1/3專題3.3橢圓雙曲線的離心率問題（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律利用a,b,c的齊次式求離心率根據(jù)題目條件構(gòu)造齊次式求離心率基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中利用橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率掌握橢圓的幾何性質(zhì)并轉(zhuǎn)化為可列出的條件來求離心率基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中根據(jù)解三角形的方法求離心率掌握解三角形方法并使用在圓錐曲線的三角形內(nèi)。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中根據(jù)雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率掌握雙曲線的漸近線的一些性質(zhì)。高頻必考點(diǎn)，雙曲線有關(guān)的小題中，漸近線是很容易考察的知識點(diǎn)。求離心率的范圍掌握圓錐曲線中的一些限制范圍，如焦半徑，點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)三角形頂角等，根據(jù)限制條件列出不等式。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中知識點(diǎn)01利用a，b，c的齊次式求離心率將題目中幾何條件（長度、角度、垂直、平行、比例關(guān)系等）轉(zhuǎn)化為一個(gè)只包含基礎(chǔ)量

a,b,c

的齊次式方程。由于離心率

e=ca，且圓錐曲線中a,b,c

存在固有關(guān)系（橢圓：c2知識點(diǎn)02利用橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率1、對稱性：充分利用橢圓、雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱的幾何特性。當(dāng)題目中出現(xiàn)的圖形或條件具有對稱性時(shí)（例如，平行四邊形、關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形、等腰等邊三角形等），通過對稱性可以推斷出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、線段相等或角度相等關(guān)系，從而快速建立關(guān)于

a,b,c

的方程。2、當(dāng)題目條件中出現(xiàn)

“中點(diǎn)”（尤其是焦點(diǎn)弦中點(diǎn)、焦點(diǎn)與頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)等）時(shí)，主動構(gòu)造三角形的中位線。中位線具備“平行于底邊且等于底邊一半”的性質(zhì)，這可以將橢圓/雙曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)、中心等關(guān)鍵元素聯(lián)系起來，從而建立關(guān)于

a,c

的等量關(guān)系。3、若遇到角分線時(shí)，可做角分線的垂線，這時(shí)的角分線也是中垂線，從而也可以構(gòu)造中位線。知識點(diǎn)03根據(jù)解三角形的方法求離心率在圓錐曲線中，大部分的小題都圍繞著焦點(diǎn)三角形，而焦點(diǎn)三角形本質(zhì)上也是三角形，所以這里可以把圓錐曲線的基本性質(zhì)聯(lián)立解三角形的方法來解決問題。利用余弦定理利用正弦定理利用面積公式知識點(diǎn)04根據(jù)雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率雙曲線的漸近線有很多性質(zhì)，本節(jié)僅展示部分漸近線的性質(zhì)1、過雙曲線的焦點(diǎn)作漸近線的垂線，焦點(diǎn)、原點(diǎn)、垂點(diǎn)三點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形的三邊分別為a,b,c2、以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(a,b知識點(diǎn)05求離心率的范圍要求離心率的范圍，就要從題目信息中建立關(guān)于離心率的不等式，常見的依據(jù)有：1、焦半徑的取值范圍2、圓錐曲線上的坐標(biāo)的取值范圍3、焦點(diǎn)三角形的頂角的取值范圍4、與圓錐曲線有交點(diǎn)，聯(lián)立得到的范圍根據(jù)以上這些條件，構(gòu)建離心率的不等式從而得到離心率的范圍。題型一利用a,b,c的齊次式求離心率解｜題｜技｜巧由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；【典例1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）已知雙曲線C:的一條漸近線l與橢圓E:交于A，B兩點(diǎn)，若（是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知雙曲線左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·廣東陽江·期末）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，P為線段AB上一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)Q，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·江西吉安·期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作軸的垂線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為．題型二利用對稱性求離心率解｜題｜技｜巧充分利用橢圓、雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱的幾何特性來轉(zhuǎn)化關(guān)系。【典例1】（24-25高二上·福建莆田·期末）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，.且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江蘇無錫·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:-=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在雙曲線C上.若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B． C． D．+1【變式1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·廣東茂名·期末）設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為.題型三構(gòu)造中位線求離心率解｜題｜技｜巧遇到中點(diǎn)或者角分線時(shí)，可以考慮需不需要構(gòu)造中位線來解決問題?！镜淅?】（25-26高二上·江蘇常州·月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若的周長為6，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知雙曲線（，），為其左右焦點(diǎn)，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線分別交的左右兩支于，兩點(diǎn)．若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【變式1】（24-25高二下·河南南陽·期末）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為Q，且Q與短軸頂點(diǎn)的最短距離為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·云南·期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是是坐標(biāo)原點(diǎn)，是上第一象限的點(diǎn).若的角平分線上一點(diǎn)滿足，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．題型四頂角為直角求離心率解｜題｜技｜巧當(dāng)頂角為直角時(shí)，也是?？嫉囊环N焦點(diǎn)三角形的類型，這是多次使用勾股定理來解決問題。【典例1】（24-25高二上·四川涼山·期末）已知橢圓上兩點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，為橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·河南信陽·期末）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，如圖，過的直線與的左支交于，，若，設(shè)雙曲線的離心率為，則．【變式1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C右支上一點(diǎn)，線段與C的左支交于點(diǎn)M.若，且，則C的離心率為.題型五利用余弦定理求離心率解｜題｜技｜巧根據(jù)題目條件一次或多次使用余弦定理，列出a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率【典例1】（24-25高二上·山東泰安·期末）已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，若成等差數(shù)列，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·福建三明·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，在其著作《圓錐曲線論》中提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過橢圓反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．已知點(diǎn)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)M反射，反射光線交橢圓于另一點(diǎn)N．若點(diǎn)、N關(guān)于的角平分線對稱，且，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·重慶·期末）如圖：，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以為圓心的圓與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．題型六利用正弦定理求離心率解｜題｜技｜巧題目中如果有角度關(guān)系，三角形的兩邊比值時(shí)，可以考慮用正弦定理構(gòu)a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率?！镜淅?】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，、分別為其左、右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，點(diǎn)為它們在第一象限的交點(diǎn)，滿足，則橢圓離心率的值是.【典例2】（24-25高二下·浙江溫州·期末）如圖所示，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為和，過和分別作兩條互相平行的直線和，與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)（A在x軸上方），與雙曲線的右支交于C、D兩點(diǎn)（C在x軸上方），若，，則（e是雙曲線的離心率）等于．【變式1】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線以為焦點(diǎn)，且與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，記，若，則橢圓的離心率取值范圍是．【變式2】（多選）（24-25高二上·廣東深圳·期末）如圖，已知橢圓C：，其左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P與l垂直的直線交橢圓的長軸于點(diǎn)M，PM平分過點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長、交于點(diǎn)Q，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．橢圓C的離心率為D．題型七由雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率解｜題｜技｜巧雙曲線的漸近線有很多的二級結(jié)論，這里題型偏基礎(chǔ)一些漸近線性質(zhì)?！镜淅?】（24-25高二下·云南臨滄·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為.【典例2】（24-25高二上·浙江紹興·期末）已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，直線PF的傾斜角為，直線PF交雙曲線的兩條漸近線于M，N，且P恰為MN的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·云南西雙版納·期末）設(shè)為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的一條漸近線上一點(diǎn)，且，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·浙江紹興·期末）過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，垂線與另一條漸近線相交于點(diǎn).若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．題型八求離心率的范圍解｜題｜技｜巧根據(jù)題目條件以及圓錐曲線的一些限制條件來構(gòu)造離心率的不等式，從而求離心率的范圍?！镜淅?】（24-25高二上·陜西漢中·期末）橢圓E:的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓E上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為直角，則E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·福建龍巖·期末）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，焦距為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若在雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使得，且，則雙曲線的離心率取值范圍是．【變式1】（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，若在圓上存在點(diǎn)P，使得的中點(diǎn)在C的漸近線上，則雙曲線C的離心率的取值范圍是.【變式2】（24-25高二上·廣東汕頭·期末）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，、為上、下頂點(diǎn)，若在線段上存在（不含端點(diǎn)），使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（24-25高二上·湖南婁底·期末）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為．2．（24-25高二上·廣東廣州·期末）在直角坐標(biāo)系中，是橢圓的左焦點(diǎn)，，分別為左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為.3．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·云南昭通·開學(xué)考試）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．5．（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．期末重難突破練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（25-26高三上·陜西西安·月考）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓上點(diǎn)滿足，直線和直線分別與橢圓交于異于點(diǎn)的點(diǎn)和點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為.2.（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知橢圓，設(shè)，若上存在3個(gè)不同的點(diǎn)使得，則的離心率的取值范圍為．3．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，拋物線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率為．4．（24-25高二上·浙江寧波·期末）橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，P為橢圓上一點(diǎn)，過P的切線l分別與坐標(biāo)軸交于M、N兩點(diǎn)，若時(shí)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積取到最小值，則C的離心率為.5．（多選）（24-25高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別是，，左，右頂點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)（M為第一象限的交點(diǎn)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．C．，C的離心率為 D．四邊形的面積為期末綜合拓展練（測試時(shí)間：15分鐘）1．（24-25高三下·重慶·月考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，若，點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為.2．（多選）（24-25高二下·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作C的一條漸近線的垂線l，垂足為H且l與雙曲線右支相交于點(diǎn)P，若且．則下列說法正確的是（

）．A．雙曲線的實(shí)軸長為4 B．雙曲線的離心率為C．四邊形的面積為15 D．3．（24-25高二上·湖