2026屆河南省商丘市九校高二數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.2．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.4．設雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內的點，若的三個內角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，直線FA與拋物線的準線交于點M，O為坐標原點.若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.46．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.9．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.610．已知的周長為，頂點、的坐標分別為、，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.11．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.12．設、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板14．不等式的解集是________15．設，若直線與直線平行，則的值是________16．關于曲線，則以下結論正確的個數(shù)有______個①曲線C關于原點對稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無公共點；④曲線C與曲線有4個交點，這4點構成正方形三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點為、，且，橢圓C的離心率，點，過點P的動直線l橢圓C交于不同的兩點M、N與，均不重合），連接，，交于點T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當直線l繞點P旋轉時，點T總在一條定直線上運動；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由18．（12分）等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（2）記數(shù)列的前n項和為Tn，若，求n的最小值.19．（12分）如圖，在長方體中，，點E在棱上運動（1）證明：；（2）當E為棱的中點時，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時，二面角的大小為？20．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，21．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D為棱上的點.（1）證明：；（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.22．（10分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，結合，，利用不等式的性質可判斷，從而判斷，再利用不等式性質得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負數(shù)，可知故選：D2、D【解析】根據(jù)長方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.3、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A4、B【解析】設點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.5、D【解析】設，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點為，準線方程為.設，因為，所以，解得：.因為在拋物線上，則.所以，即，解得：.故選：D6、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D7、D【解析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結果.【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.8、B【解析】由漸近線方程得到，焦點坐標為，漸近線方程為：，利用點到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點坐標為，漸近線方程為：焦點到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B9、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.10、D【解析】分析可知點的軌跡是除去長軸端點的橢圓，求出、的值，結合橢圓焦點的位置可得出頂點的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.11、A【解析】由三角形內角及正弦函數(shù)的性質判斷、的真假，應用換元法令，結合對勾函數(shù)的性質確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.12、B【解析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關系，對選項進行逐一判斷即可.【詳解】選項A.一條直線垂直于一平面內的，兩條相交直線，則改直線與平面垂直則由，不能得出，故選項A不正確.選項B.,則正確，故選項B正確.選項C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項C不正確.選項D.若，則與可能相交，可能平行，故選項D不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1458【解析】首先由條件可得第圈的石板為，且為等差數(shù)列，利用基本量求和，即可求解.【詳解】設第圈的石板為，由條件可知數(shù)列是等差數(shù)列，且上層的第一圈為，且，所以，上層的石板數(shù)為，下層的石板數(shù)為.所以下層比上層多塊石板.故答案為：145814、【解析】先將分式不等式化為一元二次不等式，再根據(jù)一元二次不等式的解法解不等式即可【詳解】∵，∴（x﹣2）（x+4）＜0，∴-4＜x＜2，即不等式的解集為{x|-4＜x＜2}故答案為.【點睛】本題主要考查分式不等式及一元二次不等式的解法，比較基礎15、【解析】先通過討論分成斜率存在和不存在兩種情況，然后再按照兩直線平行的判定方法求解即可.【詳解】由已知可得，當時，兩直線分別為和，此時，兩直線不平行；當時，要使得兩直線平行，即，解得，.故答案為：16、2【解析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對稱性、范圍，結合每個選項進行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關于原點對稱，故正確；②因為，解得或，故，同理可得：，故錯誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關于的一元二次方程，故，所以方程無根，故曲線與沒有交點；綜上所述，③正確；④假設曲線C與曲線有4個交點且交點構成正方形，根據(jù)對稱性，第一象限的交點必在上，聯(lián)立與可得：，故交點為，而此點坐標不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質，處理問題的關鍵是把握由曲線方程如何研究對稱性以及范圍問題，屬困難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設直線的為，把轉化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結論.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，因為直線過點，可設直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，解得，設，因為在同一條直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點在直線，即當直線l繞點P旋轉時，點T總在一條定直線上運動.【小問3詳解】解：由（2）知，點在直線上運動，即，設直線的方程為，且，又由且，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，代入可得，解得，即，此時直線的斜率不存在，不合題意，所以不存在直線l，使得成立.18、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差數(shù)列的通項公式列出方程組求解即可；（2）由裂項相消求和法得出，再由不等式的性質得出n的最小值.【小問1詳解】設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有解得，所以an=2n.【小問2詳解】由（1）得，則，所以因為，即，解得n>99，所以n的最小值為100.19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長方體、線面垂直的性質有、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質即可證結論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設易知二面角為，過作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長方體的性質及勾股定理構造方程求即可.【小問1詳解】由題設，連接、，又長方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問2詳解】連接，由E為棱的中點，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線與面所成角即為與面所成角為，故.【小問3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長方體性質知：面，面，則，過作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時，二面角的大小為.20、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計算可得結論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計數(shù)后可計算概率【詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為三棱柱是直三棱柱，且，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設，則，所以，