1/3專題04排列組合二項式定理（期末復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律1：兩大計數(shù)原理（排列組合基礎核心）1.能通過關鍵詞（“或”“且”）快速判斷計數(shù)場景適用的原理；2.熟練應用兩大原理解決無復雜限制的基礎計數(shù)問題（如“選課程、分任務”）；3.建立“先判斷原理，再列式計算”的解題習慣，杜絕重復或遺漏計數(shù).1.題型：以選擇題、填空題為主（占該考點考查頻次的90%以上）；2.難度：基礎題（占比80%），極少涉及難題；3.命題特點：常結合生活場景（如選課、購票、分配任務），直接考查原理應用，不與其他模型復雜結合.2：排列與組合的定義及計算（排列組合核心工具）1.牢記排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)性質(zhì)，無需推導直接快速計算；2.能根據(jù)“是否有序”準確判斷用排列或組合列式；3.熟練運用組合數(shù)性質(zhì)化簡計算（如），提升解題效率.1.題型：選擇題、填空題為主（占比70%），部分解答題第一問涉及（占比30%）；2.難度：基礎題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點：直接考查公式計算（如“計算的值”）或性質(zhì)化簡（如“化簡求k”），極少設置復雜背景.3：常見計數(shù)模型（排列組合高頻應用題）1.能通過題干關鍵詞（“相鄰”“不相鄰”“平均分配”“甲不站XX位”）快速識別對應模型；2.掌握各模型解題步驟（如捆綁法“先捆后排”、插空法“先排無限制再插空”），能獨立列式求解；3.突破均勻分組重復計算的易錯點（記住“均勻分組需除以組數(shù)階乘”）.1.題型：選擇題、填空題（占比50%），解答題（占比50%）；2.難度：中檔題（占比80%），少量基礎題（20%）；3.命題特點：常結合排隊、分配任務、選代表等場景，單個模型考查（如純捆綁問題）或兩個模型簡單綜合（如“部分人相鄰+部分人不相鄰”），不涉及三個及以上模型疊加.4：排列組合綜合應用（排列組合能力提升）1.能解決“先選后排”的混合計算問題（如“從6人中選4人排成一列，有多少種排法”）；2.掌握“排列組合求基本事件數(shù)，再算概率”的解題邏輯；3.能處理含1-2個簡單限制條件的綜合題（如“選3人排成一排，甲不站末位，求排法數(shù)”）.1.題型：解答題為主（占比70%），少量填空題（30%）；2.難度：中檔題（占比90%），極少難題（10%）；3.命題特點：部分地區(qū)期末考查，常以“概率背景”呈現(xiàn)（如“從5件正品2件次品中選2件，求恰好1件次品的概率”），核心是排列組合計算基本事件數(shù).5：二項式定理的展開式（二項式基礎核心）1.熟練默寫二項式展開式核心公式及通項公式；2.明確通項公式中“k的含義”（從0開始），避免“第m項”與“k值”的對應錯誤（如第3項對應k=2）；3.能根據(jù)通項公式快速寫出任意指定項的表達式.1.題型：選擇題、填空題為主（占比80%）；2.難度：基礎題（占比70%）、中檔題（30%）；3.命題特點：直接考查通項公式書寫（如“寫出的第2項”）或展開式前3項展開（如“展開的前3項”），下標對應是高頻易錯點考查.6：二項式系數(shù)與項的系數(shù)（二項式高頻區(qū)分點）1.能通過定義快速區(qū)分“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”（如中，第2項的二項式系數(shù)是，項的系數(shù)是）；2.牢記二項式系數(shù)之和的結論，能直接應用計算；3.避免“二項式系數(shù)之和”與“項的系數(shù)之和”的混淆.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：基礎題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點：高頻考查“區(qū)分與計算”（如“求中第3項的二項式系數(shù)和項的系數(shù)”），二項式系數(shù)之和常結合賦值法間接考查.7：特定項求解（二項式期末必考題）1.掌握“通項公式+指數(shù)方程”的解題邏輯（如求常數(shù)項：令通項中x的指數(shù)=0，解k值，再計算系數(shù)）；2.能快速求解常數(shù)項、指定次數(shù)項的系數(shù)，準確判斷有理項的個數(shù)；3.熟練處理含分式、根式的二項式特定項問題（如求有理項）.1.題型：選擇題、填空題（占比60%），解答題（占比40%）；2.難度：中檔題（占比90%）；3.命題特點：期末必考題，背景簡潔（多為、形式），核心是通項公式的應用，計算量不大但需細心.8：賦值法的應用（二項式系數(shù)和核心方法）1.掌握賦值法的核心邏輯（通過代入特殊值簡化展開式，快速求系數(shù)和）；2.能根據(jù)所求“系數(shù)和類型”選擇對應賦值（如求全項系數(shù)和用）；3.能解決含負號、系數(shù)的二項式系數(shù)和問題（如的所有項系數(shù)和）.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：中檔題（占比80%）；3.命題特點：高頻考點，常直接設問（如“求的所有項系數(shù)和”），偶爾結合二項式系數(shù)和綜合考查（如“求的奇數(shù)項系數(shù)和”）.知識點1：兩大計數(shù)原理（排列組合基礎核心）基礎知識：解決計數(shù)問題的根本方法，區(qū)分“獨立選擇”與“連續(xù)操作”場景.核心概念：1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有類互斥方案，每類有種方法，總方法數(shù)為各類方法數(shù)之和（“或”關系，互斥無重疊）；2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需個關聯(lián)步驟，每步有種方法，總方法數(shù)為各步方法數(shù)之積（“且”關系，步驟連貫）.核心公式：分類加法：分步乘法：易錯點：1.混淆“分類”與“分步”（關鍵詞“或”→分類，“且”→分步）；2.分類時出現(xiàn)重疊（如“選男生或班干部”，男生與班干部有交集）；3.分步時遺漏關鍵步驟（如“從到再到”，忽略某段路線的選擇）.?？冀Y論：1.若問題既有分類又有分步，先分類再對每類分步計算；2.互斥場景必用分類加法，連續(xù)操作必用分步乘法.知識點2：排列與組合的定義及計算（排列組合核心工具）基礎知識：從個不同元素中選取個元素的兩種基本形式，核心區(qū)別“有序與否”.核心概念：1.排列：從個不同元素中選個（），按一定順序排成一列（有序，如“排隊”“排序”）；2.組合：從個不同元素中選個（），不考慮順序組成一組（無序，如“選代表”“選物品”）.核心公式：排列數(shù)：（規(guī)定）組合數(shù)：組合數(shù)性質(zhì)：①對稱性：；②遞推性：；③特殊值：，，。易錯點：1.未判斷“有序/無序”直接套用公式（如“選3人排成一排”是排列，“選3人參加活動”是組合）；2.組合數(shù)性質(zhì)應用錯誤（如誤將算成）；3.階乘計算失誤（如，而非）.常考結論：1.（排列=組合×排序）；2.當時，用簡化計算（如）；3.（組合數(shù)之和，后續(xù)二項式定理會深化）.知識點3：常見計數(shù)模型（排列組合高頻應用題）基礎知識：針對特定場景（相鄰、不相鄰、分組等）的標準化解題模板.核心概念：1.捆綁法：解決“相鄰問題”，將相鄰元素視為一個整體參與排列；2.插空法：解決“不相鄰問題”，先排無限制元素，再在間隙中插入受限元素；3.分組分配：將個元素分成若干組（均勻/非均勻），再分配到對應位置；4.特殊元素/位置優(yōu)先：優(yōu)先安排有約束條件的元素（如“甲不站首位”）或位置.核心公式/步驟：捆綁法：①捆（相鄰元素內(nèi)部排列：）；②排（整體與其他元素排列：）；總方法數(shù)：；插空法：①排無限制元素（）；②插空（個元素形成個間隙，選個插入：）；總方法數(shù)：；分組分配：①非均勻分組（各組元素數(shù)不同）：直接分（）；②均勻分組（部分組元素數(shù)相同）：分后除重（，為均勻組數(shù)）；③分配到位置：分組后×全排列（，為位置數(shù)）.易錯點：1.捆綁法忘記計算相鄰元素內(nèi)部的排列（如“3人相鄰排隊”，僅算整體排列，忽略3人內(nèi)部順序）；2.插空法先排相鄰元素（導致間隙數(shù)計算錯誤）；3.均勻分組未除重（如“6人平均分成3組”，誤算為，正確應為）；4.特殊元素優(yōu)先時，遺漏其他約束條件（如“甲不站首位，乙不站末位”，僅排除甲站首位，未考慮甲站末位時乙的限制）.?？冀Y論：1.相鄰問題必用捆綁法，不相鄰問題必用插空法（兩者不可混淆）；2.分組問題先判斷“均勻與否”，再決定是否除重；3.多約束條件（如“甲不站首、乙不站末”）優(yōu)先用“直接法”或“間接法”（總排法?不符合條件排法）.知識點4：排列組合綜合應用（排列組合能力提升）基礎知識：融合排列、組合及概率的復合型問題，核心是“計數(shù)為基礎，應用為目標”.核心概念：1.先選后排：先通過組合選取元素，再通過排列安排順序（如“選3人排成一排”）；2.計數(shù)求概率：用排列組合計算基本事件總數(shù)及目標事件數(shù)，再套用概率公式.核心公式：先選后排：；概率計算：（超幾何分布模型，如“從件產(chǎn)品中選件，含件次品”）.易錯點：1.先排后選導致重復計數(shù)（如“選2人排前后位”，誤算為，實際直接用即可）；2.概率計算時混淆“有序”與“無序”（基本事件總數(shù)與目標事件數(shù)需保持一致，均有序或均無序）；3.忽略“不放回”與“放回”的區(qū)別（如“摸球問題”，不放回用排列/組合，放回用分步乘法）.?？冀Y論：1.“先選后排”是排列組合混合問題的核心思路；2.與概率結合時，優(yōu)先明確“基本事件是否有序”，再計算總數(shù)與目標數(shù)；3.常見場景（選產(chǎn)品、選代表、摸球）多為“不放回”模型，需用組合數(shù)計算.知識點5：二項式定理的展開式（二項式基礎核心）基礎知識：的代數(shù)展開規(guī)律，是二項式相關問題的核心依據(jù).核心概念：1.二項式定理：（），右側為展開式，共項；2.通項公式：第項（從0開始計數(shù)），是求解特定項的關鍵工具.核心公式：展開式：；通項公式：（）。易錯點：1.通項公式下標錯誤（誤將第項當作，正確應為）；2.忽略的取值范圍（必須滿足，否則二項式系數(shù)為0）；3.展開式項數(shù)錯誤（誤將的展開式項數(shù)記為項，實際為項）.?？冀Y論：1.通項公式是解決二項式特定項問題的唯一核心工具，必須牢記；2.展開式中各項的的次數(shù)從遞減到0，的次數(shù)從0遞增到，各項次數(shù)和均為；3.當或為負數(shù)時，展開式中奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負（如的展開式第項符號為）.知識點6：二項式系數(shù)與項的系數(shù)（二項式高頻區(qū)分點）基礎知識：二項式展開式中兩類系數(shù)的明確區(qū)分，是期末高頻考查的基礎知識點.核心概念：1.二項式系數(shù)：僅指展開式中各項的（與a、b的系數(shù)無關，僅由n、k決定）；2.項的系數(shù)：該項中未知數(shù)前的數(shù)字因數(shù)（二項式系數(shù)與a、b本身系數(shù)的乘積，如中第項的系數(shù)為）.核心公式/結論：二項式系數(shù)之和：（令）；奇數(shù)項二項式系數(shù)之和=偶數(shù)項二項式系數(shù)之和：（令）；項的系數(shù)之和：令（若a、b含系數(shù)，需代入對應值，如的項的系數(shù)之和為）.易錯點：1.混淆二項式系數(shù)與項的系數(shù)（如中第3項的二項式系數(shù)是，項的系數(shù)是）；2.求項的系數(shù)之和時，未代入a、b的實際系數(shù)（如誤算為，正確應為）；3.認為“二項式系數(shù)之和=項的系數(shù)之和”（僅當時成立，若a、b含系數(shù)則不成立）.?？冀Y論：1.二項式系數(shù)僅與“項的位置”有關，項的系數(shù)與“a、b的系數(shù)+項的位置”都有關；2.求各類系數(shù)和必用賦值法，關鍵是根據(jù)所求目標選擇合適的賦值（1或-1）；3.二項式系數(shù)的最大值：當為偶數(shù)時，中間項（第項）的二項式系數(shù)最大；當為奇數(shù)時，中間兩項（第項和第項）的二項式系數(shù)相等且最大.知識點7：特定項求解（二項式期末必考題）基礎知識：利用二項式通項公式，根據(jù)目標項的特征（常數(shù)、指定次數(shù)等）求解，是二項式定理的核心應用.核心概念：1.常數(shù)項：展開式中不含未知數(shù)的項（未知數(shù)的指數(shù)為0）；2.指定次數(shù)項：未知數(shù)的指數(shù)為特定值的項（如項、項）；3.有理項：未知數(shù)的指數(shù)為整數(shù)的項（含常數(shù)項）；無理項：未知數(shù)的指數(shù)為非整數(shù)的項.核心公式/步驟：1.寫出通項公式：；2.化簡通項中未知數(shù)的指數(shù)：設、（含系數(shù)需保留），則未知數(shù)指數(shù)為；3.根據(jù)目標項特征列方程.常數(shù)項：，解出整數(shù)（）；指定次數(shù)項：（為目標次數(shù)），解出整數(shù)；有理項：，找出所有滿足條件的整數(shù)；4.代入值計算目標項的系數(shù)或具體項.易錯點：1.化簡未知數(shù)指數(shù)時出錯（如中，，誤寫為）；2.解方程后未驗證是否為整數(shù)或是否在范圍內(nèi)（如時，解出需舍去）；3.計算項的系數(shù)時遺漏a、b的系數(shù)（如中，常數(shù)項系數(shù)誤算為，忽略）.常考結論：1.特定項求解的核心是“通項公式+指數(shù)方程”，步驟固定，需熟練掌握；2.含分式、根式的二項式（如、），先統(tǒng)一未知數(shù)的指數(shù)形式（化為負指數(shù)或分數(shù)指數(shù)）再列方程；3.常數(shù)項存在的條件：指數(shù)方程有整數(shù)解，且（如，指數(shù)方程，即，需是3的倍數(shù)）.知識點8：賦值法的應用（二項式系數(shù)和核心方法）基礎知識：通過代入特殊值（如1、-1、0）簡化二項式展開式，快速求解各類系數(shù)和，是期末高頻技巧.核心概念：1.全項系數(shù)和：展開式中所有項的系數(shù)之和（含常數(shù)項）；2.奇數(shù)項/偶數(shù)項系數(shù)和：展開式中奇數(shù)位置項（第1、3、5…項）或偶數(shù)位置項（第2、4、6…項）的系數(shù)之和；3.特定字母系數(shù)和：僅含某一字母的項的系數(shù)之和（如中含的項的系數(shù)之和）.核心公式/賦值方式： 所求目標賦值方式計算結果全項系數(shù)和令（a、b含系數(shù)需代入）如：奇數(shù)項系數(shù)和-偶數(shù)項系數(shù)和令如：奇數(shù)項系數(shù)和（全項系數(shù)和+上述結果）÷2如：偶數(shù)項系數(shù)和（全項系數(shù)和-上述結果）÷2如：常數(shù)項令未知數(shù)=0（如）如：易錯點：1.賦值時忽略a、b本身的系數(shù)（如求全項系數(shù)和，誤令得，正確）；2.混淆“奇數(shù)項系數(shù)和”與“奇數(shù)項二項式系數(shù)和”（前者需考慮a、b系數(shù)，后者僅為）；3.求含負號的二項式系數(shù)和時，符號錯誤（如令，誤算為，正確為）.?？冀Y論：1.賦值法的本質(zhì)是“特殊值代入法”，核心是利用、交替變號的性質(zhì)簡化計算；2.若二項式含多個字母（如），可固定一個字母，對其他字母賦值（如求含的項的系數(shù)之和，令，轉化為中的系數(shù)）；3.常數(shù)項可通過“賦值法”或“特定項求解”兩種方式驗證，期末常考兩種方法的交叉應用.知識點9：楊輝三角（二項式系數(shù)的直觀表示）基礎知識：二項式系數(shù)的幾何排列形式，直觀反映組合數(shù)的遞推關系，是銜接組合數(shù)與二項式定理的橋梁.核心概念：1.行數(shù)定義：第行（從0開始計數(shù)）對應的二項式系數(shù)（如第0行對應，系數(shù)為；第1行對應，系數(shù)為）；2.遞推特征：從第2行起，每個數(shù)字等于上方兩個相鄰數(shù)字之和（對應組合數(shù)性質(zhì)）；3.對稱特征：每行數(shù)字左右對稱（對應組合數(shù)對稱性）.核心特征：1.第行共有個數(shù)字；2.第行所有數(shù)字之和為（對應二項式系數(shù)之和）；3.第行數(shù)字的最大值：當為偶數(shù)時，中間1個數(shù)字最大；當為奇數(shù)時，中間2個數(shù)字相等且最大.易錯點：1.行數(shù)與二項式次數(shù)對應錯誤（誤將第3行當作的系數(shù)，實際第行對應）；2.遞推關系應用錯誤（如第行第個數(shù)字，誤寫為，順序顛倒）；3.忽略“行數(shù)從0開始”的規(guī)則（如求的系數(shù)，需查第5行，而非第6行）.?？冀Y論：1.楊輝三角可快速查找低次二項式的系數(shù)（如的系數(shù)直接查第4行：）；2.利用遞推性可快速計算組合數(shù)（如，對應楊輝三角第6行第4個數(shù)字）；3.期末僅考查基礎應用（查找系數(shù)、驗證組合數(shù)性質(zhì)），不涉及復雜的楊輝三角規(guī)律（如質(zhì)數(shù)行、斐波那契數(shù)列關聯(lián)等）.題型一分類計數(shù)問題（“或”關系，互斥場景）解｜題｜技｜巧典型例題：從3名男生和2名女生中選1人參加活動，有多少種選法？答題模板：1.識別特征：問題含“或”“要么…要么…”，類別互斥無重疊；2.劃分類別：按統(tǒng)一標準分類（如“男生”“女生”兩類）；3.計算每類方法數(shù)：第1類，第2類，…，第類；4.求和得總方法數(shù)：.套用示例：男生3種+女生2種=5種.【典例1】（25-26高二上·上?！て谥校⒏魑粩?shù)字之和為的三位數(shù)叫“幸運數(shù)”，比如，，則所有“幸運數(shù)”的個數(shù)為．【典例2】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片?2部文藝片?3部喜劇片，小華從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數(shù)有（

）A．18 B．9 C．8 D．7【變式1】（24-25高二下·青海西寧·期末）在全球高鐵技術競爭中，中國站到了前沿.全國政協(xié)委員、中國鐵道科學研究院集團有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗，預計將在一年后投入商業(yè)運營.小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務座5張，則小張的購票方案種數(shù)為（

）A．14 B．19 C．90 D．200【變式2】（2025高三·全國·專題練習）若從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，則取出的這三個數(shù)字之和能被3整除的種數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．32【變式3】（2025高二·全國·專題練習）中國古代十進制的算籌計數(shù)法是數(shù)學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌由一根根同樣長短的小木棍構成，如圖所示是利用算籌表示的一種方法.例如：可表示為“”，可表示為“”.按照這種表示方法，根算籌可以表示多少個三位數(shù)？（算籌不能剩余且三位數(shù)中不含）題型二分步計數(shù)問題（“且”關系，連續(xù)操作）答｜題｜模｜板典型例題：從地到地有2條路，從地到地有3條路，從到有多少種走法？答題模板：1.識別特征：問題含“且”“先…再…”，步驟連貫缺一不可；2.拆解步驟：按操作順序分步（如“”“”兩步）；3.計算每步方法數(shù)：第1步，第2步，…，第步；4.求積得總方法數(shù)：.套用示例：種.【典例1】（25-26高三上·江蘇南京·開學考試）書架上有6本不同的書，再往書架放另外3本不同的書，要求不改變原來書架上6本書的左右順序，則不同的放法有（

）種.A．504 B．84 C．1008 D．168【典例2】（2025高二·全國·專題練習）現(xiàn)有3名醫(yī)生，5名護士，2名麻醉師.從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？【變式1】（2025高二·全國·專題練習）甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，先將賀卡集中起來，然后每人從中拿一張別人寫的賀卡，則不同的分配方式有（

）種.A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）把3名學生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐，3人均可分到相同或不同車間，共有多少種不同的分配方案？【變式3】（2025高二·全國·專題練習）8名學生爭奪4項冠軍，獲得冠軍的可能情況有（

）種．A． B． C． D．題型三分類與分步結合問題答｜題｜模｜板典型例題：從3名男生和2名女生中選1名男生和1名女生參加活動，有多少種選法？答題模板：1.先分類：按其中一類元素劃分（如“選男生”“選女生”兩類）；2.再分步：每類內(nèi)部按連續(xù)操作拆解（如“選1名男生”為第1步，“選1名女生”為第2步）；3.分步求積：每類的方法數(shù)=各步方法數(shù)之積；4.分類求和：總方法數(shù)=各類方法數(shù)之和.套用示例：（3選1）×（2選1）種.【典例1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．144【典例2】（2025高二·全國·專題練習）用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為，，，的個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為，，的小正方形涂相同的顏色，則共有（

）種涂法，A． B． C． D．【變式1】（2025高二·全國·專題練習）用數(shù)字，，，，，，，組成沒有重復數(shù)字且至多有一位數(shù)字是偶數(shù)的四位個數(shù)，那么這樣的四位數(shù)一共有個.【變式2】（24-25高二下·山西·期末）某公園設計了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有四種不同的鮮花可供擺放，要求有公共邊的區(qū)域擺放不同種類的鮮花，則擺放鮮花的不同方法種數(shù)為.

【變式3】（24-25高二下·黑龍江雞西·期中）從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求：(1)組成的三位數(shù)偶數(shù)的個數(shù)；(2)組成的三位數(shù)中大于200的個數(shù).題型四排列數(shù)/組合數(shù)直接計算答｜題｜模｜板典型例題：計算、.答題模板：1.區(qū)分類型：有序→排列（用），無序→組合（用）；2.確定參數(shù)：明確（總元素數(shù)）、（選取元素數(shù)）；3.代入公式：排列數(shù)：；組合數(shù)：；4.簡化計算：用組合數(shù)性質(zhì)（時）.套用示例：；.【典例1】（24-25高二下·吉林·期末）若，則.【典例2】（2025高二·全國·專題練習）解關于x的方程：(1)；(2)．【變式1】（24-25高二下·廣東中山·月考）求值、解方程或解不等式(1)求值：(2)求值：；(3)解方程：(4)解方程：已知（），求(5)解關于的不等式【變式2】（24-25高二下·山西·月考）已知，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【變式3】（24-25高二下·寧夏銀川·期中）（1）計算：；（2）計算：.（3）已知：，求n.題型五組合數(shù)性質(zhì)應用（化簡/求值）答｜題｜模｜板典型例題：化簡；已知，求.答題模板：1.識別性質(zhì)：遞推性：；對稱性：；2.代入化簡：按性質(zhì)合并或轉化表達式；3.求解結論：等式兩邊對應相等，得出結果.套用示例：；→.【典例1】【多選題】（25-26高二上·全國·單元測試）已知m，且，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】【多選題】（2025高二·全國·專題練習）（多選題）下列關于排列數(shù)、組合數(shù)的計算中，正確的是（

）．A． B．C． D．是一個常數(shù)【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）（1）求滿足的正整數(shù)的值．（2）計算：．【變式2】（24-25高二下·山東濟南·期末）（1）證明：，其中，；（2）化簡：，其中．【變式3】（24-25高二下·廣東深圳·期中）若，則（

）A．28 B．56 C．112 D．120題型六捆綁法（相鄰問題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲、乙、丙3人相鄰，有多少種排法？答題模板：1.處理相鄰元素（捆）：將相鄰元素視為1個整體，內(nèi)部排列：（為相鄰元素個數(shù)）；2.處理整體與其他元素（排）：總元素數(shù)變?yōu)椋榭傇財?shù)），全排列：；3.總方法數(shù)：兩步結果相乘→.套用示例：捆（3人內(nèi)部）；排（整體+2人）；總排法種.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）甲?乙等6人圍成一圈，且甲?乙兩人相鄰，則不同的排法共有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【典例2】（24-25高二下·四川瀘州·月考）三個人坐在一排5個座位上，空位相鄰的坐法有種．（用數(shù)字作答）【變式1】（25-26高三上·陜西西安·開學考試）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲、乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法種數(shù)為．【變式2】（2025高三·全國·專題練習）為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事，展望鄉(xiāng)村振興圖景，演出民眾身邊日常，唱出百姓幸福心聲，某地組織了“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目表演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節(jié)目，若要求歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出，則節(jié)目的排列順序種數(shù)為（

）A．120 B．360 C．180 D．90【變式3】（2025高三·全國·專題練習）若有7個人排成一排，其中甲、乙必須相鄰，而丙不能站在兩端，則不同的排法共有種.題型七插空法（不相鄰問題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲、乙不相鄰，有多少種排法？答題模板：1.排無限制元素：先排其他無約束元素，全排列：（為無限制元素個數(shù)）；2.算間隙數(shù)：個元素形成個間隙（含兩端）；3.插受限元素：從間隙中選個插入受限元素，排列：（為受限元素個數(shù)）；4.總方法數(shù)：兩步結果相乘→.套用示例：排3人（無限制）；間隙4個，插2人；總排法種.【典例1】（25-26高二上·上海·期中）人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是．【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）某學校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數(shù)共有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種【變式1】（25-26高三上·廣東佛山·月考）現(xiàn)將2本不同的數(shù)學書、3本不同的物理書、1本化學書放在一個單層的書架上，且同類的書各不相鄰，則不同的放法有（

）A．120種 B．144種 C．96種 D．160種【變式2】（25-26高三上·江蘇南通·開學考試）3名學生和2名老師隨機排成一行，2名老師不相鄰，則不同排法的種數(shù)為．【變式3】（2025高三·全國·專題練習）在我市的一項競賽活動中，某縣的三所學校分別有1名、2名、3名學生獲獎，這6名學生排成一排合影，要求同校的任意2名學生不能相鄰，那么不同的排法有種．（用數(shù)字作答）題型八分組分配問題答｜題｜模｜板子題型3.1：非均勻分組（各組元素數(shù)不同）典型例題：6人分成1、2、3人三組，有多少種分法？答題模板：1.按組次分步選?。旱?組，第2組，第3組（）；2.總方法數(shù)：各步組合數(shù)相乘→（無需除重）.套用示例：種.子題型3.2：均勻分組（部分/全部組元素數(shù)相同）典型例題：6人平均分成3組（每組2人），有多少種分法？答題模板：1.按非均勻分組計算：；2.除以均勻組數(shù)的階乘（除重）：若有組元素數(shù)相同，除以；3.總方法數(shù)：.套用示例：種.子題型3.3：分組后分配到位置典型例題：6人分成1、2、3人三組，分配到甲、乙、丙3個崗位，有多少種分法？答題模板：1.先分組：按非均勻/均勻分組規(guī)則計算分組數(shù)；2.再分配：將組分配到個位置，全排列；3.總方法數(shù)：分組數(shù)×.套用示例：分組數(shù)60（子題型3.1）×→種.【典例1】（2025高二·全國·專題練習）將6個不同的球分別按如下方式來分，寫出不同分法的種數(shù)．(1)平均分成3堆，每堆2個；(2)分給甲、乙、丙3人，每人2個；(3)分成3堆，每堆個數(shù)分別為1個、2個、3個：(4)分給甲1個、乙2個、丙3個；(5)分給3人，3人分別得到1個、2個、3個．【典例2】（25-26高二上·全國·月考）從5名學生中選擇4人對A，B兩種不同算法的加密文件進行破譯，每人選擇一種文件，每個文件2人破譯，則不同的人員安排共有（）A．40種 B．48種 C．30種 D．72種【變式1】（2025·云南昆明·模擬預測）將甲、乙等6名志愿者分配到3個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個社區(qū)至少1人，每個人只去1個社區(qū)，且甲、乙兩人不在同1個社區(qū)，則不同的分配方法數(shù)是（

）A．540 B．504 C．408 D．390【變式2】（25-26高三上·重慶·月考）某班5名學生負責校內(nèi)3個不同地段的衛(wèi)生工作.每名學生都要參與且只負責某個地段的衛(wèi)生工作，每個地段至少有1名學生的分配方案共有（

）A．300種 B．90種 C．240種 D．150種【變式3】（2025高三·全國·專題練習）現(xiàn)有10本不同的書，分給甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、兩人得2本、三人得1本，則不同分法的種數(shù)是．（用排列數(shù)、組合數(shù)表示）題型九特殊元素/位置優(yōu)先問題答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲不站首位，乙不站末位，有多少種排法？答題模板（直接法）：1.優(yōu)先安排特殊元素：情況1：甲站末位→剩余4人全排列：；情況2：甲不站首、末位→甲有3種選擇，乙有3種選擇（排除末位+甲的位置），剩余3人全排列：；2.總方法數(shù)：兩類情況相加→.套用示例：種.【典例1】（24-25高二下·上?！て谥校┮阎?位同學站成一排，若甲同學不站在兩端，則有種不同的排法.【典例2】（25-26高二上·上海奉賢·期中）某學校為了豐富同學們的寒假生活，寒假期間給同學們安排了6場線上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場，講座和必須相鄰，問不同的安排方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【變式1】（2025·廣西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之間恰好有2人，且甲不在兩端，則不同排法共有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種【變式2】（2025·廣東·模擬預測）3個男同學和3個女同學排成一列，進行遠足拉練．要求排頭和排尾必須是男同學，則不同的排法有（

）種．A．36 B．108 C．120 D．144【變式3】（25-26高三上·福建三明·月考）甲、乙、丙三人各自計劃暑假去重慶旅游，他們都從武隆天生三橋、長江索道、重慶動物園、白帝城這4個景區(qū)中任選一個，若甲不去重慶動物園，且甲、乙、丙三人去的景區(qū)互不相同，則這三人的不同選擇方法共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種題型十先選后排問題答｜題｜模｜板典型例題：從6人中選4人排成一排，有多少種排法？答題模板：1.選元素：從個元素中選個，組合數(shù)；2.排順序：將選出的個元素全排列，排列數(shù)；3.總方法數(shù)：.套用示例：（或直接）.【典例1】（2025高三·上?！ｎ}練習）第41屆全國中學生物理競賽決賽于10月24日至10月30日由華東師范大學第二附屬中學承辦.根據(jù)賽事安排，組委會欲安排589名選手和各省領隊參觀5個不同場館，分別為李政道研究所、中國商飛、上海交通大學張江高等研究院、上?？萍即髮W和上海博物館東館.現(xiàn)欲將6位志愿者老師分配到5個不同場館做帶隊服務.若每個場館至少1人，則不同的分配方案的種數(shù)為.【典例2】（2025·全國·模擬預測）已知4位學生被分配到A、B、C三地學習，每地至少分配一位學生且每位學生只能去一個地方學習，則不同的分配方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【變式1】（2025·全國·模擬預測）2025年1月7日9時5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級地震．現(xiàn)從各省共抽派7支搶險工作隊前往5個災區(qū)縣救援，要求每個受災縣至少有一個工作隊的方法種數(shù)共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．25200【變式2】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）哈爾濱市開展支教活動，我校有甲，乙，丙等六名教師被隨機地分到四個不同的中學，且每個中學至少分到一名教師，共有多少種不同分法（

）A．1080 B．1560 C．2640 D．3960【變式3】（25-26高三上·陜西西安·開學考試）某校安排高一年級（1）~（5）班共5個班去A，B，C，D四個勞動教育基地進行社會實踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一個班，則高一（1）班被安排到A基地的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．240題型十一展開式書寫（前3項/指定項）答｜題｜模｜板典型例題：寫出的展開式前3項。答題模板：1.牢記展開式公式：；2.確定a、b、n：本題，，；3.逐項計算：從0開始，依次代入計算前3項（）；4.化簡結果：合并同類項，保留系數(shù)符號。套用示例：：；：；：；前3項：?！镜淅?】（25-26高二上·全國·課堂例題）求多項式的展開式.【典例2】（24-25高二·全國·課堂例題）求多項式的展開式．【變式1】（24-25高二·全國·課堂例題）求的展開式；【變式2】（24-25高三·上海·課堂例題）寫出的二項展開式.【變式3】（24-25高三·上?！るS堂練習）的二項展開式是．題型十二通項公式應用（求某一項）答｜題｜模｜板典型例題：求的第4項；求的含的項.答題模板：1.明確目標：確定求“第項”或“含的項”；2.寫出通項公式：（）；3.確定參數(shù)：明確a、b、n，若求第項，則；若求含的項，需化簡的指數(shù)；4.計算求解：第項：代入，計算系數(shù)與字母部分；含的項：令的指數(shù)等于，解出，再代入計算項；5.整理結果：保留系數(shù)符號，化簡表達式.套用示例：求第4項：→，；求含的項：，，，指數(shù)→，項為.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）的常數(shù)項為．【典例2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）的二項展開式中第4項是.【變式1】（25-26高三上·四川成都·期中）的展開式的中間項為．【變式2】（25-26高二上·上海奉賢·月考）的展開式中的第四項是.【變式3】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·月考）二項式的展開式中常數(shù)項為（）A． B．540 C．15 D．題型十三二項式系數(shù)與項的系數(shù)答｜題｜模｜板子題型1：二項式系數(shù)與項的系數(shù)區(qū)分計算典型例題：求的展開式中第2項的二項式系數(shù)和項的系數(shù)答題模板：1.明確定義：二項式系數(shù)：僅（與a、b系數(shù)無關）；項的系數(shù)：的系數(shù)的系數(shù)；2.確定值：第項→；3.分別計算：二項式系數(shù)：直接??；項的系數(shù)：計算；4.對比結果：明確兩者區(qū)別，規(guī)范書寫.套用示例：第2項→，二項式系數(shù)：；項的系數(shù)：.子題型2：二項式系數(shù)最值問題典型例題：求展開式中二項式系數(shù)最大的項；求展開式中二項式系數(shù)最大的項.答題模板：1.確定的奇偶性：為偶數(shù)：中間1項（第項）二項式系數(shù)最大；為奇數(shù)：中間2項（第項、第項）二項式系數(shù)相等且最大；2.計算對應值：偶數(shù)：；奇數(shù)：和；3.代入通項求項：計算對應項的表達式（僅二項式系數(shù)，無需考慮a、b系數(shù)）.套用示例：（偶數(shù)）：第5項，，項為；（奇數(shù)）：第5、6項，和，項為、.子題型3：項的系數(shù)最值問題典型例題：求展開式中項的系數(shù)最大的項.答題模板：1.寫出通項公式：化簡項的系數(shù)表達式（含的函數(shù)）；2.設第項系數(shù)為，列不等式組：；；3.解不等式組：求出整數(shù)（）；4.驗證符號：根據(jù)的奇偶性判斷系數(shù)符號，確定最大系數(shù)項；5.計算結果：代入值求項.套用示例：通項系數(shù)：；列不等式：且，解得→；系數(shù)最大項：，項為.【典例1】（24-25高二下·貴州畢節(jié)·期末）的展開式的第7項的二項式系數(shù)是.【典例2】（25-26高三上·天津·月考）在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為.【變式1】（2025高三·全國·專題練習）已知，二項式展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)的最大值為，系數(shù)最大值為．【變式2】（24-25高二下·河南開封·月考）已知的展開式中，第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為15：2，展開式中系數(shù)最大項是.【變式3】（2025高三·全國·專題練習）已知的展開式中各項系數(shù)的和比各二項式系數(shù)的和大992．求展開式中二項式系數(shù)最大的項及展開式中系數(shù)最大的項．題型十四特定項求解答｜題｜模｜板題型1：常數(shù)項求解典型例題：求的展開式中的常數(shù)項.答題模板：1.寫出通項公式：；2.化簡的指數(shù)：將a、b化為的冪次形式（如），合并指數(shù)；3.列方程求：令的指數(shù)為0，解出整數(shù)（需滿足）；4.計算常數(shù)項：代入值，計算系數(shù)部分（不含）；5.驗證結果：確保有效，系數(shù)計算無誤.套用示例：通項：；令→；常數(shù)項：.題型2：有理項/無理項求解典型例題：求的展開式中的有理項.答題模板：1.寫出通項公式：化簡的指數(shù)（化為分數(shù)指數(shù)）；2.定義有理項條件：的指數(shù)為整數(shù)；3.列方程求：設指數(shù)為整數(shù)，解出滿足的整數(shù)；4.列舉所有有效：逐一驗證，確保指數(shù)為整數(shù)；5.計算有理項：代入每個值，求出對應項.套用示例：通項：；有理項條件：→是6的倍數(shù)，；解得：：；：.題型3：指定指數(shù)差/系數(shù)關系問題典型例題：在的展開式中，若第3項與第6項的系數(shù)相等，求.答題模板：1.寫出對應項的系數(shù)：第項系數(shù)為（二項式系數(shù)）；2.根據(jù)題意列等式：如“第項系數(shù)=第項系數(shù)”→；3.利用組合數(shù)性質(zhì)求解：對稱性：→；遞推性：結合題意化簡等式；4.驗證結果：確保為正整數(shù)，符合題意.套用示例：第3項系數(shù)，第6項系數(shù)，由→→.【典例1】（25-26高三上·天津·開學考試）在的展開式中，的系數(shù)為．【典例2】（25-26高三上·四川成都·月考）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．15 B．45 C．60 D．90【變式1】（25-26高三上·云南·月考）在的展開式中，含項的系數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．18【變式2】（2025高三上·廣東深圳·專題練習）一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為0，2，4，5，6，8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，則二項式展開式的有理項共（

）項A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2025高二·全國·專題練習）已知二項式.(1)求展開式的第4項；(2)求展開式中的有理項；(3)求展開式中的常數(shù)項.題型十五賦值法的應用答｜題｜模｜板題型1：全項系數(shù)和求解（完整）典型例題：求的展開式中所有項的系數(shù)之和.答題模板：1.識別目標：求所有項的系數(shù)和（含常數(shù)項、各字母項）；2.選擇賦值：令所有字母變量=1（若字母含系數(shù)，直接代入1，不改變系數(shù)）；3.計算結果：將賦值代入二項式，化簡得出數(shù)值即為系數(shù)和；4.驗證邏輯：確保賦值后所有字母項轉化為1，僅保留系數(shù)運算.套用示例：令、，系數(shù)和.題型2：奇數(shù)項/偶數(shù)項系數(shù)和求解典型例題：求的展開式中奇數(shù)項系數(shù)和、偶數(shù)項系數(shù)和.答題模板：1.設參數(shù)：設全項系數(shù)和為，奇數(shù)項系數(shù)和為，偶數(shù)項系數(shù)和為；2.求全項系數(shù)和：令所有字母=1，計算；3.求奇數(shù)項-偶數(shù)項系數(shù)和：令含字母項的系數(shù)為1，另一項為-1（如令），得；4.列方程求解：；；5.化簡結果：確保計算過程符號無誤.套用示例：全項系數(shù)和；奇數(shù)項-偶數(shù)項系數(shù)和；奇數(shù)項系數(shù)和；偶數(shù)項系數(shù)和.題型3：特定字母系數(shù)和求解典型例題：求的展開式中含的項的系數(shù)之和。答題模板：1.識別目標：僅保留含指定字母（如）的項，求其系數(shù)和；2.固定其他字母：令非指定字母=1（消除其對系數(shù)的影響）；3.轉化為二項式問題：原多項式轉化為僅含指定字母的二項式（或單項式）；4.提取指定項系數(shù)：利用二項式定理求出指定字母對應次數(shù)的系數(shù)；5.驗證結果：確保未遺漏其他字母的系數(shù)貢獻。套用示例：令、，多項式轉化為；含的項的系數(shù)為，即所求系數(shù)和為150.【典例1】（25-26高二上·上海奉賢·期中）已知，則．【典例2】（25-26高三上·重慶·期中）若，則.【變式1】【多選題】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知，則（

）A．B．C．D．【變式2】【多選題】（25-26高二上·黑龍江綏化·期中）已知的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大，則下列說法正確的是（

）A．B．展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為C．展開式中各項系數(shù)的和為D．展開式中奇數(shù)項的系數(shù)的和為【變式3】【多選題】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．題型十六楊輝三角答｜題｜模｜板題型1：利用楊輝三角查找二項式系數(shù)典型例題：通過楊輝三角求的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；求的展開式中第3項的二項式系數(shù).答題模板：1.明確行數(shù)規(guī)則：第行（從0開始計數(shù)）對應的二項式系數(shù)；2.繪制/回憶楊輝三角前行：第0行：[1]第1行：[1,1]第2行：[1,2,1]第3行：[1,3,3,1]第4行：[1,4,6,4,1]第5行：[1,5,10,10,5,1]3.查找目標系數(shù)：二項式系數(shù)最大項：偶數(shù)取中間列，奇數(shù)取中間兩列；第項的二項式系數(shù)：第行第列（從0開始列計數(shù)）；4.輸出結果：明確系數(shù)對應的項或直接輸出系數(shù).套用示例：求二項式系數(shù)最大項的系數(shù)：第5行中間兩列（第2、3列），系數(shù)為10；求第3項的二項式系數(shù)：第4行第2列，系數(shù)為6.題型2：利用楊輝三角驗證組合數(shù)性質(zhì)典型例題：用楊輝三角驗證；驗證.答題模板：1.明確組合數(shù)與楊輝三角的關系：第行第列的數(shù)字=；2.驗證遞推性：找到第行第列的數(shù)字；找到第行第列和第列的數(shù)字，求和驗證是否等于前者；3.驗證對稱性：找到第行第列和第列的數(shù)字，驗證是否相等；4.總結結論：明確組合數(shù)性質(zhì)在楊輝三角中的直觀體現(xiàn).套用示例：驗證：第6行第3列數(shù)字=20，第5行第2列=10、第3列=10，10+10=20，成立；驗證：第7行第4列=35、第3列=35，相等，成立.題型3：楊輝三角與二項式定理結合求系數(shù)典型例題：已知楊輝三角第行的數(shù)字為[1,4,6,4,1]，求的展開式中含的項的系數(shù).答題模板：1.由楊輝三角確定：行數(shù)=數(shù)字個數(shù)-1，本題數(shù)字個數(shù)=5→；2.明確二項式系數(shù)：第行第列數(shù)字=，含的項對應，二項式系數(shù)=第4行第2列=6；3.計算項的系數(shù)：項的系數(shù)=二項式系數(shù)×的系數(shù)×的系數(shù)；4.化簡結果：代入數(shù)值計算，保留符號.套用示例：，含的項對應；項的系數(shù)=.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（

）A．在第10行中第5個數(shù)最大B．第2023行中第1011個數(shù)和第1012個數(shù)相等C．D．第6行的第7個數(shù)?第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)【典例2】【多選題】（24-25高二下·河南信陽·期末）我國南宋數(shù)學家楊輝首先發(fā)現(xiàn)了二項式系數(shù)的性質(zhì)，并把系數(shù)寫成一張表，后人稱為楊輝三角，如圖所示，關于楊輝三角正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二下·黑龍江大慶·期末）“楊輝三角”是中國數(shù)學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學愛好者的探究欲望.題圖為“楊輝三角”的一部分（如圖），記第n行的第i個數(shù)為，則.

【變式2】【多選題】（24-25高二下·廣東廣州·期末）我國南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關于楊輝三角的說法正確的是（

）A．第6行從左到右第4個數(shù)是20 B．第2022行的第1011個數(shù)最大C．210在楊輝三角中共出現(xiàn)了6次 D．記第行的第個數(shù)為，則【變式3】【多選題】（24-25高二下·重慶·期末）“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)陣中的一種幾何排列規(guī)律，在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，如圖所示.下列關于“楊輝三角”的說法中正確的是（

）A．B．C．D．第10行中從左往右第5個數(shù)與第6個數(shù)之比為期末基礎通關練（測試時間：30分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·廣東廣州·期末）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．722．（24-25高二下·吉林長春·期末）的展開式中，的系數(shù)與常數(shù)項之差為（

）A．20 B．19 C． D．3．（24-25高二下·河北·期末）設，若，則（

）A．1 B． C．3 D．4．（24-25高二下·浙江溫州·期末）某校招聘了6名教師，現(xiàn)平均分配給學校的兩個校區(qū)，其中2名英語教師不能分配在同一個校區(qū)，另外3名數(shù)學教師也不能全分配在同一個校區(qū)，則不同的分配方案共有（

）A．12種 B．14種 C．24種 D．48種5．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）已知，則（

）A．4 B．3 C．5 D．16．（23-24高二下·河南鄭州·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二下·廣東江門·期末）下列說法正確的是（）A．中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類，現(xiàn)有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有24種B．從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有5條，則從A村經(jīng)過B村去C村不同的路線的條數(shù)為8C．一個兩層書架，分別放置語文類讀物4本，數(shù)學類讀物5本，每本讀物各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有20種D．從1，2，3，4，5五個數(shù)字中任選3個數(shù)字，可組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為608．（24-25高二下·廣東湛江·期末）在的展開式中，的系數(shù)是（）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二下·黑龍江雞西·期末）有3名學生和2名教師排成一排，則下列說法正確的是（

）A．共有種不同的排法B．當2名教師相鄰時，共有24種不同的排法C．當2名教師不相鄰時，共有種不同的排法D．當2名教師不排在兩端時，共有48種不同的排法三、解答題10．（24-25高二下·河北滄州·期末）已知二項展開式．(1)求的值；(2)求的值．11．（24-25高二下·黑龍江雞西·期末）已知的二項展開式的各二項式系數(shù)之和為32.(1)求是多少？(2)求展開式中的常數(shù)項為多少？12．（24-25高二下·廣東深圳·期末）在下列三個條件中任選一個合適的條件，補充在問題中的橫線上，并解答．條件①：展開式中所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于50；條件②：展開式中第3項的二項式系數(shù)是21；條件③：展開式中第2項與第7項的二項式系數(shù)相等．【選擇多個條件解答，則按第一個條件計分】問題：已知二項式，若_____________，求：(1)求n和展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求的展開式中含的項的系數(shù)．期末重難突破練（測試時間：60分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·山東聊城·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．75 B．135 C．180 D．1952．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，則下列選項中錯誤的是（

）A．B．的最大值為C．D．3．（24-25高二下·湖北武漢·期末）在的展開式中，含項的系數(shù)是（

）A．1139 B．1140 C．1329 D．13304．（24-25高二下·北京通州·期末）設集合，集合，那么集合B中滿足的元素的個數(shù)為（

）A．72 B．54 C．24 D．125．（24-25高二下·廣東深圳·期末）將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中，下列說法錯誤的是（

）A．恰有一個空盒，有324種放法B．把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有12種放法C．有256種放法D．每盒至多兩球，有204種放法6．（24-25高二下·河南周口·期末）為打造特色校園文化，某學校計劃在藝術節(jié)期間舉辦“創(chuàng)意工坊”活動，提供陶藝、木工、剪紙、面塑、扎染5種手工體驗項目．現(xiàn)從8名美術老師中任選5人分別負責一個項目，且要求負責陶藝和木工的老師是男老師，已知這8名老師中有5名男老師，3名女老師，則不同的人員安排方案有（

）A．1200種