/15.3.2等邊三角形15.3.2第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定素養(yǎng)目標(biāo)1.知道等邊三角形是特殊的等腰三角形,等邊三角形是軸對稱圖形.2.會(huì)敘述、推理證明等邊三角形的性質(zhì)和判定.3.經(jīng)歷應(yīng)用等邊三角形性質(zhì)和判定的過程,增強(qiáng)分析問題、解決問題的能力.等邊三角形的性質(zhì)、判定及其應(yīng)用.【自主預(yù)習(xí)】1.等邊三角形的三個(gè)角有什么關(guān)系?2.滿足什么條件的三角形是等邊三角形?1.在一個(gè)三角形中,添加下列條件,不能得到該三角形是等邊三角形的是()A.有兩個(gè)內(nèi)角是60°的三角形B.三邊都相等的三角形C.有一個(gè)角是60°的等腰三角形D.有兩個(gè)外角相等的等腰三角形2.在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,則BC的長為()A.2 B.3 C.4 D.5【合作探究】知識(shí)點(diǎn)一：等邊三角形的性質(zhì)閱讀課本本課時(shí)“探究”后面第一、第二自然段的內(nèi)容,解答下列問題.如圖,△ABC是等邊三角形,試完成如下證明過程.證明:在等邊△ABC中,由定義有AB=.

∴=∠C.同理可得∠B=∠A,∠A=∠C,∴∠A==.

又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=.

等邊三角形的三個(gè)角都,并且每一個(gè)角都等于.

如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D在AC邊上,∠DBC=35°,則∠ADB的度數(shù)為()A.25°B.60°C.85°D.95°知識(shí)點(diǎn)二：等邊三角形的判定閱讀課本本課時(shí)“探究”后面第三自然段至“例4”的內(nèi)容,解答下列問題.1.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角是60°,那么第三個(gè)角的度數(shù)為,從而可知該三角形是三角形.

2.若一個(gè)等腰三角形有一個(gè)角等于60°(若這個(gè)角是頂角,則兩個(gè)底角分別等于;若這個(gè)角是底角,則另一個(gè)底角為,頂角為60°),則這個(gè)三角形是三角形.

判定一個(gè)三角形是等邊三角形的方法:①定義法:的三角形是等邊三角形.

②的三角形是等邊三角形.

③有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形.

1.在△ABC中,∠A=60°,添加下列一個(gè)條件后,仍不能判定△ABC為等邊三角形的是()A.AB=AC B.∠A=∠BC.AD⊥BC(D為BC上一點(diǎn)) D.∠B=∠C2.如圖,在△ABC中,D為AB上一點(diǎn),AD=DC=BC,且∠A=30°,AD=5,則AB的長為.

題型等邊三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足為G,且AD=AB,∠EDF=60°,其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F.(1)求證:△ABD是等邊三角形.(2)求證:BE=AF.變式訓(xùn)練如圖,在△ABC中,∠B=60°,延長BC到點(diǎn)D,延長BA到點(diǎn)E,使AE=BD,連接CE,DE,使EC=DE,求證:△ABC是等邊三角形.

15.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)素養(yǎng)目標(biāo)1.通過拼圖,探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、證明含30°角的直角三角形的性質(zhì).2.掌握有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用.含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理及應(yīng)用.【自主預(yù)習(xí)】在直角三角形中,30°的角所對的直角邊與斜邊有什么數(shù)量關(guān)系?1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,AB的長為()A.2 B.4 C.6 D.82.如圖,∠C=90°,∠B=2∠A,AB=6,則線段BC的長為.

【合作探究】知識(shí)點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)閱讀課本本課時(shí)的全部內(nèi)容,解答下列問題.1.如圖1,若△ABC是等邊三角形,AD是高,因?yàn)榈冗吶切问禽S對稱圖形,沿AD折疊后,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,則BD==12,∠ADB=∠ADC=,∠BAD=∠CAD==°又AB=BC,∴BD=AB.

2.上述結(jié)果我們也可以采用如下方法證明:如圖2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,則∠B=.

如圖3,延長BC至點(diǎn)D,使CD=BC,連接AD,又AC=,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴AB=,∴△ABD是三角形,∴BC=BD=12在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的.

1.已知直角三角形中30°角所對的直角邊為2cm,則斜邊的長為()A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm2.(真情境)如圖,這是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC,DE均垂直于橫梁AC,AB=8米,∠A=30°,則DE的長為()A.4米 B.3米C.2米 D.1米3.如圖,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,CD⊥AB,垂足為D,若AD=2,則BD的長為.

題型1含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖,∠AOB=30°,P是∠AOB平分線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PC平行OA交OB于點(diǎn)C,PD⊥OA于點(diǎn)D,且PC=6.(1)求證:△OPC是等腰三角形.(2)求PD的長.變式訓(xùn)練如圖,在△ABC中,∠ACB=30°,線段AC的垂直平分線分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)O在DE上,∠OAB=∠OBA.(1)求證:△OAB是等邊三角形.(2)若OD=2,OE=4,求BE的長.題型2含30°角的直角三角形的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例2如圖,一艘輪船由南向北航行,在A處測得小島P在北偏西15°的方向上,兩小時(shí)后,輪船在B處測得小島P在北偏西30°的方向上,在小島周圍18海里內(nèi)有暗礁,若輪船仍按15海里/時(shí)的速度向前航行,有無觸礁的危險(xiǎn)?請判斷并說明理由.【方法歸納交流】當(dāng)題目中有15°的角出現(xiàn)時(shí),常構(gòu)造三角形解決問題.

變式訓(xùn)練(真情境)某市舊城改造項(xiàng)目計(jì)劃在一塊如圖所示的三角形ABC空地上種植某種草皮美化環(huán)境,其中AB=20m,AC=40m,∠BAC=150°.已知這種草皮每平方米a元,則購買這種草皮一共需要多少錢?

15.3.2第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定參考答案【自主預(yù)習(xí)】預(yù)學(xué)思考1.解:等邊三角形的三個(gè)角相等且都等于60°.2.解:三個(gè)角都相等的三角形或有一個(gè)60°角的等腰三角形是等邊三角形.自學(xué)檢測1.D2.A【合作探究】知識(shí)生成知識(shí)點(diǎn)一AC∠B∠B∠C60°歸納總結(jié)相等60°對點(diǎn)訓(xùn)練D知識(shí)點(diǎn)二1.60°等邊2.60°60°等邊歸納總結(jié)①三條邊都相等②三個(gè)角都相等③60°對點(diǎn)訓(xùn)練1.C2.10題型精講例證明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC=12∠∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠DAC=12×120°=60°∵AD=AB,∴△ABD是等邊三角形.(2)由(1)可知,△ABD是等邊三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.∵∠EDF=60°,∴∠ADB=∠EDF,∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中,∠∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.變式訓(xùn)練證明:如圖,延長BD至點(diǎn)F,使DF=BC,連接EF.∵EC=ED,∴∠ECD=∠EDC,∴∠ECB=∠EDF,∴易證得△ECB≌△EDF(SAS),∴BE=EF.∵∠B=60°,∴△BEF為等邊三角形,∴BE=BF.∵AE=BD,∴DF=AB.∵BC=DF,∴AB=BC,∴△ABC是等邊三角形.15.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)參考答案【自主預(yù)習(xí)】預(yù)學(xué)思考解:在直角三角形中,30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.自學(xué)檢測1.D2.3【合作探究】知識(shí)點(diǎn)1.CDBC90°12∠BAC302.60°ACAD等邊1歸納總結(jié)一半對點(diǎn)訓(xùn)練1.B2.C3.6題型精講題型1例1解:(1)證明:∵OP平分∠AOB,∴∠POB=∠POA.又∵PC∥OA,∴∠POA=∠OPC,∴∠POB=∠OPC,∴OC=PC,∴△OPC是等腰三角形.(2)如圖,過點(diǎn)P作PE⊥OB,垂足為E.∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°,∴∠POC=12∠AOB=15°又∵∠POC=∠POA=∠OPC=15°,∴∠PCE=∠POC+∠OPC=15°+15°=30°.∵PE⊥OB,∴∠PEC=90°,∴PE=12PC=12×6=∵OP平分∠AOB,PE⊥OB,PD⊥OA,∴PD=PE=3.變式訓(xùn)練解:(1)證明:∵DE是線段AC的垂直平分線,∴OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB.∵OC=OA,∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=30°,∴∠OAB+∠OBA=180°-30°-30°=120°,∴∠OAB=∠OBA=60°,∴△OAB是等邊三角形.(2)如圖,過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F.在Rt△CDE中,∠ACB=30°,DE=OD+OE=6,則CE=2DE=2×6=12,∠CED=60°,∴∠EOF=30°,∴EF=12OE=∴CF=CE-EF=12-2=10.∵OB=OC,OF⊥BC,∴BC=2CF=20,∴BE=BC-CE=20-12=8.題型2例2解:有觸礁的危險(xiǎn).理由:過點(diǎn)P作PC⊥AB交AB延長線于點(diǎn)C(圖略).∵∠PAB=15°,∠PBC=30°,∴∠APB=15°,∴∠