2025-2026學年湘教版數(shù)學九年級上冊第4章

銳角三角形4.3解直角三角形ACBcba(1)三邊之間的關系：a2+b2=_____；(2)銳角之間的關系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

如圖，在Rt△ABC中，共有六個元素（三條邊，三個角），其中∠C=90°.c290°復習引入#人教版九年級數(shù)學《4.3解直角三角形》教學資源包（含教學過程、PPT分頁內(nèi)容、課堂案例、習題設計，無教學目標/作業(yè)）##一、教學過程（45分鐘）###（一）情境導入（5分鐘）1.展示情境圖：教學樓前有一棵大樹，為測量樹高AB，小明在地面C點測得樹頂A的仰角為30°，BC=10米（BC垂直于地面），如何求樹高AB？2.提問引導：-圖中△ABC是什么三角形？（直角三角形）-已知哪些條件？（一個銳角30°，一條直角邊BC=10米）-要求的是什么？（另一條直角邊AB）3.引出課題：像這樣已知直角三角形的一些元素，求其他未知元素的過程，就是“解直角三角形”。###（二）新知探究（15分鐘）####1.定義講解-明確：在直角三角形中，除直角外的5個元素（3條邊、2個銳角），已知其中2個元素（至少1個是邊），求其余3個元素的過程，叫做解直角三角形。-強調(diào)：“至少1個是邊”的原因（若只知兩個銳角，無法確定三角形大?。?。####2.解直角三角形的依據(jù)（板書核心公式）-邊角關系（三角函數(shù)）：-sinA=對邊/斜邊=a/c，cosA=鄰邊/斜邊=b/c，tanA=對邊/鄰邊=a/b-sinB=b/c，cosB=a/c，tanB=b/a（A+B=90°）-三邊關系（勾股定理）：a2+b2=c2-銳角關系：∠A+∠B=90°####3.分類例題講解（結(jié)合教材例題改編，分步板書）#####例1：已知直角邊和一個銳角（基礎型）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，BC=6cm（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75），求：-∠B（90°-37°=53°）-斜邊AB（由sinA=BC/AB，得AB=BC/sinA=6/0.6=10cm）-直角邊AC（由tanA=BC/AC，得AC=BC/tanA=6/0.75=8cm；或用勾股定理驗證）#####例2：已知斜邊和一個銳角（提升型）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20cm，∠B=45°，求a、b、∠A：-∠A=90°-45°=45°（等腰直角三角形）-a=c·cosB=20·cos45°=20×√2/2=10√2≈14.14cm-b=c·sinB=20·sin45°=10√2≈14.14cm（或a=b，用勾股定理驗證）#####例3：已知兩條直角邊（綜合型）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3cm，b=4cm，求c、∠A、∠B：-c=√(a2+b2)=√(9+16)=5cm（勾股定理）-tanA=a/b=3/4，得∠A≈36.87°（用計算器計算，強調(diào)操作步驟）-∠B=90°-36.87°≈53.13°###（三）課堂練習（15分鐘）1.基礎題（全員必做）：-在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，求a、b、∠B（答案：∠B=30°，a=6√3cm，b=6cm）-在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5cm，c=10cm，求b、∠A、∠B（答案：b=5√3cm，∠A=30°，∠B=60°）2.變式題（小組討論）：-已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，BC=2，求∠A的正弦值、余弦值、正切值（答案：sinA=1/2，cosA=√3/2，tanA=√3/3）3.反饋糾正：重點講解學生易錯點（如三角函數(shù)定義混淆、計算器使用錯誤、根式化簡不規(guī)范）。###（四）課堂小結(jié)（5分鐘）1.回顧解直角三角形的定義和核心依據(jù)（三邊、邊角、銳角關系）；2.總結(jié)解題步驟：-明確已知條件和所求元素；-選擇合適的公式（優(yōu)先三角函數(shù)，再勾股定理）；-計算并驗證結(jié)果（勾股定理或銳角和為90°驗證）；3.強調(diào)：靈活選擇公式可簡化計算，注意單位統(tǒng)一和結(jié)果精確性（保留根號或精確到0.1）。###（五）拓展延伸（課堂剩余時間）展示生活情境題：某水壩的橫斷面是梯形ABCD，上底CD=3m，下底AB=18m，高DE=8m，壩坡AD的坡度i=1:√3（坡度i=垂直高度/水平寬度），求壩坡AD的長度和∠A的度數(shù)（答案：AD=16m，∠A=30°），為后續(xù)應用課鋪墊。##二、PPT分頁內(nèi)容（共12頁，簡潔直觀，突出重點）|頁面序號|頁面標題|核心內(nèi)容||----------|----------------|--------------------------------------------------------------------------||1|課題導入|情境圖（大樹測量）+問題鏈+課題展示“4.3解直角三角形”||2|定義講解|解直角三角形定義：已知2個元素（至少1邊）→

求其余3個元素||3|解題依據(jù)（1）|銳角關系：∠A+∠B=90°；三邊關系：勾股定理a2+b2=c2（配圖標注邊）||4|解題依據(jù)（2）|三角函數(shù)定義（表格形式）：sinA=a/c、cosA=b/c、tanA=a/b（配圖強化對應關系）||5|例題1|已知直角邊+銳角（題目+分步解答+公式標注）||6|例題2|已知斜邊+銳角（題目+分步解答+等腰直角三角形性質(zhì)提示）||7|例題3|已知兩條直角邊（題目+分步解答+計算器操作步驟提示）||8|基礎練習題|2道必做題（題目+留白區(qū)域，供課堂書寫）||9|變式練習題|1道小組討論題（題目+坡度概念補充）||10|易錯點總結(jié)|1.三角函數(shù)定義混淆；2.計算器角度模式錯誤；3.根式化簡不規(guī)范（配反例）||11|課堂小結(jié)|核心依據(jù)（3點）+解題步驟（3步）+注意事項（2點）||12|拓展延伸|水壩橫斷面情境題（配圖+題目）+課后思考提示|##三、課堂案例補充（生活情境類）1.**測塔高問題**：-情境：在距離塔底O點20米的A處，測得塔頂B的仰角為60°，求塔高BO（不計觀測者身高）。-解答：Rt△ABO中，∠A=60°，AO=20米，tan60°=BO/AO→BO=20×√3≈34.64米。2.**測河寬問題**：-情境：為測量河流寬度CD，在河岸一側(cè)C點測得對岸D點的仰角為45°，沿BC方向走10米到A點，測得D點的仰角為30°（BC垂直于CD），求河寬CD。-解答：設CD=x米，Rt△BCD中，BC=CD=x；Rt△ACD中，AC=CD/tan30°=x√3；由AC-BC=10，得x√3-x=10→x=10/(√3-1)=5(√3+1)≈13.66米。##四、教學使用建議1.PPT使用：例題頁面可設置動畫，分步展示解答過程，避免一次性呈現(xiàn)；三角函數(shù)定義頁面可搭配動態(tài)配圖，強化“對邊、鄰邊”的對應關系。2.課堂互動：練習環(huán)節(jié)采用“獨立完成+小組互查”模式，變式題鼓勵學生分享不同解題思路（如用勾股定理vs三角函數(shù)）。3.工具準備：提前讓學生熟悉計算器的角度模式（確保為“DEG”模式），并演示三角函數(shù)值的計算步驟。4.分層教學：基礎薄弱學生重點掌握前2道例題和基礎練習題，能力較強學生可嘗試拓展延伸題，教師針對性點撥。已知兩邊解直角三角形在圖中的Rt△ABC中，(1)根據(jù)∠A=75°，斜邊

AB=6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？合作探究ABC675°(2)根據(jù)

AC=2.4，AB=6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？ABC62.4

在直角三角形中，除直角外有

5

個元素（即

3

條邊、2

個銳角），只要知道其中的

2

個元素（至少有

1

個是邊），就可以求出其余的

3

個未知元素.像這樣，我們把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過程叫作解直角三角形.ABC解：典例精析例1

如圖，在

Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=，，解這個直角三角形.已知Rt△ABC中，∠C

=90°，a=30，b=20，解此直角三角形.

解：根據(jù)勾股定理得ABCb=20a=30c練一練已知一邊及一銳角解直角三角形例2

如圖，在

Rt△ABC

中，∠C

=90°，∠B=35°，b=20，解這個直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).ABCb=20ca35°解：1.在Rt△ABC中，∠C

=90°，∠B

=72°，c=14.根據(jù)條件解直角三角形.ABCbac=14解：練一練2.如圖，已知AC=4，求AB和BC的長．提示：作

CD⊥AB

于點

D，根據(jù)三角函數(shù)的定義，在

Rt△ACD

和

Rt△CDB

中，即可求出CD，AD，BD的長，從而得解．在

Rt△CDB

中，∠DCB

=∠ACB－∠ACD

=

45°，解：如圖，作

CD⊥AB

于點

D.在

Rt△ACD

中，∵∠A

=

30°，∴∠ACD

=

90°

-

∠A

=

60°，∴

BD

=

CD

=

2.D在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數(shù)值，一般可結(jié)合方程思想求解.已知一銳角三角函數(shù)值解直角三角形例3

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求

AB的長.ACB解：設1.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，sin

A=，BC

=

6，則

AB

的長為

(

)A．4B．6C．8D．10D2.如圖，在菱形

ABCD

中，AE⊥BC

于點

E，EC

=

4，sin

B=，則菱形的周長是()

A．10B．20C．40D．28C練一練提示：題目中沒有給出圖形，注意分類討論.例4

在△ABC

中，AB

=，AC

=

13，cosB

=，求

BC的長.解：∵cosB=，∴∠B

=

45°.當△ABC

為鈍角三角形時，如圖①.∵AC

=

13，∴由勾股定理得

CD

=

5.∴BC

=

BD

-

CD

=

12

-

5

=

7.圖①當△ABC

為銳角三角形時，如圖②，此時

BC

=

BD

+

CD

=

12

+

5

=

17.綜上可知，BC的長為7或17.圖②2.如圖，在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠B

=

30°，

AB

=

8，則

BC

的長是(

)

D

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，

∠B，∠C的對邊，則下列各式正確的是(

)A.b=a·tanAB.b=c·sinAC.b=c·cosAD.a=c·cosAACB

C3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，

則

AC=

(參考數(shù)據(jù)：sin37°

≈0.60，cos37°

≈

0.80，tan37°

≈0.75