專題05二項(xiàng)式定理（9個(gè)考點(diǎn)清單+9類題型解讀）知識(shí)點(diǎn)01：.二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，知識(shí)點(diǎn)02：二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．知識(shí)點(diǎn)03：兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：①（）②知識(shí)點(diǎn)04：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項(xiàng)是針對(duì)在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．知識(shí)點(diǎn)05：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．=2\*GB3②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．知識(shí)點(diǎn)06：系數(shù)的最大項(xiàng)求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．知識(shí)點(diǎn)07：賦值法常用賦值舉例：（1）設(shè)，二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得．②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．【常用結(jié)論】奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和①5當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡(jiǎn)記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡(jiǎn)記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）若，同理可得．題型一：二項(xiàng)式定理展開及其逆運(yùn)用 4題型二：二項(xiàng)展開式第k項(xiàng) 4題型三：二項(xiàng)式系數(shù)（和） 5題型四：指定項(xiàng)系數(shù)（有理項(xiàng)） 5題型五：各項(xiàng)系數(shù)和 6題型六：系數(shù)最大（小項(xiàng)） 7題型七：三項(xiàng)展開式系數(shù)問題 7題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題 8題型九：楊輝三角 9【題型一：二項(xiàng)式定理展開及其逆應(yīng)用】一、解答題1．（23-24高二下·新疆省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）計(jì)算二項(xiàng)式：(1)化簡(jiǎn)：；(2)寫出的展開式并化簡(jiǎn).2．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，求證：．3．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）（1）求的展開式.（2）化簡(jiǎn)：.【題型二：二項(xiàng)展開式第k項(xiàng)】一、單選題1．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）的展開式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．15 B．20 C． D．12152．（23-24高二下·陜西渭南·階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng) C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)3．（2024·浙江·二模）展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·湖南婁底·階段練習(xí)）已知，若的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于240，則（

）A．3 B．2 C．6 D．45．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若二項(xiàng)式展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型三：二項(xiàng)式系數(shù)（和）】一、單選題1．（2024·山東·一模）在的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的項(xiàng)數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）的展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15，則（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若的展開式中第2項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)4．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知的展開式的第2項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值等于第3項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的3倍，則展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．和 B．和C．和 D．和5．（23-24高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知二項(xiàng)式的展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則a的值為（

）A． B． C． D．【題型四：指定項(xiàng)系數(shù)（有理項(xiàng)）】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．120 D．602．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則（

）A．2 B．3 C．6 D．93．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）的展開式中的整式項(xiàng)系數(shù)和是（）A．192 B． C．32 D．5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知（其中）的展開式中的第7項(xiàng)為7，則展開式中的有理項(xiàng)的系數(shù)和為（）A．43 B． C．27 D．【題型五：各項(xiàng)系數(shù)和】一、單選題1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習(xí)）已知的展開式第3項(xiàng)的系數(shù)是60，則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是（

）A．-1 B．1 C．64 D．2．（23-24高二下·北京海淀·期末）設(shè)，若，則（

）A．80 B．40 C． D．3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川德陽·一模）設(shè)滿足，則（

）A．120 B． C．40 D．【題型六：系數(shù)最大（?。╉?xiàng)】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)2．（2023·四川雅安·一模）的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)3．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分別為（

）A．第1項(xiàng)和第3項(xiàng) B．第2項(xiàng)和第4項(xiàng)C．第3項(xiàng)和第1項(xiàng) D．第4項(xiàng)和第2項(xiàng)4．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（

）項(xiàng)A．2 B．3 C．4 D．56．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知的展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（

）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)【題型七：三項(xiàng)展開式系數(shù)問題】一、單選題1．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．243 B．240 C．237 D．2342．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．120 B．80 C．60 D．403．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）的展開式中所有不含的項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A． B． C．1 D．2435．（23-24高二下·河南鄭州·期中）的展開式中，除含的項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)和為（

）A． B．299 C． D．301【題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題】一、單選題1．（22-23高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B． C．28 D．2．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）若的展開式中的系數(shù)為，則a的值為（

）A．1 B．2 C． D．3．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．147 B． C．63 D．4．（22-23高三下·河南安陽·開學(xué)考試）已知的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，則（

）A．?2 B．2 C． D．15．（23-24高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（

）A．31 B．30 C．29 D．28【題型九：楊輝三角】一、單選題1．（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個(gè)數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．172．（23-24高二下·湖北·期中）如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：，則該數(shù)列前10項(xiàng)的和為（

）A．66 B．120 C．165 D．2203．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2024行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）當(dāng)時(shí)，將三項(xiàng)式展開，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：

若在的展開式中，的