2/96專題05概率、隨機(jī)變量及其分布與統(tǒng)計（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律1.條件概率與事件的獨(dú)立性1.知識目標(biāo)：掌握條件概率與獨(dú)立事件的定義、公式，理清二者區(qū)別與聯(lián)系.2.能力目標(biāo)：能識別情境，計算條件概率，判斷獨(dú)立性并求解復(fù)雜事件概率.3.素養(yǎng)目標(biāo)：提升邏輯推理與數(shù)學(xué)建模能力.1.題型：選擇、填空為主，偶為解答題鋪墊.2.重點(diǎn)：條件概率計算、獨(dú)立性判斷與概率計算.3.易錯點(diǎn)：混淆條件概率與積事件概率、誤判獨(dú)立性；趨勢：貼合實(shí)際，側(cè)重概念與公式應(yīng)用.2.隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系1.知識目標(biāo)：理解隨機(jī)變量本質(zhì)，掌握分類與事件的對應(yīng)關(guān)系.2.能力目標(biāo)：能定義變量、寫出取值與對應(yīng)事件，為分布列鋪墊.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯轉(zhuǎn)化能力.1.題型：選擇、填空小題，或解答題鋪墊.2.重點(diǎn)：變量定義、取值確定、與事件的對應(yīng)關(guān)系.3.易錯點(diǎn)：取值遺漏、事件與變量轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確；趨勢：結(jié)合實(shí)際，側(cè)重本質(zhì)理解.3.離散型隨機(jī)變量的分布列1.知識目標(biāo)：掌握分布列定義、性質(zhì)與求解步驟.2.能力目標(biāo)：能獨(dú)立求解分布列，驗(yàn)證性質(zhì)并計算事件概率.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)邏輯推理、運(yùn)算求解與數(shù)據(jù)分析能力1.題型：解答題為主，偶考選擇（求參數(shù)）.2.重點(diǎn)：分布列求解、性質(zhì)應(yīng)用、事件概率計算.3.易錯點(diǎn)：取值遺漏、概率計算錯誤、忽略性質(zhì)驗(yàn)證；趨勢：結(jié)合實(shí)際，強(qiáng)調(diào)步驟規(guī)范4.二項(xiàng)分布與超幾何分布1.知識目標(biāo)：掌握兩種分布的定義、公式與適用場景，明確核心差異.2.能力目標(biāo)：能判斷模型，計算概率、寫分布列，解決實(shí)際問題.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與邏輯辨析能力.1.題型：解答題為主，常與期望、方差結(jié)合；偶考選擇（模型判斷）.2.重點(diǎn)：模型判斷、概率計算、分布列求解、分布區(qū)分.3.易錯點(diǎn)：混淆適用場景、參數(shù)判斷失誤、組合數(shù)計算錯誤；趨勢：結(jié)合實(shí)際，強(qiáng)調(diào)模型識別.5.隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.知識目標(biāo)：理解期望、方差含義，掌握公式、性質(zhì)與常見分布特征.2.能力目標(biāo)：能計算期望、方差，運(yùn)用性質(zhì)簡化計算，結(jié)合實(shí)際決策.3.素養(yǎng)目標(biāo)：提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力1.題型：選擇、填空、解答題均有，常與分布列結(jié)合.2.重點(diǎn)：期望、方差計算與性質(zhì)應(yīng)用、決策分析.3.易錯點(diǎn)：公式記憶錯誤、忽略性質(zhì)條件；趨勢：結(jié)合實(shí)際，側(cè)重分析與決策.6.正態(tài)分布1.知識目標(biāo)：理解正態(tài)分布定義與參數(shù)意義，掌握曲線性質(zhì)、3σ原則與計算思路.2.能力目標(biāo)：能分析曲線特征，用對稱性與3σ原則計算概率、判斷異常值.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力.4.知識目標(biāo)：理解正態(tài)分布定義與參數(shù)意義，掌握曲線性質(zhì)、3σ原則與計算思路.5.能力目標(biāo)：能分析曲線特征，用對稱性與3σ原則計算概率、判斷異常值.6.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力1.題型：選擇、填空為主，偶為解答題小題.2.重點(diǎn)：正態(tài)曲線性質(zhì)、3σ原則應(yīng)用、概率計算（對稱性）.3.易錯點(diǎn)：混淆與的意義、3σ原則概率記憶錯誤；趨勢：結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，側(cè)重性質(zhì)與原則應(yīng)用.7.一元線性回歸模型1.知識目標(biāo)：掌握一元線性回歸模型的定義、核心性質(zhì)與系數(shù)計算公式.2.能力目標(biāo)：能計算回歸系數(shù)與截距，寫出回歸方程，利用方程進(jìn)行合理預(yù)測.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模能力，體會樣本估計總體思想.1.題型：解答題為主，常結(jié)合散點(diǎn)圖、數(shù)據(jù)表格考查；偶考選擇（性質(zhì)判斷）.2.重點(diǎn)：回歸系數(shù)計算、回歸方程求解、預(yù)測應(yīng)用.3.易錯點(diǎn)：系數(shù)計算公式記憶/計算錯誤、忽略樣本中心點(diǎn)性質(zhì)；趨勢：結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)（如經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、教育數(shù)據(jù)），側(cè)重模型構(gòu)建與預(yù)測應(yīng)用.8.獨(dú)立性檢驗(yàn)1.知識目標(biāo)：掌握2×2列聯(lián)表結(jié)構(gòu)、卡方統(tǒng)計量公式與獨(dú)立性判斷標(biāo)準(zhǔn).2.能力目標(biāo)：能解讀列聯(lián)表，計算卡方值，完成獨(dú)立性檢驗(yàn)并得出結(jié)論.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與邏輯推理能力，體會統(tǒng)計推斷思想.1.題型：選擇、填空或解答題小題為主，偶爾單獨(dú)成解答題.2.重點(diǎn)：列聯(lián)表解讀、卡方值計算、獨(dú)立性判斷結(jié)論表述.3.易錯點(diǎn)：卡方公式記憶錯誤、數(shù)據(jù)代入失誤、臨界值對應(yīng)概率混淆；趨勢：結(jié)合實(shí)際調(diào)查情境（如飲食與健康、學(xué)習(xí)方法與成績等），側(cè)重檢驗(yàn)流程與結(jié)論應(yīng)用.考點(diǎn)一：條件概率與事件的獨(dú)立性1.核心概念條件概率：事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率，刻畫兩事件的關(guān)聯(lián)程度.相互獨(dú)立事件：一個事件的發(fā)生與否不影響另一個事件發(fā)生的概率，是兩事件無關(guān)聯(lián)的量化描述.2.核心公式條件概率：（）獨(dú)立事件判定：獨(dú)立事件“至少一個發(fā)生”：（A、B獨(dú)立）3.易錯點(diǎn)①誤將等同于，忽略“B發(fā)生”的前提條件；②把互斥事件當(dāng)作獨(dú)立事件判斷，互斥是，獨(dú)立是概率滿足乘法關(guān)系，二者無必然聯(lián)系；③多事件獨(dú)立判斷時，遺漏“任意一個子集都滿足獨(dú)立關(guān)系”的條件.4.?？冀Y(jié)論①若A、B獨(dú)立，則與B、A與、與均獨(dú)立；②若，則“A、B獨(dú)立”等價于；③放回抽樣中，各次抽取事件相互獨(dú)立，不放回抽樣中，除特殊總體外，一般不獨(dú)立.考點(diǎn)二：隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系1.核心概念隨機(jī)變量：將隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果對應(yīng)到一個實(shí)數(shù)的變量，用于量化隨機(jī)現(xiàn)象.離散型隨機(jī)變量：取值可以一一列舉的隨機(jī)變量（如“摸球的個數(shù)”“命中的環(huán)數(shù)”）.2.核心關(guān)聯(lián)隨機(jī)變量與事件的轉(zhuǎn)化：若X為隨機(jī)變量，“”“”等均對應(yīng)具體隨機(jī)事件，如X表示“射擊命中環(huán)數(shù)”，則“”對應(yīng)事件“命中9環(huán)或10環(huán)”.3.易錯點(diǎn)①定義隨機(jī)變量時遺漏部分試驗(yàn)結(jié)果，導(dǎo)致取值不完整；②無法準(zhǔn)確將文字描述的事件轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的取值表達(dá)式（如混淆“至少2個”與“大于2個”對應(yīng)的取值范圍）.4.?？冀Y(jié)論①隨機(jī)變量的取值必須覆蓋隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；②同一隨機(jī)試驗(yàn)可定義多個隨機(jī)變量，需根據(jù)問題需求合理選擇.考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的分布列1.核心概念離散型隨機(jī)變量的分布列：列出離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及對應(yīng)概率的表格，完整刻畫隨機(jī)變量的取值規(guī)律.2.核心公式與性質(zhì)分布列性質(zhì)：①（所有概率非負(fù)）；②（所有概率和為1）指定事件概率：（x取a到b之間的所有可能值）3.易錯點(diǎn)①求解分布列時遺漏隨機(jī)變量的部分取值；②計算概率后未驗(yàn)證概率和是否為1，導(dǎo)致結(jié)果錯誤；③直接用古典概型計數(shù)時，忽略“等可能”前提條件.4.?？冀Y(jié)論①利用分布列性質(zhì)可快速求解未知參數(shù)（如已知部分概率，求剩余概率）；②分布列中所有概率之和必為1，可作為結(jié)果驗(yàn)證的核心依據(jù)；③若X為離散型隨機(jī)變量，則.考點(diǎn)四：二項(xiàng)分布1.核心概念二項(xiàng)分布：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)X服從的分布，記為，其中n為試驗(yàn)次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率（）.核心特征：①每次試驗(yàn)只有兩種對立結(jié)果（A發(fā)生或不發(fā)生）；②每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率p恒定；③各次試驗(yàn)相互獨(dú)立；④試驗(yàn)?zāi)康氖墙y(tǒng)計n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù).2.核心公式概率公式：（），其中為從n個元素中取k個的組合數(shù)，.數(shù)字特征公式：期望；方差；標(biāo)準(zhǔn)差.3.易錯點(diǎn)①誤將非獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)判定為二項(xiàng)分布（如不放回抽樣且總體有限時，不滿足獨(dú)立性，不可用二項(xiàng)分布）；②混淆參數(shù)n和p的含義（將“發(fā)生次數(shù)”當(dāng)作n，或“概率”當(dāng)作p的補(bǔ)集）；③組合數(shù)計算錯誤（如遺漏，或誤將寫成）；④忽略k的取值范圍（k需從0到n的整數(shù)，不可取小數(shù)或超出范圍的整數(shù)）.4.?？冀Y(jié)論①若，則，且，；②當(dāng)n很大、p很小時（通常，），二項(xiàng)分布可近似為泊松分布；③多個相互獨(dú)立的二項(xiàng)分布變量之和仍為二項(xiàng)分布（若，，且獨(dú)立，則）.考點(diǎn)五：超幾何分布1.核心概念超幾何分布：從含有M個特殊元素（記為“成功”元素）的N個總體元素中，無放回地抽取n個元素，抽到的特殊元素個數(shù)X服從的分布，記為，其中N為總體容量，M為總體中特殊元素個數(shù)，n為抽取樣本量.核心特征：①抽樣方式為無放回；②總體容量N有限；③各次抽樣不獨(dú)立（前次抽樣結(jié)果影響后次概率）；④試驗(yàn)?zāi)康氖墙y(tǒng)計樣本中特殊元素的個數(shù).2.核心公式概率公式：（），其中為從M個特殊元素中取k個的組合數(shù)，為從個非特殊元素中取個的組合數(shù)，為從N個總體元素中取n個的組合數(shù).數(shù)字特征公式：期望；方差.3.易錯點(diǎn)①混淆超幾何分布與二項(xiàng)分布的適用場景（將無放回抽樣誤判為二項(xiàng)分布，僅當(dāng)（通常）時，可近似為二項(xiàng)分布）；②參數(shù)N、M、n取值錯誤（如將樣本量當(dāng)作N，或特殊元素個數(shù)當(dāng)作n）；③忽略k的取值上限（k最大為，不可超過M或n）；④組合數(shù)分子分母混淆（誤將寫在分子，或遺漏）.4.常考結(jié)論①超幾何分布的期望與二項(xiàng)分布期望形式一致（），當(dāng)時，，超幾何分布的方差趨近于二項(xiàng)分布的方差；②當(dāng)時，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布，簡化概率計算；③若，則先隨k增大而增大，達(dá)到最大值后隨k增大而減小.考點(diǎn)六：隨機(jī)變量的數(shù)字特征（期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）1.核心概念期望（均值）：隨機(jī)變量X取值的平均水平，反映X取值的中心位置，記為或.方差：隨機(jī)變量X取值偏離其期望的程度，衡量取值的離散性，記為或；方差越小，取值越穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根，記為或，其單位與隨機(jī)變量X的單位一致，更直觀反映離散程度.2.核心公式離散型隨機(jī)變量通用公式：①期望（為X的可能取值，為對應(yīng)概率，）；②方差，也可簡化為（其中）.性質(zhì)公式：①期望性質(zhì)：（c為常數(shù)）；（a、b為常數(shù)）；（無論X、Y是否獨(dú)立）；若X、Y獨(dú)立，則；②方差性質(zhì)：（c為常數(shù)）；（a、b為常數(shù)）；若X、Y獨(dú)立，則；，當(dāng)且僅當(dāng)X為常數(shù)時.常見分布數(shù)字特征：①二項(xiàng)分布：，；②超幾何分布：，.3.易錯點(diǎn)①方差公式記憶錯誤（誤寫成，遺漏平方項(xiàng)）；②誤用方差性質(zhì)（將算成，忽略常數(shù)項(xiàng)方差為0且系數(shù)需平方）；③混淆期望與方差的意義（用期望判斷穩(wěn)定性，用方差判斷平均水平）；④計算時誤寫成，導(dǎo)致方差計算錯誤；⑤忽略“X、Y獨(dú)立”前提，直接使用或.4.?？冀Y(jié)論①若兩個隨機(jī)變量期望相同，方差越小，取值越穩(wěn)定，實(shí)際決策中更優(yōu)；②常數(shù)的期望等于其本身，方差為0；③若，則當(dāng)時，方差最大，最大值為；④對于任意隨機(jī)變量X，恒成立，可簡化方差計算.考點(diǎn)七：正態(tài)分布1.核心概念正態(tài)分布：連續(xù)型隨機(jī)變量的常見分布，記為，其中為均值（期望），決定正態(tài)曲線的對稱軸；為標(biāo)準(zhǔn)差（），決定曲線“胖瘦”（越小，曲線越瘦高，取值越集中；越大，曲線越矮胖，取值越分散）.正態(tài)曲線：刻畫正態(tài)分布的光滑曲線，滿足“中間高、兩邊低、關(guān)于對稱”的特征，曲線與x軸圍成的面積為1（對應(yīng)概率和為1）.2.核心公式與性質(zhì)對稱性性質(zhì)：①；②（）；③.3σ原則：①；②；③.標(biāo)準(zhǔn)化變換：若，則令，可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（均值為0，方差為1）.3.易錯點(diǎn)①混淆與的意義（誤將當(dāng)作對稱軸，或當(dāng)作離散程度參數(shù)）；②3σ原則概率值記憶錯誤（如將記為0.6827）；③誤將連續(xù)型隨機(jī)變量單點(diǎn)概率當(dāng)作非零值（連續(xù)型隨機(jī)變量單點(diǎn)概率為0，僅需計算區(qū)間概率）；④未利用對稱性簡化計算，導(dǎo)致區(qū)間概率求解復(fù)雜.4.?？冀Y(jié)論①非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布需先標(biāo)準(zhǔn)化為再計算概率；②落在外的事件為小概率事件（概率約0.0027），可視為異常值；③若、且獨(dú)立，則（線性組合仍為正態(tài)分布）；④正態(tài)曲線在處取得最大值.考點(diǎn)八：一元線性回歸模型1.核心概念一元線性回歸模型：描述自變量x與因變量y線性相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計模型，表達(dá)式為，其中為y的預(yù)測值，為回歸系數(shù)（斜率），表示x每變化1個單位時y的平均變化量；為截距，表示x=0時y的預(yù)測值.樣本中心點(diǎn)：，其中、，回歸直線必過樣本中心點(diǎn)（核心性質(zhì)）.線性相關(guān)方向：為正相關(guān)（x增大，y平均增大）；為負(fù)相關(guān)（x增大，y平均減?。?2.核心公式回歸系數(shù)與截距：①；②（利用樣本中心點(diǎn)性質(zhì)）.預(yù)測公式：已知時，y的預(yù)測值.3.易錯點(diǎn)①回歸系數(shù)公式記憶錯誤（混淆分子分母，或遺漏n）；②計算、出錯，導(dǎo)致、偏差；③誤將回歸關(guān)系當(dāng)作因果關(guān)系（僅為統(tǒng)計相關(guān)，非因果）；④顛倒x與y的位置，導(dǎo)致回歸系數(shù)意義錯誤；⑤用回歸方程外推超出樣本x取值范圍的預(yù)測值（可靠性低）.4.?？冀Y(jié)論①回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，可用于驗(yàn)證回歸方程正確性；②的符號反映相關(guān)方向，絕對值越大（相同單位下）線性相關(guān)程度越強(qiáng)；③所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上時，為完全線性相關(guān)，預(yù)測值與實(shí)際值相等；④回歸方程僅適用于樣本x的取值范圍，外推需謹(jǐn)慎.考點(diǎn)九：獨(dú)立性檢驗(yàn)1.核心概念獨(dú)立性檢驗(yàn)：判斷兩個分類變量（如“性別”與“是否喜歡運(yùn)動”）之間是否存在關(guān)聯(lián)的統(tǒng)計方法，核心是通過卡方統(tǒng)計量衡量觀測值與期望值的差異程度.2×2列聯(lián)表：整理兩個分類變量數(shù)據(jù)的表格（a、b、c、d為觀測頻數(shù)）：列聯(lián)表：整理兩個分類變量數(shù)據(jù)的表格（、、、為觀測頻數(shù)）： ，其中n為總樣本量.卡方統(tǒng)計量（）：值越大，兩個變量存在關(guān)聯(lián)的可能性越大.2.核心公式卡方統(tǒng)計量：（n為總樣本量，a、b、c、d為列聯(lián)表觀測頻數(shù)）.判斷標(biāo)準(zhǔn)：①：有95%把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)（犯錯誤概率≤0.05）；②：有99%把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)（犯錯誤概率≤0.01）；③：無足夠把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián).3.易錯點(diǎn)①卡方公式記憶錯誤（漏乘n，或誤將寫成ad-bc）；②混淆列聯(lián)表中a、b、c、d、、、的位置；③誤將“關(guān)聯(lián)”當(dāng)作“因果關(guān)系”；④臨界值對應(yīng)概率記憶錯誤（如將對應(yīng)0.05）；⑤樣本量過小（檢驗(yàn)可靠性低）.4.?？冀Y(jié)論①值越大，兩變量關(guān)聯(lián)可能性越大；②檢驗(yàn)前提是樣本具有隨機(jī)性和代表性；③變量獨(dú)立時，值趨近于0；④列聯(lián)表期望值，本質(zhì)是.題型一條件概率與事件的獨(dú)立性解｜題｜技｜巧1.選擇題（?？迹簵l件概率計算、獨(dú)立事件概率判斷）答題模板：步驟1：明確題型考點(diǎn)（判斷是條件概率還是獨(dú)立事件相關(guān)問題）；步驟2：回憶對應(yīng)公式（條件概率：（）；獨(dú)立事件判定：，“至少一個發(fā)生”概率：）；步驟3：提取題干中已知概率數(shù)據(jù)（如、、等）；步驟4：代入公式計算，結(jié)合選項(xiàng)得出答案.2.填空題（常考：獨(dú)立事件“至少一個發(fā)生”概率計算）答題模板：步驟1：判斷事件獨(dú)立性（題干明確“獨(dú)立”或“相互獨(dú)立”）；步驟2：確定對立事件（“至少一個發(fā)生”的對立事件是“全部不發(fā)生”）；步驟3：計算單個事件不發(fā)生的概率（，）；步驟4：利用獨(dú)立事件概率性質(zhì)計算對立事件概率，再用對立事件概率得出結(jié)果.3.解答題（?？迹喝怕使?、貝葉斯公式應(yīng)用）答題模板：步驟1：明確題型考點(diǎn)（判斷是全概率公式應(yīng)用還是貝葉斯公式應(yīng)用，全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，貝葉斯公式用于求后驗(yàn)概率）；步驟2：梳理已知條件，確定樣本空間的劃分（設(shè)是樣本空間的一個劃分，滿足（），，且）；步驟3：代入對應(yīng)公式計算：（1）全概率公式：，依次代入和的值，計算求和結(jié)果；（2）貝葉斯公式：，先通過全概率公式求出，再代入和的值計算；【典例1】【多選題】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A項(xiàng)，1次操作后甲、乙兩個口袋中各取一個紅球或各取一個白球即可求解；對于B項(xiàng)，1次操作后甲口袋中恰有0個紅球且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球且3次操作后甲口袋中恰有2個紅球即可求解；對于C項(xiàng)，先求，，再利用條件概率公式求解即可；對于D項(xiàng)，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可.【詳解】因在操作前，甲袋中：1紅2白，乙袋中：1紅2白.對于A項(xiàng)，要求，則1次操作后甲、乙兩個口袋中各取一個紅球或各取一個白球即可，則，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，要求，則1次操作后甲口袋中恰有0個紅球且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球且3次操作后甲口袋中恰有2個紅球，所以，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，要求，則1次操作后甲口袋中恰有0個紅球且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球，或1次操作后甲口袋中恰有1個紅球且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球，或1次操作后甲口袋中恰有2個紅球且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球，所以，要求，則1次操作后甲口袋中恰有0個紅球且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球，所以，則，故C錯誤；對于D項(xiàng)，由，，，所以，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．【典例2】（25-26高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）有兩枚硬幣A，B．假設(shè)拋硬幣時所得的結(jié)果只能為正面向上的一種，拋硬幣A正面向上的概率為，拋硬幣B正面向上的概率為p.現(xiàn)在先從兩枚硬幣中隨機(jī)選中一枚，然后拋擲若干次.(1)若，求拋一次硬幣，正面向上的概率.(2)若，在已知拋了一次硬幣，正面向上的條件下，求再拋一次硬幣得正面向上的概率.(3)如果當(dāng)連續(xù)拋硬幣k次（，）全為正面向上的前提下，可以做出論斷“選中的是B硬幣”，犯錯誤的概率不超過，則k的最小值為多少？[提示：用表示不小于x的最小整數(shù).）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）拋一次硬幣，正面向上的概率受到選擇那個硬幣的影響，可根據(jù)選擇的硬幣，將樣本空間表示為“選中硬幣A”和“選中硬幣B”兩個互斥時間的并，利用全概率公式求解；（2）先通過貝葉斯公式確定選中硬幣A或B的概率，再結(jié)合各自的正面概率，利用全概率公式算出第二次正面向上的總概率；（3）通過貝葉斯公式明確“犯錯誤的概率”的表達(dá)式，再通過不等式變形和對數(shù)運(yùn)算求解k的最小值.【詳解】（1）設(shè)事件H表示拋一次硬幣正面向上，事件A表示選中硬幣A，事件B表示選中硬幣B，則且與互斥，根據(jù)題意得，，，.由全概率公式得.因此拋一次硬幣正面向上的概率為.（2）設(shè)表示第一次正面向上，表示第二次正面向上，則用貝葉斯公式結(jié)合（1）得，.又，．給定硬幣類型，拋擲獨(dú)立，故.因此，所求概率為.（3）事件F：“連續(xù)拋k次全為正面向上”，則“犯錯誤的概率”即為，硬幣A連續(xù)k次正面向上的概率，硬幣B連續(xù)k次正面向上的概率.根據(jù)貝葉斯公式.此值不超過，即.即，，由，得，所以，得.取自然對數(shù)并由于，.因此，k的最小值為不小于該值的最小整數(shù)：.【變式1】【多選題】（2025高三上·江蘇南通·專題練習(xí)）隨機(jī)事件A，B滿足其中和分別指事件A和B的概率，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．事件A與B不獨(dú)立 D．【答案】BC【分析】根據(jù)已知聯(lián)立方程求出，，然后根據(jù)概率的相關(guān)公式逐一判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：，，，，，聯(lián)立，解得，選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：，，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：，，，，事件A與B不獨(dú)立，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：，而，選項(xiàng)D錯誤.故選：BC.【變式2】【多選題】（24-25高二下·湖北黃岡·月考）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復(fù)次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A項(xiàng)，重復(fù)一次操作，甲袋中有1紅的情況有兩種，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計算即得；對于B、C，運(yùn)用積事件的概率公式計算即得；對于D項(xiàng)，運(yùn)用和事件的概率公式計算即得.【詳解】因在操作前，甲袋中：1紅2白，乙袋中：1紅2白．對于項(xiàng)，要求，則1次操作后甲、乙兩個口袋中各取一個紅球或各取一個白球即可，則，故項(xiàng)正確；對于項(xiàng)，要求，則1次操作后甲口袋中恰有0個紅球，且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球，且3次操作后甲口袋中恰有2個紅球，所以，故項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，要求，則1次操作后甲口袋中恰有0個紅球，且2次操作后甲口袋中恰有1個紅球，所以，故C錯誤；對于D項(xiàng)，由，，，所以，故D項(xiàng)正確．故選：．【變式3】（24-25高二下·湖北省直轄縣級單位·期末）已知一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的，.已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為.(1)現(xiàn)從這批產(chǎn)品中按等比例分層抽樣抽出10件產(chǎn)品，再從這10件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進(jìn)行檢測，記事件“第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的”，“第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，分別求；(2)現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知它是次品，求這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率公式及全概率公式計算求解；（2）應(yīng)用全概率公式及貝葉斯公式計算求解.【詳解】（1）抽出的10件產(chǎn)品中，甲、乙、丙三名工人分別生產(chǎn)了3，4和3件，事件“第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的”，“第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，所以；（2）分別記事件A、B、C表示抽取的一個零件為甲、乙、丙生產(chǎn)的，記事件：抽取的一個零件為次品，由題意可得，，由全概率公式可得，所以，即任取一個零件，已知它是次品，這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率為.題型二隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系答｜題｜模｜板1.填空題（常考：隨機(jī)變量與事件的轉(zhuǎn)化、對立事件概率關(guān)系）答題模板：步驟1：明確隨機(jī)變量的定義（厘清隨機(jī)變量所表示的實(shí)際意義，如“紅球個數(shù)”“次品個數(shù)”）；步驟2：實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量與事件的轉(zhuǎn)化（將“”“”“”等轉(zhuǎn)化為具體文字描述的事件，如“”對應(yīng)“至少1個紅球”）；步驟3：判斷概率關(guān)系（利用對立事件性質(zhì)：，）；步驟3：判斷概率關(guān)系（利用對立事件性質(zhì)：，）；步驟4：規(guī)范書寫轉(zhuǎn)化后的事件及概率關(guān)系.【典例1】（24-25高二下·河北邢臺·月考）下列是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．種子含水量的測量誤差B．某品牌電視機(jī)的使用壽命C．某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)D．測量某一零件的長度產(chǎn)生的測量誤差【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量是可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量，對于A，種子含水量的測量誤差不能一一列舉，故不是離散型隨機(jī)變量；對于B，某品牌電視機(jī)的使用壽命不能一一列舉，故不是離散型隨機(jī)變量；對于C，某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)能一一列舉，是離散型隨機(jī)變量；對于D，測量某一零件的長度產(chǎn)生的測量誤差不能一一列舉，故不是離散型隨機(jī)變量．故選：C.【典例2】（24-25高二下·河南鄭州·期末）某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．第2次投籃命中 B．第3次投籃未命中C．前3次投籃均未命中 D．前2次投籃均未命中，第3次投籃命中【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的意義即可判斷.【詳解】根據(jù)變量的意義可知：表示前2次投籃均未命中，第3次投籃命中.故選：D.【變式1】【多選題】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）（多選）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)B．某無線電尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)C．一天之內(nèi)的溫度D．一位射擊手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用表示該射擊手在一次射擊中的得分【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的定義，即可求解.【詳解】A，B，D中的可以取的值可以一一列舉出來，可以作為離散型隨機(jī)變量，而C中的可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，屬于連續(xù)型，不能作為離散型隨機(jī)變量.故選：ABD.【變式2】【多選題】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）將一個骰子擲兩次，能作為隨機(jī)變量的是（

）A．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和 B．兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)C．第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差 D．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)【答案】ABC【分析】由隨機(jī)變量的概念逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】將一個骰子擲兩次，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是一個變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，所以是一個隨機(jī)變量，A正確；兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)，為隨機(jī)變量，B正確；第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差也都是隨機(jī)變量，C正確；兩次擲出的點(diǎn)數(shù)不是一個變量，是一個數(shù)對，D錯；故選：ABC【變式3】（24-25高二·全國·課堂例題）下面給出三個隨機(jī)變量：①某地110報警臺1分鐘內(nèi)接到的求救電話的次數(shù)；②某森林樹木的高度在（單位：）這一范圍內(nèi)變化，測得某一樹木的高度；③某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和．其中離散型隨機(jī)變量有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷即可.【詳解】由離散型隨機(jī)變量的定義可知①③中的隨機(jī)變量都是可以一一列舉出來的，故均勻離散型隨機(jī)變量，而②中的隨機(jī)變量可以取內(nèi)的任意值，無法一一列舉，故它不是離散型隨機(jī)變量．故選：C.題型三離散型隨機(jī)變量的分布列答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹悍植剂行再|(zhì)應(yīng)用、指定事件概率計算）答題模板：步驟1：利用分布列性質(zhì)求未知參數(shù)（若分布列含未知量，根據(jù)“所有概率和為1”列方程求解，注意驗(yàn)證概率非負(fù)）；步驟2：計算指定區(qū)間的概率（若求，累加對應(yīng)的概率；若求或，優(yōu)先用對立事件或計算，簡化運(yùn)算）；步驟2：計算指定區(qū)間的概率（若求，累加對應(yīng)的概率；若求或，優(yōu)先用對立事件或計算，簡化運(yùn)算）；步驟3：規(guī)范書寫解題過程，明確各步驟依據(jù)（如“由分布列性質(zhì)可知”“根據(jù)對立事件概率公式”）.【典例1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知隨機(jī)變量，均服從兩點(diǎn)分布，且，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由條件概率計算公式即可.【詳解】由于服從兩點(diǎn)分布，且，因此.由全概率公式得，即，所以，由條件概率計算公式得.故選：D【典例2】（25-26高二上·廣東佛山·月考）甲、乙是兩名射擊運(yùn)動員，根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，甲一次射擊命中10、9、8環(huán)的概率分別為、、，乙一次射擊命中10、9環(huán)的概率分別為、．一輪射擊中，甲、乙各射擊一次．甲、乙射擊相互獨(dú)立，每次射擊也互不影響．(1)在一輪射擊中，求甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率；(2)記一輪射擊中，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為，求的值，和X對應(yīng)的概率；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1）設(shè)一次射擊后，甲命中的環(huán)數(shù)為，乙命中的環(huán)數(shù)為，由題意可，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式與互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；(2）由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有17、18、19、20，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計算得出隨機(jī)變量在不同取值下的概率．【詳解】（1）設(shè)一次射擊后，甲命中的環(huán)數(shù)為，乙命中的環(huán)數(shù)為，則甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)為；（2）題意可知隨機(jī)變量的可能取值有17、18、19、20，，，，．【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫為AI，是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動力量，是研究?開發(fā)用于模擬?延伸和擴(kuò)展人的智能的理論?方法?技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的技術(shù)科學(xué).如今利用“人工智能”的場景屢見不鮮，從幫助記憶單詞?解答難題?到人機(jī)比賽，它的身影無處不在.小明和智能機(jī)器人進(jìn)行一場“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則為：比賽采用三局兩勝制（率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利，且比賽結(jié)束），已知小明第一局獲勝的概率為.從第二局開始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為，每局比賽均沒有平局.(1)求小明以獲得比賽勝利的概率；(2)在小明以獲得比賽勝利的條件下，求在第二局比賽中小明獲勝的概率；(3)記整場比賽小明的獲勝局?jǐn)?shù)為，求的分布列.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析【分析】（1）令事件表示“小明以獲得比賽勝利”，利用獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件概率公式即可求解；（2）令事件表示“在第二局比賽中小明獲勝”，求，利用條件概率公式即可求解；（3）先求的可能取值，再求對應(yīng)的概率即可求解.【詳解】（1）令事件表示“小明以獲得比賽勝利”，所以；（2）令事件表示“在第二局比賽中小明獲勝”，所以，所以；（3）由題意有的可能取值為，所以，，，所以的分布列為：【變式2】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）一個不透明的口袋中裝有3個紅球?3個黃球和2個白球，這些球除顏色外其他完全相同，現(xiàn)從這個口袋中一次性地摸出3個球.(1)求摸出的白球個數(shù)比黃球個數(shù)多的概率；(2)記摸出的球的顏色種類為，求的分布列.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)互斥事件的概率加法公式和古典概率公式計算即可；（2）確定的所有可能取值為1，2，3，分別求出對應(yīng)事件的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）由摸出的白球個數(shù)比黃球個數(shù)多，可知摸出的球可能為2個白球和1個黃球（或1個紅球），可能為1個白球和2個紅球，其中摸出2個白球和1個黃球（或1個紅球）的概率為，摸出1個白球和2個紅球的概率為，故摸出的白球個數(shù)比黃球個數(shù)多的概率為.（2）由題可知，的所有可能取值為1，2，3，，，，則的分布列為123【變式3】（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量均服從兩點(diǎn)分布，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩點(diǎn)分布分別求得的概率，再，由求出，由條件概率公式計算.【詳解】隨機(jī)變量均服從兩點(diǎn)分布，，，又，，由條件概率公式，故選：D.題型四二項(xiàng)分布答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹憾?xiàng)分布分布列求解、指定事件概率計算、期望與方差計算）答題模板：步驟1：判斷分布類型（明確試驗(yàn)滿足“n次獨(dú)立重復(fù)、每次兩結(jié)果、概率恒定”，確定，標(biāo)注n、p的值）；步驟2：求分布列（根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式（），依次計算k取不同值時的概率，整理成表格形式）；步驟2：求分布列（根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式（），依次計算k取不同值時的概率，整理成表格形式）；步驟3：計算指定事件概率（如“不少于k次”即累加到的概率，可結(jié)合對立事件簡化計算）；步驟4：求期望與方差（直接代入二項(xiàng)分布專用公式：，，，無需重復(fù)推導(dǎo)）；步驟5：規(guī)范書寫，標(biāo)注分布類型、公式依據(jù)及計算過程.【典例1】（25-26高二上·遼寧·期末）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于個元件正常工作時，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運(yùn)行的概率，表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.(1)若，當(dāng)時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為件，每件產(chǎn)品的利潤為元，設(shè)備升級后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為（單位：元）.（i）請用表示；（ii）設(shè)備升級后，已知該企業(yè)現(xiàn)有控制系統(tǒng)中有5個元件，若增加2個元件，則單位時間內(nèi)的利潤是否提高.【答案】(1)分布列見解析，，(2)（i）；（ii）若，增加2個元件后利潤提高；若時，增加2個元件后利潤沒有提高.【分析】（1）由題意可知，利用二項(xiàng)分布求解即可求得期望，根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）（i）先寫出升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列，求出設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤，即為；（ii）分以下三種情況討論：①原系統(tǒng)中至少有4個元件正常工作；②原系統(tǒng)中恰好有3個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作；③原系統(tǒng)中恰好有2個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，再對三種情況進(jìn)行求和，得到，計算，與作比較，再根據(jù)判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)椋钥刂葡到y(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的可能取值為，因?yàn)槊總€元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，（2）（i）升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運(yùn)行概率所以升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的期望為，所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤（單位：元）21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為，即.（ii）若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有4個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有3個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中恰好有2個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為.所以，則，所以當(dāng)時，，即增加2個元件設(shè)備正常工作的概率變大；當(dāng)時，，即增加2個元件設(shè)備正常工作的概率沒有變大.又因?yàn)?，所以?dāng)時，增加2個元件后利潤提高；當(dāng)時，增加2個元件后利潤沒有提高.【典例2】（25-26高三上·貴州貴陽·期中）2025年9月，全國“城超”足球比賽在貴陽舉辦，比賽期間還開展文旅會客廳、特色市集等活動.其旨為響應(yīng)國家全民健身戰(zhàn)略，契合城市發(fā)展，展現(xiàn)貴陽魅力，實(shí)現(xiàn)“體育+文旅”多元共贏.為了增進(jìn)省外觀眾對貴州文化的了解，從參加配套文旅活動的省外觀眾中，隨機(jī)抽取150人，開展貴州文旅知識問答活動，該活動共有，，三道試題，全部答完后，至少答對2道試題，則可獲得獎勵總決賽門票一張.假設(shè)每人答對這3道試題的概率分別為，，，且每人答對各道試題與否互不影響.(1)求觀眾甲通過文旅知識問答活動獲得總決賽門票的概率；(2)設(shè)通過文旅知識問答活動獲得總決賽門票有個人的概率為，求取得最大值時的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)古典概型的知識進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式列出不等式方程組，求出最值.【詳解】（1）設(shè)“觀眾甲通過文旅知識問答活動獲得總決賽門票”為事件，則因此，觀眾甲通過文旅知識問答活動獲得總決賽門票的概率為.（2）由（1）知，則，，由題意：，即解得，故時，取到最大值為.【變式1】（25-26高三上·寧夏固原·開學(xué)考試）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可知，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響．現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點(diǎn)投籃活動，每輪次各投2個球，每投進(jìn)一個球記1分，不投進(jìn)記分．(1)求甲在一個輪次投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率；(2)記甲、乙每輪次投籃得分之和為X．①求；②若，則稱該輪次為一個“成功輪次”．在連續(xù)輪次的投籃活動中，記“成功輪次”的數(shù)量為Y，當(dāng)n為何值時，的值最大？【答案】(1)；(2)①；②或或．【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化成甲在一輪投籃中至多命中一次，再利用對立事件和相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求解；（2）①由條件可得，再結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式及互斥事件概率加法公式求結(jié)論；②根據(jù)條件，得到，再由為不等式組的解，即可求.【詳解】（1）甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于，即甲在一輪投籃中至多命中一次，所以甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率為.（2）①．②由①知，由題知，所以，由，得到且，整理得到，即，得到，所以，由題有，所以，得到，又，所以或或.【變式2】（25-26高三上·云南·期中）有一個翻牌游戲，規(guī)則如下：每一輪翻牌兩次，每次翻出花色牌的概率為，且每次翻牌相互獨(dú)立.若參與者在一輪翻牌游戲中，翻出的花色牌數(shù)不少于1，則獲得一份精美禮品（多次參與可獲得多份精美禮品）.(1)若甲參與一輪翻牌游戲，求甲獲得一份精美禮品的概率；(2)若乙參與三輪翻牌游戲，設(shè)乙獲得的精美禮品數(shù)量為，求的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式及對立事件概率公式計算求解；（2）應(yīng)用二項(xiàng)分布寫出概率，再寫出分布列，最后應(yīng)用公式計算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）甲獲得一份精美禮品的概率為.（2）由題意得，則，，，，所以的分布列為0123.【變式3】（24-25高二下·福建泉州·期末）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則．

【答案】【分析】首先設(shè)該質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)為，則，然后根據(jù)已知找到滿足條件的的取值，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布求解概率即可.【詳解】設(shè)該質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)為，則，，若，則滿足條件的的值為，對應(yīng)的取值分別為.所以.故答案為：.題型五超幾何分布答｜題｜模｜板1.填空題（?？迹撼瑤缀畏植寂袛唷⒅付ǜ怕视嬎悖┐痤}模板：步驟1：判斷分布類型（明確試驗(yàn)為“無放回抽樣、總體有限”，確定，標(biāo)注N（總體容量）、M（特殊元素個數(shù)）、n（抽樣個數(shù)））；步驟2：計算指定概率（代入超幾何分布概率公式，注意k的取值范圍為）；步驟2：計算指定概率（代入超幾何分布概率公式，注意k的取值范圍為）；步驟3：規(guī)范書寫分布類型（含參數(shù)）及概率結(jié)果.2.解答題（?？迹撼瑤缀畏植既≈捣秶⒏怕视嬎?、期望求解）答題模板：步驟1：確定隨機(jī)變量取值（根據(jù)和，列出X的所有可能取值）；步驟1：確定隨機(jī)變量取值（根據(jù)和，列出X的所有可能取值）；步驟2：計算指定概率（代入超幾何概率公式，準(zhǔn)確計算組合數(shù)，可簡化分式后再運(yùn)算）；步驟3：求期望（代入超幾何分布期望公式，直接計算，無需重復(fù)推導(dǎo)）；步驟4：規(guī)范書寫解題過程，明確分布判斷依據(jù)和公式應(yīng)用.【典例1】（25-26高三上·山東濰坊·月考）某地區(qū)從高一年級的物理測試中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的物理成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計該地區(qū)本次物理測試的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)該地區(qū)某學(xué)校建議此次物理測試成績在本地區(qū)前60%的學(xué)生選科報物理方向，試估計報物理方向的學(xué)生本次成績不低于多少分？（結(jié)果保留整數(shù)）(3)從成績位于區(qū)間和的答卷中，采用分層抽樣隨機(jī)抽取7份，再從這7份中隨機(jī)抽取3份，設(shè)成績在的答卷份數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)74分(2)72分(3)分布列見解析，【分析】（1）將每個矩形底邊中點(diǎn)值與各矩形面積相乘，再將所得數(shù)據(jù)相加即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)即可；（3）利用分層抽樣原理，求得、兩區(qū)間內(nèi)分別抽取了多少份，再結(jié)合超幾何分布即可求解．【詳解】（1）由題意，解得，則平均分，所以該地區(qū)本次物理測試的平均分為74分．（2）成績在的頻率為0.1，在的頻率為0.25，在的頻率為0.3，因?yàn)?，，所以選報物理方向的最低分x在內(nèi)，則，解得，所以估計報物理方向的學(xué)生本次成績不低于72分．（3）由題可知，成績在區(qū)間的頻數(shù)為，成績在區(qū)間的頻數(shù)為，利用分層抽樣，從中抽取7份，成績在的頻數(shù)為，成績在的頻數(shù)為，再從這7份答卷中隨機(jī)抽取3份，X的所有可能取值為0，1，2，，，，故X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學(xué)期望為：．【典例2】（24-25高二下·福建福州·期末）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)科夏令營活動．(1)若參加數(shù)學(xué)學(xué)科夏令營的7名中學(xué)生中恰有3人來自中學(xué)，從這7名中學(xué)生中選取3名中學(xué)生，求選取的中學(xué)生中來自中學(xué)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營活動中，物理學(xué)科舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，．假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響．（i）求甲、乙兩位同學(xué)所在組每輪答題中取勝的概率；（ii）當(dāng)時，求的最大值．【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）【分析】（1）由題意知，的可能取值有，，，，根據(jù)超幾何分布列列出分布列計算期望即可；（2）（i）由題知甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則，然后計算取勝的概率；（ii）由，令，，然后求最值即可.【詳解】（1）由題意知，的可能取值有，，，，，，，所以的分布列為：0123（2）（i）因?yàn)榧?、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則，設(shè)“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”，則（ii）因?yàn)椋杂?，又，所以，則，又，所以，設(shè)，所以，因，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時取最大值，故甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為．【變式1】（22-23高三上·海南·月考）全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行．為做好考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在[80，90)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【答案】(1)，中位數(shù)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，結(jié)合中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型公式、數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，由頻率分布直方圖可知：前兩組頻率之和為，前三組頻率之和為，設(shè)中位數(shù)為，則.，解得.所以，估計這50名學(xué)生成績中位數(shù)為68.（2）的三組頻率之比為，又在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三組中總共抽取了11人，從中分別抽取7人，3人，1人.由題知，從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在[80，90)的人數(shù)，所有可能取值為0，1，2，3；且，，，.故的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望【變式2】（24-25高一下·上?！て谀﹫D為某平臺向100名觀眾征集某電影的評分結(jié)果的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)估計這100名觀眾評分的平均數(shù)；(3)從評分在和的觀眾中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，求被抽到的3人中評分在的人數(shù)的分布、期望和方差．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，，【分析】（1）利用所有小長方形的面積和為1可得答案.（2）將每個矩形的中點(diǎn)乘以每個矩形的高再乘以10后相加可估計平均數(shù).（3）求出的可能取值及對應(yīng)的概率可得分布列，再由期望公式計算可得答案.【詳解】（1）由題意可得：，解得：.（2）估計這100名觀眾評分的平均數(shù)為：.（3）評分在的觀眾人數(shù)為：，評分在的觀眾人數(shù)為：.按照分層抽樣的方法，從評分在和的觀眾中抽取7人，則評分在的觀眾人數(shù)為3人，在的觀眾人數(shù)為4人.所以的值可能為：0,1,2,3.且，，，.所以的分布列如下：0123所以：..【變式3】【多選題】（24-25高二下·河南商丘·月考）袋中有8個大小相同的球，其中3個黑球、5個白球.現(xiàn)從中任取4個球，記這4個球中黑球的個數(shù)為，則（

）A．隨機(jī)變量服從超幾何分布B．C．D．記這4個球中白球的個數(shù)為，則【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)超幾何分布的定義即可求解；對于B，求出和即可求解；對于C，根據(jù)即可求解；對于D，根據(jù)即可求解.【詳解】對于A，超幾何分布的定義為從含個成功元素中無放回抽取個，成功次數(shù)服從超幾何分布，符合定義，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以，故C錯誤；對于D，因?yàn)椋蔇正確.故選：ABD.題型六隨機(jī)變量的數(shù)字特征（期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）答｜題｜模｜板1.選擇題（?？迹弘x散型隨機(jī)變量期望、方差計算）答題模板：步驟1：提取分布列數(shù)據(jù)（明確隨機(jī)變量的所有可能取值及對應(yīng)概率）；步驟1：提取分布列數(shù)據(jù)（明確隨機(jī)變量的所有可能取值及對應(yīng)概率）；步驟2：計算期望（代入通用公式，依次計算并求和）；步驟2：計算期望（代入通用公式，依次計算并求和）；步驟3：計算方差（代入通用公式，或簡化公式，優(yōu)先選簡化公式減少運(yùn)算量）；步驟3：計算方差（代入通用公式，或簡化公式，優(yōu)先選簡化公式減少運(yùn)算量）；步驟4：對比選項(xiàng)，得出答案.2.解答題（?？迹豪闷谕?、方差性質(zhì)計算）答題模板：步驟1：明確已知分布類型（如二項(xiàng)分布），求原隨機(jī)變量的期望和方差和方差（直接用對應(yīng)分布的專用公式）；步驟2：回憶期望、方差性質(zhì)（，，常數(shù)的期望為自身、方差為0）；步驟2：回憶期望、方差性質(zhì)（，，常數(shù)的期望為自身、方差為0）；步驟3：代入性質(zhì)公式計算目標(biāo)隨機(jī)變量（如）的和；步驟3：代入性質(zhì)公式計算目標(biāo)隨機(jī)變量（如）的和；步驟4：規(guī)范書寫，標(biāo)注公式依據(jù)（如“由期望性質(zhì)可知”“由二項(xiàng)分布期望公式可得”）.【典例1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）某學(xué)校擬建立一座教學(xué)樓，采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計院聘請專家設(shè)計了一個招標(biāo)方案：兩家公司從6個招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個問題，已知這6個招標(biāo)問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．分別求甲、乙兩家公司答對題數(shù)的分布列，請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標(biāo)成功的可能性更大？【答案】答案見詳解【分析】甲公司利用超幾何分布進(jìn)行求解，乙公司利用二項(xiàng)分布進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)甲公司答對題數(shù)為，則的取值為，，，，的分布列為則，；設(shè)乙公司答對題數(shù)為，則的取值為，，，，，的分布列為則，；，，甲公司競標(biāo)成功的可能性更大.【典例2】【多選題】（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布得，再根據(jù)期望和方差公式以及性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，故A正確；，故D錯誤；，故B正確；，故C錯誤.故選：AB【變式1】（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，期望；(3)【分析】（1）從表格中可以發(fā)現(xiàn)甲獲勝的場數(shù)為3場，從而得到甲獲勝的概率；（2）從表格中可以發(fā)現(xiàn)在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場。乙得分大于丙得分的場數(shù)的取值為0，1，2，通過超幾何分布的知識點(diǎn)，得到的分布列及數(shù)學(xué)期望.（3）通過題目條件得到10場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，因?yàn)榧住⒁摇⒈@勝的場數(shù)符合二項(xiàng)分布，從而得到方差，，的大小關(guān)系.【詳解】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設(shè)表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場比賽，而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以，，，故.【變式2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）變量的分布列如下：01其中，若，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)概率和為1、、列方程組求解a、b、c的值，再根據(jù)方差的定義求解即可．【詳解】依題意，解得，，，所以．故答案為：．【變式3】【多選題】（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若，則下列結(jié)論可能正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】先求的分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式得即可判斷AB，利用方差公式得進(jìn)而判斷CD.【詳解】隨機(jī)變量可能的取值為2，3．．．故的分布列為：23故，因?yàn)?，故，故A正確，B錯誤．而，令，因?yàn)?，故，此時，必成立，故C錯誤，D正確．故選：AD．題型七正態(tài)分布答｜題｜模｜板1.選擇題（?？迹赫龖B(tài)分布對稱性應(yīng)用、概率計算）答題模板：步驟1：明確正態(tài)分布參數(shù)（由，確定對稱軸，記?。徊襟E1：明確正態(tài)分布參數(shù)（由，確定對稱軸，記?。?；步驟2：利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間（如，）；步驟2：利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間（如，）；步驟3：結(jié)合已知概率計算目標(biāo)概率（如）；步驟3：結(jié)合已知概率計算目標(biāo)概率（如）；步驟4：對比選項(xiàng)，得出答案.2.解答題（?？迹赫龖B(tài)分布參數(shù)識別、3σ原則應(yīng)用、概率計算）答題模板：步驟1：識別和（由直接得出，）；步驟1：識別和（由直接得出，）；步驟2：應(yīng)用3σ原則（明確、等區(qū)間，直接套用已知概率值：，）；步驟2：應(yīng)用3σ原則（明確、等區(qū)間，直接套用已知概率值：，）；步驟3：計算特殊區(qū)間概率（如“超過”，利用對稱性和3σ原則，）；步驟3：計算特殊區(qū)間概率（如“超過”，利用對稱性和3σ原則，）；步驟4：規(guī)范書寫，標(biāo)注參數(shù)含義和3σ原則依據(jù).【典例1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】越小，正態(tài)密度曲線越“高瘦”，可知選項(xiàng)A正確；根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，可判斷BCD正誤．【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)闉閿?shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在均值附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于選項(xiàng)B：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于選項(xiàng)C：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，，若越小，?shù)據(jù)在均值附近越集中，則，即，所以該物理量在一次測量中落在與落在的概率不相等，故D錯誤.故選：D.【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知隨機(jī)變量，設(shè)函數(shù).若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正態(tài)分布對稱性可得，進(jìn)而得到，再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)最值即可求解．【詳解】因?yàn)?，易知單調(diào)遞增，由正態(tài)分布的對稱性可知，所以，由，得，所以,即的最小值為，故選：B．【變式1】（25-26高三上·湖北黃岡·期中）已知隨機(jī)變量，，且，若，則（

）A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21【答案】B【分析】利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)求出，再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】由題意得，則，因?yàn)椋?，即，解得，由題意得，由對稱性可得，則，故B正確.故選：B【變式2】（25-26高三上·湖南長沙·月考）某高中學(xué)校計劃通過體質(zhì)測試，了解學(xué)生體質(zhì)健康水平．規(guī)定按照成績由高到低，前的學(xué)生測試成績記為“優(yōu)秀”．為了了解本次體質(zhì)測試情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，得分取正整數(shù)，）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計，將成績進(jìn)行整理后，分為六組（如圖）：(1)求的值并估計記為“優(yōu)秀”的最低分?jǐn)?shù)；(2)如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績?yōu)楹偷膶W(xué)生中共抽取8人，再從8人中選4人，記4人中成績不合格（成績低于60分）的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與期望；(3)經(jīng)統(tǒng)計，高中生體質(zhì)測試成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得．體質(zhì)監(jiān)測中心計劃從全市抽取名高中生進(jìn)行體質(zhì)測試，記這名高中生的體質(zhì)測試成績恰好落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則．【答案】(1)，88分(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求出，進(jìn)而可求出“優(yōu)秀”的最低分?jǐn)?shù)；（2）先求出每一層的分?jǐn)?shù)，再求出的可能取值及對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式或超幾何的期望公式，即可求出期望；（3）利用正態(tài)分布的性質(zhì)得，根據(jù)題設(shè)有，再由二項(xiàng)分布的期望計算公式，即可求解.【詳解】（1）由圖可知，解得.因?yàn)?，則成績由高到低的前分?jǐn)?shù)線必在之間，設(shè)分?jǐn)?shù)線為，則，得，則記為“優(yōu)秀”的最低分?jǐn)?shù)為88分.（2）樣本成績位于和的比例為，故所抽取的個人中，來自的人數(shù)為，來自的人數(shù)為，來自的人數(shù)為，則的所有可能取值為1，2，3，4．，，所以的分布列為1234方法一：.方法二：服從參數(shù)的超幾何分布，故.（3）由題意得，，由，所以，所以，所以高中生的體質(zhì)測試成績恰好落在區(qū)間內(nèi)的概率約為0.8186，故，所以.【變式3】【多選題】（2025·福建三明·模擬預(yù)測）已知某精密儀器測量金屬薄片的誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取10個測量數(shù)據(jù)，設(shè)為這10個數(shù)據(jù)誤差在之外的個數(shù)，下列說法正確的是（已知若隨機(jī)變量，則）（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題意得，進(jìn)而求即可判斷A，根據(jù)二項(xiàng)分布即可判斷B，根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式即可判斷C，利用二項(xiàng)分布計算即可判斷D.【詳解】由題意有，所以，故A正確；又為這10個數(shù)據(jù)誤差在之外的個數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，即，故B錯誤；由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式可得，故C正確；由二項(xiàng)分布的概率公式可得，故D正確.故選：ACD.題型八一元線性回歸模型答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹簶颖局行狞c(diǎn)計算、回歸直線方程求解、預(yù)測應(yīng)用）答題模板：步驟1：計算樣本中心點(diǎn)（代入均值公式：，，準(zhǔn)確計算求和結(jié)果）；步驟1：計算樣本中心點(diǎn)（代入均值公式：，，準(zhǔn)確計算求和結(jié)果）；步驟2：求解回歸系數(shù)和截距（代入回歸系數(shù)公式，或簡化公式；再由計算截距）；步驟2：求解回歸系數(shù)和截距（代入回歸系數(shù)公式，或簡化公式；再由計算截距）；步驟3：寫出回歸直線方程（規(guī)范表示為）；步驟3：寫出回歸直線方程（規(guī)范表示為）；步驟4：進(jìn)行預(yù)測（將目標(biāo)代入回歸方程，計算，并說明預(yù)測意義）；步驟5：規(guī)范書寫，標(biāo)注公式依據(jù)，保留適當(dāng)計算精度.【典例1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）我國某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人員為了解仙人掌的植株高度(單位：)，與其根莖長度(單位：)之間是否存在線性相關(guān)的關(guān)系，通過采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù)：樣本編號1234根莖長度10121416植株高度6286112132參考數(shù)據(jù)：，，.(1)由上表數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)，并說明是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系(若，則可用線性回歸模型擬合，計算結(jié)果精確到0.001)；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為，【答案】(1)，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；(2)【分析】（1）求出，，，，根據(jù)，可判斷出可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2）求出和，從而得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.【詳解】（1），，，，，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2），，故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.【典例2】【多選題】（25-26高三上·福建福州·月考）某社會機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了某市四所大學(xué)年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)如表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)x（千人）345m自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y（千人）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)關(guān)于畢業(yè)生人數(shù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．y與x正相關(guān)B．C．當(dāng)時，殘差為D．樣本的相關(guān)系數(shù)r為負(fù)數(shù)【答案】AB【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)，結(jié)合已知條件逐一分析各選項(xiàng)，對相關(guān)性、相關(guān)系數(shù)、殘差等進(jìn)行判斷．【詳解】經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，斜率為，函數(shù)單調(diào)遞增，y隨著x的增大而增大，即y與x正相關(guān)，故A正確；樣本中心點(diǎn)必在回歸線方程上，，將代入回歸方程，得，解得，，解得，故B正確；當(dāng)時，預(yù)測值，實(shí)際值為，殘差，故C錯誤；經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，斜率為，樣本的相關(guān)系數(shù)，故D錯誤．故選：AB．【變式1】（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測）現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年前八個月的物流成本（單位：萬元）和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下表所示：月份12345678物流成本8383.58086.58984.57986.5利潤114116106122132114132殘差0.20.61.8-3-1-4.6根據(jù)最小二乘法公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.(1)求的值，并利用已知的經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出8月份對應(yīng)的殘差值；(2)請先求出線性回歸模型的決定系數(shù)（精確到0.0001），若根據(jù)非線性模型求得解釋變量（物流成本）對于響應(yīng)變量（利潤）的決定系數(shù)，請說明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好.參考公式及數(shù)據(jù)：，，.【答案】(1)，；(2)，擬合程度更好.【分析】（1）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程過樣本中心點(diǎn)，先由經(jīng)驗(yàn)回歸方程和的平均數(shù)，求出的平均數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)的定義求出；然后根據(jù)殘差定義計算8月份的殘差.（2）先求出殘差平方和，再代入公式計算，最后與非線性回歸模型的比較大小，即可判斷.【詳解】（1）因?yàn)?，，，則，解得；8月份對應(yīng)的殘差值.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以線性回歸模型擬合程度更好.【變式2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）有一種速度叫中國速度，有一種驕傲叫中國高鐵.高鐵可以說是中國的一張行走的名片.截至2020年，中國高鐵運(yùn)營里程已經(jīng)達(dá)到3.9萬千米.2013年至2020年中國高鐵每年的運(yùn)營里程統(tǒng)計如下表，它反映了中國高鐵的飛速發(fā)展.年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678運(yùn)營里程y/萬千米1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面的問題.(1)甲同學(xué)用曲線來擬合，并算出相關(guān)系數(shù)；乙同學(xué)用曲線來擬合，并算出轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對應(yīng)的相關(guān)系數(shù).請判斷哪一個更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型，并說明理由.(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程.（系數(shù)精確到0.1）(3)請你利用得到的模型，預(yù)測2030年中國高鐵的運(yùn)營里程將達(dá)到多少萬千米.參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)，公式為；參考數(shù)據(jù)：，令，.【答案】(1)乙同學(xué)的更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型，理由見解析(2)(3)17.25【分析】（1）比較已知的相關(guān)系數(shù)的大小；（2）由已知數(shù)據(jù)求出，結(jié)合回歸方程變形為，求出d和，從而可求出回歸方程；（3）利用非線性回歸方程進(jìn)行估計.【詳解】（1）因?yàn)?，所以乙同學(xué)的更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型.（2），由得，即.則，，所以.（3）2030年對應(yīng)的年份代碼，代入（2）中的y關(guān)于x的回歸方程，得.故預(yù)測2030年中國高鐵運(yùn)營里程將達(dá)到17.25萬千米.【變式3】【多選題】（24-25高二下·山東棗莊·期末）某地新開了一條夜市街，每晚最多能接納10萬人.主辦公司計劃通過廣告宣傳提高客流量.通過調(diào)研，發(fā)現(xiàn)投入的廣告費(fèi)x與每晚客流量y存在如下關(guān)系：x/萬元12345y/千人568.1914.5附，，，，令，，，.現(xiàn)用曲線擬合變量x與y的相關(guān)關(guān)系，并利用一元線性回歸模型求參數(shù)，的最小二乘估計，依所求回歸方程C為預(yù)測依據(jù)，則（

）A．曲線C經(jīng)過點(diǎn)B．C．若投入廣告費(fèi)9萬元，則每晚客流量會超過夜市接納能力D．廣告費(fèi)每增加1萬元，每晚客流量增加3000人【答案】BC【分析】利用題目的數(shù)據(jù)，得出，的最小二乘估計，即可得出回歸方程，逐個逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題可知，令，，，，所以，，故B正確；所以，令，，所以曲線C不經(jīng)過點(diǎn)，故A錯誤；當(dāng)時，千人，所以若投入廣告費(fèi)9萬元，則每晚客流量為萬人，因?yàn)槊客碜疃嗄芙蛹{10萬人，所以會超過夜市接納能力，故C正確；由可知，當(dāng)時，，所以當(dāng)廣告費(fèi)從5萬元增加到6萬元，客流量增加千人，故D錯誤.故選：BC題型九獨(dú)立性檢驗(yàn)答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹嚎ǚ浇y(tǒng)計量計算、獨(dú)立性判斷）答題模板：步驟1：整理2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)（明確a、b、c、d的取值，a為第一行第一列數(shù)據(jù)，b為第一行第二列，c為第二行第一列，d為第二行第二列，計算總樣本量n）；步驟2：計算卡方統(tǒng)計量（代入公式，分步計算分子和分母各因式，再求比值）；步驟2：計算卡方統(tǒng)計量（代入公式，分步計算分子和分母各因式，再求比值）；步驟3：進(jìn)行獨(dú)立性判斷（對比計算結(jié)果與臨界值，如“若，則有95%的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)；否則無足夠把握”）；步驟4：規(guī)范書寫，標(biāo)注列聯(lián)表數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系、公式依據(jù)，明確判斷結(jié)論.【典例1】（25-26高三上·河北·期中）某公司想了解員工對薪資的滿意度情況，對該公司的100名員工進(jìn)行薪資滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示：入職年限對薪資滿意度情況合計滿意不滿意入職年限不少于2年202040入職年限少于2年402060合計6040100(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該公司員工對薪資的滿意度是否與入職年限有關(guān)；(2)從樣本中對薪資滿意的員工中隨機(jī)抽取2人，求這2人的入職年限都少于2年的概率.附0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)有關(guān)(2)【分析】（1）利用公式求出，利用臨界值表進(jìn)行判定；（2）將組合數(shù)思想與古典概型相結(jié)合即可得結(jié)果.【詳解】（1）零假設(shè)為：該公司員工對薪資的滿意度與入職年限無關(guān)．經(jīng)計算得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷零假設(shè)不成立，即公司員工對薪資的滿意度與入職年限有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.1；（2）對薪資滿意的員工共60人，其中不少于2年：20人，少于2年：40人，抽取2人均為少于2年概率：.【典例2】（25-26高三上·湖北武漢·月考）某種疾病分為甲、乙兩種類型，為研究該疾病的類型與患者性別是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了名患者進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別疾病類型合計甲型病乙型病男女合計(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，得出了“所患疾病的類型與性別有關(guān)”的結(jié)論，求的最小值；(2)現(xiàn)對部分人群接種預(yù)防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2個周期接種疫苗，每人每周期必須接種3次，每次接種后，產(chǎn)生抗體的概率為0.8．如果一個周期內(nèi)至少2次產(chǎn)生抗體，那么該周期結(jié)束后終止接種，否則進(jìn)入第二個周期．已知每人每周期接種費(fèi)用為30元，試估計1000人接種疫苗總費(fèi)用的期望．附，0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)18；(2)33120.【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求得的值，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)可得，求解得答案；（2）設(shè)每人接種疫苗的費(fèi)用為，其可能的取值為，求出取值對應(yīng)的概率，分布列，得到每人接種疫苗的費(fèi)用的均值，進(jìn)而求得1000人接種疫苗總費(fèi)用的期望.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到，因?yàn)楦鶕?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“所患疾病的類型與性別”有關(guān)，所以，解得，因?yàn)?，結(jié)合列聯(lián)表中各式均為整數(shù)，所以的最小整數(shù)值為18.（2）設(shè)每人接種疫苗的費(fèi)用為，其可能的取值為，所以，，所以的分布列為3060所以的期望，估計1000人接種疫苗總費(fèi)用的期望為元.【變式1】（25-26高三上·河南鄭州·期中）已知某市組建了一支300人的志愿者隊伍，并由其中200人組成“志愿模范隊”．經(jīng)過一年的實(shí)踐，全隊共有200人的周平均服務(wù)時長超過2小時，其中有150人來自“志愿模范隊”，如下表所示．是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務(wù)時長超過2小時150200周平均服務(wù)時長不超過2小時總計200300(1)請完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是“志愿模范隊”成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”有關(guān)系？(2)由于該市志愿者工作成效優(yōu)異，現(xiàn)向全省推廣該市經(jīng)驗(yàn)，在全省每個市縣都成立志愿者隊伍，請以該市志愿者隊伍的樣本頻率作為概率的值，在全省的志愿者隊伍中任選3人，記周平均服務(wù)時長超過2小時且不是“志愿模范隊”成員的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附錄：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，認(rèn)為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”有關(guān)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)卡方公式，結(jié)合列聯(lián)表進(jìn)行求解即可；（2）寫出二項(xiàng)分布的性質(zhì)寫出其分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式即可求解.【詳解】（1）由題可得如下列聯(lián)表：是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務(wù)時長超過2小時15050200周平均服務(wù)時長不超過2小時5050100總計200100300設(shè)零假設(shè)“是“志愿模范隊”成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”無關(guān)，可得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為不成立，即認(rèn)為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”有關(guān).（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，從全省的志愿者隊伍中隨機(jī)抽取一位志愿者，取到周平均服務(wù)時長超過2小時且不是“志愿模范隊”成員的志愿者的概率為故，故的分布列為0123，則數(shù)學(xué)期望．【變式2】【多選題】（2026高三·全國·專題練習(xí)）針對時下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（

）附表：附：A．人 B．人 C．人 D．人【答案】BCD【分析】設(shè)男生可