專題04排列組合（9個考點清單+11類題型解讀）知識點01：兩個計數(shù)原理1、分類加法：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.2、分步乘法：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.知識點02：排列數(shù)、組合數(shù)計算1、排列數(shù)的計算及性質的應用①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，2、組合數(shù)的計算及性質的應用或：（，）.（1）性質1：（2）性質2：知識點03：特殊元素（位置）法【一般策略】對有限制條件的元素（或位置）要優(yōu)先考慮，位置優(yōu)先法和元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用的方法。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。知識點04：捆綁法【一般策略】捆綁法指將聯(lián)系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個整體，再與其他元素進行排列，同時要注意合并后內部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對待，能大大降低分析問題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題,剩余元素的處理應考慮其是排列問題還是組合問題,對于組合問題需將“順序”帶來的影響消除掉.知識點05：插空法【一般策略】插空法在分析元素不相鄰問題時較為常用，即先將無特殊要求的元素排列好，而后看其產生多個滿足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關要求.知識點06：倍縮法【一般策略】部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題．定序問題可以用倍縮法.知識點07：排數(shù)問題【一般策略】對于有限制條件的數(shù)字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意隱含條件：0不能在首位.知識點08：分組、分配問題【一般策略】①整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù)．②局部均分問題，解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．③不等分問題，只需先分組，后排列，分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．知識點09：涂色問題【一般策略】解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析．(3)將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域的涂色問題題型一：兩個計數(shù)原理 3題型二：排列數(shù)與組合數(shù)的計算與證明 4題型三：排列問題 5題型四：組合問題 6題型五：特殊元素（位置）法 6題型六：捆綁法 7題型七：插空法 8題型八：倍縮法 9題型九：排數(shù)問題 9題型十：分組、分配問題 11題型十一：涂色問題 11【題型一：兩個計數(shù)原理】一、單選題1．（24-25高二上·全國·隨堂練習）從地到地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（

）A．3 B．9 C．24 D．以上都不對2．（23-24高二下·河北·階段練習）從7本不同的書中選出3本送給3位同學，每人一本，不同的選法種數(shù)是（

）A． B． C．21 D．2103．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（

）A．24種 B．10種 C．9種 D．15種4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某農學院計劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實驗田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實驗田中，其他三塊實驗田選種水稻品種，則不同種法有（

）12345A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種5．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·重慶·階段練習）如圖，無人機光影秀中，有架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發(fā)出種不同顏色的光，至號的無人機顏色必須相同，、號無人機顏色必須相同，號無人機與其他無人機顏色均不相同，則這架無人機同時發(fā)光時，一共可以有（

）種燈光組合.A． B． C． D．【題型二：排列數(shù)與組合數(shù)的計算與證明】一、解答題1．（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）計算：(1)；(2)；(3)已知，求2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）證明下列等式．(1)；(2)．3．（24-25高二上·甘肅武威·期中）（1）計算：；（2）若，則x的值為_____；（3）若，求正整數(shù)n．4．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知m是自然數(shù)，n是正整數(shù)，且．求證：(1)；(2)．5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）（1）解關于的不等式；（2）解不等式：.6．（23-24高二下·山西臨汾·期中）（1）解方程:（2）計算（3）解不等式.【題型三：排列問題】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．48 B．24 C．20 D．162．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）為了豐富學生的課余生活，某校擬開展課外實踐活動，有6種實踐活動可供選擇．若甲、乙、丙三名學生每人從中選擇1種，且3人選擇的實踐活動不同，則不同的選法共有（

）A．60種 B．80種 C．120種 D．150種3．（24-25高三上·重慶·階段練習）我校田徑隊有十名隊員，分別記為，為完成某訓練任務，現(xiàn)將十名隊員分成甲、乙兩隊．其中將五人排成一行形成甲隊，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學排成一行形成乙隊，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（

）A．432 B．864 C．1728 D．25924．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，則不同的安排方法的種數(shù)為（

）A．24 B．26 C．32 D．405．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數(shù)為（

）A． B．C． D．6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．360 D．720【題型四：組合問題】一、單選題1．（2024·河北承德·二模）對于一個自然數(shù)，如果從左往右，每一位上的數(shù)字依次增大，則稱自然數(shù)是“漸升數(shù)”，那么三位數(shù)的“浙升數(shù)”共有（

）A．97個 B．91個C．84個 D．75個2．（23-24高二下·新疆克拉瑪依·期中）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）個A．44 B．45 C．54 D．553．（23-24高二下·廣東廣州·期末）以平行六面體的頂點為頂點的四面體的個數(shù)為（

）A．70 B．64 C．58 D．244．（23-24高二下·全國·單元測試）從，，，，這五個數(shù)字中任取3個，從2，4，6，8這四個數(shù)中任取2個，組成數(shù)字不重復的五位數(shù)的個數(shù)是（

）A． B．

C． D．5．（23-24高二下·山西長治·階段練習）將9個志愿者的名額分配給4個班，每班至少一個名額，則不同的分配方法的種數(shù)為（

）A．504 B．126 C．112 D．566．（24-25高二上·福建龍巖·期中）從含有3件次品的8件新產品中，任意抽取4件進行檢驗，抽出的4件產品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【題型五：特殊元素（位置）法】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）將字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必須在b的左邊，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．260 B．300 C．360 D．3802．（2024高三·全國·專題練習）2024年春節(jié)放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（

）A．1440種 B．1360種C．1282種 D．1128種3．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）用0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求數(shù)字1和4相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．192 B．240 C．360 D．7204．（24-25高二上·甘肅武威·期中）年月我校組織年校慶活動，有甲、乙、丙名志愿者負責、、、等個任務．每人至少負責一個任務，每個任務都有人負責，且甲不負責任務的分配方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種5．（24-25高三上·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數(shù)學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54【題型六：捆綁法】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）為全面推進鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動，晚會有《走，去永州》《揚鞭催馬運糧忙》《數(shù)幸福》《鄉(xiāng)村振興唱起來》四個節(jié)目，若要對這四個節(jié)目進行排序，要求《數(shù)幸福》與《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．202．（23-24高二下·內蒙古·期末）有本不同的書，其中語文書本，數(shù)學書本，物理書本．若將其隨機擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．（24-25高三上·山東德州·開學考試）為積極落實“雙減”政策，豐富學生的課外活動，某校開設了舞蹈?攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（

）A．48 B．36 C．24 D．124．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）四名男生和兩名女生排一行進行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數(shù)有（

）A．288種 B．144種 C．96種 D．72種5．（2024高三·全國·專題練習）數(shù)學競賽中，某校有共6位同學獲獎，在競賽結束后站成一排合影留念時，假設兩人必須相鄰且站在正中間，兩人不能相鄰，則不同的站法共有（

）A．48種 B．40種 C．32種 D．24種【題型七：插空法】一、單選題1．（23-24高二下·廣東湛江·階段練習）7名同學（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙兩人相鄰但不排在兩端，不同的排法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．960 D．14402．（2024·四川成都·模擬預測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（

）A．120種 B．24種 C．36種 D．12種3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某校舉辦校運動會，某班級選出跑步較好的4人參加米接力賽，其中甲、乙兩人不跑相鄰棒的排法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種4．（23-24高二下·山東濱州·期末）已知，小明在設置銀行卡的數(shù)字密碼時，打算將的前6位數(shù)字1，4，1，4，2，1進行某種排列得到密碼．如果排列時要求三個1不相鄰，兩個4也不相鄰，那么小明可以設置的不同的密碼個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．10 D．125．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）某大橋的一側依次安裝有13盞路燈，因環(huán)保節(jié)能的需求，計劃關掉其中的5盞．如果兩端的路燈不能關，且相鄰的路燈不能同時關，則不同關燈方式的種數(shù)是（

）A．21 B．35 C．70 D．126【題型八：倍縮法】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．36種2．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）某單位開展聯(lián)歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發(fā)現(xiàn)這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數(shù)是（

）A．15 B．18 C．22 D．263．（23-24高二上·遼寧撫順·階段練習）若把英語單詞“receive”的字母順序寫錯了，則出現(xiàn)的錯誤寫法共有（

）A．840種 B．839種 C．2520種 D．2519種4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）春節(jié)是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（

）A．240種 B．188種 C．144種 D．120種5．（23-24高二下·湖北武漢·期中）三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（

）A．350 B．140 C．560 D．280【題型九：排數(shù)問題】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）已知0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，從中取三個不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（

）A．20個 B．30個 C．40個 D．55個2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適當?shù)姆绞饺糠湃氡砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．42 B．38 C．54 D．483．（23-24高二下·浙江寧波·期中）如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為號．若甲、乙、丙、丁四名同學要放傘，每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數(shù)孔，乙放在偶數(shù)孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有（

）A．68種 B．136種 C．272種 D．544種4．（23-24高二下·湖北·階段練習）在數(shù)學中，自然常數(shù)．小布打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行排列得到密碼．如果排列時要求8不排最后一個，兩個2相鄰，那么小布可以設置的不同的密碼個數(shù)為（

）．A．30 B．32 C．36 D．485．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）從，，，，，，這個數(shù)中任選個組成一個沒有重復數(shù)字的“五位凹數(shù)”（滿足），則這樣的“五位凹數(shù)”的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個6．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）我們把各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“八合數(shù)”(如2024是“八合數(shù)”)，則“八合數(shù)”共有（

）個.A．35 B．56 C．120 D．165【題型十：分組、分配問題】一、單選題1．（24-25高三上·河南新鄉(xiāng)·期中）將本不同的雜志分成組，每組至少本，則不同的分組方法數(shù)為（

）A． B． C．105 D．2．（2024高三·全國·專題練習）每年的5月25日是全國大中學生心理健康日．某高校計劃在這一天開展有關心理健康的宣傳活動，現(xiàn)計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法總數(shù)為（

）A．540 B．120 C．90 D．603．（24-25高三上·廣西·期中）為促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內的5名城區(qū)教師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校支教，若每所學校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學校，則甲、乙不安排在同一所學校的方法數(shù)有（

）A．1440種 B．240種 C．216種 D．120種4．（2024·湖南湘西·模擬預測）三所大學發(fā)布了面向高二學生的夏令營招生計劃，某中學有四名學生報名參加．若每名學生只能報一所大學，每所大學都有該中學的學生報名，且大學只有其中一名學生報名，則不同的報名方法共有（

）A．18種 B．21種 C．24種 D．36種5．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）為貫徹落實國家關于開展中小學研學旅行的文件精神，搭建中學與高校交流的平臺，拓展學生視野，今年某中學計劃開展暑期“雙高互動”之旅夏令營活動，學生可自