初中中大附中2025學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)初二年級(jí)數(shù)學(xué)科試卷考生注意事項(xiàng)：1.試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B鉛筆涂在答題卡上，第Ⅱ卷用黑色鋼筆、簽字筆在答題卡上作答；2.質(zhì)量監(jiān)測(cè)時(shí)間120分鐘，全卷滿分150分；第Ⅰ卷選擇題（40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A B. C. D.2.下列各組數(shù)不可能是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的是（）A.5,7,12 B.5,12,13 C.5,7,7 D.101,102,1033.兩把相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，其中一把直尺邊緣和射線重合，另把直尺的下邊緣與射線重合，連接并延長(zhǎng)．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.4.根據(jù)下列條件，不能畫(huà)出唯一確定的的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知實(shí)數(shù)，滿足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A.或 B.C. D.以上答案均不對(duì)6.如圖，在等邊中，D、E分別在邊上，且，與相交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.7.下列說(shuō)法中，不正確的是（）A.有兩個(gè)角是的三角形是等邊三角形B.已知，，，則可以畫(huà)出唯一確定C.若中，，則是直角三角形D.三角形中，到三邊距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)8.如圖，在中，，，，直線垂直平分線段，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A.12 B.13 C.10 D.149.如圖，在中，，高與角平分線相交于點(diǎn)，的平分線分別交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①②④ B.①②③ C.③④ D.②③④10.如圖，在中，，，將沿折疊，使點(diǎn)落在直角邊上的點(diǎn)處，設(shè)與，邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，如果折疊后與均為等腰三角形，則的度數(shù)為（）度．A.30或60 B.45或60 C.60 D.30或45第Ⅱ卷非選擇題（110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）11.小聰一筆畫(huà)成了如圖所示的圖形，則的度數(shù)為_(kāi)________．12.點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．13.若，，是的三邊，試化簡(jiǎn)______．14.如圖，四邊形的面積是，各邊中點(diǎn)分別為，N，，，與相交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的總面積為_(kāi)____．15.如圖所示，，作的延長(zhǎng)線，與的角平分線相交于，與的角平分線相交于…以此類推，與的角平分線相交于…則________．16.如圖，在中，，，當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，且，，垂足為H，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且滿足，若，，則______．三、解答題（本大題共9小題，滿分86分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，點(diǎn)A、D、C、F同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．求證：．18.在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．作出關(guān)于y軸對(duì)稱的并寫(xiě)出的坐標(biāo)；19.如圖，已知，分別是的高和中線，，，求：的面積．20.如圖，在中，，為邊上的高，為三角形的角平分線，與相交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，，求的長(zhǎng)度．21.【知識(shí)再現(xiàn)】學(xué)完“全等三角形”后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）如圖①，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上．若，則線段和線段數(shù)量關(guān)系是______________．【拓展延伸】（2）如圖②所示，在中，，，點(diǎn)D在邊上．若點(diǎn)E在邊上，且，則線段與線段相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．22.如圖，在中，角平分線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D．（1）若，，求的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)時(shí)，探究，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．23.在中，，點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，探究與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）在圖2和圖3中，，設(shè)，．請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．24.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，且．（1）如圖1，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______；（2）點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．①如圖2，若交于點(diǎn)．求證：；②如圖3，若，求的值．25.【背景】數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)對(duì)頂角知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)若兩個(gè)三角形存在對(duì)頂角的關(guān)系時(shí)，則這兩個(gè)三角形的內(nèi)角存在某種關(guān)系．對(duì)此數(shù)學(xué)興趣小組展開(kāi)探究．【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在和中，點(diǎn)E為與的交點(diǎn)．①若，則；②若，則與之間的數(shù)量關(guān)系是；【應(yīng)用】（2）如圖2，B、A、E在同一直線上，交于點(diǎn)C，．求證：；（3）如圖3，在等腰中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊至，的對(duì)應(yīng)邊與交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)為_(kāi)__________（4）如圖4，在中，，是邊上的高，，是外一點(diǎn)且滿足．記，求與的數(shù)量關(guān)系．

中大附中2025學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)初二年級(jí)數(shù)學(xué)科試卷考生注意事項(xiàng)：1.試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B鉛筆涂在答題卡上，第Ⅱ卷用黑色鋼筆、簽字筆在答題卡上作答；2.質(zhì)量監(jiān)測(cè)時(shí)間120分鐘，全卷滿分150分；第Ⅰ卷選擇題（40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，兩部分完全重合，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、形似“等腰三角形”的圖形，沿著中間豎直的直線對(duì)折后，兩部分完全重合，是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)B、該圖形沿著中間豎直的直線對(duì)折后，兩部分完全重合，是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)C、該圖形上、下兩部分不相同，沿著中間橫直線對(duì)折后，兩部分不能完全重合，不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)D、該圖形沿著中間豎直的直線對(duì)折后，兩部分完全重合，是軸對(duì)稱圖形；故選：C．2.下列各組數(shù)不可能是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的是（）A.57,12 B.5,12,13 C.5,7,7 D.101,102,103【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形兩短邊之和大于第三邊進(jìn)行判定可得出答案.【詳解】解：A、5+7=12，這三個(gè)數(shù)不能是一個(gè)三角形的三邊，故A符合題意；B、5+12=17＞13，這三個(gè)數(shù)是一個(gè)三角形的三邊，故B不符合題意；C、5+7=12＞7，這三個(gè)數(shù)是一個(gè)三角形的三邊，故C不符合題意；D、101+102=203＞103，這三個(gè)數(shù)是一個(gè)三角形的三邊，故D不符合題意；故答案為A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟知兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題關(guān)鍵.3.兩把相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，其中一把直尺邊緣和射線重合，另把直尺的下邊緣與射線重合，連接并延長(zhǎng)．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查角平分線的判定，根據(jù)題意，易得點(diǎn)到射線和射線的距離相等，均為長(zhǎng)方形直尺的寬，進(jìn)而得到平分，得到，即可．【詳解】解：由圖和題意，得點(diǎn)到射線和射線的距離相等，均為長(zhǎng)方形直尺的寬，∴平分，∴；故選：B．4.根據(jù)下列條件，不能畫(huà)出唯一確定的的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的幾種判定定理是解題關(guān)鍵，根據(jù)選項(xiàng)中所給的條件，逐條判斷是否滿足全等三角形的判定定理即可．【詳解】解：A、符合全等三角形的判定定理，能畫(huà)出唯一的，故該選項(xiàng)不符合題意；B、符合全等三角形的判定定理，能畫(huà)出唯一的，故該選項(xiàng)不符合題意；C、不符合全等三角形的判定定理，不能畫(huà)出唯一的，故該選項(xiàng)符合題意；D、符合全等三角形的判定定理，能畫(huà)出唯一的，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5.已知實(shí)數(shù)，滿足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A.或 B.C D.以上答案均不對(duì)【答案】B【解析】【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，等腰三角形的定義及性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，理解絕對(duì)值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性及有理數(shù)加法求出的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定三邊即可求解．【詳解】解：，，解得，，如果為腰，那么三角形三邊為，而，因此以4為腰不能構(gòu)成三角形，不符合題意；如果為腰，那么三角形三邊為，，因此以8為腰能構(gòu)成三角形，符合題意，且周長(zhǎng)為．故選：B．6.如圖，在等邊中，D、E分別在邊上，且，與相交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)得到，則可證明，得到，據(jù)此由三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，故選：A．7.下列說(shuō)法中，不正確的是（）A.有兩個(gè)角是的三角形是等邊三角形B.已知，，，則可以畫(huà)出唯一確定的C.若中，，則是直角三角形D.三角形中，到三邊距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定定理，全等三角形的判定定理，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的判定定理，根據(jù)等邊三角形的判定定理可判斷A；根據(jù)可判斷B；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷C；根據(jù)角平分線的判定定理可判斷D．【詳解】解：A、有兩個(gè)角是的三角形是等邊三角形，原說(shuō)法正確，不符合題意；B、由可證明兩個(gè)三角形全等，故可以畫(huà)出唯一確定的，原說(shuō)法正確，不符合題意；C、∵中，，∴，∴是直角三角形，原說(shuō)法正確，不符合題意；D、三角形中，到三邊距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．8.如圖，在中，，，，直線垂直平分線段，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A.12 B.13 C.10 D.14【答案】A【解析】【分析】連接，，推出周長(zhǎng)的最小值為，證明，再利用三角形的面積公式列方程求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接，，直線垂直平分線段，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最小值為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，，，解得，周長(zhǎng)的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形面積公式，能夠推出周長(zhǎng)的最小值為是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，，高與角平分線相交于點(diǎn)，的平分線分別交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①②④ B.①②③ C.③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和等，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同角的余角相等即可判斷①，根據(jù)角平分線的意義以及等角的余角相等即可判斷②③，根據(jù)為的高得：，，根據(jù)已知條件無(wú)法判定與相等，對(duì)此可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，，∴，∴，故①正確；∵是的角平分線，，，，又，，故②正確，∵，∵是的平分線，，故③正確，為的高，，，∵根據(jù)已知條件無(wú)法判定與相等，∴無(wú)法判定與相等，∴結(jié)論不正確．綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．故選：B．10.如圖，在中，，，將沿折疊，使點(diǎn)落在直角邊上的點(diǎn)處，設(shè)與，邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，如果折疊后與均為等腰三角形，則的度數(shù)為（）度．A.30或60 B.45或60 C.60 D.30或45【答案】D【解析】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．先確定是等腰三角形，得出，因?yàn)椴淮_定是以那兩條邊為腰等腰三角形，故需討論，，，，然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可．【詳解】解：∵中，，且是等腰三角形，∴，∴，設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，，∴，∵∴，，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，解得，此時(shí)；如圖，當(dāng)時(shí)，則，∴，∵，∴，解得，此時(shí)；時(shí)，則，由得，，此方程無(wú)解，∴不成立，綜上所述，或，故選：．第Ⅱ卷非選擇題（110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）11.小聰一筆畫(huà)成了如圖所示的圖形，則的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，由三角形外角的性質(zhì)可推出，則可證明，據(jù)此由三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，故答案為：．12.點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．【答案】【解析】【分析】關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可解．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”．13.若，，是的三邊，試化簡(jiǎn)______．【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和絕對(duì)值化簡(jiǎn)，整式的加減，解題關(guān)鍵是牢記三角形任意兩邊之和大于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)絕對(duì)值后再相加即可求解．【詳解】解：∵，，為的三邊長(zhǎng)，∴，∴，，∴．故答案為：．14.如圖，四邊形的面積是，各邊中點(diǎn)分別為，N，，，與相交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的總面積為_(kāi)____．【答案】8【解析】【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，連接，根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分求解即可．【詳解】解：連接，，，，∵各邊中點(diǎn)分別為，，，，∴，∴，，，，，得，∴．故答案為：．15.如圖所示，，作的延長(zhǎng)線，與的角平分線相交于，與的角平分線相交于…以此類推，與的角平分線相交于…則________．【答案】【解析】【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出與的規(guī)律．利用三角形外角性質(zhì)和角平分線性質(zhì)，推導(dǎo)、與的關(guān)系，歸納出的一般規(guī)律，再代入求解．【詳解】解：∵分別平分和，，而，∴，，同理可得，即，即．故答案為：．16.如圖，在中，，，當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，且，，垂足為H，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且滿足，若，，則______．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作于，多次證明三角形全等，最后由線段的和差得，進(jìn)而即可得解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，在和中，，，，，，∵中，，，，，，，，，，又∵，，在和中，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，．，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分86分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】由“”即可證得．【詳解】證明：，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法“SSS”是本題的關(guān)鍵．18.在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．作出關(guān)于y軸對(duì)稱的并寫(xiě)出的坐標(biāo)；【答案】見(jiàn)解析，【解析】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，據(jù)此可得的坐標(biāo)，描出，并順次連接即可．【詳解】解：如圖所示，即為所求，則．19.如圖，已知，分別是的高和中線，，，求：的面積．【答案】5【解析】【分析】本題主要考查了求三角形面積，熟知三角形高和中線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線得到，再由三角形面積公式求解．【詳解】解：∵分別是的高線和中線，，∴，∴．20.如圖，在中，，為邊上的高，為三角形的角平分線，與相交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和與外角，直角三角形的面積，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由已知條件，，根據(jù)角平分線的定義得到，則可求；（2）因?yàn)椋瑢?，，代入?jì)算即可得的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】解：∵，，∴，∵為三角形的角平分線，∴，；【小問(wèn)2詳解】解：，，，，．即的長(zhǎng)度為．21.【知識(shí)再現(xiàn)】學(xué)完“全等三角形”后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）如圖①，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上．若，則線段和線段的數(shù)量關(guān)系是______________．【拓展延伸】（2）如圖②所示，在中，，，點(diǎn)D在邊上．若點(diǎn)E在邊上，且，則線段與線段相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）．證明見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）通過(guò)已知條件即可得出線段關(guān)系；（2）通過(guò)做輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等．【詳解】解：（1）在中，，在和中，．（2）．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．，，．，，．．22.如圖，在中，角平分線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D．（1）若，，求的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)時(shí)，探究，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），理由見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．（1）連接，作于N，于M，根據(jù)即可得解；（2）在上取一點(diǎn)H，使．先求出，再依次證明，，可得，即可得解．【小問(wèn)1詳解】解：連接，作于N，于M，的角平分線、相交于點(diǎn)O，，，．，【小問(wèn)2詳解】解∶，理由見(jiàn)解析，，．的角平分線、相交于點(diǎn)O，．．．．在上取一點(diǎn)H，使，是的平分線，．在和中．．．是平分線，．在和中．．．23.在中，，點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，探究與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）在圖2和圖3中，，設(shè)，．請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1），，理由見(jiàn)解析（2）當(dāng)點(diǎn)在上，，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，【解析】【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得，根據(jù)全等的判定方法證得，進(jìn)而證得、，即；（2）當(dāng)點(diǎn)在上，如圖，根據(jù)、證得，進(jìn)而證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得，進(jìn)而證得，即；當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，如圖，根據(jù)、證得，進(jìn)而證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得，通過(guò)和證得．【小問(wèn)1詳解】解：，，理由如下：、在和中、；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，、在和中；如圖，作出圖形：、在和中、綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在上，，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，．24.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，且．（1）如圖1，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______；（2）點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．①如圖2，若交于點(diǎn)．求證：；②如圖3，若，求的值．【答案】（1）（2）①見(jiàn)解析；②【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，同角的余角相等，平行線的性質(zhì)，線段和差，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）過(guò)作軸于點(diǎn)，由，可得，點(diǎn)，故，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)同角的余角相等得，然后證