第三章勾股定理知識點1：勾股定理1.勾股定理內(nèi)容：文字語言符號語言圖形語言直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明方法：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖法.用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：①圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；②根據(jù)同一種圖形的面積兩種不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的使用條件：要使用勾股定理，必須在直角三角形中，才可以使用！切記4.勾股定理的常用變形：5.勾股定理的應(yīng)用：①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊；②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；③在網(wǎng)格中繪制長度為無理數(shù)的線段；④解決一些生活實際問題：梯子問題、面積問題、汽車超速問題……；知識點2：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理內(nèi)容：勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.2.勾股定理的逆定理與勾股定理的關(guān)系：勾股定理勾股定理逆定理條件直角三角形ABC結(jié)論直角三角形ABC關(guān)系知識點3：勾股數(shù)1.能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)；2.記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等；3.用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）.知識點4：利用勾股定理解決實際問題的步驟將實際問題抽象出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；確定所求線段所在的直角三角形：如果原圖存在可以用的直角三角形，就直接使用，如果原圖中沒有可用的直角三角形，就作垂線構(gòu)造直角三角形，然后再使用勾股定理；根據(jù)勾股定理，列方程求解。一、勾股定理的使用條件：勾股定理的使用要分清：錯誤：認(rèn)為“”一定代表直角邊，一定代表斜邊注意：勾股定理中表示直角邊，代表斜邊，但是，實際做的題目中不一定這樣的。有可能是表示斜邊，或者表示斜邊，這要根據(jù)具體題目而定。對于直角邊和斜邊不確定的，還要分情況討論。二、勾股數(shù)：注意區(qū)分“勾股數(shù)”與“能構(gòu)成直角三角形”的區(qū)別錯誤：認(rèn)為只要滿足“”的三個數(shù)都是勾股數(shù)．注意：勾股數(shù)必須是滿足兩個條件三個數(shù)：①滿足“”②正整數(shù)，像小數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)都不行。三、勾股定理逆定理：判定一個三角形是直角三角形方法不止勾股定理逆定理一種 錯誤：認(rèn)為“一看到判定一個三角形或證明垂直就找勾股定理逆定理” 提醒：判定一個三角形是直角三角形的方法很多，比如：利用直角三角形的定義，即證明三角形中有一個角是直角，可以證明這個三角形是直角三角形；也可以證明有兩個銳角互為余角也可以；或者利用平行線的知識或者三角形的內(nèi)角和、外角等其他知識證明垂直；也可一證明這個三角形與一個直角三角形全等等方法都可以，不要總盯著勾股定理逆定理；另外方法還有等腰三角形的三線合一性質(zhì)，垂直平分線的判定方法等等都可以證明垂直（或者直角三角形）。題型01勾股定理的使用要分清1．直角三角形的兩邊長分別為8，15，第三邊邊長為，則．【答案】289或161【知識點】用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分情況討論．分兩種情況進行討論，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：①當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r，由勾股定理得，；②當(dāng)?shù)谌厼橹苯沁厱r，由勾股定理得，；綜上，的值為289或161，故答案為：289或161．2．直角三角形的兩邊長為3、4，則第三邊為．【答案】5或【知識點】用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為、，斜邊為，那么．分兩種情況，邊長為4的邊是直角邊，邊長為4的邊是斜邊，根據(jù)勾股定理進行計算即可．【詳解】解：當(dāng)邊長為4的邊是直角邊時，第三邊為：，邊長為4的邊是斜邊時，第三邊為：．故答案為：5或．3．若一個直角三角形的兩邊長分別是6，8，則第三邊的平方是．【答案】100或28/28或100【知識點】用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理．分兩種情況：當(dāng)兩直角邊的長分別為6和8時，當(dāng)斜邊長為，一條直角邊長為時，分別計算即可得出答案．【詳解】解：∵一個直角三角形的兩邊長分別為6和8，∴當(dāng)兩直角邊的長分別為6和8時，第三邊的平方是，當(dāng)斜邊長為，一條直角邊長為時，第三邊的平方是，故答案為：100或28．4．已知直角三角形的兩邊長為4和6，那么這個直角三角形的斜邊長為．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形【分析】本題考查的是勾股定理，即在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求斜邊的長必須分類討論，即6是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：當(dāng)6是斜邊時，第三邊長；當(dāng)4和6是直角邊時，斜邊長；∴斜邊的長為：或，故答案為：或．5．直角三角形的兩直角邊長為5和12，則該三角形的斜邊長為．【答案】13【知識點】用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得出斜邊長，即可得解．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊長為5和12，∴該三角形的斜邊長為．故答案為：13．題型02勾股數(shù)的概念6．下列各組數(shù)中，勾股數(shù)是（

）A．1，2，2 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．1，，【答案】C【知識點】勾股樹（數(shù)）問題【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可求解，【詳解】解：A.，故不是勾股數(shù)，不符合題意；B.不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C.，故是勾股數(shù)，符合題意；D.1，，不都是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：C．7．下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（

）A．，， B．5，12，13C．1.5，2，2.5 D．，，【答案】B【知識點】勾股樹（數(shù)）問題【分析】本題考查的是勾股數(shù)，勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．根據(jù)勾股數(shù)的概念逐一驗證判斷即可．【詳解】解：A、即36，64，100，，而，不滿足，所以，，不是勾股數(shù)，不符合題意；B、5，12，13，均為正整數(shù)，且，滿足勾股定理，是勾股數(shù)，符合題意；C、1.5，2，2.5包含小數(shù)，非正整數(shù)，不符合勾股數(shù)定義，不是勾股數(shù)，不符合題意；D、不是正整數(shù)，且，不滿足勾股定理，不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．8．勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù)，下列各組數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)的是（

）A．5，12，13 B．，，C．，， D．5，15，20【答案】A【知識點】勾股樹（數(shù)）問題【分析】本題考查勾股數(shù)，勾股數(shù)是指滿足勾股定理的三個正整數(shù)，需同時滿足兩個條件：①均為正整數(shù)；②最大數(shù)的平方等于另兩數(shù)的平方和．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、∵，且5，12，13均為正整數(shù)，∴5，12，13是一組勾股數(shù)；B、，，不是正整數(shù)，故它不是勾股數(shù)；C、，，不是正整數(shù)，故它不是勾股數(shù)；D、由于，故它不是勾股數(shù)．故選：A．9．以下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)，以它們?yōu)檫呴L作三角形能作成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】勾股樹（數(shù)）問題【分析】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義，需滿足三個正整數(shù)且能構(gòu)成直角三角形．對各選項逐一驗證是否滿足勾股定理及是否為整數(shù)．【詳解】A．，滿足勾股定理，且均為正整數(shù)，是勾股數(shù)，故符合題意；B．，雖滿足勾股定理，但含小數(shù)，不符合勾股數(shù)必須為正整數(shù)的要求，不符合題意；C．，不滿足勾股定理，故錯誤，不符合題意；D．，不滿足勾股定理，且非正整數(shù)，故錯誤，不符合題意．綜上，只有選項A符合條件．故選A．10．下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【知識點】勾股樹（數(shù)）問題【分析】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的特點進行判斷即可．【詳解】解：，故選項A不是勾股數(shù)；，故選項B不是勾股數(shù)；，故選項C是勾股數(shù)；，故選項D不是勾股數(shù)；故選：C．題型03判定垂直（直角）不一定用勾股定理逆定理11．如圖，在中，分別為邊上的點，連接，且滿足垂直平分，垂足為F．(1)判斷的形狀？并說明理由；(2)求的長．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析；(2)的長為5．【知識點】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、用勾股定理解三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）運用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再證明，由此即可解答；（2）根據(jù)題意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由：，，，，是直角三角形，且，垂直平分，，，在和中，，，，是直角三角形；（2）解：由（1）知，，，，，，在中，由勾股定理得，即，解得，的長為5．12．如圖，在中，，點P在上運動，點D在上運動，始終保持與相等，的垂直平分線交于點E，交于點F，連接．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)DE的長為4.75【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，直角三角形的兩個銳角互余，線段垂直平分線的性質(zhì)，解答即可；（2）連接，設(shè)，則，，利用勾股定理解答即可．本題考查了直角三角形兩個銳角互余，等邊對等角，線段垂直平分線，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：．理由如下：理由：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：如圖，連接，設(shè)，則，，∵，∴，∴，解得，∴的長為．13．如圖，，是上的一點，且，．(1)與全等嗎？并說明理由；(2)求證：．【答案】(1)全等，理由見解析(2)見解析【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵：（1）等角對等邊，得到，證明兩個三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合等角的余角，求出即可．【詳解】（1）解：與全等，理由如下：∵，∴，∵，，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴．14．如圖，．(1)求出與的數(shù)量關(guān)系(2)延長到，使，延長到F，使，連接．補全圖形，并證明．(3)在（2）的條件下，作的平分線，交于點H，延長交于點M，延長交于點G．補全圖形并證明．【答案】(1)，(2)見解析(3)見解析【知識點】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、全等三角形綜合問題、根據(jù)等角對等邊證明邊相等、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等角對等邊，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）勾股定理求得，結(jié)合已知條件即可求解；（2）根據(jù)題意畫出圖形，證明，得出，則，即可得證；（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)證明，得到，進而證明，即可得證．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）證明：如圖所示，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴；（3）證明：如圖所示，∵，，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，

∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．15．如圖，在四邊形中，，為的中點，連接，，并延長交的延長線于點．(1)與全等嗎？請說明理由；(2)若．①試說明；②若，，，求點到的距離．【答案】(1)全等，見解析(2)①見解析；②4【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的性質(zhì)定理【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性