第4章代數式

1.用含字母的式子表示數的書寫規(guī)則:

(1)字母與字母相乘時,“×”號通常省略不寫或寫成“·”;

(2)字母與數相乘時,數通常寫在字母的前面;

(3)帶分數與字母相乘時,通?；瘞Х謹禐榧俜謹?/p>

(4)字母與字母相除時,要寫成分數；

(5)當式子為幾個數的和或差的形式,且結果帶單位時,式子整體加括號.2.代數式的概念：用運算符號把數或表示數的字母連接起來的式子叫代數式.單獨的一個數或字母也是代數式.例如:0,a都是代數式.3.列代數式：把簡單的與數量有關的詞語用代數式表示出來叫作列代數式.例如:用代數式表示:a與a減去b的差的商,其中運算詞“差”表示的數量關系是a減去b.列成式子為a-b;運算詞“商”表示的數量關系是aa-b4.代數式的值：用數值代替代數式中的字母,按照代數式中的運算關系計算得出的結果,叫作代數式的值.這個過程叫作求代數式的值.5.求代數式的值（1）一般步驟，求代數式的值有代入和計算兩步.第一步:用數值代替代數式里的字母,簡稱“代入".代入時,將相應的字母換成已給定的或已算出來的數值,其他的運算符號、原來的數字及運算順序都不改變.

第二步:按照代數式中給出的運算,計算出結果,簡稱“計算”.代入的值不同,最后計算出的結果也可能不同.（2）整體法代入：已知關于未知數的某個代數式的值，只要將所要求的的代數式轉化成已知代數式表示的形式，再代入這個代數式的值即可。如根據x2+x=3，可知﹣2x－2x2=﹣2（x2+x）=﹣66.單項式（1）單項式：表示數字或字母乘積的式子，單獨的一個數字或字母也叫單項式；（2）單項式的系數：單項式中的數字因數（要包括前面的符號）；（3）單項式的次數：單項式中所有字母指數的和（只與字母有關）.7.多項式（1）多項式：幾個單項式的和叫多項式；（2）多項式的項數與次數：多項式中所含單項式的個數就是多項式的項數，每個單項式叫多項式的項；多項式里，次數最高項的次數叫多項式的次數.8.整式（1）單項式和多項式統稱為整式（整式是代數式，但是代數式不一定是整式）.（2）單項式、多項式與整式的關系如圖所示.

（3）判斷整式、單項式及多項式的方法

a.單項式不含加減運算,多項式必含加減運算;

b.多項式是幾個單項式的和,多項式不包含單項式;

c.單項式和多項式都是整式,分母中含有字母的都不是整式.9.同類項（1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項（與系數無關，與字母的排列順序無關）.（2）合并同類項法則：系數相加，字母與字母的指數不變.10.去（添）括號（1）去（添）括號時，若括號前邊是“+”號，括號里的各項都不變號；（2）若括號前邊是“-”號，括號里的各項都要變號.11.整式的加減一找：（標記）；二“+”（務必用+號開始合并）；三合：（合并）.12.多項式的升冪和降冪排列：把一個多項式的各項按某個字母的指數從小到大（或從大到?。┡帕衅饋恚凶霭催@個字母的升冪排列（或降冪排列）.1.根據題意列式錯誤：列代數式時，不能根據數學語言的表述列式，或不能根據實際問題的題意列式，或不能根據幾何圖形的知識列式。注意：會根據以下三種情況列代數式：（1）根據數學語言的表述，如和差倍分關系、平方與開根等列式，注意先算什么后算什么；（2）根據實際問題中的數量關系，結合題意列式。尤其是行程問題、工程問題、經營銷售問題、比例和配套問題等；（3）根據幾何圖形的知識列式，目前我們常接觸的是三角形、長方形和正方形的周長、面積；圓與半圓、1/4圓的周長、面積等。例1（25-26七年級上·吉林遼源·期中）用代數式填空：(1)一個數x的兩倍與這個數平方的差，表示為.(2)蘋果每千克x元，買y??kg蘋果，費用為(3)雞兔同籠，已知有a只雞和8只兔，則籠內雞與兔共有______個頭，______只腳．(4)若正方體的棱長為a，則它的表面積______．【答案】(1)2x－x2(2)xy(3)(a+8)(4)6【分析】本題考查列代數式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．（1）根據表述列式即可，注意是2x減去x2（2）根據總價等于單價乘以數量，可以解答本題；（3）根據每只雞有一個頭和兩只腳，每個兔子有一個頭和四只腳，可以解答本題；（4）根據正方體的表面等于棱長乘以棱長乘以6，可以解答本題．【詳解】（1）2x－x2（2）解：∵蘋果每千克x元，買ykg∴費用為xy元，故答案為：xy．（3）解：∵雞兔同籠，有a只雞和8只兔，∴籠內雞與兔共有頭a+8個，腳2故答案為：(a+8)，（4）解：∵正方體的棱長為a，∴正方體的表面積是：a×故答案為：6a2.根據規(guī)律列式錯誤：數列和圖形數量規(guī)律不能用代數式表示出來。注意：數列的規(guī)律中，常見的是系數、次數、分子分母的前后規(guī)律，包括簡單的遞增，成倍的增加等，還有一些正負號的規(guī)律；而圖形數量的規(guī)律，我們一般先數出前4-5個圖形中的數量，然后按照數列的規(guī)律進行總結，當然也可以直接找相鄰圖形的規(guī)律，用代數式直接表示，常見的規(guī)律與序數的2倍、平方等有關。例2（24-25七年級上·河北石家莊·期中）觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式探究其中的規(guī)律．①4×0+1=4×1-3；②→4×1+1=4×2-3；③→4×2+1=4×3-3；④→______；⑤→______．(1)請在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對應的等式；(2)猜想第n（n是正整數）個圖形相對應的等式為______．【答案】(1)④4×3+1=4×4-3；⑤4×4+1=4×5-3(2)4【分析】本題是對圖形變化規(guī)律的考查．（1）根據從同一頂點向外作出的四條線上的點的個數解答；（2）根據變化的連續(xù)自然數和相應的圖形的序數解答．【詳解】（1）解：∵①4×0+1=4×1-3；②4×1+1=4×2-3；③4×2+1=4×3-3；∴④4×3+1=4×4-3；⑤4×4+1=4×5-3；故答案為：4×3+1=4×4-3；4×4+1=4×5-3；（2）解：由（1）可得：第n個圖形對應的等式為：4n故答案為：4n3.代入法求代數式的值錯誤：代入字母對應的值時，在進行運算時忘記符號、括號等情況。注意：將已知字母的值代入代數式，每一項都需要用括號表示其完整性，除非是正數且非分數。其次，有些題目綜合性比較強，字母的值需要通過結合其他數學知識得到。例3（25-26七年級上·浙江寧波·期中）當x=-2(1)3y(2)3x【答案】(1)-(2)-【分析】本題考查了代數式求值，解題的關鍵是準確代入x、y的值，遵循“先乘方、再乘除、后加減”的運算順序計算．（1）將x=-2，y=-13代入（2）將x=-2，y=-13代入3x【詳解】（1）解：∵x=-2，y∴3y即代數式的值為-37（2）解：∵x=-2，y∴3x即代數式的值為-74.整體法求代數式的值錯誤：有些代數式中的字母不能知道具體值，只能知道其所在的更簡單的代數式T的值，不能將原式化為簡單代數式T表示的形式，也就沒辦法用整體法代入。注意：平在使用整體法代入前，可以將原式中化為由簡單代數式T表示的形式，常見的方式是通過提取系數獨立出代數式T：示例：已知x－2y=3，求3x－6y。則T=x－2y=3，只要將3x－6y表示成3（x－2y）=3T，代入T的值即可。例4（25-26七年級上·貴州黔東南·期中）【問題背景】“整體思想”是中學數學解題中一種重要的思想方法，應用極為廣泛．例如：已知2x-y=1，求代數式2024+2x【嘗試運用】(1)已知x2-2(2)已知x+2y-【答案】(1)-(2)-【分析】本題主要考查了代數式求值，靈活應用整體思想是解題關鍵．（1）將x2（2）根據已知得出x+2【詳解】（1）解：∵x2∴3x（2）解：∵x+2∴x+2∴x+25.單項式的認識錯誤：常常只根據是否有“＋”、“－”號判斷是否為單項式，也忘記單獨的實數或字母也是單項式。在書寫時不規(guī)范。注意：單項式是表示數字或字母乘積的式子，單獨的一個數字或字母也叫單項式。在書寫時，將整個系數寫在最前面，每個字母之間省略乘號。例5（25-26七年級上·遼寧錦州·期中）式子-25πxy的系數是【答案】-25【分析】本題考查的是單項式的系數與次數，掌握單項式系數與次數的定義是解題的關鍵．單項式的系數是指數字部分（包括常數π），次數是指所有變量的指數之和，據此求解即可．【詳解】解：-25πxy的系數是故答案為-25π6.多項式的認識錯誤：在判斷幾次幾項式時，次數上判斷時沒有找最高次數，項數上又常常忽略常數項。注意：判斷一個多項式的次數和項數時，要注意次數是指所有組成的單項中，次數最高的一項的次數；項數指的是所有項的數量，且包括常數項。例6（25-26七年級上·四川瀘州·期中）多項式3xy2-2【答案】三四【分析】本題考查了多項式，理解多項式的次數和項數的定義是解題關鍵．通過多項式中各項可確定最高次數為3，共有四項，即可得到答案．【詳解】解：多項式3xy2-2xy+6x-5y中，項3xy2的次數為1+2=3，項故答案為：三，四．例7（25-26七年級上·四川成都·期中）若多項式3xmy2+n+3x2【答案】9【分析】本題考查多項式，根據多項式為四次三項式的條件，最高次數為4且項數為3，需滿足第一項次數為4且第二項系數為零．掌握多項式的意義及項、項數、次數是解題的關鍵．也考查了求代數式的值．【詳解】解：∵多項式3xmy2+又∵多項式3xmy2+n+3x2∴m+2=4，n解得：m=2，∴nm故答案為：9．7.合并同類項錯誤：在進行合并同類項的操作，系數相加時不帶符號。注意：合并同類項法則：系數相加，字母與字母的指數不變.多項式的每一項中，系數前有“﹣”號的，“﹣”號也要帶走相加。例8（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）合并同類項：（1）x2+3（2）3a2【答案】（1）2x2；（2【分析】本題考查整式的加減運算-合并同類項：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．（1）根據合并同類項法則計算即可；（2）根據合并同類項法則計算即可．【詳解】解：（1）x2故答案為：2x（2）3a故答案為：2a例9（24-25六年級上·山東淄博·階段練習）如果兩個關于x，y的單項式2mx2y3(1)求a的值；(2)如果他們的和為零，求m-【答案】(1)8(2)1【分析】本題考查同類項的定義，所含字母相同且相同字母的指數也相同的項是同類項．注意同類項定義中的兩個“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數相同．（1）根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同）可得a的值；（2）根據合并同類項法則可得2m-4【詳解】（1）解：∵關于x，y的單項式2mx2∴2=3a解得a=（2）解：∵關于x，y的單項式2mx2∴2m∴m∴m-8.去括號的規(guī)則錯誤：去括號時，當括號前有“﹣”號時，括號內的項沒有變號或只部分沒有變號。注意：當要去括號時，要先判斷括號前的符號，當為“﹣”號時，去掉括號，所有符號要變號。當括號外有乘數的，要將括號中的每一項都乘以這個數，結果同樣要帶符號。例10（25-26七年級上·吉林松原·期中）先去括號，再合并同類項：-(5【答案】-【分析】本題考查了去括號法則與合并同類項，解題的關鍵是正確運用去括號法則并準確合并同類項．先根據去括號法則去掉括號，再將同類項進行合并．【詳解】解：-=-5=-5==-11x9.先化簡再求值錯誤：對先化簡再求值問題，是去括號，合并同類項和求代數式的值等知識點綜合的題型。任何一項掌握不夠都影響解決問題。注意：先化簡再求值的一般步驟：①去括號；②合并同類項；③確定未知數的值；④計算代數式的值；例11（25-26七年級上·廣西桂林·期中）已知多項式A=2x2(1)求2A(2)當x=-1，y=2時，求(3)若2A-4B的值與【答案】(1)2xy(2)2；(3)2．【分析】此題考查了整式的加減-化簡求值，正確合并同類項是解題的關鍵，（1）直接利用整式的加減運算法則計算得出答案；（2）直接把x，y的值代入得出答案；（3）根據2A-4B的值與【詳解】（1）解：∵A=2x2∴2A=4x=2xy（2）解：當x=-1原式=2xy=2×-=-4+4+2，=2；（3）解：∵2A-4B∴2y∴y=2例12（25-26七年級上·甘肅白銀·期中）如圖，長為50cm，寬為4a+3cm的大長方形被分割為8小塊，除陰影部分A，B外，其余(1)每個小長方形較長的一邊長是cm，陰影部分B的較短的一邊長是cm（用含a的式子表示）；(2)當a=10時，求陰影部分A，B【答案】(1)50-3a，(2)陰影部分A、B的周長之和為172【分析】本題考查長方形的邊長關系與周長計算，運用數形結合思想和代數運算方法．解題關鍵是通過大長方形的長、寬與小長方形邊長的關系，用含a的式子表示未知邊長；易錯點是對圖形中邊長的數量關系分析錯誤，導致代數式列錯，或周長計算時忽略圖形的拼接關系．（1）根據大長方形的長“3個小長方形短邊長+小長方形長邊長=50”，求出小長方形較長邊長為50-3a；再根據大長方形的寬“大長方形的寬=小長方形較長邊長+小長方形短邊長=4a+3-50-3（2）先分別分析陰影A、B的長和寬，再根據周長公式列出周長之和的代數式16a+12，最后代入a=10【詳解】（1）由題意得，設小長方形較長的一邊長為xcm則3a解得x=50-3大長方形的寬為4a+3cm，由圖可知，大長方形的寬等于3因此，陰影部分B的較短邊長為4a故答案為：50-3a，7（2）陰影部分A的長為50-3acm，寬為陰影部分B的長為3acm，寬為陰影部分A的周長為250-3陰影部分B的周長為23∴2=2=106-4=16代入a=10∴16×10+12=160+12=172．∴陰影部分A、B的周長之和為172．1．（25-26七年級上·陜西安康·期中）下列說法中，正確的是（

）A．-xy2的系數是3 BC．-3x2-x-【答案】D【分析】本題考查單項式和多項式的概念，掌握相關知識是解決問題的關鍵．根據單項式和多項式的定義逐項判斷即可．【詳解】A、-xy2B、-2C、-3x2D、2x故選：D．2．（25-26七年級上·黑龍江佳木斯·期中）下列去括號正確的是（

）A．a-b-C．-a-b【答案】C【分析】本題考查去括號法則，熟練掌握法則是解題關鍵．根據去括號法則：括號前是正號，去括號后括號內各項符號不變；括號前是負號，去括號后括號內各項符號改變，逐項判斷即可．【詳解】解：A．a-b-B．a+b-C．-a-bD．-a+b故選：C．3．（24-25七年級上·黑龍江雞西·階段練習）已知多項式3xk+2-kx-A．2 B．±2 C．-2 D【答案】C【分析】本題主要考查了多項式的次數和項的定義，根據多項式的次數為2可得k=2，根據多項式的項數為3可得2-【詳解】解：∵多項式3xk+∴k=2∴k=-2故選：C．4．（25-26七年級上·甘肅白銀·期中）如果單項式x2ym+3與xn+1yA．m=-1，n=1 B．mC．m=1，n=2 D．m【答案】A【分析】本題主要考查了合并同類項，同類項的定義，兩個單項式的和仍為單項式，說明它們是同類項，因此相同字母的指數必須相等，據此求解即可．【詳解】解：∵單項式x2ym∴單項式x2ym∴m+3=2∴m=-1，n故選：A．5．（25-26七年級上·湖南長沙·期中）下列問題情境中，不能用代數式“4b”A．購買4本單價為b元的筆記本所需的錢數B．購買b本單價為4元的筆記本所需的錢數C．一個邊長為b的正方形的周長D．一個十位數字是4，個位數字是b的兩位數【答案】D【分析】本題考查列代數式，需根據各選項的實際意義列出表達式，判斷是否與“4b”【詳解】解：A、購買4本單價為b元的筆記本所需的錢數為4×bB、購買b本單價為4元的筆記本所需的錢數為4×bC、一個邊長為b的正方形的周長為4×bD、一個十位數字是4，個位數字是b的兩位數為10×4+b故選：D．6．（25-26七年級上·浙江寧波·期中）比m的平方的5倍少2的數，用代數式表示是．【答案】5【分析】本題考查列代數式，根據文字描述“比m的平方的5倍少2”轉化為代數式，需先計算m的平方，再乘以5，最后減去2．【詳解】解：m的平方表示為m2，m的平方的5倍表示為5m2，比5m2故答案為：5m7．（25-26七年級上·上?！るA段練習）單項式-3x3【答案】6【分析】本題考查了單項式的次數，掌握單項式的次數概念是解題的關鍵．根據單項式的次數是指所有字母的指數之和，與系數無關，解答即可．【詳解】解：單項式-3x3y2z5中，字母x的指數是3，字母y的指數是2故答案為6．8．（天津市河東區(qū)七中教育集團2025-2026學年七年級上學期期中數學試卷）如果a+b=3，那么2【答案】15【分析】本題考查代數式求值．利用整體思想，將a+【詳解】解：∵a+∴2(a代入a+b=3故答案為：15．9．（25-26七年級上·江蘇鹽城·階段練習）當k=時，多項式x2+【答案】5【分析】本題考查了整式的加減．先合并同類項，再根據不含xy項計算即可．【詳解】解：x2∵多項式x2+kxy∴k-∴k=5故答案為：5．10．（24-25七年級上·遼寧錦州·期末）如圖是小明用火柴棒拼擺的圖案，第1個圖案用4根火柴棒，第2個圖案用16根火柴棒，第3個圖案用28根火柴棒，?，依此規(guī)律，第n個圖案中所用火柴棒的根數