1/3專題4.2等差等比數(shù)列的基本公式及性質(zhì)（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標考情規(guī)律等差數(shù)列基本公式掌握等差數(shù)列定義、等差中項、通項公式、求和公式基礎(chǔ)必考點，常考小題中，或作為大題的基礎(chǔ)知識部分。等差數(shù)列的常用性質(zhì)掌握等差數(shù)列的一些常用的基本性質(zhì)。高頻必考點，?？夹☆}中，或數(shù)列大題中第一問。等比數(shù)列基本公式掌握等比數(shù)列定義、等比中項、通項公式、求和公式基礎(chǔ)必考點，常考小題中，或作為大題的基礎(chǔ)知識部分。等比數(shù)列的常用性質(zhì)掌握等比數(shù)列的一些常用的基本性質(zhì)高頻必考點，?？夹☆}中，或數(shù)列大題中第一問。知識點01等差數(shù)列的概念及公式等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an?a等差中項若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A=a+b通項公式a前n項和公式S知識點02等差數(shù)列的常用性質(zhì)通項公式的推廣a當m+n=p+q時，am特別地，若m+n=2t，則am+an=2數(shù)列中序號為等差數(shù)列的項ak，若{an}，{數(shù)列kan+bSn為等差數(shù)列前n項和，則Sn,若{an}是公差為d等差數(shù)列，則{Snn若{an}與{bn}為等差數(shù)列，且前n項和為若項數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n=n(a1+若項數(shù)為奇數(shù)2n?1，則S2n－1=(2n?1)an；知識點03等差數(shù)列的判定定義法由an+1?an=d等差中項法由2an+1=an通項公式法由an=kn+b得{a4、前n項和公式由Sn=kn2+bn知識點04等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)由通項公式an=a1、公差d>0?{a2、公差d<0?{a3、公差d=0?知識點05等比數(shù)列的概念及公式等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為an+1等比中項若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項，且有A注意：a，A，b這三項均不能為0，若給出a，通項公式a前n項和公式S知識點06等比數(shù)列{an通項公式的推廣a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，則am數(shù)列中序號為等差數(shù)列的項ak，ak+m，{an}為等比數(shù)列，則{λan}（λ為非零常數(shù)），{a若{an}，{bn公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，則Sn，S2n{an}為等比數(shù)列，若前n項積為a若{an}知識點07等比數(shù)列的判定定義法由an+1an=q等比中項法由an+12=an通項公式法由an=kqn?1(q≠0知識點08等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1、當&a1>0&q>1或2、當&a1>0&0<q<1或題型一利用等差數(shù)列概念的求項解｜題｜技｜巧直接利用等差數(shù)列的概念求首項跟公差，在用通項公式求得數(shù)列中的項?！镜淅?】（24-25高二上·云南大理·期末）已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江蘇南京·期末）在無窮等差數(shù)列中，若，且，則．【變式1】（25-26高二上·湖南長沙·期中）已知等差數(shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之成為一個新的等差數(shù)列，則數(shù)列的第23項為．【變式2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列滿足，，若，則.題型二判定是否為等差數(shù)列解｜題｜技｜巧等差數(shù)列的判定可以通過1、定義法2、等差中項3、通項公式4、求和公式注意一些細節(jié)問題，如規(guī)則是否覆蓋到每一項，首項是否也滿足條件?！镜淅?】（24-25高三上·福建福州·期末）設(shè)是無窮數(shù)列，，則“是等差數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（多選）（25-26高二上·湖南長沙·期中）若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中一定為等差數(shù)列的有（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（24-25高二下·廣西北?！て谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，則下列一定是等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·廣西桂林·月考）在數(shù)列中，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要題型三等差中項的性質(zhì)解｜題｜技｜巧通項公式的推廣：當m+n=p+q時，am+an=ap+a【典例1】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（24-25高二上·河南安陽·期末）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式2】（24-25高二上·湖北武漢·期末）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．30 B．40 C．50 D．60題型四構(gòu)造等差數(shù)列解｜題｜技｜巧常見的有構(gòu)造{1an【典例1】（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式．【典例2】（25-26高二上·重慶·期中）在數(shù)列中，，，且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求的通項公式．【變式1】（25-26高二上·吉林長春·期中）已知數(shù)列滿足，若.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【變式2】（25-26高三上·河南商丘·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．題型五等差數(shù)列的絕對值的前n項和解｜題｜技｜巧1、若{an2、求{|【典例1】（多選）（24-25高二上·陜西榆林·期末）已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．B．取得最大值時，C．D．【典例2】（24-25高二上·湖北武漢·期末）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，，.(1)求和；(2)求的前項和.【變式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列、的各項均不為零，若是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，，.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【變式2】（2025高三上·河南洛陽·專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的前項和為（

）A．108 B．28 C．62 D．80題型六兩個等差數(shù)列前n項和之比解｜題｜技｜巧若{an}與{bn}為等差數(shù)列，且前n【典例1】（24-25高二上·湖北武漢·期末）設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二下·重慶·月考）已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（25-26高二上·陜西咸陽·期中）已知，分別為等差數(shù)列，的前n項和，且，則（

）A． B． C． D．題型七等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解｜題｜技｜巧若{an}是公差為d等差數(shù)列，則{SnSn為等差數(shù)列前n項和，則Sn,【典例1】（多選）（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）若為數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．常數(shù)列是等差數(shù)列B．若，則是等差數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列D．若是等差數(shù)列，，則【典例2】（25-26高三上·河北·月考）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．18【變式1】（25-26高二上·重慶·期中）已知數(shù)列的前項和為，是以1為公差，4為首項的等差數(shù)列，則通項公式【變式2】（多選）（2025高二上·山西臨汾·專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項和，則（

）A．，，成等差數(shù)列 B．C． D．，，成等差數(shù)列題型八等差數(shù)列前n項和的單調(diào)性與最值解｜題｜技｜巧1、公差d>0?{an}為遞增等差數(shù)列，S2、公差d<0?{an}為遞減等差數(shù)列，S3、公差d=0?【典例1】（24-25高二上·海南·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最小值時的值為．【典例2】（多選）（24-25高二上·海南·期末）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為．已知，，，，則（

）A． B．的取值范圍是C．的最大值為 D．的最小值為【變式1】（多選）（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列是遞減數(shù)列 B．C．當取得最大值時， D．【變式2】（多選）（25-26高三上·河北·期中）設(shè)是公差d不為0的等差數(shù)列，其前n項和存在最小值，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．題型九等比數(shù)列的求項解｜題｜技｜巧利用通項公式求項a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，則am利用等比中項求等比數(shù)列中的項。【典例1】（25-26高二上·湖南長沙·期中）在等比數(shù)列中，，，則．【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）在正項等比數(shù)列中，若，，則.【變式1】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知數(shù)列滿足且，則的值為（

）A．32 B．16 C． D．【變式2】（25-26高二上·貴州·期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．18題型十判斷是否為等比數(shù)列解｜題｜技｜巧等比數(shù)列的判定可以通過1、定義法2、等比中項3、通項公式注意一些細節(jié)問題，如規(guī)則是否覆蓋到每一項，首項是否也滿足條件?！镜淅?】（多選）（25-26高二上·甘肅蘭州·期中）設(shè)是等比數(shù)列，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等差數(shù)列【典例2】（25-26高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)，是兩個公比不相等的等比數(shù)列，則下列數(shù)列中一定是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【變式1】（25-26高三上·全國·期中）已知為非常數(shù)數(shù)列，則“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【變式2】（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）設(shè)是等比數(shù)列，有下列四個命題：①是等比數(shù)列；

②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；

④是等比數(shù)列.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型十一求等比數(shù)列的前n項和解｜題｜技｜巧根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求n項和。S【典例1】（24-25高二上·陜西西安·期末）設(shè)數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【典例2】（25-26高三上·黑龍江·月考）已知等比數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和等于．【變式1】（2025高三上·廣東廣州·專題練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足，且與的等差中項為5，為其前項和，則等于.【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列滿足：，其前項和為．(1)證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．題型十二等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)解｜題｜技｜巧公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，則Sn，S2n等比數(shù)列有2n項，則所有的奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和的比值為公比【典例1】（24-25高二下?安徽合肥?期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，且，則（

）A． B．40C．30或 D．或40【典例2】（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為．【變式1】（25-26高三上?江蘇鹽城?期中）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若公比，則.【變式2】（24-25高二上·全國·課堂例題）若等比數(shù)列共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為，項數(shù)為．題型十三等比數(shù)列有關(guān)的單調(diào)性與最值解｜題｜技｜巧討論單調(diào)性跟最值時，根據(jù)表達式來判斷。主要根據(jù)首項跟公比的正負來決定。【典例1】（多選）（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件，.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大項為【典例2】（多選）（25-26高二上·福建寧德·期中）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，其前和項和為，前項積為，且滿足條件，，則下列選項正確的是（

）A．B．C．數(shù)列中的最大項為D．【變式1】（多選）（25-26高二上·全國·單元測試）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為【變式2】（24-25高二上·上海·期末）在等比數(shù)列中，公比為q，其前n項積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然數(shù)n等于4046題型十四等差與等比數(shù)列綜合解｜題｜技｜巧綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與性質(zhì)【典例1】（多選）（25-26高二上?江蘇蘇州?月考）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為【典例2】（多選）（24-25高二下·湖北·期末）已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的有（

）A．若，則數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列B．若，則數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列C．若，則數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列D．若，則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列【變式1】（多選）（24-25高二上·湖北·月考）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法不正確的是（）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，且其前項的和，則B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項和，則，，，…成等比數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為12【變式2】（多選）（24-25高二上·云南昭通·期末）數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則數(shù)列的前項和最大B．若等比數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則公比滿足C．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則D．已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．（25-26高二上·江蘇常州·期中）已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列中有多少項在到之間.2.（24-25高二上·天津·月考）若數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明是等差數(shù)列.3．（24-25高二上·天津·期末）等差數(shù)列{an}中，若a34．（24-25高二上·山東泰安·期末）已知在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上?福建寧德?期中）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A．85 B．15 C． D．期末重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，對于且，有，若（，且，互質(zhì)，則．2．（25-26高二上·河北滄州·期