第1章二次函數(shù)章末重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．（23-24九年級上·浙江嘉興·期末）拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了求拋物線的頂點坐標．熟記二次函數(shù)的頂點式的形式是解題的關(guān)鍵．直接利用頂點式的特點可寫出頂點坐標．【詳解】解：頂點式，頂點坐標是，拋物線的頂點坐標是；故選：A．2．（22-23九年級上·浙江杭州·期中）點在二次函數(shù)的圖象上，則的值是（

）A．負數(shù) B．零 C．正數(shù) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給函數(shù)解析式可得出拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱性即可解決問題．【詳解】解：由題知，拋物線的對稱軸是直線，又，則所給的兩個點是關(guān)于直線對稱的，所以它們的縱坐標相等，即．所以．故選：B．3．（2024九年級下·浙江·專題練習）將拋物線通過以下平移能得到拋物線的是（）A．向左平移2個單位長度 B．向右平移2個單位長度 C．向上平移2個單位長度 D．向下平移2個單位長度【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握二次函數(shù)圖象平移，左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“上加下減”進行解答即可．【詳解】解：由題意知，，∴將拋物線向上平移2個單位能得到拋物線，故選：C．4．（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象相交于P、Q兩點，則一元二次方程的根的說法正確的是（

）A．有兩個負根 B．有兩個正根C．有一正一負的兩根 D．無實數(shù)根【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題，根據(jù)函數(shù)圖象可知一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的兩個交點的橫坐標都大于0，則對應(yīng)方程的解為兩個正根，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象相交于P、Q兩點，且這兩點均在第一象限，∴方程有兩個正根，∴一元二次方程有兩個正根，故選：B．5．（23-24九年級上·浙江金華·階段練習）已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)y的最大值為（

）A．1 B．3 C．9 D．19【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，確定函數(shù)的對稱軸和開口方向是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵，函數(shù)圖象開口向上，又∴當時，函數(shù)有最大值，此時，故選：D6．（23-24九年級上·山西陽泉·期末）如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系，下列說法正確的是（

）A．小球的飛行高度為15m時，小球飛行的時間是1sB．小球從飛出到落地要用4sC．小球飛行3s時飛行高度為15m，并將繼續(xù)上升D．小球的飛行高度可以達到25m【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)表達式，可以求出的兩根，兩根之差即為小球的飛行到落地的時間；求出函數(shù)的最大值，即為小球飛行的最大高度；然后根據(jù)方程的意義為時所用的時間，據(jù)此解答．【詳解】解：的兩根，，即時所用的時間，小球的飛行高度是15m時，小球的飛行時間是1s或3s，故A錯誤；，對稱軸為直線，最大值為20，故D錯誤；時，，此時小球繼續(xù)下降，故C錯誤；當時，，，，小球從飛出到落地要用4s，故B正確．故選：B．7．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．當時，該函數(shù)有最大值和最小值，則（）A．有最大值 B．無最大值 C．有最小值 D．無最小值【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，求得拋物線開口向下，對稱軸為軸是解題的關(guān)鍵．由題意可知對稱軸為軸，則函數(shù)為，利用待定系數(shù)法求得，由當時，該函數(shù)有最大值和最小值，即可得出，，進一步求的，得到的最小值為，無最大值．【詳解】二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，對稱軸為直線，，，，把，代入得，解得：．當時，該函數(shù)有最大值和最小值，時，取最大值，時，取最小值，，又，的最小值為，無最大值．故選B．8．（2023·四川瀘州·二模）已知點，在拋物線上，當且時，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：根據(jù)題意和題目中的拋物線，可以求得拋物線的對稱軸，然后分類討論即可得到的取值范圍．方法二：根據(jù)且時，都有，可以得到，然后利用分類討論的方法，即可得到的取值范圍．本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】解：方法一：拋物線，該拋物線的對稱軸為直線，當且時，都有，當時，，解得；當時，，此時無解；由上可得，的取值范圍為，故選：A．方法二：由可得，，整理，得：，且，當時，則，即，解得，；當時，則，此時無解；由上可得，，故選：A．9．（2024·浙江杭州·一模）定義符號的含義為：當時；當時．如：，．則的最大值是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，當時，則，可求出當時，，據(jù)此利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；當或時，，則，據(jù)此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當時，則，∴，∴，∴或，解不等式組，可知不等式組無解；解不等式組得，∴當時，，∴此時的最大值為；當或時，，則，∴；綜上所述，的最大值為2，故選：B．10．（23-24九年級上·浙江湖州·期末）在平面直角坐標系中，已知點的坐標分別為，若拋物線與線段只有一個公共點，則的取值范圍是（

）A．或 B．或或C．或 D．或【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，通過函數(shù)解析式求出拋物線頂點坐標，可得拋物線運動軌跡，然后通過數(shù)形結(jié)合求解，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握求二次函數(shù)頂點運動軌跡的方法，通過數(shù)形結(jié)合方法求解．【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點為，∴拋物線頂點所在圖象解析式為，當拋物線經(jīng)過點時，如圖，∴，整理得解得：；當拋物線經(jīng)過點時，∴，解得：或，∴當或時，與線段只有一個公共點，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，當直線的解析式與拋物線只有一個交點時，即，整理得：，即有，解得：，綜上可知：的取值范圍是或或，故選：．二、填空題（6小題，每小題2分，共12分）11．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習）如果函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值一定是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得，然后進行計算即可解答，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，且，∴，故答案為：．12．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）已知拋物線經(jīng)過點，則．【答案】【分析】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，把點代入求解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，∴，∴，故答案為：．13．（23-24九年級上·浙江溫州·階段練習）已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，能由二次函數(shù)的表達式得出拋物線的對稱軸及開口方向是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象，結(jié)合當時函數(shù)圖象的增減情況，即可解決問題．【詳解】解：由二次函數(shù)的表達式為可知，拋物線開口向上，對稱軸為直線所以當時，函數(shù)取得最小值，且則當時，當時，∴在中，函數(shù)的最大值為，故答案為：．14．（23-24九年級上·浙江舟山·階段練習）對于一個函數(shù)，自變量取時，函數(shù)值y也等于，則稱a是這個函數(shù)的不動點．已知二次函數(shù)．（1）若3是此函數(shù)的不動點，則m的值為．（2）若此函數(shù)有兩個相異的不動點，，且，則m的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)結(jié)合．（1）根據(jù)不動點定義當，代入解一元一次方程即可得到答案；（2）根據(jù)不動點定義列方程解出一元二次方程的解，結(jié)合及判別式大于0即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，當，，代入可得，，解得：；設(shè)函數(shù)不動點為n，由題意可得，，且有兩個解，，解得：，，且，解得：，∵，∴，，解得：，故答案為：；．15．（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，點A為x軸上一點，點B的橫坐標為6，以、為邊構(gòu)造．過點O，C，B的拋物線與x軸交于點D．連接，交邊于點E．若，則點D的坐標為．【答案】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)證明，得出，則A為中點，設(shè)點，由拋物線的對稱軸可列出方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴在和中，∴，∴，∴，∴A點為中點，設(shè)點，∴，，，∵點B的橫坐標為6，∴點C的橫坐標為，∵∴拋物線的對稱軸為直線：，∵點B與點C關(guān)于對稱軸對稱，∴點B與點C到對稱軸的距離相等，∴∴，故答案為：．16．（2023·浙江溫州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，三角板的直角邊緊靠軸上．將一條不可伸縮的（與等長）繩子的一端固定于點處，另一端固定在軸正半軸上的點處，鉛筆筆尖緊靠著三角板邊把繩子繃緊，當三角板沿著軸左右平移時筆尖就能畫出一條拋物線．已知，，現(xiàn)將點向上平移若干個單位后重新作拋物線，所得新拋物線的開口最大寬度增加了，則新拋物線的表達式為．

【答案】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，先找到拋物線的頂點，然后求得點能到達的最左邊的位置點，進而待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)題意新拋物線的開口最大寬度增加了，結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】解：當與軸重合時，∵，，∴，設(shè)拋物線解析式為當重合時，則，如圖所示，過點作軸于點

又∵的縱坐標為，則，∴∴代入∴解得：∴拋物線解析式為如圖所示，現(xiàn)將點向上平移若干個單位后重新作拋物線，所得新拋物線的開口最大寬度增加了，設(shè)∴，，∴解得：，∴新的拋物線的頂點坐標為設(shè)新拋物線解析式為，將點代入得，解得：∴新的拋物線解析式為故答案為：．三、解答題（8小題，共68分）17．（2024·浙江金華·二模）已知二次函數(shù)，當時，，時，．(1)求a，c的值．(2)當時，求函數(shù)y的值．【答案】(1)(2)21【分析】本題考查求二次函數(shù)解析式，求函數(shù)值；（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）將代入解析式，求出函數(shù)y的值即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：，∴；（2）由（1）知：，∴，∴當時，．18．（23-24九年級上·浙江寧波·階段練習）二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值如表，根據(jù)下表回答問題．x…0…y…04…(1)求出該二次函數(shù)的表達式；(2)寫出向下平移2個單位后，圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象的平移，注意計算的準確性．（1）將和代入，即可求解；（2）上下平移改變因變量的值：上加下減．【詳解】（1）解：將和代入得：，解得：，∴該二次函數(shù)的表達式為：（2）解：向下平移2個單位后，二次函數(shù)得表達式為：，即：19．（23-24九年級上·浙江溫州·期末）如圖，拋物線經(jīng)過點，，與軸交于點．(1)求拋物線的表達式及點坐標．(2)點是拋物線上一點，且當時，的最大值為3，求的面積．【答案】(1)，點為(2)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．求拋物線的表達式以及與面積有關(guān)的綜合問題.（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式，以及當當時，即可求出C點的坐標．（2）根據(jù)時，的最大值為3，可確定m的值，進而可求出答案．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得：，；當時，，∴點為．（2）由題意得，二次函數(shù)經(jīng)過點由（1）得，，，；，20．（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標；【答案】(1)(2)，【分析】本題考查了二次函數(shù)的總和運用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題；（1）由一次函數(shù)的解析式可求出點和點坐標．再代入拋物線解析式中即可求出和的值，即得出拋物線解析式；（2）過作軸，交直線于，設(shè)，，則，，則可用表示出的長，最后利用三角形面積公式即可求出的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得出答案；【詳解】（1）當時，，，當時，，解得：，，把和代入拋物線中得：，解得：，拋物線的解析式為：；（2）如圖，過作軸，交直線于，設(shè)，則，，，，，有最大值，此時；21．（23-24九年級上·浙江湖州·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何選擇合適的種植方案？素材1為了加強勞動教育，落實五育并舉，吳興區(qū)某中學在校園內(nèi)建成了一處勞動實踐基地．2024年計劃將其中的土地全部種植甲、乙兩種蔬菜．素材2甲種蔬菜種植成本y（單位：元/）與其種植面積x（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．問題解決任務(wù)1確定函數(shù)關(guān)系求甲種蔬菜種植成本y與其種植面積x的函數(shù)關(guān)系式．任務(wù)2設(shè)計種植方案設(shè)2024年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？并求出W的最小值．任務(wù)3預計下降率學校計劃今后每年在這土地上，按“任務(wù)二”中方案種植蔬菜，因技術(shù)改進，預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平均每年下降10%，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2026年的總種植成本為2892元？【答案】任務(wù)一：；任務(wù)二：當種植甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，W最小值為4200元；任務(wù)三：當a為20時，2026年的總種植成本為2892元【分析】本題主要考查題二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用等知識．任務(wù)一：當時，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；任務(wù)二：當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)得當時，W有最小值，最小值為4200元，此時乙種蔬菜的種植面積為．任務(wù)三：根據(jù)2026年的總種植成本為2892元列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：任務(wù)一：當時，設(shè)甲種蔬菜種植成本y（單位：元/）與其種植面積x（單位：）的函數(shù)關(guān)系式為，將和代入得：，解得：，∴；任務(wù)二：當時，，∵，∴拋物線開口向上，∴當時，W有最小值，最小值為4200元，此時，，∴當種植甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，W最小值為4200元；任務(wù)三：由（2）可知，甲、乙兩種蔬菜總種植成本為4200元，乙種蔬菜的種植成本為（元），則甲種蔬菜的種植成本為（元），由題意得：，設(shè)，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），∴，∴，答：當a為20時，2026年的總種植成本為2892元．22．（2024·浙江杭州·三模）在直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數(shù)（是常數(shù)）的圖象與x軸交于兩點，與y軸交于點C，已知．(1)若，求該二次函數(shù)的最小值．(2)求證：．(3)若點A位于點之間，求證：．【答案】(1)二次函數(shù)的最小值為；(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的解析式，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）將點和的坐標代入即可求出解析式，然后配方得到最小值即可；（2）將點B的坐標代入得到，然后代入關(guān)系式為，然后求出點A和點C的坐標即可解題；（3）由題可得整理相加即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：把點和代入得：，解得，∴，∴二次函數(shù)的最小值為；（2）證明：把代入得：，∴，∴，令，則，解得或，∴點A的坐標為，當時，，∴點C的坐標為，∴；（3）解：由題可知：，即兩式相加得．23．（2024·浙江·二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求a和b的關(guān)系式；(2)當時，函數(shù)y有最小值，求a的值；(3)若時，將函數(shù)圖象向下平移個單位長度，圖象與x軸相交于點A，B（點A在y軸的左側(cè)）．當時，求m的值．【答案】(1)(2)或(3)5【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）將點代入，即可求得a和b的關(guān)系式；（2）根據(jù)第（1）問得到的結(jié)果，二次函數(shù)即為，對稱軸為直線，分別討論當時，對稱軸直線在范圍內(nèi)，當時，函數(shù)取得最小值，代入即可求出；當時，在范圍內(nèi)，當時，函數(shù)取得最小值，代入即可求出；（3）若時，則二次函數(shù)為，平移后的解析式為，設(shè)，則，則，可求出、坐標，代入即可求出m．【詳解】（1）∵的圖象經(jīng)過點．，；（2）∵對稱軸為直線，①當時，對稱軸直線在范圍內(nèi)，當時，函數(shù)取得最小值，即，，②當時，在范圍內(nèi)，當時，函數(shù)取得最小值，即，，或（3）若時，則二次函數(shù)為，將函數(shù)圖象向下平移個單位長度，平移后的函數(shù)解