2/24專題4-1等差數(shù)列與函數(shù)性質(zhì)題型1等差數(shù)列定義與判定題型9比值錯項型題型2構(gòu)造遞推型定義（?？键c）題型10前n項和的二次函數(shù)性質(zhì)（重點）題型3等差數(shù)列函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性（重點）題型11等差數(shù)列正負不等式型（難點）題型4等差中項性質(zhì)題型12等差數(shù)列壓軸題型5等差數(shù)列“高斯”性質(zhì)（?？键c）題型13等差數(shù)列壓軸第19題題型6奇數(shù)項與偶數(shù)項和題型7sn與an關(guān)系（重點）題型8雙等差比值型2/24題型一、定義與判定（共3小題）1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）“存在，使得”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024高三下·四川內(nèi)江·專題練習(xí)）數(shù)列為正項數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·黑龍江·月考）已知是無窮數(shù)列，，則“對任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型二、構(gòu)造遞推型定義（共3小題）4．（24-25高二下·河南南陽·期中）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項和為，前n項積為，則下列說法錯誤的是（

）A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．數(shù)列的最大項為C．使得取得最小值的n為7 D．有最小值，無最大值5．（24-25高二下·廣東茂名·月考）已知數(shù)列和數(shù)列滿足，，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·廣東廣州·開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列的前項之積為，滿足，則（

）A． B． C． D．題型三、等差函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性（共3小題）7．（24-25高二下·北京海淀·期末）設(shè)是所有項都不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（23-24高二下·重慶·月考）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2020·廣東廣州·二模）首項為﹣21的等差數(shù)列從第8項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d題型四、等差中項性質(zhì)（共3小題）10．（24-25高二下·山東德州·月考），若存在使得成等差數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（24-25高一下·上?！ぴ驴迹┤羧齻€非零且互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列且滿足則稱成“β等差數(shù)列”．已知集合，則由M中的三個元素組成的所有數(shù)列中“β等差數(shù)列”的個數(shù)為（

）A．50 B．51 C．100 D．10112．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B．5 C．5或－5 D．或題型五、等差數(shù)列“高斯”性質(zhì)（共3小題）13．（24-25高二下·陜西西安·月考）若等差數(shù)列滿足，則（

）A．2025 B． C． D．14．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）在1和11之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)成等差數(shù)列．若這個數(shù)中第1個為，第個為，則的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．15．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，，若存在正整數(shù)m，n，p，q滿足時有成立，則等于（

）A．4 B．1C． D．由等差數(shù)列的首項的值決定題型六、奇數(shù)項與偶數(shù)項和（共3小題）16．（25-26高二上·江蘇蘇州·月考）若成等差數(shù)列，奇數(shù)項的和為75，偶數(shù)項的和為60，則該數(shù)列的項數(shù)為（

）A．4 B．5 C．9 D．1117．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．18．（25-26高二上·江蘇蘇州·期中）已知一個等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項的和為290，所有偶數(shù)項的和為261.則此數(shù)列的項數(shù)為（

）A．10 B．19 C．21 D．2919．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知正項數(shù)列前項和為，首項且，則以下說法中正確的個數(shù)是（

）①；②當為奇數(shù)時，；③.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型七、sn與an關(guān)系（共3小題）20．（23-24高二下·遼寧·期中）設(shè)為數(shù)列的前項和，若，且存在，，則的取值集合為（

）A． B． C． D．21．（2024·浙江溫州·三模）數(shù)列的前項和為，則可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．622．（16-17高三上·四川資陽·月考）設(shè)，分別是等差數(shù)列，的前項和，若，則A．2 B．3 C．4 D．6題型八、雙等差比值型（共3小題）23．（24-25高二下·云南昆明·月考）設(shè)等差數(shù)列的前項和分別是，若，則（

）A． B． C． D．24．（20-21高二上·甘肅白銀·月考）設(shè)等差數(shù)列、的前項和分別是、.若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2題型九、比值錯項型（共3小題）25．（2022·四川·二模）設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，，若，則（

）A． B．C． D．326．（24-25高二下·遼寧沈陽·期中）設(shè)，分別是等差數(shù)列，的前n項和，若，則（

）A． B． C． D．327．（15-16高一下·江蘇宿遷·期中）設(shè),分別是等差數(shù)列,的前項和,已知,,則．題型十、前n項和的二次函數(shù)特征（共3小題）28．（2023·河北·三模）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，那么等于（

）A．10 B．80 C． D．29．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，是其前n項和，且，，則正整數(shù)k為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．202330．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前項和為．若，則的值是（

）A．5 B．7 C．8 D．9題型十一、前n項和的最值（共3小題）31．（2024·全國·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，已知，則使得的的取值范圍為（

）A． B．C． D．32．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（

）A．當時，最大 B．當時，最小C．數(shù)列中存在最大項，且最大項為 D．數(shù)列中存在最小項33．（24-25高三上·廣東東莞·月考）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若>0，，則時，n的最大值為（

）A．14 B．13 C．11 D．7題型十二、等差數(shù)列正負不等式型（共3小題）34．（21-22高三上·江蘇南京·月考）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．35．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，并滿足：對任意，都有，則下列命題不一定成立的是（

）A． B．C． D．【點睛】本題考查數(shù)列不等式的驗證，考查等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于難題36．（21-22高二下·湖南·期中）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當最小時，n的值為（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2021題型十三、等差數(shù)列函數(shù)型求參（共3小題）37．（2025高三·全國·專題練習(xí)）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“好數(shù)”，已知某數(shù)列的“好數(shù)”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則的不可能取值為（）A．2 B． C． D．38．（22-23高二下·廣西河池·期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若的最大值僅為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．39．（24-25高二下·北京·期中）已知數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十三、等差數(shù)列壓軸小題（共3小題）40．（21-22高一下·四川成都·期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，人們把函數(shù)，稱為高斯函數(shù)（其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，）．已知數(shù)列的首項，前n項和記為．若k為函數(shù)，值域內(nèi)的任意元素，且當整數(shù)時，都有成立，則的通項公式為．41．（20-21高三下·全國·月考）已知首項為的數(shù)列的前項和為，若，且數(shù)列，，…，成各項均不相等的等差數(shù)列，則的最大值為．42．（20-21高二上·上海寶山·期中）設(shè)數(shù)列的前項和為，，()，(，).且?均為等差數(shù)列，則.題型十四、等差數(shù)列壓軸第19題（共3小題）43．（24-25高二下·北京房山·月考）設(shè)和是兩個等差數(shù)列，記（，2，3，…），其中表示，，…這s個數(shù)中最小的數(shù).(1)若，，求證：不是等差數(shù)列；(2)若，，證明：是等差數(shù)列；(3)證明：或者對任意實數(shù)M，存在正整數(shù)m，當時，；或者存在正整數(shù)m，使得，，，…是等差數(shù)列.44．（2025·北京豐臺·一模）已知無窮遞增數(shù)列各項均為正整數(shù)，記數(shù)列為數(shù)列的自身子數(shù)列.(1)若，寫出數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項；(2)證明：；(3)若數(shù)列與是公差分別為，的等差數(shù)列.（i）證明：；