江西省上饒市橫峰中學(xué)、余干一中2026屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.2．經(jīng)過點，且被圓所截得的弦最短時的直線的方程為（）A. B.C. D.3．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試，全班學(xué)生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)的估計值為，則的值為（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的前項和為，則關(guān)于的方程的解的個數(shù)為（）A.0 B.1C.無數(shù)個 D.0或無數(shù)個5．若定義在R上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.10507．已知，是圓上的兩點，是直線上一點，若存在點，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設(shè)各項均為正項的數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項和為，則（）A. B.C.5 D.69．已知點與不重合的點A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．直線的方向向量為（）A. B.C. D.11．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.12．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學(xué)用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則___________.14．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為___________________；若點Q為拋物線E：y2=4x上的動點，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為___________.15．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.16．某部門計劃對某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測，將所得數(shù)據(jù)按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）是否存在實數(shù)，，，對任意的正數(shù)，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，請說明理由.18．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓：右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.（1）求橢圓M的方程；（2）C，D為橢圓M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD與AB垂直，求四邊形ACBD面積的最大值.19．（12分）已知橢圓左右焦點分別為，，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于M，N兩點，求的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．（12分）數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知拋物線，直線與交于兩點且（為坐標(biāo)原點）（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，若直線的傾斜角互補，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點是曲線上的任意一點，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，點到直線的最小距離.故選：D.2、C【解析】當(dāng)是弦中點，她能時，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時，點被圓所截得的弦最短，此時，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關(guān)鍵3、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.4、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式討論公比的取值即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，，因為，所以無解，即方程的解的個數(shù)為0，當(dāng)時，，所以時，方程有無數(shù)個偶數(shù)解，當(dāng)時，方程無解，綜上，關(guān)于的方程的解的個數(shù)為0或無數(shù)個.故選：D.5、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減；又，故可得，則，即，解得，故不等式解集為.故選：B.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，屬中檔題.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列滿足,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C7、B【解析】確定在以為直徑的圓上，，根據(jù)均值不等式得到圓上的點到的最大距離為，得到，解得答案.【詳解】，故在以為直徑的圓上，設(shè)中點為，則，圓上的點到的最大距離為，，當(dāng)時等號成立.直線到原點的距離為，故.故選：B.8、D【解析】由利用因式分解可得，即可判斷出數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列，數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求出【詳解】等價于，而，所以，即可知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即有，所以，故故選：D9、D【解析】由題意可得兩點的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時，弦長最小，當(dāng)過點時，弦長最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】設(shè)點，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因為兩圓過，所以和，所以兩點的坐標(biāo)滿足圓，因為點與不重合的點A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長最小時，，因為，半徑為2，所以弦長的最小值為，當(dāng)過點時，弦長最長為4，因為，所以當(dāng)弦長最小時，的最大值為，當(dāng)弦長最大時，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D10、D【解析】根據(jù)直線方程，求得斜率k，分析即可得直線的方向向量.【詳解】直線變形可得，所以直線的斜率，所以向量為直線的一個方向向量，因為，所以向量為直線的方向向量，故選：D11、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A12、C【解析】設(shè)正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設(shè)正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：14、①.②.【解析】（1）利用直譯法直接求出P點的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點到另一個定點的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值【詳解】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡得則設(shè)則由拋物線的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時取等號，的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大15、【解析】利用等差中項求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)個小矩形面積之和為1即可求出的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值為：，無極大值（2），，【解析】（1）先求導(dǎo)求單調(diào)性，再判斷極值點求極值即可；（2）易知，只需要為函數(shù)和的公切線即可，求出公切線，代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知：，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以為函數(shù)的極小值點，即極小值為：，無極大值.【小問2詳解】設(shè)，易知，所以點是和的公共點，要使成立，只需要為函數(shù)和的公切線即可，由（1）知，，所以在點處的切線為：，同理可得在點處的切線為：，由題意知為同一條直線，所以解得，即等價于；下面證明這個式子成立：首先證明等價于，設(shè)，所以，恒成立，所以單調(diào)遞增，易知，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故不等式成立，即成立；再證明：等價于，設(shè)，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故不等式成立，即成立；綜上所述，存在，，使得成立.故：，，.【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，，的中點為，利用“點差法”求解；（2）由求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的長，再根據(jù)，設(shè)直線的方程為，由，求得的長，然后由四邊形的面積為求解.【小問1詳解】解：把右焦點代入直線，得，設(shè)，，的中點為，則，，相減得，即，即，即.又，，則.又，解得，，故橢圓的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立消去，可得，解得或，故交點為，.所以.因為，所以可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去，得到，因為直線與橢圓有兩個不同的交點，則，解得，且，又，則.故四邊形的面積為，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為.所以四邊形的面積的最大值為.19、（1）（2）【解析】（1）依題意得到方程組，求出、、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出過且與軸垂直時、的坐標(biāo)，即可得到，當(dāng)過的直線不與軸垂直時，可設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，將韋達(dá)定理代入得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍；【小問1詳解】解：由題意可列方程組，解得，所以橢圓方程為：.【小問2詳解】解：①當(dāng)過的直線與軸垂直時，此時，，，則，.②當(dāng)過的直線不與軸垂直時，可設(shè)，，直線方程為聯(lián)立得：.所以，=將韋達(dá)定理代入上式得：.，，，由①②可知.20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問2詳解】解：，因此，.21、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3