九年級數(shù)學(xué)上冊期末模擬試卷（5）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．tan30°的值是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．【解析】解：tan30°＝．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．2．下列說法正確的是（）A．“打開電視，正在播放動畫片”是必然事件 B．“明天太陽從西邊升起”是必然事件 C．“擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，向上一面的點(diǎn)數(shù)是5”是隨機(jī)事件 D．“1個(gè)大氣壓下水加熱到100℃時(shí)開始沸騰”是不可能事件【思路點(diǎn)撥】根據(jù)事件的分類，對每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行分類，判斷每個(gè)選項(xiàng)是否為不可能事件．【解析】解：A．“打開電視，正在播放動畫片”是隨機(jī)事件，此選項(xiàng)不符合題意；B．“明天太陽從西邊升起”是不可能事件，此選項(xiàng)不符合題意；C．“擲一次質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是5”是隨機(jī)事件，此選項(xiàng)符合題意；D．“1個(gè)大氣壓下水加熱到100℃時(shí)開始沸騰”是必然事件，此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．3．如圖，△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2BD，則的值為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出＝，進(jìn)而得出的值．【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2DB，∴＝＝．則的值為．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．關(guān)于二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+3，下列說法正確的是（）A．圖象的對稱軸是直線x＝﹣1 B．圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) C．當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大 D．當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值，且最大值為3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)解析式得出函數(shù)對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，開口方向，然后由函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【解析】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+3，∴拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值，最小值為3，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若AB＝1m，CD＝2.5m，則拱門所在圓的半徑為（）A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m【思路點(diǎn)撥】如圖，連接OA，先證明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再進(jìn)一步的利用勾股定理計(jì)算即可．【解析】解：如圖，連接OA，∵D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，AB＝1m，∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，設(shè)拱門所在圓的半徑為rm，∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m，∴OD＝2.5﹣r，∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2，解得：r＝1.3，∴拱門所在圓的半徑為1.3m；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用、勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，△ABC中，∠BAC＝114°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB′C′，當(dāng)B′在邊BC上時(shí)，∠C′CB＝（）A．60° B．62° C．64° D．66°【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAB′＝∠CAC′，AB＝AB′，AC＝AC′，則可判斷△ABB′∽△ACC′，所以∠ACC′＝∠B，然后利用等量代換得到∠C′CB＝180°﹣∠BAC．【解析】解：∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′，AB＝AB′，AC＝AC′，∴△ABB′∽△ACC′，∴∠ACC′＝∠B，∴∠C′CB＝∠C′CA+∠ACB＝∠B+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．7．一個(gè)密碼箱的密碼，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù)．若要使不知道密碼的人一次就撥對密碼的概率小于，則密碼的位數(shù)至少需要設(shè)（）A．五位 B．四位 C．三位 D．二位【思路點(diǎn)撥】分別求出取一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)時(shí)一次就撥對密碼的概率，再根據(jù)所在的范圍解答即可．【解析】解：因?yàn)槿∫晃粩?shù)時(shí)一次就撥對密碼的概率為；取兩位數(shù)時(shí)一次就撥對密碼的概率為；取三位數(shù)時(shí)一次就撥對密碼的概率為；取四位數(shù)時(shí)一次就撥對密碼的概率為．故密碼的位數(shù)至少需要4位．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法為：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，作如下作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交BA、BC于點(diǎn)M、N；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在△ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；③作射線BP交AC于點(diǎn)D；根據(jù)以上作圖，判斷下列結(jié)論正確的有（）①∠C＝2∠A；②AD＝BC；③BC2＝CD?AB；④．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠DBC＝36°，從而可得∠A＝∠ABD＝36°，進(jìn)而可得DA＝DB，再利用三角形內(nèi)角和定理可得∠CDB＝∠C＝72°，從而可得AD＝BD＝BC；然后證明△CBD∽△CAB，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得BC2＝CD?AC，進(jìn)而可得BC2＝CD?AB；再根據(jù)等量代換可得AD2＝CD?AC，從而可得點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)，最后根據(jù)黃金分割的定義可得＝＝，即可解答．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，∴∠C＝2∠A；由題意得：BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴DA＝DB，∵∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝72°，∴∠CDB＝∠C＝72°，∴BC＝BD，∴AD＝BD＝BC；∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A，∴△CBD∽△CAB，∴＝，∴BC2＝CD?AC，∴BC2＝CD?AB；∵AD＝BC，∴AD2＝CD?AC，∴點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)，∴＝＝，∴CD＝AD；所以，根據(jù)以上作圖，判斷上列結(jié)論正確的有①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作圖﹣基本作圖，黃金分割，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．設(shè)函數(shù)y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點(diǎn)A（1，c1），B（1，c2），得（）A．若1＜a1＜a2，則c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，則c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，則c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，則c2＜c1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意分別畫出y1，y2的圖象，繼而根據(jù)圖象即可求解．【解析】解：∵直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點(diǎn)A（1，c1），B（1，c2），A．若1＜a1＜a2，如圖所示，則c1＞c2B．若a1＜1＜a2，如圖所示，則c1＞c2則c1＜c2，故B選項(xiàng)不合題意，C．若a1＜a2＜1，如圖所示，∴c1＜c2，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．10．如圖，AD是△ABC的外角平分線，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)F，且BC＝CF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ADB＝∠CDB B．3∠ACB+∠ACD＝180° C．3∠BDC+2∠ABD＝180° D．3∠BAD+∠ABD＝360°【思路點(diǎn)撥】設(shè)∠DCB＝α，∠BDC＝β，表示出有關(guān)的角，由圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可以解決問題．【解析】解：AD是△ABC的外角平分線，∴∠EAD＝∠DAC，∵∠EAD＝∠DCB，∠DAC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠DCB，∵BC＝CF，∴∠FBC＝∠CFB，∴∠BDC＝∠BCF，∵∠ADB＝∠BCF，∴∠ADB＝∠BDC．故A正確，設(shè)∠DCB＝α，∠BDC＝β，則∠ADB＝∠ACB＝β，∴2α+β＝180°，∴3∠ACB+∠ACD＝3β+（α﹣β）＝α+2β≠180°，故B錯(cuò)誤；3∠BDC+2∠ABD＝3β+2∠ACD＝3β+2（α﹣β）＝2α+β＝180°，故C正確；3∠BAD+∠ABD＝3（180°﹣α）+（α﹣β）＝540°﹣（2α+β）＝540°﹣180°＝360°，故D正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)∠DCB＝α，∠BDC＝β，表示出有關(guān)的角．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．已知線段a＝2，b＝8，若線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，則c＝4．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到c2＝ab，然后利用算術(shù)平方根的定義求c的值．【解析】解：∵線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．12．學(xué)習(xí)電學(xué)知識后，小婷同學(xué)用四個(gè)開關(guān)A、B、C、D，一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖，現(xiàn)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于．【思路點(diǎn)撥】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解析】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，∴小燈泡發(fā)光的概率＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度數(shù)為120°．【思路點(diǎn)撥】先利用圓周角定理以及周角是360°可得∠AOC+2∠ABC＝360°，再結(jié)合已知可得3∠AOC＝360°，從而可得∠AOC＝∠ABC＝120°，然后利用四邊形內(nèi)角和是360°進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：如圖：∵∠AOC+∠1＝360°，∠1＝2∠ABC，∴∠AOC+2∠ABC＝360°，∵∠AOC＝∠ABC，∴3∠AOC＝360°，∴∠AOC＝∠ABC＝120°，∴∠A+∠C＝360°﹣∠AOC﹣∠ABC＝120°，故答案為：120°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14．對于二次函數(shù)y＝2x2﹣3，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，y的取值范圍是﹣3≤y≤5．【思路點(diǎn)撥】由拋物線解析式可得對稱軸為直線x＝0，且開口向上，再由﹣1≤x≤2可知，當(dāng)x＝0時(shí)，取得最小值，當(dāng)x＝2時(shí)，取得最大值，即可求出答案．【解析】解：∵二次函數(shù)的解析式為y＝2x2﹣3，∴拋物線的對稱軸為直線x＝0，∵a＝2＞0，∴拋物線開口向上，∵﹣1≤x≤2，當(dāng)x＝0時(shí)，取得最小值y＝﹣3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，∴當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，y的取值范圍是﹣3≤y≤5，故答案為：﹣3≤y≤5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握拋物線對稱軸和增減性是解決本題的關(guān)鍵．15．如圖6個(gè)大小相同的小正方形，恰好放置在三角形ABC中，若小正方形的邊長為1，則：（1）tanB＝；（2）BC＝8．【思路點(diǎn)撥】（1）先將圖形補(bǔ)全，依題意可得FH∥BC，EH＝1，F(xiàn)H＝2，進(jìn)而得∠B＝∠EFH＝，即可求出答案；（2）根據(jù)DE∥FH，DE＝2，CD＝3得∠EFH＝∠ADE，進(jìn)而得到tan∠EFH＝tan∠ADE，由此可求出AD，進(jìn)而求出AC的長，再由（1）的結(jié)論可得出BC的長．【解析】解：（1）如圖，依題意得：FH∥BC，EH＝1，F(xiàn)H＝2，∴∠B＝∠EFH，∴tanB＝tan∠EFH＝．故答案為：；（2）依題意得：DE∥FH，DE＝2，CD＝3，∴∠EFH＝∠AED，∴tan∠EFH＝tan∠AED＝，∴AD＝1，∴AC＝AD+CD＝1+3＝4，∴tanB＝＝，∴BC＝2AC＝8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)和正切函數(shù)的定義．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，BE的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)M，連接AM交CE的延長線于點(diǎn)N．對角線AC分別交BE、EF于點(diǎn)G、H．下面四個(gè)結(jié)論正確的序號是①②④．①S△ABE＝S△DCE；②H是AC的中點(diǎn)；③2AM＝5AN；④AG：GH：HC＝2：1：3．【思路點(diǎn)撥】①依題意得AD∥BC，AE＝DE＝AD，則△ABD的邊AE上的高與△DCE的邊DE上的高相同，由此可對該結(jié)論進(jìn)行判斷；②根據(jù)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)得AE＝DE＝BF＝CF＝BC＝AD，證明△AEH和△CFH相似得＝＝1，則AH＝CH，由此可對該結(jié)論進(jìn)行判斷；③過點(diǎn)M作MQ∥BC交CN的延長線于點(diǎn)Q，證明△MED和△MBC相似得＝＝，則ME＝BE，再證明△MQE和△BCE相似得＝＝1，則MQ＝BC＝2AE，然后證明△MNQ和△ANE相似得＝＝2，則MN＝2AN，進(jìn)而得AM＝3AN，由此可對該結(jié)論進(jìn)行判斷；④證明△ADE和△CGB相似得＝＝，設(shè)AG＝a，CG＝2a，則AH＝a+GH，HC＝2a﹣GH，再根據(jù)點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)得a+GH＝2a﹣GH，則GH＝，HC＝，進(jìn)而得可得AG：GH：HC＝2：1：3，由此可對該結(jié)論進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【解析】解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝AD，∴△ABD的邊AE上的高與△DCE的邊DE上的高相同，∴S△ABE＝S△DCE，故結(jié)論①正確；②∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF＝BC，∵AE＝DE＝AD，AD＝BC，∴AE＝DE＝BF＝CF＝BC＝AD，∵AD∥BC，∴△AEH∽△CFH，∴＝＝1，∴AH＝CH，∴點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，故結(jié)論②正確，③過點(diǎn)M作MQ∥BC交CN的延長線于點(diǎn)Q，如圖所示：∴AD∥BC，∴△MED∽△MBC，∴＝＝，∴BM＝2ME，∵M(jìn)E＝BE，∵M(jìn)Q∥BC，∴△MQE∽△BCE，∴＝＝1，∴MQ＝BC，∴MQ＝2AE，∴MQ∥BC，AD∥BC，∴MQ∥AD，∴△MNQ∽△ANE，∴＝＝2，∴MN＝2AN，∴AM＝AN+MN＝3AN，∴2AM＝6AN，故結(jié)論③不正確；④∵AD∥BC，∴△ADE∽△CGB，∴＝＝，設(shè)AG＝a，則CG＝2a，∴AH＝AG+GH＝a+GH，HC＝CG﹣GH＝2a﹣GH，∵點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，∴AH＝HC，∴a+GH＝2a﹣GH，∴GH＝，∴HC＝2a﹣GH＝，∴AG：GH：HC＝＝2：1：3，故結(jié)論④正確，綜上所述：結(jié)論正確的序號是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，理解行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題，共66分）17．對一批襯衣進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻率表如下：抽取件數(shù)501001502005008001000合格頻數(shù)4288141176445724901合格頻率0.84a0.940.880.890.91b（1）計(jì)算表中a，b的值并估計(jì)任抽一件襯衣是合格品的概率．（2）估計(jì)出售2000件襯衣，其中次品大約有幾件．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)頻率＝合格頻數(shù)÷抽取件數(shù)可得a、b的值，再根據(jù)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)下，頻率穩(wěn)定的數(shù)值即可估計(jì)任抽一件襯衣是合格品的概率；（2）用總數(shù)量×（1﹣合格的概率）列式計(jì)算即可．【解析】解：（1）a＝88÷100＝0.88，b＝901÷1000＝0.901，估計(jì)任抽一件襯衣是合格品的概率為0.90；（2）次品的件數(shù)約為2000×（1﹣0.90）＝200（件）．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．18．如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．【思路點(diǎn)撥】（1）由垂徑定理得到CF＝DF，由等腰三角形的性質(zhì)得到AF＝BF，從而證明AC＝BD；（2）設(shè)⊙O的半徑是r，由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于r的方程，即可求出⊙O的半徑．【解析】（1）證明：∵OE⊥AB，∴CF＝DF，∵OA＝OB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD；（2）解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵CO2＝CF2+OF2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴⊙O的半徑是5．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于半徑的方程．19．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BD，AC上，連結(jié)AD，EF交于點(diǎn)G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根據(jù)題意不難證明△ABC∽△EFC；（2）過點(diǎn)F作FH∥BC，交AD于點(diǎn)H，）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD＝CD，則DE＝，易證明△AHF∽△ADC，則，易證明△HFG∽△DEG，則，將DE＝，代入即可求解．【解析】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴∠CAB＝2∠CAD，∵∠CEF＝2∠CAD，∴∠CEF＝∠CAB，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC∽△EFC；（2）過點(diǎn)F作FH∥BC，交AD于點(diǎn)H，∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵BE＝2DE，∴，即DE＝，∵HF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵＝，∴，∴，∵HF∥BC，∴△HFG∽△DEG，∴，由上述知，DE＝，，∴＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例答題時(shí)解題關(guān)鍵．20．要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中央豎直安裝一個(gè)柱形噴水裝置，頂端安有一個(gè)噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．按如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式是．（1）求噴出的水流最高處距離地面多少米？（2）若噴水池的半徑為3m，請判斷噴出的水流會不會落在池外，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）將函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，求出二次函數(shù)最大值即可得到答案；（2）令y＝0，解得x的值，再和3比較即可．【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣）2+4，且﹣1＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值，最大值為4，∴噴出的水流最高處距離地面4米；（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+3x+＝0，解得x＝3.5或x＝﹣0.5（舍去），∵3.5＞3，∴噴出的水流會落在池外．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)與數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來．21．如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距60m，在建筑物的頂部分別觀測鐵塔底部的俯角為30°、鐵塔頂部的仰角為45°，求建筑物AB的高度和鐵塔CD的高度（結(jié)果保留根號）．【思路點(diǎn)撥】過A點(diǎn)作AE⊥CD于E點(diǎn)，則四邊形ABDE為矩形，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出DE的長，得AB的長，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EC長，即可得出CD．【解析】解：過A點(diǎn)作AE⊥CD于E點(diǎn)，則四邊形ABDE為矩形，∴AE＝BD＝60m，AB＝DE，∵∠DAE＝30°，tan30°＝，∴AB＝DE＝tan30°?AE＝×60＝20（m），∵∠CAE＝45°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝EC，∴CE＝60m，∴CD＝CE+ED＝（60+20）（m），即鐵塔CD的高度是（60+20）m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，借助仰角俯角構(gòu)造直角三角形與矩形是解題的關(guān)鍵．22．如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接DE．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若BC＝10，CE＝6，求線段AD的長．【思路點(diǎn)撥】（1）連接BE，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BEC＝90°，從而可得∠C+∠CBE＝90°，∠BEA＝90°，進(jìn)而可得∠A+∠DBE＝90°，然后根據(jù)已知易得＝，從而利用等弧所對的圓周角相等可得∠CBE＝∠DBE，進(jìn)而可得∠A＝∠C，最后根據(jù)等角對等邊即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論易得CE＝DE＝6，然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，以及平角定義可得∠ADE＝∠C，再利用（1）的結(jié)論可得∠A＝∠ADE，從而可得AE＝ED＝6，最后證明△ADE∽△ACB，從而利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】（1）證明：連接BE，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BEC＝90°，∴∠C+∠CBE＝90°，∠BEA＝180°﹣∠BEC＝90°，∴∠A+∠DBE＝90°，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴＝，∴∠CBE＝∠DBE，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵＝，∴CE＝DE＝6，∵四邊形DBCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠BDE＝180°，∵∠BDE+∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝ED＝6，∴AC＝AE+CE＝12，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴線段AD的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．二次函數(shù)y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．（1）若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），求函數(shù)y1的表達(dá)式及其圖象的對稱軸；（2）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，m），且x1+x2＝2時(shí)，求m的最大值；（3）若一次函數(shù)y2＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），它的圖象與y1的圖象都經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，且x1﹣x2＝2．當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求k的值．【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）將已知條件代入解析式中，得到m關(guān)于x1的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，配方法解答即可得出結(jié)論；（3）利用分類討論的思想方法分別得到y(tǒng)關(guān)于x1，x2的解析式，再利用待定系數(shù)法和已知條件解答即可．【解析】解：二次函數(shù)y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2，∵二次函數(shù)y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）經(jīng)過（1，0），（2，0），∴，解得：，∴函數(shù)y1的表達(dá)式為y1＝2x2﹣6x+4．∵y1＝2x2﹣6x+4＝2﹣，∴函數(shù)y1的對稱軸為直線x＝；（2）∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，m），∴m＝2×22﹣4（x1+x2）+2x1x2＝8﹣4（x1+x2）+2x1x2，∵x1+x2＝2，∴x2＝2﹣x1，∴m＝8﹣4×2+2x1?（2﹣x1）＝﹣2+4x1＝﹣2+2，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x1＝1時(shí)，m有最大值為2．∴m的最大值為2；（3）由題意：二次函數(shù)y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常數(shù)）的圖象與x軸交于（x1，0），（x2，0）兩點(diǎn)，①若兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)（x1，0），∴0＝kx1+b，∴b＝﹣kx1，∴y2＝kx﹣kx1．∵y＝y(tǒng)1+y2，∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx1＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx1．∵函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝0．即＝0，整理得：＝0，∴k＝﹣2（x1﹣x2）．∵x1﹣x2＝2，∴k＝﹣2×2＝﹣4；②若兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)（x2，0），∴0＝kx2+b，∴b＝﹣kx2，∴y2＝kx﹣kx2．∵y＝y(tǒng)1+y2，∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx2＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx2．∵函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝0．即﹣4×2（2x1x2﹣kx2）＝0，整理得：＝0，∴k＝2（x1﹣x2）．∵x1﹣x2＝2，∴k＝2×2＝4．綜上，當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的值