1/3專題3.3橢圓雙曲線的離心率問題（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標考情規(guī)律利用a,b,c的齊次式求離心率根據(jù)題目條件構(gòu)造齊次式求離心率基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題中利用橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率掌握橢圓的幾何性質(zhì)并轉(zhuǎn)化為可列出的條件來求離心率基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題中根據(jù)解三角形的方法求離心率掌握解三角形方法并使用在圓錐曲線的三角形內(nèi)。高頻必考點，常出現(xiàn)在小題中根據(jù)雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率掌握雙曲線的漸近線的一些性質(zhì)。高頻必考點，雙曲線有關(guān)的小題中，漸近線是很容易考察的知識點。求離心率的范圍掌握圓錐曲線中的一些限制范圍，如焦半徑，點坐標，焦點三角形頂角等，根據(jù)限制條件列出不等式。高頻必考點，常出現(xiàn)在小題中知識點01利用a，b，c的齊次式求離心率將題目中幾何條件（長度、角度、垂直、平行、比例關(guān)系等）轉(zhuǎn)化為一個只包含基礎(chǔ)量

a,b,c

的齊次式方程。由于離心率

e=ca，且圓錐曲線中a,b,c

存在固有關(guān)系（橢圓：c2知識點02利用橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率1、對稱性：充分利用橢圓、雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的幾何特性。當題目中出現(xiàn)的圖形或條件具有對稱性時（例如，平行四邊形、關(guān)于原點對稱的圖形、等腰等邊三角形等），通過對稱性可以推斷出關(guān)鍵點的坐標、線段相等或角度相等關(guān)系，從而快速建立關(guān)于

a,b,c

的方程。2、當題目條件中出現(xiàn)

“中點”（尤其是焦點弦中點、焦點與頂點連線的中點等）時，主動構(gòu)造三角形的中位線。中位線具備“平行于底邊且等于底邊一半”的性質(zhì)，這可以將橢圓/雙曲線上的點與焦點、中心等關(guān)鍵元素聯(lián)系起來，從而建立關(guān)于

a,c

的等量關(guān)系。3、若遇到角分線時，可做角分線的垂線，這時的角分線也是中垂線，從而也可以構(gòu)造中位線。知識點03根據(jù)解三角形的方法求離心率在圓錐曲線中，大部分的小題都圍繞著焦點三角形，而焦點三角形本質(zhì)上也是三角形，所以這里可以把圓錐曲線的基本性質(zhì)聯(lián)立解三角形的方法來解決問題。利用余弦定理利用正弦定理利用面積公式知識點04根據(jù)雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率雙曲線的漸近線有很多性質(zhì)，本節(jié)僅展示部分漸近線的性質(zhì)1、過雙曲線的焦點作漸近線的垂線，焦點、原點、垂點三點構(gòu)成的直角三角形的三邊分別為a,b,c2、以兩焦點為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點坐標為P(a,b知識點05求離心率的范圍要求離心率的范圍，就要從題目信息中建立關(guān)于離心率的不等式，常見的依據(jù)有：1、焦半徑的取值范圍2、圓錐曲線上的坐標的取值范圍3、焦點三角形的頂角的取值范圍4、與圓錐曲線有交點，聯(lián)立得到的范圍根據(jù)以上這些條件，構(gòu)建離心率的不等式從而得到離心率的范圍。題型一利用a,b,c的齊次式求離心率解｜題｜技｜巧由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；【典例1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）已知雙曲線C:的一條漸近線l與橢圓E:交于A，B兩點，若（是橢圓的兩個焦點），則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意不妨設(shè)l的方程為，根據(jù)題意可得的坐標，代入橢圓方程，進而計算可求得橢圓的離心率.【詳解】易知雙曲線C的漸近線方程為，不妨設(shè)l的方程為.如圖，由，，可得，代入橢圓方程，得，又，故，解得（舍去），所以.故選：A.【典例2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知雙曲線左頂點為，右焦點為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于兩點．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】表達出，將其代入雙曲線上，整理得到，計算出.【詳解】由對稱性，知軸，，，四邊形是正方形，則，，則，，則在雙曲線上，，即，即，化簡整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故選：C．【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).【變式1】（24-25高二上·廣東陽江·期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，右頂點為A，上頂點為B，P為線段AB上一點，直線與直線交于點Q，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用得，即軸，進而求得，再利用勾股定理得轉(zhuǎn)化為，解方程可得答案.【詳解】由，得為的中點，又坐標原點為的中點，則，于是軸，，則，因此，即，整理得，則，而，所以.故選：A【變式2】（24-25高二上·江西吉安·期末）已知雙曲線的左，右焦點分別為，過點作軸的垂線與雙曲線在第一象限交于點為坐標原點，若，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，確定直角三角形的直角頂點位置，建立方程并結(jié)合雙曲線定義求出，再借助相似三角形性質(zhì)列式求解作答.【詳解】根據(jù)題意軸，所以為直角三角形，由有，設(shè)，把代入有，所以，即，由有，由，即.故答案為：.題型二利用對稱性求離心率解｜題｜技｜巧充分利用橢圓、雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的幾何特性來轉(zhuǎn)化關(guān)系?！镜淅?】（24-25高二上·福建莆田·期末）設(shè)橢圓的左焦點為，過原點的直線交橢圓于M、N兩點，.且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓對稱性利用勾股定理以及橢圓定義計算可得離心率.【詳解】連接，如下圖所示：由對稱性可知四邊形為平行四邊形，由可得；又可得，因此；因此，即，即，可得；由橢圓定義可得，即.故選：D【典例2】（24-25高二上·江蘇無錫·期末）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:-=1（a>0，b>0）的左焦點為F，點M，N在雙曲線C上.若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B． C． D．+1【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義（或方程）及對稱性，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可得關(guān)系，進而得到雙曲線的離心率.【詳解】如圖，因為四邊形OFMN為菱形，所以,記雙曲線的焦距為，右焦點為,則,且根據(jù)雙曲線的對稱性，點的橫坐標為,所以，所以,所以點的縱坐標為,所以點在雙曲線上，代入雙曲線方程，得,整理得：，聯(lián)立,得：,化簡得：兩邊同除以,得：,解得：,.因為雙曲線的離心率大于1，所以.方法二：如圖，因為四邊形OFMN為菱形，所以,記雙曲線的焦距為，右焦點為,則,根據(jù)雙曲線的對稱性，點的橫坐標為,所以，所以,所以點的縱坐標為,所以,以,由雙曲線的定義，知,所以,所以,雙曲線C的離心率為.故選：D.【變式1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于、兩點，且，點關(guān)于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、、，如圖所示，

又因為，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因為為直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因為為直角三角形，，所以，即，所以，即.故選：C.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.【變式2】（24-25高二上·廣東茂名·期末）設(shè)雙曲線的左，右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于兩點，，則的離心率為.【答案】【分析】由雙曲線的對稱性可得，，且四邊形為平行四邊形，由數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦定理代入計算，即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，則，即，，所以.故答案為：題型三構(gòu)造中位線求離心率解｜題｜技｜巧遇到中點或者角分線時，可以考慮需不需要構(gòu)造中位線來解決問題。【典例1】（25-26高二上·江蘇常州·月考）已知橢圓的左右焦點分別為，點為坐標原點，點為橢圓上一點，點為中點，若的周長為6，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中位線性質(zhì)得出焦點的周長，從而求得半焦距，再由離心率的定義式計算可得．【詳解】因為為的中點，而是中點，所以，所以的周長是周長的一半，又的周長為6，所以周長是12，即，得，又，所以，．故選：B．【典例2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知雙曲線（，），為其左右焦點，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線分別交的左右兩支于，兩點．若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】作出輔助線，得到，故，，由雙曲線定義得到方程，求出，求出離心率.【詳解】設(shè)直線與的切點為，連接，則，因為，所以，而，所以，，而，所以，所以，．因此，所以，離心率.故選：B．【變式1】（24-25高二下·河南南陽·期末）已知，是橢圓的左、右焦點，P是橢圓上任意一點，過引的外角平分線的垂線，垂足為Q，且Q與短軸頂點的最短距離為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平方分線及橢圓定義計算結(jié)合，最后計算得出離心率即可.【詳解】延長交的延長線于，連接，由題意知：，，所以，則的軌跡為以為圓心、為半徑的圓，所以與短軸頂點的最短距離為，所以，所以，則.故選：C.【變式2】（24-25高二下·云南·期末）已知橢圓的左?右焦點分別是是坐標原點，是上第一象限的點.若的角平分線上一點滿足，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，延長與交于點，根據(jù)幾何關(guān)系求出，結(jié)合離心率公式即可進一步求解.【詳解】根據(jù)題意可得，延長與交于點，由等腰三角形三線合一可知，由橢圓的定義可得，所以，所以，由是的中位線，可得，所以，解得，所以的離心率為.故選：B.題型四頂角為直角求離心率解｜題｜技｜巧當頂角為直角時，也是?？嫉囊环N焦點三角形的類型，這是多次使用勾股定理來解決問題?！镜淅?】（24-25高二上·四川涼山·期末）已知橢圓上兩點、關(guān)于原點對稱，為橢圓的右焦點，交橢圓于點，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，不妨設(shè)，根據(jù)題意分析可得，，結(jié)合勾股定理可得，即可得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，不妨設(shè)，則，因為，且，可知為矩形，則，，又因為，，即，可得，，則，在中，，即，解得，可得，則，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】方法點睛：1．橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．【典例2】（24-25高二上·河南信陽·期末）已知分別是雙曲線的左、右焦點，如圖，過的直線與的左支交于，，若，設(shè)雙曲線的離心率為，則．【答案】/【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義表示出，在中，由勾股定理解得，從而各邊都可以用表示，在中得到和的關(guān)系，從而得到的值.【詳解】設(shè)，因為，所以，，因為點、在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線定義得，，因為，所以，在中，由勾股定理得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：雙曲線定義的應(yīng)用雙曲線上的點均符合雙曲線的定義，即，，再根據(jù)點在右支得到，，再結(jié)合，從而各邊均可用來表示.【變式1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，若，（為坐標原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意判斷為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理列出方程，求得離心率.【詳解】如圖，

由，得，，其中，所以，可得為直角三角形，，且，解得，，再由勾股定理可得：得，．故選：D．【變式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是C右支上一點，線段與C的左支交于點M.若，且，則C的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)，則，由勾股定理得，由雙曲線定義得到方程，求出，故，，在中，由勾股定理得到方程，求出，得到離心率.【詳解】因為，所以，又，所以，設(shè)，則，由勾股定理得，由雙曲線定義得，故，故，由雙曲線定義得，故，解得，故，，在中，由勾股定理得，即，解得，故離心率.故答案為：題型五利用余弦定理求離心率解｜題｜技｜巧根據(jù)題目條件一次或多次使用余弦定理，列出a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率【典例1】（24-25高二上·山東泰安·期末）已知是橢圓的左，右焦點，點是橢圓上一點，且，，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓定義得出，再結(jié)合余弦定理得出，進而得出離心率.【詳解】因為，又因為，所以，因為，則，，在中，，所以，所以，所以，所以.故選：D.【典例2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知雙曲線的左，右焦點分別為，過點的直線交的左支于兩點，若成等差數(shù)列，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)條件和雙曲線定義表示出，然后結(jié)合余弦定理求解，可得為等腰三角形，則離心率可求.【詳解】設(shè)，所以，又因為成等差數(shù)列，所以，所以，所以，因為，解得，

所以，所以為等腰三角形，即，化簡可得，所以.故選：A【變式1】（24-25高二上·福建三明·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，在其著作《圓錐曲線論》中提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)．光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，經(jīng)過橢圓反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點．已知點、是橢圓的左、右焦點，從點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上一點M反射，反射光線交橢圓于另一點N．若點、N關(guān)于的角平分線對稱，且，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由點、N關(guān)于的角平分線對稱，可得，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義求出，再在中，利用余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出的關(guān)系即可得解.【詳解】由題意可得共線，因為點、N關(guān)于的角平分線對稱，所以，設(shè)，則，故，由，得，在中，由余弦定理得，，即，即，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即橢圓C的離心率為.故選：A.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.【變式2】（24-25高二上·重慶·期末）如圖：，是雙曲線的左右焦點，以為圓心的圓與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓的半徑為，由條件結(jié)合雙曲線的定義證明，結(jié)合雙曲線定義及余弦定理列方程確定關(guān)系，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，因為，所以，由雙曲線定義可得，所以，故，，，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由已知，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：D.

題型六利用正弦定理求離心率解｜題｜技｜巧題目中如果有角度關(guān)系，三角形的兩邊比值時，可以考慮用正弦定理構(gòu)a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率?！镜淅?】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，、分別為其左、右焦點，且橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，點為它們在第一象限的交點，滿足，則橢圓離心率的值是.【答案】【分析】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，，利用正弦定理得到，再由橢圓的定義及雙曲線的定義得到，結(jié)合得到，兩邊除以得到的方程，解得，再求出.【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，，由正弦定理得.∵，∴，∴.∵，，∴，∴.又∵，所以，兩邊除以并化簡得，∴或（舍去），則.故答案為：【點睛】方法點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于，，的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為，的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．【典例2】（24-25高二下·浙江溫州·期末）如圖所示，已知雙曲線的左右焦點分別為和，過和分別作兩條互相平行的直線和，與雙曲線的左支交于A、B兩點（A在x軸上方），與雙曲線的右支交于C、D兩點（C在x軸上方），若，，則（e是雙曲線的離心率）等于．【答案】【分析】根據(jù)題意可設(shè)，則，由，可得，作的角平分線，在和中，利用正弦定理建立方程可求，再在中，利用余弦定理即可求.【詳解】設(shè)的角平分線交與，，，設(shè)，則，又，，所以，，又為的角平分線，所以，，，在中，，在中，，所以，整理得，，解得（舍去），所以，在中，，又，所以，所以.故答案為：.【變式1】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓的左右焦點分別為，拋物線以為焦點，且與橢圓在第一象限相交于點，記，若，則橢圓的離心率取值范圍是．【答案】【分析】利用正弦定理化角為邊，根據(jù)橢圓與拋物線的定義及性質(zhì)，結(jié)合已知條件構(gòu)造不等式求出離心率的取值范圍．【詳解】

橢圓的左右焦點分別為，，，，拋物線以為焦點，，解得，拋物線方程為，在中，由正弦定理得，，，解得，，，在拋物線上，，由橢圓的焦半徑公式得：，，解得，則，，整理得，解得，又，．故答案為：．【變式2】（多選）（24-25高二上·廣東深圳·期末）如圖，已知橢圓C：，其左、右焦點分別為，，直線l與橢圓C相切于點P，過點P與l垂直的直線交橢圓的長軸于點M，PM平分過點作l的垂線，垂足為N，延長、交于點Q，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．橢圓C的離心率為D．【答案】ABD【分析】選項A，由正弦定理和角平分線得到；選項B，利用，可得，再由三角形的面積公式，求解即可；選項C，根據(jù)A選項與橢圓的定義可得，，再在中，利用余弦定理，結(jié)合離心率的計算公式，求解即可；選項D，由，，推出N是的中點，從而知，得解．【詳解】選項A，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由于PM平分，故，又，故，所以，即選項A正確；選項B，設(shè)橢圓的焦距，，故，，由題意知，，，所以，所以，所以，，所以，即選項B正確；選項C，由選項A知，，由橢圓的定義知，，所以，，在中，由余弦定理知，，所以，整理得，兩邊同時除以，得，解得離心率或，即選項C錯誤；選項D，由選項A和B知，，，所以，又，所以直線l垂直平分，即N是的中點，因為O是的中點，所以，即D正確．故選：ABD題型七由雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率解｜題｜技｜巧雙曲線的漸近線有很多的二級結(jié)論，這里題型偏基礎(chǔ)一些漸近線性質(zhì)?！镜淅?】（24-25高二下·云南臨滄·期末）已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，左頂點為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為.【答案】2【分析】應(yīng)用點到直線的距離得，結(jié)合的關(guān)系得，在中應(yīng)用余弦定理得，進而有，即得漸近線斜率，根據(jù)雙曲線參數(shù)關(guān)系求離心率.【詳解】由題意，，雙曲線的漸近線為，如上圖，設(shè)點在上，則，故，所以，則，故，所以，故，則橢圓離心率為.故答案為：2【典例2】（24-25高二上·浙江紹興·期末）已知F是雙曲線的左焦點，P為圓上一點，直線PF的傾斜角為，直線PF交雙曲線的兩條漸近線于M，N，且P恰為MN的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)雙曲線左焦點和直線斜率求出直線的方程，然后聯(lián)立直線與圓的方程求出點的坐標.接著利用點是中點這一條件，聯(lián)立直線與雙曲線漸近線方程求出、橫坐標，再根據(jù)中點坐標公式列出等式，最后求解出雙曲線的離心率.【詳解】由題意雙曲線左焦點為，已知圓的圓心為，半徑為c，直線的斜率為，則直線方程為，由，得，即點P的坐標為，雙曲線漸近線方程為，設(shè)點，點，則①，，由，得，由，得，代入①得，解得，所以雙曲線C的離心率故選：

【變式1】（24-25高二上·云南西雙版納·期末）設(shè)為雙曲線的左右焦點，為坐標原點，為的一條漸近線上一點，且，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量等式可得，由焦點到漸近距離，結(jié)合離心率的意義求得答案.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，由對稱性不妨取漸近線為，由，得，則，即，，，由，得，所以的離心率為.故選：B【變式2】（24-25高二上·浙江紹興·期末）過雙曲線的一個焦點作一條漸近線的垂線，垂足為點，垂線與另一條漸近線相交于點.若點是線段的中點，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合雙曲線和漸近線的對稱性、雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)，另一個焦點為，設(shè)l與垂直，垂足為點A，與交于點B，因為A是線段FB的中點，l與垂直，所以，因此三角形是等腰三角形，因此，由雙曲線和漸近線的對稱性可知：，所以有，因此.故選：C.題型八求離心率的范圍解｜題｜技｜巧根據(jù)題目條件以及圓錐曲線的一些限制條件來構(gòu)造離心率的不等式，從而求離心率的范圍?！镜淅?】（24-25高二上·陜西漢中·期末）橢圓E:的左、右焦點分別為，若橢圓E上恰有4個不同的點P，使得為直角，則E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得以線段為直徑的圓與橢圓有4個交點，建立不等式求出離心率范圍.【詳解】由橢圓E上恰有4個不同的點P，使得為直角，得以線段為直徑的圓與橢圓有4個交點，因此橢圓半焦距，即，則，解得，而，所以E的離心率的取值范圍為.故選：B【典例2】（24-25高二上·福建龍巖·期末）已知雙曲線：的右焦點為，焦距為，點的坐標為．若在雙曲線的右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)的左焦點為，由已知作圖，可得，根據(jù)圓周角定理得，再由三角形外角可得，即得，結(jié)合雙曲線定義和勾股定理，即可化簡得到，進而求出離心率的范圍.【詳解】因為，所以是以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的交點，設(shè)的左焦點為，則，，，又，，則．在雙曲線的右支上，，，又在中，，，即，解得，又，．

故答案為：【變式1】（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）雙曲線（，）的右焦點為，若在圓上存在點P，使得的中點在C的漸近線上，則雙曲線C的離心率的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)圓上的一點，得到中點坐標為，代入雙曲線的漸近線方程，得到，根據(jù)直線與圓存在公共點，結(jié)合，求得，進而求得離心率的取值范圍.【詳解】由雙曲線的右焦點為，則，又由圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓上的一點，可得的中點坐標為，因為雙曲線的漸近線方程為，可得，即，又因為直線與圓存在公共點，則圓心到直線的距離，即，可得，所以，解得，所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.【變式2】（24-25高二上·廣東汕頭·期末）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，、為上、下頂點，若在線段上存在（不含端點），使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得線段的方程為，在線段上取一點，由已知可得關(guān)于的方程，在時有實根，根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于、、的不等式組，由此可解得的取值范圍．【詳解】由已知，點，，，，，則線段的方程為，則，在線段上取一點，，，所以，由，得，因為，所以，從而，整理得，即，即，即，結(jié)合，解得．故選：B．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．（24-25高二上·湖南婁底·期末）已知是橢圓的右焦點，為坐標原點，是上的一點，若，且，則的離心率為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題設(shè)有，，從而有，再結(jié)合，可得到，即可求解.【詳解】設(shè)，，又，，則，，所以，又，代入，整理得到，所以，的離心率為，故答案為：.2．（24-25高二上·廣東廣州·期末）在直角坐標系中，是橢圓的左焦點，，分別為左、右頂點，過點作軸的垂線交橢圓于，兩點，連接交軸于點，連接交于點，若是線段的中點，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】作出圖，連接，則由橢圓的對稱性易得，，所以，所以.由相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】

如圖，連接，則由橢圓的對稱性易得，，所以，所以.因為，所以，因為，所以，

從而有，又因為是線段的中點，所以，故答案為：.3．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知橢圓的左右焦點分別為，點在上，點在軸上，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)出相關(guān)點的坐標，然后根據(jù)向量關(guān)系以及橢圓的定義和性質(zhì)來求解離心率.【詳解】設(shè)，，，，，，又，，解得，，此時，，，，解得，又點在上，，，，又，即，解得，，即.故選：4．（25-26高二上·云南昭通·開學(xué)考試）已知是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義算出，由焦點三角形三邊關(guān)系列不等式求解.【詳解】由橢圓的定義得，又，故，由，得，又橢圓的離心率，則.故選：B5．（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓，為坐標原點，直線與橢圓交于、兩點，若為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出兩點的坐標，再代入橢圓方程，再結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解．【詳解】由橢圓的對稱性可得，因為為直角三角形則，則不妨設(shè)，將點的坐標代入得：，所以，所以的離心率．故選：B.期末重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（25-26高三上·陜西西安·月考）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，橢圓上點滿足，直線和直線分別與橢圓交于異于點的點和點，若，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題意，令，得到，求得，結(jié)合橢圓的定義及勾股定理，得到和，聯(lián)立方程組，進而求得橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，令，因為，可得，所以，可得，因為，令，則，由橢圓的定義，可得，又由，則，所以，整理得，又因為，可得，所以，整理得，所以，整理得，聯(lián)立方程組，解得，故，又因為，所以，所以.故答案為：.

2.（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知橢圓，設(shè)，若上存在3個不同的點使得，則的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，由題意，根據(jù)兩點距離公式化簡求解點的軌跡，作出圖形，將圓的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和求出的取值范圍，結(jié)合離心率的概念計算即可求解.【詳解】設(shè)，由，得，整理得，即點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.因為橢圓與圓有3個不同的交點，由橢圓，則.結(jié)合圖形可知，點是橢圓與圓的一個公共點.由，消去，整理得，易知，且為該方程的一個根，由橢圓與圓有3個不同的交點，則方程必有另一根，且在內(nèi).設(shè)另一個根為（），且此根對應(yīng)橢圓與圓的個公共點，由韋達定理得，即，所以，解得，所以，又，所以.故答案為：【點睛】思路點睛：解決本題的思路是先求解確定點的軌跡為圓，將條件轉(zhuǎn)化為圓與橢圓需有3個不同的交點，聯(lián)立方程組，利用韋達定理和根的范圍求出的取值范圍，結(jié)合計算即可.3．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知橢圓的左，右頂點分別為，拋物線與交于兩點，為坐標原點，若，則的離心率為．【答案】【分析】設(shè)，由對稱性得，由直線斜率的定義可得,，進而可得，又，得，進而可得.【詳解】由題意可知，設(shè)，由對稱性可知，則，，，，由得，化簡得，即又，得，即，故，故答案為：4．（24-25高二上·浙江寧波·期末）橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左、右焦點為，，P為橢圓上一點，過P的切線l分別與坐標軸交于M、N兩點，若時，（O為坐標原點）的面積取到最小值，則C的離心率為.【答案】.【分析】由切線方程求得與坐標軸的兩交點坐標，利用基本不等式可得當時面積取得最小值，再根據(jù)余弦定理計算可得，再由等面積法可知，可得，可求得離心率.【詳解】由題可知滿足，切線與兩坐標軸交點為，如下圖所示：易知的面積為，又，即，因此，當且僅當示，即時，等號成立；又因為，即，解得；易知的面積為，又，即可得，所以，可得，所以.即C的離心率為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用基本不等式求得面積最小時的交點坐標，再由余弦定理由三角形面積公式計算得出的關(guān)系式，可求得離心率.5．（多選）（24-25高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知雙曲線（，）的左右焦點分別是，，左，右頂點分別為，，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M，N兩點（M為第一象限的交點），O為坐標原點，則（

）A． B．C．，C的離心率為 D．四邊形的面積為【答案】ABD【分析】對于A，由題意作圖，根據(jù)三角形全等以及平行四邊形性質(zhì)，可得其正誤；對于B，聯(lián)立圓的方程和漸近線方程，解得的坐標，可得其正誤；對于C，根據(jù)漸近線的傾斜角的正切值，利用離心率的計算公式，可得其正誤；對于D，由題意作圖，根據(jù)面積組合以及三角形面積公式，可得其正誤.【詳解】對于A，由題意可作圖如下：在與中，因為，，，所以，則，，即，所以四邊形為平行四邊形，所以，故A正確；對于B，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得，又，則，故B正確；對于C，由，，則，所以離心率，故C錯誤；對于D，由題意可作圖如下：因為，，所以，由圖可知四邊形的面積，故D正確.故選：ABD.期末綜合拓展練（測試時間：15分鐘）1．（24-25高三下·重慶·月考）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，若，點滿足，且，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】由，結(jié)合正弦定理可得，又，故，再結(jié)合余弦定理計算即可求得離心率.【詳解】由雙曲線定義知，，，，，，又，，在中，，①在中，，②，，結(jié)合①②化簡得，，即平分，又，，，，在中，，在中，，，，，化簡得，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵