內蒙古鄂爾多斯一中2026屆高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的左焦點為，，為雙曲線的左、右頂點，漸近線上的一點滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.4．函數的最小值為（）A. B.1C.2 D.e5．函數在上的最大值是A. B.C. D.6．“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．給出命題：若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是（）A.3 B.2C.1 D.08．已知函數的定義域為，若，則（）A. B.C. D.9．已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知直線，，若，則實數（）A. B.C.1 D.211．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則12．在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中.若成公比為的等比數列，則____________14．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B，C兩點（如圖）．若，則雙曲線的漸近線方程為______15．已知數列，點在函數的圖象上，則數列的前10項和是______16．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%，通過模擬實驗的方法來計算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率．用隨機數x（，且）表示是否下雨：當時表示該地區(qū)下雨，當時，表示該地區(qū)不下雨，從隨機數表中隨機取得20組數如下：332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出m的值，并根據上述數表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當天降雨量（單位：）如表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）．時間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸，求回歸直線方程，并計算如果該地區(qū)2021年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：，參考數據：，，，18．（12分）已知圓，直線（1）判斷直線l與圓C的位置關系；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程19．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點,當弦長最短時,求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點的軌跡方程20．（12分）已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線在第一象限的交點為，且（1）求拋物線的方程；（2）經過焦點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線相交于，兩點，與拋物線相交于，兩點．若，分別是線段，的中點，求的最小值21．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，側面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求線段BD的長22．（10分）已知橢圓：的一個焦點與曲線的焦點重合，且離心率為.（1）求橢圓的方程（2）設直線：交橢圓于M，N兩點.①若且的面積為，求的值.②若軸上的任意一點到直線與直線（為橢圓的右焦點）的距離相等，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用導數的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A2、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點的距離公式，求得點的坐標和，在中，利用余弦定理，求得的關系式，再由離心率公式，計算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設在漸近線上，且點在第一象限內，由，解得，即點，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.3、D【解析】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列.等比數列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數列等比數列；（2）等比中項公式法，若數列中，且（），則數列是等比數列.4、B【解析】先化簡為，然后通過換元，再研究外層函數單調性，進而求得的最小值【詳解】化簡可得：令，故的最小值即為的最小值，是關于的單調遞增函數，易知對求導可得：當時，單調遞減；當時，單調遞增則有：故選：B5、D【解析】求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可，結合函數的單調性求出的最大值即可【詳解】函數的導數令可得，可得上單調遞增，在單調遞減，函數在上的最大值是故選D【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，是一道中檔題6、C【解析】∵“”?“方程表示焦點在軸上的橢圓”，“方程表示焦點在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.7、C【解析】若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數的圖象不過第四象限，則函數是冪函數是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題有一個．選C8、D【解析】利用導數的定義可求得的值.【詳解】由導數的定義可得.故選：D.9、B【解析】根據雙曲線的幾何性質和平行四邊形的性質可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進而轉化為，的不等式，結合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因為經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因為，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故選：B10、D【解析】根據兩條直線的斜率相等可得結果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.11、B【解析】根據線線，線面，面面位置關系的判定方法即可逐項判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯誤.故選：B.12、D【解析】過點作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長度關系求得即可.【詳解】在平面內過點作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件可得，即，由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數列，即由正弦定理可知所以故答案為：14、【解析】根據雙曲線的定義先計算出，，注意到圖中漸近線，于是利用兩種不同的表示法列方程求解.【詳解】，則，由雙曲線的定義及在右支上，，又在左支上，則，則，在中，由余弦定理，，而圖中漸近線，于是，得，于是，不妨令，化簡得，解得，漸近線就為：.故答案為：.15、【解析】將點代入可得，從而得，再由裂項相消法可求解.【詳解】由題意有，所以，所以數列的前10項和為：.故答案為：16、【解析】首先利用橢圓的對稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點是關于軸對稱，進而得到；設，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點的縱坐標相等，、的橫坐標互為相反數，、兩點是關于軸對稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設，，代入橢圓方程解得：設為橢圓的右頂點，，四邊形為平行四邊形對點：解得：根據：得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）；該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【解析】（1）利用概率模擬求概率；（2）套用公式求回歸直線方程即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨，所給的20組數據中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨，故所求的概率為；（2）由題中所給的數據可得，，所以，，所以回歸方程為，當時，，所以該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【點睛】求線性回歸方程的步驟：①求出；②套公式求出；③寫出回歸方程；④利用回歸方程進行預報；18、（1）相交.（2）或.【解析】（1）先判斷出直線恒過定點(2，1)，由(2，1)在圓內，即可判斷；（2）分斜率存在與不存在兩種情況，利用幾何法求解.【小問1詳解】直線方程，即，則直線恒過定點(2，1).因為，則點(2，1)位于圓的內部，故直線與圓相交.【小問2詳解】直線斜率不存在時，直線滿足題意；②直線斜率存在的時候，設直線方程為，即.因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得:，則直線方程為：.綜上可得，直線方程或.19、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過的定點,再根據弦長|AB|最短時,求解.(2)用直譯法求解【小問1詳解】直線即,所以直線過定點.當弦長|AB|最短時,因為直線PC的斜率所以此時直線的斜率所以當弦長|AB|最短時,求直線的方程為,即【小問2詳解】設,易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因為圓與圓外切,所以即整理得點的軌跡方程為20、（1）；（2）8.【解析】(1)寫出拋物線E的準線，利用拋物線定義求出p即可作答.(2)由(1)求出焦點坐標，設出直線的方程，并與拋物線E的方程聯立，由此求出C點坐標，同理可得D點坐標，列式計算作答.小問1詳解】拋物線：的準線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.【小問2詳解】由(1)知，點，顯然直線，的斜率都存在且不為0，設直線斜率為，則的斜率為，直線的方程為：，由消去y并整理得，設，則，于得線段PQ中點，同理得，則，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值是8.【點睛】結論點睛：拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離21、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，當是等邊三角形時，，.設直線與所成角為，則.【小問2詳解】設，則，，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為