2/24培優(yōu)專題01直線與圓的方程題型1弦長問題與三角形面積問題（重點）題型9代數(shù)類：直線與圓中的韋達定理題型2圓的弦長最值與整數(shù)弦長（?？键c）題型10跨模塊：直線與圓結(jié)合平面向量題型3圓上點的距離分布：定距點個數(shù)（常考點）題型11幾何意義最值：斜率型，距離與截距型題型4圓的最短路徑問題/對稱問題（難點）題型12定點問題：圓恒過定點題型5圓上動點距離：多圖形關聯(lián)最值（難點）題型13直線定點：直線過定點（?？键c）題型6切點弦：方程推導與性質(zhì)（?？键c）題型14定值探究題型7兩圓的位置關系：隱圓問題（難點）題型15定線推導題型8軌跡類：圓的軌跡方程推導題型16直線與圓的實際應用題型一弦長問題與三角形面積問題（共3小題）1．(25-26高二上·福建福州閩侯縣第六中學·期中)已知l：ax+y?2=0與圓心為C的圓x?a2+y?32=4相交于【答案】±【來源】福建省福州市閩侯縣第六中學2025-2026學年高二上學期11月期中數(shù)學試題【分析】由題知Ca,3到直線l:ax+y?2=0的距離為3【詳解】由題知圓心為C的圓x?a2+y?32=4因為△ABC為等邊三角形，所以CA=CB=AB=2，所以，圓心Ca,3到弦AB的距離為3，即Ca,3到直線l:ax+y?2=0的距離為所以a2+3?2a2+1=所以實數(shù)a=±2故答案為：±2．(25-26高二上·江蘇蘇州·期中)過點P3,2的直線l與圓O:x2+y2=4相交于A，【答案】x?43y+73【來源】江蘇省蘇州市2025-2026學年高二上學期期中陽光調(diào)研數(shù)學試卷【分析】討論直線的斜率是否存在，斜率存在時，設出直線方程，結(jié)合弦長公式即可求出直線斜率，即可得答案.【詳解】由題意知過點P3,2的直線l與圓O:x2+當直線l的斜率不存在時，直線方程為x=3，代入x可得y=±1，即A,B坐標為3,1,3當直線l的斜率存在時，設方程為y?2=kx?3，即設圓心O到直線l的距離為d，則d=?由AB=2，圓的半徑r=2可得2=2r2?d故?3k+2k故直線l的方程為143x?y?故答案為：x?43y+733．(25-26高三上·山西長治沁源縣第一中學·)已知直線l：mx?y+4=0與圓C：x2+y?22=4交于A、B【答案】?2（從?2，【來源】山西省長治市沁源縣第一中學2025-2026學年高三上學期8月開學摸底考試數(shù)學試卷【分析】由圓心坐標得到圓心到直線距離d。由垂徑定理得到弦長AB與圓心到之間距離d的關系，利用三角形面積建立方程，從而解得圓心到直線距離d，然后即可解得m的值.【詳解】圓心C0,2到直線l的距離d=由于弦長AB=24?d2，所以S△ABC故21+m2=455或2故答案為：?2（從?2，題型二圓的弦長最值與整數(shù)弦長（共3小題）4．已知直線x+ay+2a?1=0與圓C:x2+y2+4y?1=0交于A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【來源】第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系【分析】根據(jù)給定條件，求出直線所過定點，再利用圓的性質(zhì)求出最短弦長..【詳解】直線x+ay+2a?1=0，即x?1+a(y+2)=0，令y+2=0，得x=1,y=?2，因此直線x+ay+2a?1=0過定點P(1,?2)，圓C:x2+(y+2)2|PC|=1，P點在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，當且僅當直線PC⊥AB時，|AB|取得最小值，所以|AB|故選：C5．(25-26高二上·天津咸水沽第一中學·月考)已知圓M的方程是x2+y2?8x?2y+10=0，則圓MA．x?2y?2=0 B．2x+y?14=0 C．x+y?8=0 D．2x?y?10=0【答案】B【來源】天津市咸水沽第一中學2025-2026學年高二上學期第一次月考數(shù)學試題【分析】求出圓心，當過點6,2的直線與過點6,2的直徑垂直時,與圓相交所得的弦長最短，兩垂直直線的斜率乘積等于?1可求直線方程.【詳解】x2+y圓心4,1與(6,2)連線所在直線斜率為：k1因為62所以點6,2在圓內(nèi)，所以當過點6,2的直線與過點6,2的直徑垂直時,與圓相交所得的弦長最短.所以，最短弦所在的直線斜率k2滿足k1由點斜式方程得，最短弦所在的直線為y?2=?2x?6整理得2x+y?14=0.故選：B6．(25-26高二上·重慶巴蜀中學?！て谥?已知直線l:mx+y?m?1=0與圓O:x2+y2=4相交于A、B兩點，若A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【來源】重慶市巴蜀中學校2025-2026學年高二上學期12月期中數(shù)學試題【分析】先分析直線l的特征，再結(jié)合圓的性質(zhì)計算弦長AB（弦長AB=2r2?d【詳解】將直線l的方程整理為：mx?1令x?1=0y?1=0，解得x=1y=1，因此直線l過定點因為圓O：x2+y2=4所以定點P到圓心O的距離為：dOP=(1?0)設圓心O到直線l的距離為dd≥0，則弦長公式：AB由于直線過定點P，則d≤d因此：d∈0,AB=24?d2∈22,4(因為AB為整數(shù)，結(jié)合范圍22,4，可能的整數(shù)值為3、當AB=4時，d=0(直線過圓心)，將0,0代入直線0+0?m?1=0，得m=?1，對應1條直線；當AB=3時，由弦長公式3=24?d2，解得圓心O到直線l的距離d=?m?1m24(m+1)2=7m2此方程判別式Δ=64?36=28>0所以AB=4對應1條，AB=3對應2條，共故選：B.題型三圓上點的距離分布：定距點個數(shù)（共3小題）7．(25-26高二上·貴州貴陽華師一學?！て谥?若圓C：x2+y?32=16上有且僅有3個點到直線l：y=?3x+mA．m=7或1 B．m=?7或1 C．m=?7或?1 D．m=?1或7【答案】D【來源】貴州省貴陽市華師一學校2025-2026學年高二上學期期中檢測數(shù)學試題【分析】根據(jù)給定條件，將問題轉(zhuǎn)化為圓心C到直線y=?3x+m的距離為【詳解】圓C：x2+y?32=16由圓C上有且僅有3個點到直線y=?3x+m的距離為2，得圓心C0,3到直線y=?則3×0+3?m32+1故選：D.8．(25-26高二上·山東濰坊諸城等3地·期中)已知圓C:x2+y2?4y+1=0，直線l:x?y+1=0，則圓C上到直線A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【來源】山東省濰坊市諸城市等3地2025-2026學年高二上學期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題【分析】先確定圓的圓心坐標與半徑，再求出圓心到直線l:x?y+1=0的距離，從而可得結(jié)論.【詳解】由C:x2+y2?4y+1=0，可得x2圓心C到直線l:x?y+1=0的距離d=0?2+1又r?d=3?22>22故選：D9．(25-26高二上·廣東佛山順德區(qū)實驗中學、勒流中學等鎮(zhèn)街學?！?已知圓M：x2+y2?2x+4y?4=0上恰有兩個點到直線l：3x?4y+m=0A．(1,9) B．(0,9) C．(0,1) D．(1,10)【答案】B【來源】廣東省佛山市順德區(qū)實驗中學、勒流中學等鎮(zhèn)街學校2025-2026學年高二上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】已知圓M：x2+y可得M圓心1,?2，半徑r=3，設圓心到直線l的距離為d，要想圓M上恰有兩個點到直線l的距離為1，只需滿足2<d<4，即2<1×3?4×整理得：10<11+m<20，已知m是正數(shù)，可得解得?1<m<9，綜合可得：0<m<9.故選：B題型四圓的最短路徑問題/對稱問題（共3小題）10．(25-26高二上·廣東廣州育才中學·期中)已知點P為直線y=x+1上的一點，M，N分別為圓C1:x?32+y?12A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【來源】廣東省廣州市育才中學2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】利用對稱，求得C1關于直線y=x+1對稱的點C3坐標，則PC1=PC3.對于直線y=x+1上任一點P到圓C1上的點的距離的最小值均為PC1【詳解】由題知，兩圓圓心為C13,1，設C1關于直線y=x+1對稱的點C3a,b，則b?1a?3×1=?1對于直線y=x+1上任意一點P，到圓C1上的點的距離的最小值為P到圓C2上的點的距離的最小值為P又PC2+所以PM+PN的最小值為即PM+故選：C.

11．(25-26高二上·江西萍鄉(xiāng)·期中)漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”.這是中國古代人民利用平面鏡反射原理的首個實例.在平面直角坐標系xOy中，由點P3,5出發(fā)的一束光線經(jīng)直線l:x?y?2=0反射后到達圓C:(x+1)2A．217?3 B．3+22 C．2【答案】A【來源】江西省萍鄉(xiāng)市2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】作圖，得到光線經(jīng)過的路程，然后求P關于l對稱的點P′【詳解】如圖，設光線由點P出發(fā)，經(jīng)過直線l上的點F后反射后與圓C交于點G，∴光線經(jīng)過的路程為PF+

設P′a,b是點P關于直線則5?b3?a×1=?13?5?212+1由對稱性可知，PF=P′顯然當P′,F,G,C四點共線時，此時P′故選：A.12．(24-25高二下·湖南長沙寧鄉(xiāng)名校聯(lián)合·)已知動點P在直線l:x?y?1=0上，點O是坐標原點，點Q是圓(x?3)2+(y+1)2=1A．2 B．52 C．3 【答案】C【來源】湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市名校聯(lián)合2024-2025學年高二下學期入學檢測數(shù)學試題【分析】求出點C關于直線l的對稱點C'，把|PQ|的最大值轉(zhuǎn)化為點P【詳解】點P在直線l:x?y?1=0上，圓(x?3)2+(y+1)2=1的圓心C(3,?1)，半徑r=1，而點Q因此(PQ?PO)max=r+(PC?則有b+1a?3=?1a+32?因此PC?PO=PC′?直線OC′方程為x=0，由x=0y=x?1，解得x=0y=?1，即直線x=0與直線所以當點P與P′重合時，(PC?故選：C題型五圓上動點距離：多圖形關聯(lián)最值（共3小題）13．(25-26高二上·江蘇連云港海州區(qū)·期中)已知圓C:x?32+y2=16，Ax1,y1A．8?45 B．4+25 C．4?25【答案】D【來源】江蘇省連云港市海州區(qū)2025-2026學年高二上學期11月期中數(shù)學試題【分析】設線段AB的中點為M，根據(jù)垂徑定理得出點M的軌跡方程，再利用點到直線的距離公式將目標轉(zhuǎn)化為求點M到直線x?2y+1=0的距離的2倍，進而求圓上的動點到定直線的距離的最值問題即可.【詳解】如圖，圓C:x?32+y2設線段AB的中點為M，得CM⊥AB，因AB=43，則所以點M的軌跡是以點C為圓心，2為半徑的圓，其方程為(x?3)2因x1?2y1+15、則x1?2y1+1+x又點3,0到直線x?2y+1=0的距離為3+15則點M到直線x?2y+1=0的距離的最大值為45則x1?2y則x1?2故選：D14．(25-26高二上·甘肅蘭州大學附屬中學·期中)已知實數(shù)x1,x2,y1,y2滿足，A．22+1 B．22+8 C．【答案】B【來源】甘肅省蘭州大學附屬中學2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷【分析】根據(jù)給定條件，可得點A(x1,y1【詳解】設A(x1,y1點A,B在以原點為圓心，2為半徑的圓x2+y得cos∠AOB=OA?OB|取線段AB中點E，則OE⊥AB,OE=1，過A,E,B,O分別作直線x+y?4=0的垂線，垂足分別為A′,E′,|OO′|=41因此|=2?2|EE所以|x1+故選：B15．(25-26高二上·福建三明第一中學·月考)已知實數(shù)x1，x2，y1，y2滿足x12+y1A．32+32 B．6+62【答案】D【來源】福建省三明第一中學2025-2026學年高二上學期10月月考數(shù)學試題【分析】把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解.【詳解】設OA=x1因為x12+y1又x1x2+y1y2=12所以△OAB為等邊三角形.如圖：

取AB中點為E，則OE=32，點E在以O分別過A,B,E做直線x+y?3=0的垂線，垂足分別為C,D,F.則2EF又EF≤所以AC+即x1+y1?3故選：D題型六切點弦：方程推導與性質(zhì)（共3小題）16．(25-26高二上·甘肅白銀靖遠縣聯(lián)考·期中)已知⊙O:x2+y2=1，直線l:x+y?2=0,P為l上的動點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點為A，B.當A．x?2y?1=0 B．x+2y?1=0 C．x+y+1=0 D．x+y?1=0【答案】D【來源】甘肅省白銀市靖遠縣聯(lián)考2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】判斷直線與圓的位置關系，由題意知OA⊥AP、OB⊥BP、AB⊥OP，則PO?所以當OP取最小值時PO?AB可取最小值，根據(jù)幾何圖形分析OP取最小值時的情況并求出最后利用兩相交圓的公共弦的求法求出直線AB的方程.【詳解】因為⊙O:x2+y2=1，點O到直線由題意知OA⊥AP,OB⊥BP,所以A，P，B，O四點共圓，且AB⊥OP，所以PO?AB=4當直線OP⊥l時，OPmin=2，PA所以直線OP:y=x，由y=x,x+y?2=0,解得所以以OP為直徑的圓的方程為x?1x+y?1y=0兩圓的方程相減得，x+y?1=0，即直線AB的方程為x+y?1=0.故選：D17．(24-25高二上·湖北部分級示范高中·期中)已知點P在直線x+y=4上，過點P作圓O:x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A，B則點A．10 B．210 C．310 【答案】A【來源】湖北省部分省級示范高中2024-2025學年高二上學期期中測試數(shù)學試題【分析】假設點Pa,b，求得以OP為直徑的圓的方程，與已知圓O的方程作差可得直線AB的方程，然后可知直線AB過定點1,1【詳解】設Pa,b，則a+b=4則以OP為直徑的圓的方程為x?a與圓O的方程x2+y2=4又a+b=4，可得ax+4?ay?4=0，即可得x?y=04y?4=0，解得x=y=1，所以直線AB恒過定點N點M到直線AB距離的最大值即為點M，N之間的距離，MN=所以點M4,2到直線AB距離的最大值為10故選：A.18．(25-26高二上·河北滄州四校聯(lián)考·期中)已知圓C的方程為x2+y2=2，點P是直線x?2y?5=0上的一個動點，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，則四邊形PACB的面積的最小值為【答案】6(【來源】河北省滄州市四校聯(lián)考2025-2026學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題【分析】將四邊形的面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為原點到直線的距離最小值可得；再通過構(gòu)造四邊形的外接圓，兩圓的方程相減得公共直線的方程，進而判斷過定點可得.【詳解】如圖：

因為SPAOB=2SPAO=OA?PA所以只有OP最小時，四邊形的面積有最小值，由點到直線的距離可得，OPmin=d=再設P(x0,y0)，則得圓的方程：(x?x02與x2+y2=2相減，得直線AB所以直線AB的方程為，(2y0+5)x+令5x?2=02x+y=0，得x=25故答案為：6；(2題型七兩圓的位置關系：隱圓問題（共3小題）19．(25-26高二上·四川仁壽縣鏵強中學·)已知點P是直線l1:mx?y?5m+1=0和l2:x+my?5m?1=0的交點，點Q是圓C:(x+1)【答案】4?2【來源】四川省仁壽縣鏵強中學2025-2026學年高二上學期第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題【分析】分別找到直線l1、l2所過定點，求兩直線垂直，從而得交點P的軌跡是以兩定點的中點M(3,3)為圓心，以【詳解】∵直線l1:mx?y?5m+1=0可變形為∴直線l1過定點A(5,1)同理l2:x+my?5m?1=x?1+my?5=0，則直線∵m=0時，直線l1:y=1，l2當m≠0時，k1∴直線l1但由于直線l1不可能為x=5，直線l2不可能為所以直線l1與直線l2的交點不包含∴直線l1與直線l2的交點P的軌跡是以AB的中點半徑為r=12|AB|=2又∵圓C的圓心C(?1,0)，半徑R=1，由于MC=∴|PQ|的最小值是|MC|?r?R=(3+1)

故答案為：4?220．(25-26高二上·福建廈門第一中學·期中)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x?a2+y?a+22=1，點A0,?2，若圓C上存在一點M，滿足【答案】1?【來源】福建省廈門第一中學2025-2026學年高二上學期數(shù)學期中考試數(shù)學試卷【分析】設Mx,y，根據(jù)題意求出M【詳解】設Mx,y，因為A0,?2，O0,0，所以MA因為MA?MO=3所以點M的軌跡是以0,?1為圓心，2為半徑的圓，因為點M在圓上，所以兩圓必須相交或相切，所以1≤a?02+a?2+1故答案為：1?1721．(25-26高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中)在平面直角坐標系xOy中，已知O(0,0),M(3,0)，若圓(x?2)2+y2=r2上存在點P【答案】[1,5]【來源】江西省景德鎮(zhèn)市2025-2026學年高二上學期11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題【分析】根據(jù)給定信息求出點P的軌跡方程，再由兩圓有公共點列出不等式求解.【詳解】設P(x,y)，由|PM|=2|PO|，得(x?3)2整理得(x+1)2+y2=4又點P在圓(x?2)2+y2=所以實數(shù)r的取值范圍是[1,5].故答案為：[1,5]題型八軌跡類：圓的軌跡方程推導（共3小題）22．(25-26高二上·廣東東莞七?！?已知圓C:(x?3)2+y2=9，D是圓C上的動點，點E(2,4)，若動點M滿足A．(x?52)C．(x?5)2+(y?8)【答案】B【來源】廣東省東莞市七校2025-2026學年高二上學期聯(lián)考數(shù)學試題【分析】根據(jù)給定條件，可得E為線段DM中點，再利用坐標代換法求出軌跡方程.【詳解】設點M(x,y)，由DE=EM，得E為線段DM中點，則點而點D在圓C上，因此(4?x?3)2+(8?y)所以點M的軌跡方程為(x?1)2故選：B23．(25-26高二上·遼寧大連王府高級中學·)已知圓C:x2+y2(1)當直線l與圓C相切時，求直線l的斜率；(2)線段AB的端點B在圓C上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.【答案】(1)±2(2)(x+3【來源】遼寧省大連王府高級中學2025-2026學年高二上學期第二學段考試數(shù)學試題【分析】（1）設直線l的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解出即可；（2）設點Mx,y,Bx0,再利用點B的坐標滿足的關系式得到點M的坐標滿足的條件，即可求出.【詳解】（1）已知C的圓心是O0,0顯然直線l斜率存在，設直線l斜率為k，則直線l方程是y=kx+3，即kx?y+3k=0則圓心到直線l的距離為3kk解得直線l的斜率k=±2（2）設點Mx,y由點M是AB的中點得x=x0?3因為B在圓C上運動，所以x0①代入②得，(2x+3)2化簡得點M的軌跡方程是(x+324．(25-26高二上·天津益中學?！て谥?已知圓C經(jīng)過點A1,1，B2,?2，圓心C在直線(1)求線段AB的垂直平分線的方程；(2)求圓C的方程；(3)若點P4,1，Q是圓C上任意一點，線段PQ的中點為M，求動點M【答案】(1)x?3y?3=0(2)x+3(3)x?【來源】天津市益中學校2025-2026學年高二上學期期中階段性學情調(diào)研數(shù)學試卷【分析】（1）利用中點在直線上和垂直直線的斜率關系，由點斜式可得；（2）待定系數(shù)法求解圓的方程；（3）相關點法求動點的軌跡方程.【詳解】（1）線段AB的中點32,?1所以線段AB的垂直平分線的方程為y+12=（2）設圓C的方程為x?a2由題意可知2?a2+?2?b所以圓C的方程為x+32（3）設點M的坐標為(x,y)，點Q的坐標為x0因為點P的坐標是(4,1)，點M是線段PQ的中點，所以x=x即x0因為端點Q在圓C上運動，所以x0代入可得2x?4+32+2y?1+2因此線段PQ的中點M的軌跡方程為x?1題型九代數(shù)類：直線與圓的韋達定理（共3小題）25．(25-26高二上·山東濟寧曲阜·期中)已知線段MN的端點M3,1，端點N在圓(x+1)2+(y?1)2(1)求軌跡方程E；(2)過點A?1,0的直線l與曲線E交于P,Q兩點，若OP?OQ=1，其中【答案】(1)(x?1)(2)2【來源】山東省濟寧市曲阜市2025-2026學年高二上學期11月期中檢測數(shù)學試題【分析】（1）利用中點坐標公式將N點用MN的中點坐標和M點坐標表示出來，再利用代入法即可求出軌跡方程；（2）聯(lián)立直線l與曲線E，利用韋達定理結(jié)合OP?OQ=1即可求出直線l【詳解】（1）設MN的中點為Bx,y∵MN的中點為Bx,y，且M3,1，∴x=∵點N在圓(x+1)2∴x0+1化簡得(2x?2)2所以E的軌跡方程為：(x?1)2（2）設Px由直線l過點A?1,0且與圓E有兩個交點，所以直線l設直線l的方程為：x=my?1，聯(lián)立直線l與圓E的方程x=my?1x?12+∴Δ=(4m+2)2?4×4由OP?OQ=1得x化簡得m2將韋達定理代入可得m2+1?此時直線l的方程為：x?2y+1=0，由圓E的方程知，圓E的圓心坐標為1,1，半徑為r=1，又在直線l的方程中，當x=1時，y=1，即直線l過圓心，所以PQ=2r=226．(25-26高二上·四川綿陽中學·)已知圓C經(jīng)過點A(3,3)、B(2,4)，并且直線m:3x?2y=0平分圓C．(1)求圓C的方程；(2)過點D(0,1)，是否存在斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M，N，使OM?ON=8【答案】(1)(x?2)(2)不存在，理由見解析.【來源】四川省綿陽中學2025-2026學年高二上學期第二次測試數(shù)學試題【分析】（1）設標準方程，兩點代入方程，圓心帶入直線聯(lián)立求解（2）直線l的方程與圓聯(lián)立，得到韋達定理，代入OM?ON=8解出答案，并由Δ【詳解】（1）設圓C的標準方程為(x?a)2因為直線m:3x?2y=0平分圓C的面積，所以直線過圓心(a,b)，即3a?2b=0，則3a?2b=0(3?a)2+圓的方程為(x?2)（2）由題意直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1(x?2)2+(y?3)2設Mx1,則Δ=16(1+k)2故x1+x而y1所以OM=k故有4k(1+k)1+k2+8=8，解得k=?1或27．(25-26高二上·安徽安慶第二中學·期中)已知圓O:x2+y2=1的圓心O與圓(1)求圓C的標準方程；(2)若直線l:y=kx+12交圓O于A,B兩點，點P0,2，證明：當k不斷變化時，y【答案】(1)x+12(2)證明見解析.【來源】安徽省安慶市第二中學2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得圓O和圓C的圓心坐標和半徑，結(jié)合圓心O與圓心C關于直線對稱，列出方程組，求得a,b的值，即可求解；（2）聯(lián)立方程組，得到k2+1x【詳解】（1）由圓O:x2+y2=1，可得圓又圓C:x?a2+y?b2因為圓心O與圓心C關于直線2x+8y+17=0對稱，得2×a2+8×所以圓C的標準方程為x+12（2）證明：設Ax1,y1聯(lián)立方程組y=kx+12x則Δ=k2+3k則kPA所以當k不斷變化時，y軸始終平分∠APB.題型十跨模塊：直線與圓結(jié)合平面向量（共3小題）28．(25-26高二上·廣東廣州天天向上聯(lián)盟·期中)已知A，B是圓C：x2+y2?2x?4y+1=0上的兩點，且AB=2，點A．2 B．4 C．5?3 【答案】D【來源】廣東省廣州市天天向上聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷【分析】設H為AB的中點，由OA+OB=2【詳解】已知A、B是圓C：x2+y點O為坐標原點，由于x2+y故圓C的圓心為C1,2，半徑為2，設H為AB的中點，則CH⊥AB結(jié)合AB=2，得到CH=22?12又OA+OB=2而OC=OH的最小值為5?則OA+OB的最小值為故選：D29．(25-26高二上·江蘇南菁高級中學·)已知直線x+y?k=0k>0與圓x2+y2=4交于不同的兩點A、B，O是坐標原點，且有A．0,2 B．0,3 C．2,2【答案】C【來源】江蘇省南菁高級中學2025-2026學年高二上學期數(shù)學周練6【分析】利用向量的運算法則，結(jié)合直線與圓相交可求解.【詳解】設AB的中點為D，則OD⊥AB，因為OA+OB≥33因為OD2+1因為直線x+y?k=0k>0與圓x所以OD2<4，所以即1≤?k22故選：C.30．已知向量a，b，c滿足|a|=3，|b|=3，a?(b?a)=3【答案】1【來源】四川省資陽市2026屆高三第一次診斷性考試數(shù)學試題【分析】先求出a,b夾角為π6，設a,b,c起點為O，終點為A,B,C，畫出示意圖，由向量a?c與b【詳解】由題意a?(代入|a|=3，|b|=3得cos如圖所示在直角三角形OBD中，OD=23∠AOB=π令OA=a,∠ACB即為向量a?c與b?則點C在AB所對圓周角為π3的圓弧上，其圓心角為2如圖所示，要使得|c|最小，顯然在由于∠ABO=π6，則在OB上取BE=1，由于AB=3，由余弦定理可得AE=所以點E即為圓心，半徑BE=1，則OCmin=OE?1=1，此時O,C,E共線且點C故|c故答案為：1.題型十一幾何意義最值：斜率，距離，截距型（共3小題）31．(25-26高二上·山東濟南振聲學?！て谥?【多選題】已知實數(shù)x,y滿足方程x2+yA．點x,y到點2,0的距離為定值 B．y的最大值為2C．x2+y?12的最大值為5+【答案】ACD【來源】山東省濟南振聲學校2025-2026學年高二上學期期中學情檢測數(shù)學試題【分析】整理可得點x,y的軌跡為圓，根據(jù)2,0為該圓圓心可知A正確；利用y2=3?x?22≤3可求得B錯誤；利用x【詳解】對于A，由x2+y∴點x,y的軌跡是以2,0為圓心，半徑r=3∴點x,y到點2,0的距離為該圓的半徑，即定值3，A正確；對于B，∵y2=3?x?22≤3，對于C，x2+y?12的幾何意義為點∵圓心2,0到點0,1的距離d=2?0∴x2+對于D，設x=2+3cosθ，y=x+y=2+3∵θ∈0,2π，∴當θ+π4=π2，即θ=故選；ACD.32．(22-23高二上·河北唐山遷安·期中)【多選題】已知實數(shù)x，y滿足曲線C的方程x2+yA．y?x的最大值為6B．x2+C．yx的最大值為D．曲線C上恒有四個點到直線mx?y?2m=0的距離等于3【答案】AD【來源】河北省唐山市遷安市2022-2023學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷【分析】令y?x=z，t=x2+【詳解】根據(jù)題意，方程x2+y表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，對于A，設y?x=z，即x?y+z=0，直線x?y+z=0與圓(x?2)2所以|2+z|1+1≤則z=y?x的最大值為6?2對于B，設t=x2+所以t的最大值為2+3故x2+y對于C，設k=yx，則kx?y=0，直線kx?y=0與圓則|2k|1+k2≤3，解得?對于D，直線mx?y?2m=0化為x?2m?y=0令x?2=0?y=0，解得x=2所以直線mx?y?2m=0過圓心(2,0)，則圓上的點到直線mx?y?2m=0距離的最大值為3，且直線與圓相交，因為3>所以曲線C上恒有四個點到直線mx?y?2m=0的距離等于32故選：AD.33．(25-26高二上·江蘇無錫宜興六?！て谥?【多選題】已知實數(shù)x，y滿足曲線C的方程x2+yA．x2+y2的最大值是9C．x+y的最大值是22+1 D．x?y+3【答案】AC【來源】江蘇省無錫市宜興市六校2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷【分析】先將曲線C的方程化為標準方程，確定其幾何圖形，再根據(jù)不同選項的要求，結(jié)合圓的性質(zhì)進行分析.【詳解】曲線C的方程x2+y令t=x2+圓心1,0到原點的距離為d=1?0圓上的點到原點的最大距離為圓心1,0到原點的距離加上半徑，即d+r=1+2=3，∴x2+y2設k=y+2x+2，其幾何意義是圓上的點x,y與點則k=y+2x+2可化為y+2=kx+2∵直線與圓x2+y即k×1?0+2k?2k2+1≤2，化簡得∴y+2x+2的最大值為125設t=x+y，則y=?x+t，其幾何意義是直線y=?x+t在y軸上的截距，當直線y=?x+t與圓x?12+y圓心1,0到直線x+y?t=0的距離d=1+0?t1+1=r=2解得t=1+22或t=1?2∴x+y的最大值是22+1，設m=x?y+3，即y=x+3?m，其幾何意義是直線y=x+3?m在y軸上的截距，當直線y=x+3?m與圓x?12+y圓心1,0到直線y=x+3?m的距離d=1?0+3?m1+1=r=2解得m=4+22或m=4?2∴x?y+3的最小值是4?22，故選：AC.題型十二定點問題：圓恒過定點（共3小題）34．(25-26高二上·海南天一聯(lián)考·)已知圓C：x2(1)求實數(shù)m的值．(2)過直線l：x+y=0上的動點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B．（?。┊旤cP的坐標為2,?2時，求這兩條切線的方程；（ⅱ）證明△PAB的外接圓過定點，并求出所有定點的坐標．【答案】(1)m=16(2)（ⅰ）x=2和3x?4y?14=0；（ⅱ）證明見解析，4,2，1,?1．【來源】海南省天一聯(lián)考2025-2026學年高二上學期學業(yè)水平診斷（一）數(shù)學試題【分析】（1）將一般方程化為標準方程，由半徑為2求出m的值即可；（2）（i）分類討論，利用點到直線的距離公式求出切線斜率，從而求出切線方程；（ii）由題意，△PAB的外接圓是以為PC直徑的圓，設Pt,?t【詳解】（1）圓C的方程化為標準方程得x?42因為圓C的半徑為2，所以20?m=22，得（2）（?。┯桑?）知圓心為C4,2，設過點P的切線為l當l′的斜率不存在時，l′方程為當l′的斜率存在時，設l′方程為y=kx?2利用點到直線的距離公式可得d=4k?2?2k?2k2所以l′的方程為34x?y?2×綜上，這兩條切線的方程分別為x=2和3x?4y?14=0．（ⅱ）因為PA，PB與圓C相切，所以PA⊥AC，PB⊥BC，所以P，A，B，C四點都在以PC為直徑的圓上，即△PAB的外接圓必過的一個定點為C4,2設Pt,?t，則PC的中點為4+t2,以PC為直徑的圓的方程為x?4+t整理可得x2由x2+y2?4x?2y=0,所以△PAB的外接圓過定點4,2，1,?1．35．(23-24高二上·北京第一六一中學·期中)已知圓C：x?a2+y2=1與直線y=?x?1交于M、N兩點，點P為線段(1)求a的值及△MON的面積；(2)若圓C與x軸交于A、B兩點，點Q是圓C上異于A、B的任意一點，直線QA、QB分別交l：x=?4于R、S兩點.當點Q變化時，以RS為直徑的圓是否過圓C內(nèi)的一定點，若過定點，請求出定點；若不過定點，請說明理由.【答案】(1)a=?2，S(2)過定點，?4+【來源】北京市第一六一中學2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學試題【分析】（1）先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程求得點坐標，利用垂徑定理及兩直線垂直的斜率關系計算可得；根據(jù)點到直線的距離公式、弦長公式計算求面積即可；（2）設直線QA方程，含參表示直線QB方程，求出R,S坐標，從而求出以RS為直徑的圓的方程，利用待定系數(shù)法計算即可.【詳解】（1）由題意可知直線OP的方程為y=?1則聯(lián)立y=?x?1與y=?13又因點P為線段MN的中點，所以可得MN⊥PC，即KMN·Κ由a=?2可知圓心C?2,0，所以C?2,0到直線y=又因圓C半徑為1，根據(jù)勾股定理可求得MP=所以線段MN=2又因原點O到直線y=?x?1距離為d1=所以S△MON（2）由圓C與x軸交于A,B兩點，得A?3,0不妨設直線QA的方程為y=kx+3，其中k≠0在直線QA的方程中，令x=?4，可得R?4,?k因為QA⊥QB，則直線QB的方程為y=?1在直線QB的方程中，令x=?4，可得y=3k，即點則線段RS的中點為F?4,3?k所以以線段RS為直徑的圓的方程為x+42即x+42+y2?因此當點Q變化時，以RS為直徑的圓恒過圓內(nèi)的定點?4+3【點睛】解題的關鍵是設直線QA的方程為y=kx+3，則直線QB的方程為y=?1kx+1，由k表示的RS中點為F?4,3?k22k，圓的半徑平方為3+36．(24-25高三上·云南師范大學附屬中學·月考)古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點的距離之比值為常數(shù)λλ>0,?λ≠1的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓．已知點A到M?8,0的距離是點A到N?(1)求曲線C的方程；(2)設曲線C與x軸的負半軸交于點B,?O為坐標原點，若點A不在x軸上，直線AB,?AO分別與直線l:x=1【答案】(1)x+2(2)以DE為直徑的圓過定點2,0，或?1,0，理由見解析【來源】云南師范大學附屬中學2024-2025學年高三上學期11月月考數(shù)學試題【分析】（1）設Ax,y，由AM（2）求出B?4,0,O0,0，設Ax,yy≠0，直線AB,?AO的方程分別為y=k1x+4k1≠0、y=【詳解】（1）設Ax,y，由題意得AM即x+82+y所以曲線C的方程為x+22（2）以DE為直徑的圓過定點2,0，或?1,0，理由如下，令y=0，可得x=0，或x=?4，所以B?4,0設Ax,yy≠0，直線AB,?AO的方程分別為因為AB⊥AO，所以k2=?1由x=12y=k1x+4得可得DE的中點為12,9以DE為直徑的圓的方程為x?1整理得x?1由x?122+y可得以DE為直徑的圓過定點2,0，或?1,0.題型十三直線定點：直線過定點（共3小題）37．(24-25高二上·貴州九師聯(lián)盟·)設A1,3，B4,0，C?3,3，D1,?3，圓Q的圓心在x軸的正半軸上，且過A(1)求圓Q的方程；(2)若圓Q上存在兩個不同的點P，使得PA2+P(3)設斜率為k直線l與圓Q相交于E，F(xiàn)兩點（不與原點O重合），直線OE，OF斜率分別為k1，k2，且k1【答案】(1)x?2(2)20?8(3)證明見解析【來源】貴州省九師聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題（人教B版）【分析】（1）首先分析圓Q只能過點A，B，D三點，再求出線段AB、線段AD的垂直平分線方程，聯(lián)立求出交點坐標，即為圓心，再求出半徑，即可得到圓的方程；（2）設Px,y，根據(jù)PA2+PC2=2λ，得到x+12+y?3（3）設直線l的方程為y=kx+m，Ex1,y1【詳解】（1）若圓Q經(jīng)過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線x=?1上，不合題意；又A1,3與D1,?3關于x軸對稱，圓心在x軸的正半軸上，所以圓Q只能過點A，因為kAB=31?4=?所以線段AB的垂直平分線的方程為y?32=又線段AD的垂直平分線的方程為y=0，聯(lián)立方程組3x?y?23=0,所以圓心為Q2,0，半徑為QB=4，所以圓Q的方程為（2）設Px,y，因為P所以x?12化簡得x+12+y?則點P在以M?1,3為圓心，λ?4為半徑的圓上，依題意該圓M與圓又MQ=則λ?4?2<23（3）設直線l的方程為y=kx+m，Ex1,y由y=kx+mx?22+所以x1+x所以k=k2+所以直線l方程為y=kx+2，令x+2=0y=0，解得x=?2y=0，即直線l38．(25-26高二上·四川綿陽南山中學·期中)已知平面上兩定點A4,0和B1,0，動點M滿足|MA||MB|=2，記點(1)求曲線C的方程；(2)設點D在曲線C上運動，記點M為過D、B兩點的弦的中點，若直線DB與直線l:x=32交于點N，證明：(3)若點P、Q在曲線C上，點S2,2滿足直線PS、QS的斜率之積為?2，試問直線PQ是否過定點，若直線PQ【答案】(1)x2(2)證明見解析；(3)23【來源】四川省綿陽南山中學2025-2026學年11月高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式可得曲線C的方程；（2）設直線聯(lián)立得出韋達定理結(jié)合弦長公式計算證明；（3）設直線PQ為x=ty+n及y=y0，結(jié)合斜率之積計算得出【詳解】（1）設Mx,y,因為A4,0B1,0，MA所以x?42+y所以曲線C的方程為x2（2）設直線DB為x=my+1，直線DB與曲線C交點為x1聯(lián)立x=my+1所以m2+1yD、B兩點的弦的中點M的縱坐標為?mm聯(lián)立l:x=32與x=my+1，所以N的縱坐標為|BM|·|BN|=所以|BM|·|BN|恒為定值1（3）設直線PQ為x=ty+n，Px聯(lián)立x=ty+nx所以t2所以y3又因為點S2,2滿足直線PS、QS所以y3所以y3所以y3即得1+2t化簡得3n所以2n?2所以2n?2?2當2n?2?2t?n=0時，即n=23當2n?2+2直線PQ為x=ty+2+2t,x=ty+2+當直線PQ為y=y0，Px3,y0所以y0?2即得3y02?22綜上，直線PQ過定點23

39．(25-26高二上·甘肅慶陽華池縣第一中學·期中)已知圓O：x2+y2=4交x軸于點A，B，P是直線x＝4上一點，直線PA，PB分別交圓O(1)若點N（0,2）(2)探究直線MN是否過定點，若過定點，求出該定點；若不存在，請說明理由．【答案】(1)M(2)過定點（【來源】甘肅省慶陽市華池縣第一中學2025-2026學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題【分析】（1）分別由斜截式得到直線AN和直線BP的方程，再解方程組x2+y（2）設P（4,t），由斜截式得到直線AN的方程，聯(lián)立曲線方程解出點M的坐標；同理解出點N的坐標，分別討論當直線MN垂直于x軸時和t=0、t【詳解】（1）∵點N0,2,A?2,0，∴直線AN令x=4，則P（4,6）．又B（2,0由y=3（x?2）及x（2）設P（4,t），∵點A（?2,0由y=t6x+2及x∵點B（2,0），∴直線BM由y=t2x?2及x當直線MN垂直于x軸時，則72?2t236+N1,3,M1,?3或N當t=0時，M（?2,0）,N（故若直線MN過定點，則該定點為C（當t2=12時，直線MN的方程為x=1，顯然過點當t2≠12時，kMC∴kMC=kNC，∴M，N，C三點共線，即直線題型十四定值探究（共3小題）40．(25-26高二上·山東泰安寧陽縣復圣中學·期中)已知圓C的圓心在y軸上，且過3,4，22(1)求圓C的標準方程；(2)過直線l:x?y+2=0上且在圓C外的一點Q作圓C的兩條切線，切點分別為M、N，當點M的坐標為0,1時，求點N的坐標.(3)已知點A0,2，點B在y軸上且異于點A，動點P在圓C上，當PAPB為定值時，求點【答案】(1)x(2)N(3)0,?【來源】山東省泰安市寧陽縣復圣中學2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題【分析】（1）借助待定系數(shù)法計算即可得；（2）由題意可先求出過點M的切線方程，則可聯(lián)立直線l得到點Q坐標，再以Q為圓心，QM為半徑作圓，求出該圓與圓C的交點坐標即可得解；（3）設Px,y，B0,t，PAPB=k，則可借助兩點間距離公式得到與y、【詳解】（1）設圓C的標準方程為x?a2由圓C的圓心在y軸上，則a=0，由圓C過3,4，22則有32+4?b即圓C的標準方程為x2（2）圓C:x2+則過點M0,1的切線與y軸垂直，即為y=1對l:x?y+2=0，令y=1，則x=y?2=?1，即Q?1,1以Q?1,1為圓心，QM=1為半徑作圓，即為則M、N為該圓與圓C的兩個交點，x+12+y?12=1由M0,1，故N

（3）設Px,y，B0,tt≠2，則x設PAPB=k>0，則由PA2PB2則4y?3=k整理得8?2tk則需8?2tk2?4=0k2即有k2由t≠2，則2t+1=0，即t=?12，則k2即方程組8?2tk2?4=0即點B的坐標為0,?1

41．(25-26高二上·廣東廣州廣東實驗中學·期中)已知點Px0,y0為圓A:x?22(1)求點Q的軌跡方程；(2)已知點C5,8，求QB(3)若過點B的直線與點Q的軌跡交于E，F(xiàn)兩點，試問在x軸上是否存在點Mm,0，使ME?MF【答案】(1)x(2)138(3)存在，點M1,0，定值為【來源】廣東省廣州市廣東實驗中學2025-2026學年高二上學期期中數(shù)學試題【分析】（1）設Qx,y，利用對稱關系把點P的坐標用x,y（2）利用兩點間距離公式整理QB2+QC（3）設出直線方程，聯(lián)立圓的方程消去y，利用韋達定理代入化簡ME?【詳解】（1）設Qx,y，因為點Q是點P關于點B所以x+x02=1y+y0所以2?x?22+?y2=4（2）易知QB=?12x?16y+98=?43x+4y令z=3x+4y，則y=?314z可視為直線y=?3所以3x+4y的最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距，由直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑可得d=z5=2所以3x+4y的最小值為?10，因此QB2（3）存在點M1,0，使得ME?MF理由如下：當直線l斜率存在時，設其斜率為k，則直線l的方程為y=kx?1由x2+y2=4設Ex1,y1又ME=x1則ME==1+要使上式恒為定值，需滿足m2?2m?2=m此時M1,0，ME?MF

42．(25-26高二上·山東煙臺芝罘區(qū)·期中)已知圓M過點P(0,1)，且與圓N:(x?1)2+(y?4)2(1)求圓M的方程；(2)經(jīng)過點C(2,3)的直線l與圓M交于A，B兩點，直線l不經(jīng)過圓心M，過點A，B分別作圓M的切線，兩切線交于點D，求證：點D在一條定直線上；(3)設r=6，已知點E為圓N上任意一點，過點E作圓M的一條切線，切點為F，是否存在一定點Q，使得EF2EQ2【答案】(1)x2(2)證明見解析；(3)存在，Q(?1,?4)，定值為12【來源】山東省煙臺市芝罘區(qū)2025-2026學年高二上學期期中學業(yè)水平診斷數(shù)學試題【分析】（1）設Mx（2）設Ax1,y1,Bx2,（3）假設存在點Q(m,n)滿足題意，再利用兩點距離公式得到方程，最后因為分解即可得到方程組，解出即可.【詳解】（1）因為圓M和圓N關于直線2x+8y?17=0對稱，所以點M和點N關于直線2x+8y?17=0對稱，且兩圓半徑相等．由題知，N(1,4)，設Mx則有y0?4x0?1所以，圓M的方程為x2又因為點P(0,1)在圓M上，所以r=1，所以圓M的方程為x2（2）設Ax則OA=由已知得，OA⊥AD，所以OA?即x1a?x又因為x12+y1所以直線AB的方程為ax+by=1，又因為點C(2,3)在直線AB上，所以2a+3b=1．故點D恒在定直線2x+3y=1上．（3）設E(x,y)，則有(x?1)2即x2若存在點Q(m,n)，使EF2EQ2為定值，設EF2EQ又因為EF2所以x2整理得(1?k)x所以(1?k)(2x+8y+19)=km即(2?2k+2mk)x+(8?8k+2nk)y+18?19k?km要使EF2EQ2解得m=?117n=?故當點Q?117,?417時，題型十五定線推導（共3小題）43．(25-26高二上·四川成都第七中學·月考)動圓C：x2+y2+λx+λy?λ+1=0(1)證明：動圓C必過兩定點，并求出這兩點坐標；(2)求AB的最小值；(3)是否存在一條定直線，在其上任取點K，無論λ為何值，都有KA?【答案】(1)(1,0)或(0,1)；(2)43(3)存在，3x+6y?5=0.【來源】四川省成都市第七中學2025-2026學年高二上學期10月月考數(shù)學試題【分析】（1）將圓的方程整理得x2+y（2）求出圓x2+y2+λx+λy?λ+1=0λ∈R的圓心坐標和半徑r，求圓心到直線l的距離為d，使用公式AB=2r2（3）設定A(x1,2x1)，B(x2,2x2)，【詳解】（1）x2整理得x2由x2+y2?1=0即動圓C恒過兩定點的坐標為(1,0)或(0,1).（2）由圓的方程x2圓C的圓心坐標為C(?λ圓C的半徑為r=1則圓C的圓心到直線l：y=2x的距離為d=2?(?所以A,B兩點間的距離AB=2整理得AB=2設t=920λ故tmin所以ABmin（3）設A(x1,2將直線y=2x代入圓x2得x2整理得5x2+3λx?設K(m,n)，則KA=(x1則有KA?整理得KA?即有KA?整理得KA?因為無論λ為何值，都有KA?則令35(m+2n)?1=0，KA?故存在定直線x+2y=53，即3x+6y?5=0，其上任意點

44．(25-26高二上·四川成都雙流區(qū)立格實驗學?！て谥?已知⊙O：x2+y2=9與x軸分別相交于A,B兩點，過點F?1,0的直線(1)當MN=42時，求直線(2)當△OMN的面積S△OMN取得最大值時，將⊙O沿x軸折成直二面角．如圖，在上半圓上是否存在一點Q，使平面ONQ與平面BMN的夾角的余弦值為105？若存在，求出點(3)若直線MA與直線BN相交于點T，判斷點T是否在定直線上？若在，請求出定直線方程；若不在，請說明理由．【答案】(1)x=?1(2)Q(3)答案見解析【來源】四川省成都市雙流區(qū)立格實驗學校2025-2026學年高二上學期半期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題【分析】（1）設l:x=my?1，利用圓心到直線的距離公式和圓心、弦長列式求解即可；（2）利用面積公式求解可得，當m=0時，S△OMN取得最大值，建立空間直角坐標系，設Q0,3cosθ,3sin（3）聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達定理及斜率公式，求出兩直線的方程，聯(lián)立直線方程可得T在定直線x=?9上.【詳解】（1）由題意得直線l的斜率不為0，設l:x=my?1，即x?my+1=0，圓心到直線的距離為d=1又MN=4所以d2=9?8=1，所以d=1所以直線l的方程為x=?1.（2）由題意得直線l的斜率不為0，設l:x=my?1，即x?my+1=0，由（1）知MN=29?dS△OMN令9m2+8所以S△OMN又t≥22，y=t+1t所以當t=22時，t+1t取得最小值為924此時9m2+8建立空間直角坐標系，如圖，則M(0,?1,22)，N(22所以BM=(0,?4,22)設平面BMN的法向量為m=(BM?m=?4設Q0,3cosθ,3所以ON=(22,?1,0)設面ONQ的法向量為n=(ON?n=2設平面ONQ與平面BMN的夾角為α，cosα=解得cosθ=0，所以Q（3）A?3,0,B3,0，設M由題意得直線l的斜率不為0，設l:x=my?1，所以x=my?1x可得m2所以y1+ykAM=y1xkBN=y2x聯(lián)立方程①②可得x+3=m可得x=?9，所以點T在定直線x=?9上.45．(25-26高二上·河南天一大聯(lián)考·)已知點O0,0，Q2,0，動點P滿足PO2+PQ(1)求曲線C的方程，并判斷C的形狀．(2)已知過點O且不與坐標軸重合的直線l1與曲線C相交于A，B①過點O作與l1垂直的直線l2，與曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求四邊形②設曲線C與x軸相交于M，N兩點，直線MA與NB相交于點G，證明點G在定直線上，并求出該直線的方程．【答案】(1)x?12+y2=4(2)①7；②證明見解析，x=?3【來源】河南省天一大聯(lián)考2025-2026學年高二上學期階段性測試（一）數(shù)學試卷（北師大版）【分析】（1）設Px,y，根據(jù)兩點距離公式代入等式中進行化簡即可得到曲線C（2）①先求出直線l1,l2與圓相交的弦的長，然后根據(jù)四邊形的面積公式列