1/3專題3.4圓錐曲線二級(jí)結(jié)論小題歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律焦半徑、焦點(diǎn)弦掌握焦半徑的坐標(biāo)式、角度式公式，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、定比模型重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題壓軸。焦點(diǎn)三角形面積、周長(zhǎng)掌握橢圓雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式、周長(zhǎng)公式。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題，熟練公式，會(huì)推導(dǎo)會(huì)用。垂徑定理與第三定義掌握點(diǎn)差法推導(dǎo)垂徑定理與第三定義。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題。橢圓與雙曲線公焦點(diǎn)掌握橢圓雙曲線共焦的性質(zhì)。重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題。焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓掌握橢圓雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在壓軸小題。雙曲線的漸近線掌握雙曲線的漸近線一些常考的結(jié)論性質(zhì)。高頻必考點(diǎn)，考雙曲線就離不開漸近線的性質(zhì)。阿基米德三角形掌握阿基米德三角形的結(jié)論、性質(zhì)。重難必考點(diǎn)，考拋物線的多選題蒙日?qǐng)A掌握蒙日?qǐng)A相關(guān)的結(jié)論。重難點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題知識(shí)點(diǎn)01焦半徑、焦點(diǎn)弦1、橢圓焦半徑設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，∠PFO=θ焦半徑坐標(biāo)式①焦點(diǎn)在軸：焦半徑(左加右減)；②

焦點(diǎn)在軸：焦半徑(上加下減)．焦半徑角度公式：PF2、雙曲線焦半徑設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，∠PFO=θ①焦點(diǎn)在軸：在左支，在右支；②焦點(diǎn)在軸：在下支，在上支．焦半徑角度公式：PF=3、拋物線焦半徑設(shè)為拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，∠PFO=θ①焦點(diǎn)在軸：焦半徑PF=x②

焦點(diǎn)在軸：焦半徑PF=y焦半徑角度公式PF4、定比模型橢圓、雙曲線的過焦點(diǎn)的弦AB傾斜角為α，斜率為k，若焦點(diǎn)分得AF|BF|=λ，則e知識(shí)點(diǎn)02焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積1、橢圓面積橢圓焦點(diǎn)為，，P為橢圓上的點(diǎn)，，則，PF1?PF2、雙曲線的面積雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，P為雙曲線上的點(diǎn)，∠F1S3、若P(x知識(shí)點(diǎn)03垂徑定理與第三定義橢圓的垂徑定理與第三定義已知直線l與橢圓E:x2a2+y2b已知A，B為橢圓E:x2雙曲線的垂徑定理與第三定義已知直線l與雙曲線E:x2a2?y2b2如圖，已知A，B為雙曲線E:x另外，若A，B為雙曲線漸近線上兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，若斜率都存在同樣也有k知識(shí)點(diǎn)04橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1,F2，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)∠1、由△F1PF2、根據(jù)e12=c2知識(shí)點(diǎn)05焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓橢圓的焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C:x2結(jié)論一、e=IM結(jié)論二、有xI=e雙曲線的焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓結(jié)論一、雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)恒為a知識(shí)點(diǎn)06雙曲線的漸近線雙曲線漸近線的一些性質(zhì)：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.以兩焦點(diǎn)F1F2過雙曲線上點(diǎn)P作兩漸近線的平行線PA，PB，它們和漸近線圍成的平行四邊形的面積為定值ab過雙曲線上點(diǎn)P作兩漸近線的垂線PA，PB，則有PAPB=過雙曲線上點(diǎn)P作雙曲線的切線交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，則△AOB為雙曲線的漸近三角形，則P是AB的中點(diǎn)，OA?知識(shí)點(diǎn)07阿基米德三角形阿基米德三角形指圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形。1、阿基米德焦點(diǎn)三角形性質(zhì)（弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1：MF性質(zhì)2：MN//x軸；性質(zhì)3：S2、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1、阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對(duì)稱軸．性質(zhì)2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)Cx0,y0，則點(diǎn)P的軌跡為直線y0y=p半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則xp=性質(zhì)3、若P點(diǎn)軌跡為直線ax+by+c=0，且該直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則定點(diǎn)Cc設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，半代入得出切點(diǎn)弦AB的直線方程，進(jìn)而得出定點(diǎn)C的坐標(biāo)性質(zhì)4、阿基米德三角形的面積的最大值為a3性質(zhì)5、∠PFA=∠PFB，PF2=AF×BF知識(shí)點(diǎn)08蒙日?qǐng)A蒙日?qǐng)A是圓錐曲線的幾何性質(zhì)之一，其核心特征是：?圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條互相垂直的切線，切線交點(diǎn)的軌跡構(gòu)成一個(gè)圓?。以下是具體性質(zhì)和結(jié)論：1、橢圓的蒙日?qǐng)A：x2+y2=a2+b22、雙曲線的蒙日?qǐng)A：x2+y2=a2?b2題型一焦半徑、焦點(diǎn)弦解｜題｜技｜巧焦半徑、焦點(diǎn)弦的角度式公式均由圓錐曲線的第二定義推導(dǎo)而來，即圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)跟到準(zhǔn)線的距離比等于離心率e。熟悉角度式公式，要會(huì)推導(dǎo)，能應(yīng)用?！镜淅?】（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓的上，下焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的上焦點(diǎn)重合，過的傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，點(diǎn)是拋物線上在第一象限的點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（24-25高二上·吉林·期末）過拋物線C：的焦點(diǎn)F作弦AB交拋物線于，兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B．C． D．【變式1】（多選）（24-25高二上·湖北武漢·期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則 D．【變式2】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為45°，且，則橢圓的離心率是．題型二焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積解｜題｜技｜巧熟記焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)公式、面積公式【典例1】（多選）（24-25高二上·四川達(dá)州·期末）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，為橢圓上且不在軸上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的取值范圍是B．當(dāng)焦距為4時(shí)，離心率為C．當(dāng)離心率為時(shí)，的周長(zhǎng)為D．當(dāng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為時(shí)，的面積最大值為4【典例2】（多選）（24-25高二上·陜西西安·期末）設(shè)雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且不與雙曲線C的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則雙曲線C的兩條漸近線的方程是B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則雙曲線C的離心率大于3C．若，則的面積等于D．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則【變式1】（多選）（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．存在點(diǎn)使得C．若，則 D．面積的最大值為12【變式2】（多選）（25-26高二上·四川達(dá)州·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上不同于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為16 B．面積的最大值為12C．存在點(diǎn)P，使得∠ D．的取值范圍為題型三垂徑定理與第三定義解｜題｜技｜巧遇到弦的中點(diǎn)或者兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)時(shí)，又跟斜率一起出現(xiàn)，可以考慮使用垂徑定理與第三定義的結(jié)論?！镜淅?】（多選）（24-25高二上·四川內(nèi)江·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)為定值8B．當(dāng)為直角三角形時(shí)，C．當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在時(shí)，其斜率之積為D．當(dāng)直線與的斜率之差為2時(shí)，【典例2】（多選）（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)A作的一條切線與雙曲線交于點(diǎn)B，若AB中點(diǎn)為P，且，過點(diǎn)A作的另一條切線與雙曲線交于點(diǎn)D，設(shè)直線AB，AD的斜率分別為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線方程為 B．雙曲線的離心率C． D．過定點(diǎn)【變式1】（24-25高二上·河南·月考）如圖，已知，是雙曲線的右支上的兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，且，若直線的斜率為，則該雙曲線的離心率為．【變式2】（多選）（25-26高二上·福建漳州·期中）已知點(diǎn)，若斜率為1的直線l與橢圓C：（）交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)P在橢圓C上，則的值可能為（

）A． B． C．1 D．3故選：BCD題型四橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)解｜題｜技｜巧橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，則焦距一致，且焦點(diǎn)三角形一致?！镜淅?】（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知點(diǎn)，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若雙曲線的離心率的取值范圍是，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·重慶·期末）已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．1 C． D．2【變式1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P、Q是它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)交點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)M，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為【變式2】（多選）（24-25高二上·江蘇無錫·期末）已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，與在第一象限的交點(diǎn)為P，且，記與的離心率分別為與.下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．的最小值為1D．記的內(nèi)心為M，若垂直于x軸，則垂足H為的右頂點(diǎn)題型五焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓解｜題｜技｜巧圓與三角形切點(diǎn)分得三角形邊長(zhǎng)關(guān)系，找內(nèi)切圓圓心的位置。內(nèi)切圓的圓心是三角形角分線的交點(diǎn)，再者可以考察角分線定理。還可以通過面積公式，算內(nèi)切圓的半徑?！镜淅?】（24-25高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，，則橢圓離心率的值為；當(dāng)時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，外接圓圓心為，則的值為．【典例2】（24-25高二上·遼寧大連·期末）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若，的內(nèi)切圓半徑分別為，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1】（多選）（24-25高二上·河北保定·期末）已知，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，M為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，I為內(nèi)切圓的圓心，連接MI并延長(zhǎng)交x軸于Q，若，則（

）A．橢圓C的離心率B．的取值范圍為C．若l是C在M點(diǎn)處的切線，過，分別作l的垂線，垂足為A，B，則D．點(diǎn)I的軌跡方程為【變式2】（多選）（24-25高三上·山東泰安·月考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為，與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為題型六雙曲線的漸近線解｜題｜技｜巧對(duì)雙曲線而言，考察的最多的就是漸近線的性質(zhì)。所以要熟練掌握雙曲線的?？嫉囊恍┬再|(zhì)。【典例1】（2025高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線，橢圓上一點(diǎn)（不在的漸近線上），過點(diǎn)分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，分別交漸近線于，兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．2 C．4 D．8【典例2】（24-25高二下·四川眉山·期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，點(diǎn)P是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點(diǎn)P到C的兩條漸近線距離之積為．【變式1】（25-26高二上·安徽·月考）過雙曲線上一點(diǎn)向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，.若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式2】（25-26高二上·河北滄州·期中）已知雙曲線：與橢圓有公共的左、右焦點(diǎn)，，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于點(diǎn)，，且線段的中點(diǎn)在另一條漸近線上，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.題型七阿基米德三角形解｜題｜技｜巧阿基米德三角形是拋物線小題中重難考點(diǎn)，指圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形。配合切線方程及三角形的一些性質(zhì)。【典例1】（多選）（24-25高二上·安徽宣城·期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，過點(diǎn)F作傾斜角為的直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．三角形ABC面積的最小值為4 D．的最小值為【典例2】（多選）（25-26高二上·江西九江·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4B．C．若的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則D．若，則【變式1】（多選）（24-25高三上·江蘇·期末）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A，B為拋物線上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作拋物線C的切線，交于點(diǎn)M，且與x軸分別交于點(diǎn)D，E，則（

）A．若，則點(diǎn)B．若，則直線恒過定點(diǎn)C．若直線過點(diǎn)，則點(diǎn)M恒在直線上D．若直線過點(diǎn)F，則【變式2】（多選）（25-26高三上·廣東湛江·月考）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線，P為C上不與O重合的動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，1為半徑作圓，過點(diǎn)作圓P的兩條切線交圓P于M,N兩點(diǎn)，則（

）A．l始終與圓P相離 B．無最值C．存在點(diǎn)P，使得 D．時(shí)，P到l的距離為3題型八蒙日?qǐng)A解｜題｜技｜巧以蒙日?qǐng)A為背景出題，但是題目本質(zhì)還是考圓錐曲線。記住橢圓雙曲線的蒙日?qǐng)A方程?！镜淅?】（24-25高二上·福建寧德·期末）加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家.他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.若長(zhǎng)方形G的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．橢圓M的離心率為 B．橢圓M的蒙日?qǐng)A方程為C．若G為正方形，則G的邊長(zhǎng)為 D．長(zhǎng)方形G的面積的最大值為14【典例2】（多選）（24-25高二上·廣東揭陽·期末）畫法幾何的創(chuàng)始人法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，、為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．直線的方程為．則下列結(jié)論正確的有（

）A．的蒙日?qǐng)A的方程為B．在直線上存在點(diǎn)，橢圓上存在、，使得C．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D．若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為．【變式1】（24-25高二上·湖北咸寧·期末）加斯帕爾·蒙日是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓：，若直線：上存在點(diǎn)P，過P可作C的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是.【變式2】（25-26高二上·黑龍江·期中）已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)的平方和.已知橢圓及其蒙日?qǐng)A，且橢圓的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日?qǐng)A與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形的面積的比值為．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（多選）（25-26高二上·陜西延安·期中）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．弦長(zhǎng)的取值范圍為C．面積的最大值為12 D．存在點(diǎn)使得2．（多選）（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，、是圓與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為該平面內(nèi)異于、的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（）A．若，則曲線的離心率為B．若，則曲線方程為C．若，則曲線有漸近線，其漸近線方程為D．若，，過原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，則面積最大值為3．（24-25高三下·天津·開學(xué)考試）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，焦距為4，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右支分別交于兩點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·江西上饒·期末）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為1的直線過左焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若線段的長(zhǎng)度的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（多選）（24-25高三上·河南·期末）已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為4，直線經(jīng)過交于點(diǎn)，分別過作的切線，且兩切線交于點(diǎn)，則（

）A．的方程為B．若，則的中點(diǎn)到軸的距離為10C．是直角三角形D．若的中點(diǎn)為，則直線與軸垂直期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（多選）（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，，A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（P不在x軸上），下列選項(xiàng)正確的是（

）A．存在點(diǎn)P使得B．的周長(zhǎng)為C．直線PA與直線PB的斜率乘積為D．的最小值為2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線與橢圓有相同的左、右焦點(diǎn)，分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在另一條漸近線上，則的面積為（

）A． B．3 C．6 D．93.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們?cè)诘谝幌笙薜囊粋€(gè)公共點(diǎn)，且，若和的離心率分別為，，則的取值范圍是.4．（25-26高二上·重慶·期中）已知雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，與雙曲線左支交于點(diǎn)中點(diǎn)為．若內(nèi)切圓半徑為，則直線的斜率為．5．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則雙曲線的離心率為．期末綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）1．（多選）（25-26高二上·江西撫州·月考）已知橢圓，我們把圓稱為的蒙日?qǐng)A，為原點(diǎn)，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)與的蒙日?qǐng)A交于點(diǎn)，則（）A．的最大值為B．若為的中點(diǎn)，則的離心率的最小值為C．過點(diǎn)不可能作兩條互相垂直的直線都與相切D．若點(diǎn)在上，則的蒙日?qǐng)A面積最小為2．（多選）（25-26高二上·云南昆明·月考）某學(xué)校數(shù)學(xué)課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，稱為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”.利用此結(jié)論解決下列問題：已知橢圓的離心率為，，為的左、右焦點(diǎn)且，為上一動(dòng)點(diǎn)，直線.說法中正確的有（

）A．橢圓的“蒙日?qǐng)A”的面積為B．對(duì)直線上任意點(diǎn)，都有C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為D．橢圓的“蒙日?qǐng)A”的兩條弦，都與橢圓相切，則面積的最大值為33．（多選）（25-26高三上·重慶·月考）已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)為為其右支上的點(diǎn)(異于)，直線垂直軸于點(diǎn)，與兩漸近線分別交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的切線，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于的直線，交軸于點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．4．（多選）（25-26高三上·黑龍江哈爾濱·期中）橢圓：左右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線：與橢圓的焦點(diǎn)相同，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則雙曲線的方程為C．若的內(nèi)切圓的圓心為，，則雙曲線的離心率取值范圍是D．若與y軸交于點(diǎn)，平分，則雙曲線的離心率大于25．（多選）（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若拋物線C在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，與x軸分別交于點(diǎn)M，N．則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．若，則直線過點(diǎn)F D．若，則直線過點(diǎn)F

專題3.3橢圓雙曲線的離心率問題（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律利用a,b,c的齊次式求離心率根據(jù)題目條件構(gòu)造齊次式求離心率基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中利用橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率掌握橢圓的幾何性質(zhì)并轉(zhuǎn)化為可列出的條件來求離心率基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中根據(jù)解三角形的方法求離心率掌握解三角形方法并使用在圓錐曲線的三角形內(nèi)。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中根據(jù)雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率掌握雙曲線的漸近線的一些性質(zhì)。高頻必考點(diǎn)，雙曲線有關(guān)的小題中，漸近線是很容易考察的知識(shí)點(diǎn)。求離心率的范圍掌握?qǐng)A錐曲線中的一些限制范圍，如焦半徑，點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)三角形頂角等，根據(jù)限制條件列出不等式。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題中知識(shí)點(diǎn)01利用a，b，c的齊次式求離心率將題目中幾何條件（長(zhǎng)度、角度、垂直、平行、比例關(guān)系等）轉(zhuǎn)化為一個(gè)只包含基礎(chǔ)量

a,b,c

的齊次式方程。由于離心率

e=ca，且圓錐曲線中a,b,c

存在固有關(guān)系（橢圓：c2知識(shí)點(diǎn)02利用橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率1、對(duì)稱性：充分利用橢圓、雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的幾何特性。當(dāng)題目中出現(xiàn)的圖形或條件具有對(duì)稱性時(shí)（例如，平行四邊形、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形、等腰等邊三角形等），通過對(duì)稱性可以推斷出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、線段相等或角度相等關(guān)系，從而快速建立關(guān)于

a,b,c

的方程。2、當(dāng)題目條件中出現(xiàn)

“中點(diǎn)”（尤其是焦點(diǎn)弦中點(diǎn)、焦點(diǎn)與頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)等）時(shí)，主動(dòng)構(gòu)造三角形的中位線。中位線具備“平行于底邊且等于底邊一半”的性質(zhì)，這可以將橢圓/雙曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)、中心等關(guān)鍵元素聯(lián)系起來，從而建立關(guān)于

a,c

的等量關(guān)系。3、若遇到角分線時(shí)，可做角分線的垂線，這時(shí)的角分線也是中垂線，從而也可以構(gòu)造中位線。知識(shí)點(diǎn)03根據(jù)解三角形的方法求離心率在圓錐曲線中，大部分的小題都圍繞著焦點(diǎn)三角形，而焦點(diǎn)三角形本質(zhì)上也是三角形，所以這里可以把圓錐曲線的基本性質(zhì)聯(lián)立解三角形的方法來解決問題。利用余弦定理利用正弦定理利用面積公式知識(shí)點(diǎn)04根據(jù)雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率雙曲線的漸近線有很多性質(zhì)，本節(jié)僅展示部分漸近線的性質(zhì)1、過雙曲線的焦點(diǎn)作漸近線的垂線，焦點(diǎn)、原點(diǎn)、垂點(diǎn)三點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形的三邊分別為a,b,c2、以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(a,b知識(shí)點(diǎn)05求離心率的范圍要求離心率的范圍，就要從題目信息中建立關(guān)于離心率的不等式，常見的依據(jù)有：1、焦半徑的取值范圍2、圓錐曲線上的坐標(biāo)的取值范圍3、焦點(diǎn)三角形的頂角的取值范圍4、與圓錐曲線有交點(diǎn)，聯(lián)立得到的范圍根據(jù)以上這些條件，構(gòu)建離心率的不等式從而得到離心率的范圍。題型一利用a,b,c的齊次式求離心率解｜題｜技｜巧由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；【典例1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）已知雙曲線C:的一條漸近線l與橢圓E:交于A，B兩點(diǎn)，若（是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意不妨設(shè)l的方程為，根據(jù)題意可得的坐標(biāo)，代入橢圓方程，進(jìn)而計(jì)算可求得橢圓的離心率.【詳解】易知雙曲線C的漸近線方程為，不妨設(shè)l的方程為.如圖，由，，可得，代入橢圓方程，得，又，故，解得（舍去），所以.故選：A.【典例2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知雙曲線左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】表達(dá)出，將其代入雙曲線上，整理得到，計(jì)算出.【詳解】由對(duì)稱性，知軸，，，四邊形是正方形，則，，則，，則在雙曲線上，，即，即，化簡(jiǎn)整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).【變式1】（24-25高二上·廣東陽江·期末）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，P為線段AB上一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)Q，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用得，即軸，進(jìn)而求得，再利用勾股定理得轉(zhuǎn)化為，解方程可得答案.【詳解】由，得為的中點(diǎn)，又坐標(biāo)原點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，于是軸，，則，因此，即，整理得，則，而，所以.故選：A【變式2】（24-25高二上·江西吉安·期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作軸的垂線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，確定直角三角形的直角頂點(diǎn)位置，建立方程并結(jié)合雙曲線定義求出，再借助相似三角形性質(zhì)列式求解作答.【詳解】根據(jù)題意軸，所以為直角三角形，由有，設(shè)，把代入有，所以，即，由有，由，即.故答案為：.題型二利用對(duì)稱性求離心率解｜題｜技｜巧充分利用橢圓、雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的幾何特性來轉(zhuǎn)化關(guān)系。【典例1】（24-25高二上·福建莆田·期末）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，.且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓對(duì)稱性利用勾股定理以及橢圓定義計(jì)算可得離心率.【詳解】連接，如下圖所示：由對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，由可得；又可得，因此；因此，即，即，可得；由橢圓定義可得，即.故選：D【典例2】（24-25高二上·江蘇無錫·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:-=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在雙曲線C上.若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B． C． D．+1【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義（或方程）及對(duì)稱性，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可得關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的離心率.【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅蜲FMN為菱形，所以,記雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為,則,且根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以，所以,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程，得,整理得：，聯(lián)立,得：,化簡(jiǎn)得：兩邊同除以,得：,解得：,.因?yàn)殡p曲線的離心率大于1，所以.方法二：如圖，因?yàn)樗倪呅蜲FMN為菱形，所以,記雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為,則,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以，所以,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以,以,由雙曲線的定義，知,所以,所以,雙曲線C的離心率為.故選：D.【變式1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、、，如圖所示，

又因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，即，解得，所以，，又因?yàn)闉橹苯侨切危裕?，所以，?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.【變式2】（24-25高二上·廣東茂名·期末）設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為.【答案】【分析】由雙曲線的對(duì)稱性可得，，且四邊形為平行四邊形，由數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，則，即，，所以.故答案為：題型三構(gòu)造中位線求離心率解｜題｜技｜巧遇到中點(diǎn)或者角分線時(shí)，可以考慮需不需要構(gòu)造中位線來解決問題。【典例1】（25-26高二上·江蘇常州·月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為6，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中位線性質(zhì)得出焦點(diǎn)的周長(zhǎng)，從而求得半焦距，再由離心率的定義式計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，而是中點(diǎn)，所以，所以的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的一半，又的周長(zhǎng)為6，所以周長(zhǎng)是12，即，得，又，所以，．故選：B．【典例2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知雙曲線（，），為其左右焦點(diǎn)，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線分別交的左右兩支于，兩點(diǎn)．若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】作出輔助線，得到，故，，由雙曲線定義得到方程，求出，求出離心率.【詳解】設(shè)直線與的切點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)?，所以，而，所以，，而，所以，所以，．因此，所以，離心率.故選：B．【變式1】（24-25高二下·河南南陽·期末）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為Q，且Q與短軸頂點(diǎn)的最短距離為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平方分線及橢圓定義計(jì)算結(jié)合，最后計(jì)算得出離心率即可.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，由題意知：，，所以，則的軌跡為以為圓心、為半徑的圓，所以與短軸頂點(diǎn)的最短距離為，所以，所以，則.故選：C.【變式2】（24-25高二下·云南·期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是是坐標(biāo)原點(diǎn)，是上第一象限的點(diǎn).若的角平分線上一點(diǎn)滿足，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系求出，結(jié)合離心率公式即可進(jìn)一步求解.【詳解】根據(jù)題意可得，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，由等腰三角形三線合一可知，由橢圓的定義可得，所以，所以，由是的中位線，可得，所以，解得，所以的離心率為.故選：B.題型四頂角為直角求離心率解｜題｜技｜巧當(dāng)頂角為直角時(shí)，也是常考的一種焦點(diǎn)三角形的類型，這是多次使用勾股定理來解決問題。【典例1】（24-25高二上·四川涼山·期末）已知橢圓上兩點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，不妨設(shè)，根據(jù)題意分析可得，，結(jié)合勾股定理可得，即可得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，且，可知為矩形，則，，又因?yàn)?，，即，可得，，則，在中，，即，解得，可得，則，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．2．焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．【典例2】（24-25高二上·河南信陽·期末）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，如圖，過的直線與的左支交于，，若，設(shè)雙曲線的離心率為，則．【答案】/【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義表示出，在中，由勾股定理解得，從而各邊都可以用表示，在中得到和的關(guān)系，從而得到的值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)、在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線定義得，，因?yàn)?，所以，在中，由勾股定理得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線定義的應(yīng)用雙曲線上的點(diǎn)均符合雙曲線的定義，即，，再根據(jù)點(diǎn)在右支得到，，再結(jié)合，從而各邊均可用來表示.【變式1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意判斷為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理列出方程，求得離心率.【詳解】如圖，

由，得，，其中，所以，可得為直角三角形，，且，解得，，再由勾股定理可得：得，．故選：D．【變式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C右支上一點(diǎn)，線段與C的左支交于點(diǎn)M.若，且，則C的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)，則，由勾股定理得，由雙曲線定義得到方程，求出，故，，在中，由勾股定理得到方程，求出，得到離心率.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，設(shè)，則，由勾股定理得，由雙曲線定義得，故，故，由雙曲線定義得，故，解得，故，，在中，由勾股定理得，即，解得，故離心率.故答案為：題型五利用余弦定理求離心率解｜題｜技｜巧根據(jù)題目條件一次或多次使用余弦定理，列出a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率【典例1】（24-25高二上·山東泰安·期末）已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓定義得出，再結(jié)合余弦定理得出，進(jìn)而得出離心率.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，，在中，，所以，所以，所以，所以.故選：D.【典例2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，若成等差數(shù)列，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)條件和雙曲線定義表示出，然后結(jié)合余弦定理求解，可得為等腰三角形，則離心率可求.【詳解】設(shè)，所以，又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)?，解得?/p>

所以，所以為等腰三角形，即，化簡(jiǎn)可得，所以.故選：A【變式1】（24-25高二上·福建三明·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，在其著作《圓錐曲線論》中提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過橢圓反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．已知點(diǎn)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)M反射，反射光線交橢圓于另一點(diǎn)N．若點(diǎn)、N關(guān)于的角平分線對(duì)稱，且，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由點(diǎn)、N關(guān)于的角平分線對(duì)稱，可得，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義求出，再在中，利用余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出的關(guān)系即可得解.【詳解】由題意可得共線，因?yàn)辄c(diǎn)、N關(guān)于的角平分線對(duì)稱，所以，設(shè)，則，故，由，得，在中，由余弦定理得，，即，即，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即橢圓C的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.【變式2】（24-25高二上·重慶·期末）如圖：，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以為圓心的圓與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓的半徑為，由條件結(jié)合雙曲線的定義證明，結(jié)合雙曲線定義及余弦定理列方程確定關(guān)系，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，因?yàn)?，所以，由雙曲線定義可得，所以，故，，，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由已知，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：D.

題型六利用正弦定理求離心率解｜題｜技｜巧題目中如果有角度關(guān)系，三角形的兩邊比值時(shí)，可以考慮用正弦定理構(gòu)a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率?！镜淅?】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，、分別為其左、右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，滿足，則橢圓離心率的值是.【答案】【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，，利用正弦定理得到，再由橢圓的定義及雙曲線的定義得到，結(jié)合得到，兩邊除以得到的方程，解得，再求出.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，，由正弦定理得.∵，∴，∴.∵，，∴，∴.又∵，所以，兩邊除以并化簡(jiǎn)得，∴或（舍去），則.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于，，的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為，的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．【典例2】（24-25高二下·浙江溫州·期末）如圖所示，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為和，過和分別作兩條互相平行的直線和，與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)（A在x軸上方），與雙曲線的右支交于C、D兩點(diǎn)（C在x軸上方），若，，則（e是雙曲線的離心率）等于．【答案】【分析】根據(jù)題意可設(shè)，則，由，可得，作的角平分線，在和中，利用正弦定理建立方程可求，再在中，利用余弦定理即可求.【詳解】設(shè)的角平分線交與，，，設(shè)，則，又，，所以，，又為的角平分線，所以，，，在中，，在中，，所以，整理得，，解得（舍去），所以，在中，，又，所以，所以.故答案為：.【變式1】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線以為焦點(diǎn)，且與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，記，若，則橢圓的離心率取值范圍是．【答案】【分析】利用正弦定理化角為邊，根據(jù)橢圓與拋物線的定義及性質(zhì)，結(jié)合已知條件構(gòu)造不等式求出離心率的取值范圍．【詳解】

橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，拋物線以為焦點(diǎn)，，解得，拋物線方程為，在中，由正弦定理得，，，解得，，，在拋物線上，，由橢圓的焦半徑公式得：，，解得，則，，整理得，解得，又，．故答案為：．【變式2】（多選）（24-25高二上·廣東深圳·期末）如圖，已知橢圓C：，其左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P與l垂直的直線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M，PM平分過點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)Q，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．橢圓C的離心率為D．【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A，由正弦定理和角平分線得到；選項(xiàng)B，利用，可得，再由三角形的面積公式，求解即可；選項(xiàng)C，根據(jù)A選項(xiàng)與橢圓的定義可得，，再在中，利用余弦定理，結(jié)合離心率的計(jì)算公式，求解即可；選項(xiàng)D，由，，推出N是的中點(diǎn)，從而知，得解．【詳解】選項(xiàng)A，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由于PM平分，故，又，故，所以，即選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，設(shè)橢圓的焦距，，故，，由題意知，，，所以，所以，所以，，所以，即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知，，由橢圓的定義知，，所以，，在中，由余弦定理知，，所以，整理得，兩邊同時(shí)除以，得，解得離心率或，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A和B知，，，所以，又，所以直線l垂直平分，即N是的中點(diǎn)，因?yàn)镺是的中點(diǎn)，所以，即D正確．故選：ABD題型七由雙曲線的漸近線性質(zhì)求離心率解｜題｜技｜巧雙曲線的漸近線有很多的二級(jí)結(jié)論，這里題型偏基礎(chǔ)一些漸近線性質(zhì)?！镜淅?】（24-25高二下·云南臨滄·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為.【答案】2【分析】應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離得，結(jié)合的關(guān)系得，在中應(yīng)用余弦定理得，進(jìn)而有，即得漸近線斜率，根據(jù)雙曲線參數(shù)關(guān)系求離心率.【詳解】由題意，，雙曲線的漸近線為，如上圖，設(shè)點(diǎn)在上，則，故，所以，則，故，所以，故，則橢圓離心率為.故答案為：2【典例2】（24-25高二上·浙江紹興·期末）已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，直線PF的傾斜角為，直線PF交雙曲線的兩條漸近線于M，N，且P恰為MN的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)雙曲線左焦點(diǎn)和直線斜率求出直線的方程，然后聯(lián)立直線與圓的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo).接著利用點(diǎn)是中點(diǎn)這一條件，聯(lián)立直線與雙曲線漸近線方程求出、橫坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出等式，最后求解出雙曲線的離心率.【詳解】由題意雙曲線左焦點(diǎn)為，已知圓的圓心為，半徑為c，直線的斜率為，則直線方程為，由，得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則①，，由，得，由，得，代入①得，解得，所以雙曲線C的離心率故選：

【變式1】（24-25高二上·云南西雙版納·期末）設(shè)為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的一條漸近線上一點(diǎn)，且，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量等式可得，由焦點(diǎn)到漸近距離，結(jié)合離心率的意義求得答案.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，由對(duì)稱性不妨取漸近線為，由，得，則，即，，，由，得，所以的離心率為.故選：B【變式2】（24-25高二上·浙江紹興·期末）過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，垂線與另一條漸近線相交于點(diǎn).若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合雙曲線和漸近線的對(duì)稱性、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，另一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)l與垂直，垂足為點(diǎn)A，與交于點(diǎn)B，因?yàn)锳是線段FB的中點(diǎn)，l與垂直，所以，因此三角形是等腰三角形，因此，由雙曲線和漸近線的對(duì)稱性可知：，所以有，因此.故選：C.題型八求離心率的范圍解｜題｜技｜巧根據(jù)題目條件以及圓錐曲線的一些限制條件來構(gòu)造離心率的不等式，從而求離心率的范圍?！镜淅?】（24-25高二上·陜西漢中·期末）橢圓E:的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓E上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為直角，則E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得以線段為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，建立不等式求出離心率范圍.【詳解】由橢圓E上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為直角，得以線段為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，因此橢圓半焦距，即，則，解得，而，所以E的離心率的取值范圍為.故選：B【典例2】（24-25高二上·福建龍巖·期末）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，焦距為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若在雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使得，且，則雙曲線的離心率取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)的左焦點(diǎn)為，由已知作圖，可得，根據(jù)圓周角定理得，再由三角形外角可得，即得，結(jié)合雙曲線定義和勾股定理，即可化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求出離心率的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以是以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的交點(diǎn)，設(shè)的左焦點(diǎn)為，則，，，又，，則．在雙曲線的右支上，，，又在中，，，即，解得，又，．

故答案為：【變式1】（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，若在圓上存在點(diǎn)P，使得的中點(diǎn)在C的漸近線上，則雙曲線C的離心率的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)圓上的一點(diǎn)，得到中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線的漸近線方程，得到，根據(jù)直線與圓存在公共點(diǎn)，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.【詳解】由雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，又由圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓上的一點(diǎn)，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，可得，即，又因?yàn)橹本€與圓存在公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，可得，所以，解得，所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.【變式2】（24-25高二上·廣東汕頭·期末）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，、為上、下頂點(diǎn)，若在線段上存在（不含端點(diǎn)），使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得線段的方程為，在線段上取一點(diǎn)，由已知可得關(guān)于的方程，在時(shí)有實(shí)根，根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于、、的不等式組，由此可解得的取值范圍．【詳解】由已知，點(diǎn)，，，，，則線段的方程為，則，在線段上取一點(diǎn)，，，所以，由，得，因?yàn)?，所以，從而，整理得，即，即，即，結(jié)合，解得．故選：B．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（24-25高二上·湖南婁底·期末）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題設(shè)有，，從而有，再結(jié)合，可得到，即可求解.【詳解】設(shè)，，又，，則，，所以，又，代入，整理得到，所以，的離心率為，故答案為：.2．（24-25高二上·廣東廣州·期末）在直角坐標(biāo)系中，是橢圓的左焦點(diǎn)，，分別為左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】作出圖，連接，則由橢圓的對(duì)稱性易得，，所以，所以.由相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】

如圖，連接，則由橢圓的對(duì)稱性易得，，所以，所以.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?/p>

從而有，又因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，故答案為：.3．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量關(guān)系以及橢圓的定義和性質(zhì)來求解離心率.【詳解】設(shè)，，，，，，又，，解得，，此時(shí)，，，，解得，又點(diǎn)在上，，，，又，即，解得，，即.故選：4．（25-26高二上·云南昭通·開學(xué)考試）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義算出，由焦點(diǎn)三角形三邊關(guān)系列不等式求解.【詳解】由橢圓的定義得，又，故，由，得，又橢圓的離心率，則.故選：B5．（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入橢圓方程，再結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解．【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可得，因?yàn)闉橹苯侨切蝿t，則不妨設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，所以，所以的離心率．故選：B.期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（25-26高三上·陜西西安·月考）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓上點(diǎn)滿足，直線和直線分別與橢圓交于異于點(diǎn)的點(diǎn)和點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題意，令，得到，求得，結(jié)合橢圓的定義及勾股定理，得到和，聯(lián)立方程組，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，令，因?yàn)?，可得，所以，可得，因?yàn)椋?，則，由橢圓的定義，可得，又由，則，所以，整理得，又因?yàn)?，可得，所以，整理得，所以，整理得，?lián)立方程組，解得，故，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：.

2.（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知橢圓，設(shè)，若上存在3個(gè)不同的點(diǎn)使得，則的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，由題意，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式化簡(jiǎn)求解點(diǎn)的軌跡，作出圖形，將圓的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和求出的取值范圍，結(jié)合離心率的概念計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，由，得，整理得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.因?yàn)闄E圓與圓有3個(gè)不同的交點(diǎn)，由橢圓，則.結(jié)合圖形可知，點(diǎn)是橢圓與圓的一個(gè)公共點(diǎn).由，消去，整理得，易知，且為該方程的一個(gè)根，由橢圓與圓有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程必有另一根，且在內(nèi).設(shè)另一個(gè)根為（），且此根對(duì)應(yīng)橢圓與圓的個(gè)公共點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，即，所以，解得，所以，又，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決本題的思路是先求解確定點(diǎn)的軌跡為圓，將條件轉(zhuǎn)化為圓與橢圓需有3個(gè)不同的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和根的范圍求出的取值范圍，結(jié)合計(jì)算即可.3．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，拋物線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率為．【答案】【分析】設(shè)，由對(duì)稱性得，由直線斜率的定義可得,，進(jìn)而可得，又，得，進(jìn)而可得.【詳解】由題意可知，設(shè)，由對(duì)稱性可知，則，，，，由得，化簡(jiǎn)得，即又，得，即，故，故答案為：4．（24-25高二上·浙江寧波·期末）橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，P為橢圓上一點(diǎn)，過P的切線l分別與坐標(biāo)軸交于M、N兩點(diǎn)，若時(shí)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積取到最小值，則C的離心率為.【答案】.【分析】由切線方程求得與坐標(biāo)軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式可得當(dāng)時(shí)面積取得最小值，再根據(jù)余弦定理計(jì)算可得，再由等面積法可知，可得，可