專題05二項(xiàng)式定理（9個(gè)考點(diǎn)清單+9類題型解讀）知識(shí)點(diǎn)01：.二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，知識(shí)點(diǎn)02：二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．知識(shí)點(diǎn)03：兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：①（）②知識(shí)點(diǎn)04：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項(xiàng)是針對(duì)在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．知識(shí)點(diǎn)05：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．=2\*GB3②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．知識(shí)點(diǎn)06：系數(shù)的最大項(xiàng)求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．知識(shí)點(diǎn)07：賦值法常用賦值舉例：（1）設(shè)，二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得．②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．【常用結(jié)論】奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和①5當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）若，同理可得．題型一：二項(xiàng)式定理展開及其逆運(yùn)用 4題型二：二項(xiàng)展開式第k項(xiàng) 4題型三：二項(xiàng)式系數(shù)（和） 5題型四：指定項(xiàng)系數(shù)（有理項(xiàng)） 5題型五：各項(xiàng)系數(shù)和 6題型六：系數(shù)最大（小項(xiàng)） 7題型七：三項(xiàng)展開式系數(shù)問題 7題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題 8題型九：楊輝三角 9【題型一：二項(xiàng)式定理展開及其逆應(yīng)用】一、解答題1．（23-24高二下·新疆省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）計(jì)算二項(xiàng)式：(1)化簡：；(2)寫出的展開式并化簡.2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，求證：．3．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）（1）求的展開式.（2）化簡：.【題型二：二項(xiàng)展開式第k項(xiàng)】一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．15 B．20 C． D．12152．（23-24高二下·陜西渭南·階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng) C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)3．（2024·浙江·二模）展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·湖南婁底·階段練習(xí)）已知，若的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于240，則（

）A．3 B．2 C．6 D．45．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若二項(xiàng)式展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型三：二項(xiàng)式系數(shù)（和）】一、單選題1．（2024·山東·一模）在的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的項(xiàng)數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15，則（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若的展開式中第2項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知的展開式的第2項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值等于第3項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的3倍，則展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．和 B．和C．和 D．和5．（23-24高二下·全國·單元測試）已知二項(xiàng)式的展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則a的值為（

）A． B． C． D．【題型四：指定項(xiàng)系數(shù)（有理項(xiàng)）】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．120 D．602．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則（

）A．2 B．3 C．6 D．93．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）的展開式中的整式項(xiàng)系數(shù)和是（）A．192 B． C．32 D．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知（其中）的展開式中的第7項(xiàng)為7，則展開式中的有理項(xiàng)的系數(shù)和為（）A．43 B． C．27 D．【題型五：各項(xiàng)系數(shù)和】一、單選題1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習(xí)）已知的展開式第3項(xiàng)的系數(shù)是60，則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是（

）A．-1 B．1 C．64 D．2．（23-24高二下·北京海淀·期末）設(shè)，若，則（

）A．80 B．40 C． D．3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川德陽·一模）設(shè)滿足，則（

）A．120 B． C．40 D．【題型六：系數(shù)最大（?。╉?xiàng)】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)2．（2023·四川雅安·一模）的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分別為（

）A．第1項(xiàng)和第3項(xiàng) B．第2項(xiàng)和第4項(xiàng)C．第3項(xiàng)和第1項(xiàng) D．第4項(xiàng)和第2項(xiàng)4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（

）項(xiàng)A．2 B．3 C．4 D．56．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知的展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（

）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)【題型七：三項(xiàng)展開式系數(shù)問題】一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．243 B．240 C．237 D．2342．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．120 B．80 C．60 D．403．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）的展開式中所有不含的項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A． B． C．1 D．2435．（23-24高二下·河南鄭州·期中）的展開式中，除含的項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)和為（

）A． B．299 C． D．301【題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題】一、單選題1．（22-23高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B． C．28 D．2．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）若的展開式中的系數(shù)為，則a的值為（

）A．1 B．2 C． D．3．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．147 B． C．63 D．4．（22-23高三下·河南安陽·開學(xué)考試）已知的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，則（

）A．?2 B．2 C． D．15．（23-24高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（

）A．31 B．30 C．29 D．28【題型九：楊輝三角】一、單選題1．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個(gè)數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．172．（23-24高二下·湖北·期中）如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：，則該數(shù)列前10項(xiàng)的和為（

）A．66 B．120 C．165 D．2203．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2024行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）當(dāng)時(shí)，將三項(xiàng)式展開，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：

若在的展開式中，的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．2 D．5．（22-23高二下·山東·階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大B．第2023行中第1011個(gè)數(shù)和第1012個(gè)數(shù)相等C．D．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)

專題05二項(xiàng)式定理（9個(gè)考點(diǎn)清單+9類題型解讀）知識(shí)點(diǎn)01：.二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，知識(shí)點(diǎn)02：二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．知識(shí)點(diǎn)03：兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：①（）②知識(shí)點(diǎn)04：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項(xiàng)是針對(duì)在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．知識(shí)點(diǎn)05：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．=2\*GB3②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．知識(shí)點(diǎn)06：系數(shù)的最大項(xiàng)求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．知識(shí)點(diǎn)07：賦值法常用賦值舉例：（1）設(shè)，二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得．②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．【常用結(jié)論】奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和①5當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）若，同理可得．題型一：二項(xiàng)式定理展開及其逆運(yùn)用 4題型二：二項(xiàng)展開式第k項(xiàng) 5題型三：二項(xiàng)式系數(shù)（和） 7題型四：指定項(xiàng)系數(shù)（有理項(xiàng)） 9題型五：各項(xiàng)系數(shù)和 11題型六：系數(shù)最大（小項(xiàng)） 13題型七：三項(xiàng)展開式系數(shù)問題 16題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題 18題型九：楊輝三角 20【題型一：二項(xiàng)式定理展開及其逆應(yīng)用】一、解答題1．（23-24高二下·新疆省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）計(jì)算二項(xiàng)式：(1)化簡：；(2)寫出的展開式并化簡.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理逆運(yùn)算即可得結(jié)果；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以.2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，求證：．【答案】證明見解析【分析】利用二項(xiàng)式展開式，分別令和，，得到方程組，解得即可.【詳解】證明：由二項(xiàng)式定理得，(且)分別令和，，相應(yīng)得到①，

②．

①＋②得，即．①－②得，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)有．3．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）（1）求的展開式.（2）化簡：.【答案】（1）；（2）.【分析】利用二項(xiàng)式定理化簡求值.【詳解】（1）法一:.法二:（2）.【題型二：二項(xiàng)展開式第k項(xiàng)】一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．15 B．20 C． D．1215【答案】A【分析】求出的展開式的通項(xiàng)，求出的展開式中含的二項(xiàng)式系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，則的展開式中含的二項(xiàng)式系數(shù)為．故選：A.2．（23-24高二下·陜西渭南·階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng) C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)【答案】C【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求特定的項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：，令，解得，，所以二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng).故選：C.3．（2024·浙江·二模）展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，即可得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.4．（23-24高三下·湖南婁底·階段練習(xí)）已知，若的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于240，則（

）A．3 B．2 C．6 D．4【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)，建立方程得解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得，令，解得，即常數(shù)項(xiàng)為，解得.故選：B5．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若二項(xiàng)式展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】設(shè)二項(xiàng)式通項(xiàng)，待定系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)的通項(xiàng)為，若有常數(shù)項(xiàng)，則只需，而，顯然的最小值為3，此時(shí).故選：A【題型三：二項(xiàng)式系數(shù)（和）】一、單選題1．（2024·山東·一模）在的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的項(xiàng)數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)公式求出n，再由二項(xiàng)式展開式定理即可得解.【詳解】由題得，所以二項(xiàng)式的展開式的項(xiàng)數(shù)是.故選：A.2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15，可列方程，解方程可得的值.【詳解】的展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：，由，解得或（舍去）．故選：C3．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若的展開式中第2項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】C【分析】由的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)相等，因此由題意可得，求出，即可求得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】由的展開式中第2項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，由的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)相等，所以，所以，則展開式中共有9項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故選：C．4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知的展開式的第2項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值等于第3項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的3倍，則展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】先寫出通項(xiàng)，再結(jié)合題意解出，最后求出結(jié)果即可；【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，依題意可知，解得，所以展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為和．故選：C.5．（23-24高二下·全國·單元測試）已知二項(xiàng)式的展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用二項(xiàng)式的性質(zhì)得，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，可得，則展開式的通項(xiàng)為，令，則，，解得，，.故選：A.【題型四：指定項(xiàng)系數(shù)（有理項(xiàng)）】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．120 D．60【答案】D【分析】由二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】的展開式中的第項(xiàng)為：.令，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：D2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，則（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，寫出展開式的通項(xiàng)，令字母部分的指數(shù)為零，建立方程求得參數(shù)，可得答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，其中，令，得，故，得，所以，故選：C．3．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)已知條件確定的值代入展開式即可求解.【詳解】展開式通項(xiàng)，根據(jù)題意令，解得，所以含的項(xiàng)為，即的展開式中的系數(shù)為.故選：B4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）的展開式中的整式項(xiàng)系數(shù)和是（）A．192 B． C．32 D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得，令，運(yùn)算求解即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，整式項(xiàng)系數(shù)和為.故選：C.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知（其中）的展開式中的第7項(xiàng)為7，則展開式中的有理項(xiàng)的系數(shù)和為（）A．43 B． C．27 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式解得，，令，運(yùn)算求解即可.【詳解】展開式的第7項(xiàng)為，由題意可得，，（），解得，，則展開式的通項(xiàng)為，，令，則，所以展開式中的有理項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：D.【題型五：各項(xiàng)系數(shù)和】一、單選題1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習(xí)）已知的展開式第3項(xiàng)的系數(shù)是60，則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是（

）A．-1 B．1 C．64 D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意求出的值，然后在中令即可求解.【詳解】由題意，注意到是正整數(shù)，所以解得，則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是.故選：B.2．（23-24高二下·北京海淀·期末）設(shè)，若，則（

）A．80 B．40 C． D．【答案】C【分析】令,求出，結(jié)合為的系數(shù)，求出這一項(xiàng)即可求出.【詳解】令，則可得，又，則，又為的系數(shù)，且，因此.故選：C.3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】賦值法求解即可.【詳解】令，得①，令，得②，①－②，得，即．故選：A．4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用賦值法，先求得的值，再賦值，即可出現(xiàn)所求式子，進(jìn)而求解即可.【詳解】令，則，易知皆為負(fù)值，皆為正值，令，則，故．故選：C5．（2024·四川德陽·一模）設(shè)滿足，則（

）A．120 B． C．40 D．【答案】A【分析】利用賦值法令可計(jì)算得出，再令求出，構(gòu)造方程組計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所?故選：A.【題型六：系數(shù)最大（?。╉?xiàng)】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】的通項(xiàng)公式為,根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第6項(xiàng)時(shí)，展開式的系數(shù)為負(fù)，因此第5項(xiàng)，展開式系數(shù)最大故選：B2．（2023·四川雅安·一模）的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式定理求得的展開通項(xiàng)公式，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，的展開通項(xiàng)公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，才能取得最小值，又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即第6項(xiàng)的系數(shù)最小.故選：C．3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分別為（

）A．第1項(xiàng)和第3項(xiàng) B．第2項(xiàng)和第4項(xiàng)C．第3項(xiàng)和第1項(xiàng) D．第4項(xiàng)和第2項(xiàng)【答案】B【分析】寫出的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可知項(xiàng)的系數(shù)為，進(jìn)而可知當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)值，因此分別求出、、時(shí)的項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而可知最小值；因?yàn)榈恼归_式有7項(xiàng)，因此中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以第2項(xiàng)的系數(shù)最??；因?yàn)榈恼归_式有7項(xiàng)，所以中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.故選：B.4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式定理展開公式，結(jié)合系數(shù)最大列出不等式即可求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，由題可知，解得．故選：A5．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（

）項(xiàng)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出，再通過通項(xiàng)公式得出展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，接著由即可求解.【詳解】由題意二項(xiàng)式系數(shù)僅最大，故，所以二項(xiàng)式為，其通項(xiàng)公式為，設(shè)二項(xiàng)式展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則有，，即，故，經(jīng)經(jīng)驗(yàn)符合題意，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng).故選：B.6．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知的展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（

）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)【答案】C【分析】先求出展開式的通項(xiàng)，從而依據(jù)展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)得到，再依據(jù)第項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值大于或等于第項(xiàng)且大于或等于第項(xiàng)列不等式組即可求解.【詳解】由題意得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：，因?yàn)檎归_式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，故，故第項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值為，設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則有，，又因?yàn)椋?，所以?項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大.故選：C.【題型七：三項(xiàng)展開式系數(shù)問題】一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．243 B．240 C．237 D．234【答案】A【分析】根據(jù)題意，令，即可求得所有項(xiàng)的系數(shù)之和，得到答案．【詳解】由多項(xiàng)式，令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為．故選：A.2．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．120 B．80 C．60 D．40【答案】D【分析】寫出展開式通項(xiàng)，令指數(shù)為2，即可求解.【詳解】展開式通項(xiàng)為：，令，即，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；所以的系數(shù)為，故選：D3．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出通項(xiàng)，令，再求展開式中系數(shù)為1時(shí)的系數(shù)，然后相乘即可；【詳解】，項(xiàng)對(duì)應(yīng)，，項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)為，故展開后系數(shù)為.故選：D.4．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）的展開式中所有不含的項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A． B． C．1 D．243【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，運(yùn)用賦值法進(jìn)行求解即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，若展開式中的項(xiàng)不含，則，此時(shí)符合條件的項(xiàng)為展開式中的所有項(xiàng)，令，得這些項(xiàng)的系數(shù)之和為.故選：B5．（23-24高二下·河南鄭州·期中）的展開式中，除含的項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)和為（

）A． B．299 C． D．301【答案】B【分析】先令，求出展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，然后求出項(xiàng)的系數(shù)，從而可得答案.【詳解】令得，所以的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，由為個(gè)因式相乘，要得到項(xiàng)，則五個(gè)因式中有一個(gè)因式取，一個(gè)因式取，其余三個(gè)因式取，然后相乘而得，所有的展開式中含的項(xiàng)為，所以的展開式中，除含的項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：B.【題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘展開系數(shù)問題】一、單選題1．（22-23高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B． C．28 D．【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】依題意，的系數(shù)為.故選：B2．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）若的展開式中的系數(shù)為，則a的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用二項(xiàng)展開式定理，即可求解.【詳解】因?yàn)?，的展開式的通項(xiàng)公式為所以，的展開式中的系數(shù)為，解得，故選：B.3．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．147 B． C．63 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出展開式中項(xiàng)即可列式計(jì)算即得【詳解】二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)分別為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：C4．（22-23高三下·河南安陽·開學(xué)考試）已知的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，則（

）A．?2 B．2 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理并分類討論，即可求解.【詳解】由題