合橢圓的定義可得答案.【詳解】如圖，由題意軸，軸，則又為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又，則為等腰三角形，且，所以將代入橢圓方程得，，即所以，則由橢圓的定義可得，即則橢圓的離心率故選：B5、C【解析】分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式，和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式【詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵6、D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.7、B【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，求出的值，可求得拋物線(xiàn)的方程，求出的坐標(biāo)，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程得，可得，故拋物線(xiàn)的方程為，易知點(diǎn)，由中垂線(xiàn)的性質(zhì)可得，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線(xiàn)且在線(xiàn)段上時(shí)，取最小值，且.故選：B.8、A【解析】利用基本不等式可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，，∴.故選：A.9、A【解析】直線(xiàn)AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線(xiàn)AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線(xiàn)BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A10、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來(lái)表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來(lái)越平緩，即切線(xiàn)的斜率越來(lái)越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C11、C【解析】先求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模求解即可【詳解】，，則，故選：C12、A【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線(xiàn)與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有一個(gè)不等于1的零點(diǎn)，分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，解得或，若函?shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)與圖象在上恰有1個(gè)橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn)，而，令，令或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：14、【解析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件概率公式求解即可【詳解】設(shè)“2粒都是黑子”為事件，“2粒都是白子”為事件，“2粒恰好是同一色”為事件，“2粒不同色”為事件，則事件與事件是對(duì)立事件，所以因?yàn)?粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件與互斥，所以，所以故答案為：15、##-0.0625【解析】使用點(diǎn)差法即可求解﹒【詳解】設(shè)，，則①－②得：，即，即.故答案為：.16、3【解析】判斷出兩個(gè)圓的位置關(guān)系，由此確定公切線(xiàn)的條數(shù).內(nèi)含關(guān)系0條公切線(xiàn)，內(nèi)切關(guān)系1條公切線(xiàn)，相交關(guān)系2條公切線(xiàn)，外切關(guān)系3條公切線(xiàn)，外離關(guān)系4條公切線(xiàn)?！驹斀狻坑深}知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以?xún)蓤A外切，所以?xún)蓤A共有3條公切線(xiàn).故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、或【解析】先假設(shè)命題、為真，分別求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再由命題、具體的真假，取實(shí)數(shù)的取值范圍或其補(bǔ)集，最終確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題p為真，則“，”為假命題則，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命題q為真，則，即∴∴∵是真命題，是假命題∴命題、必為一真一假.①當(dāng)p真q假時(shí)，∴；②當(dāng)p假q真時(shí)，∴.綜上所述：a的取值范圍是或.18、(1)證明見(jiàn)解析（2）（3）存點(diǎn)，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結(jié)論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設(shè)，,則，則由向量法結(jié)合條件可得答案.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，是棱的中點(diǎn)則則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設(shè)，，則由（2）平面的一個(gè)法向量設(shè)與平面所成角為則解得，取所以存在點(diǎn)，滿(mǎn)足條件.19、（1）（2）眾數(shù)；中位數(shù)【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和為1列式即可；（2）根據(jù)眾數(shù)即最高矩形中間值，中位數(shù)左右兩邊矩形面積各為0.5列式即可.【小問(wèn)1詳解】由,得【小問(wèn)2詳解】50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為設(shè)中位數(shù)為,則解得所以這50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為76.420、（1）詳見(jiàn)解析；（2）存在時(shí)是等差數(shù)列，詳見(jiàn)解析.【解析】（1）利用與的關(guān)系可得，再結(jié)合條件即證；（2）由題可得，，若是等差數(shù)列，可得，進(jìn)而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即證.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，又，∴，若是等差數(shù)列，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，由，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為奇數(shù)，∴數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為偶數(shù)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，，，故存在時(shí)，使數(shù)列是等差數(shù)列.21、（1）；（2）(i)；(ii).【解析】(1)根據(jù)給定條件列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組代入得解.(2)(i)設(shè)直線(xiàn)AB方程，與橢圓方程聯(lián)立求出線(xiàn)段AB長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB距離列出矩形面積求解即可；(ii)由(i)及列出方程，由方程解的情況即可判斷計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為：.【小問(wèn)2詳解】(i)由(1)知，，設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為，則直線(xiàn)AB的方程為：，由消去y并整理得：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)有：，解得，則有，因矩形的邊CD過(guò)原點(diǎn)O，則，因此，矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以矩形ABCD面積的最大值是.(ii)假定矩形ABCD能成為正方形，則，由(i)知：，整理得：，即，而，解得，所以矩形A