河南省許昌市2026屆高二上數(shù)學期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.2．若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°3．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.5．某班新學期開學統(tǒng)計新冠疫苗接種情況，已知該班有學生45人，其中未完成疫苗接種的有5人，則該班同學的疫苗接種完成率為（）A. B.C. D.6．已知圓與圓沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.7．在平面直角坐標系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當時，的最小值為（）A. B.C. D.8．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則離心率（）A. B.C. D.9．已知，記M到x軸的距離為a，到y(tǒng)軸的距離為b，到z軸的距離為c，則（）A. B.C. D.10．從2，4中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A.48 B.36C.24 D.1811．為迎接第24屆冬季奧運會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學生擔任冰球、冰壺和短道速滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人，每人只能安排到1個項目，則所有排法的總數(shù)為（）A.60 B.120C.150 D.24012．已知{}為等比數(shù)列.，則＝（）A.—4 B.4C.—4或4 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________14．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.15．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______16．已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，若的周長為8.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為橢圓上的動點，過原點作直線與橢圓分別交于點、（點不在直線上），求面積的最大值.18．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點A，B，C，D的坐標分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點B到直線CD的距離19．（12分）已知P，Q的坐標分別為，，直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是.設(shè)點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為坐標原點，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點A，B.當，且滿足時，求面積的取值范圍.20．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）一個盒中裝有編號分別為、、、的四個形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，列出所有的基本事件，并求的概率.22．（10分）已知數(shù)列的前n項和為，，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前n項和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】動點在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線的斜率相等的點為距離最小的點，利用導數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域為：對求導可得：令解得：（其中舍去）當時，，則此時該點到直線的距離為最小根據(jù)點到直線的距離公式可得：解得：故選：A2、C【解析】直接由公式，計算兩直線的方向向量的夾角，進而得出直線與所成角的大小【詳解】因為，，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C3、D【解析】解：，設(shè)F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D4、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設(shè)切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D5、D【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】該班同學的疫苗接種完成率為故選：D6、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒有公共點列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒有公共點，則有或，即或，又，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B7、A【解析】設(shè)出點坐標，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點坐標為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當且僅當、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A8、D【解析】根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D9、C【解析】分別求出點M在x軸，y軸，z軸上的投影點的坐標，再借助空間兩點間距離公式計算作答.【詳解】設(shè)點M在x軸上的投影點，則，而x軸的方向向量，由得：，解得，則，設(shè)點M在y軸上的投影點，則，而y軸的方向向量，由得：，解得，則，設(shè)點M在z軸上的投影點，則，而z軸的方向向量，由得：，解得，則，所以.故選：C10、B【解析】直接利用乘法分步原理分三步計算即得解.【詳解】從中選一個數(shù)字，有種方法；從中選兩個數(shù)字，有種方法；組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，有個.故選：B11、C【解析】結(jié)合排列組合的知識，分兩種情況求解.【詳解】當分組為1人,1人,3人時，有種，當分組為1人，2人，2人時有種，所以共有種排法.故選：C12、B【解析】根據(jù)題意先求出公比，進而用等比數(shù)列通項公式求得答案.【詳解】由題意，設(shè)公比為q，則，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分離參數(shù)法得到能成立,構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得.設(shè)，則存在,使得成立，即能成立，所以能成立,所以.又令,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上，t(x)單調(diào)遞增,所以當x=2時,t有最小值，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍.14、2【解析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因為，又，所以，，則.故答案為：2.【點睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標，從而得解.15、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：16、【解析】由題意得:考點：等差數(shù)列通項三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當直線軸時，計算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當直線軸時，；當直線不垂直軸時，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，∴，綜上，面積的最大值為.【點睛】方法點睛：求橢圓的標準方程，關(guān)鍵是基本量的確定，而面積的最值的計算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計算，此類轉(zhuǎn)化為面積最值計算過程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.18、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線與所成的角為，求出，再根據(jù)點B到直線CD的距離為即可得解【小問1詳解】解：，，因為，所以存在唯一實數(shù)，使得，所以，所以，解得，所以，；【小問2詳解】解：，則，設(shè)直線與所成的角為，則，所以點B到直線CD的距離為.19、（1）（2）【解析】【小問1詳解】設(shè)點，則，整理得曲線的方程：【小問2詳解】因為圓的半徑為1，直線：與圓相切，則，，設(shè)，將代入得，，，，，所以，，因為，令，在上單調(diào)減，，所以20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，計算各點坐標，計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)為中點，連接，，∵，∴，又∵底面四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，由，，，即，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，建立空間直角坐標系是解題的關(guān)鍵.21、（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，概率為.【解析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號之和大于”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于”為事件，樣本點表示“從盒中取出、號球”，且和表示相同的樣本點（以此類推），則樣本空間為，則，根據(jù)