專題05概率【清單01】隨機(jī)事件的條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．【清單02】相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（4）兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．（二）事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．【清單03】基全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．注意：全概率公式是用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且注意：貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．【清單04】離散型隨機(jī)變量及其分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．2、離散型隨機(jī)變量對(duì)于所有取值可以一一列出來(lái)的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱為的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．【清單05】離散型隨機(jī)變量均值和方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．【清單06】二項(xiàng)分布1、定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．【清單07】超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．【清單08】正態(tài)分布1、定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2、原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．【考點(diǎn)題型一】隨機(jī)變量的條件概率和相互獨(dú)立【例1】.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過(guò)去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（

）A． B． C． D．【變式1-1】.“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場(chǎng)者贏得比賽.若每場(chǎng)比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場(chǎng)后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【變式1-2】.已知事件和相互獨(dú)立，且則（

）A． B． C． D．【變式1-3】.高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)鐵釘恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€(gè)直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過(guò)兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球．理論上，小球落入2號(hào)容器的概率是多少（

）A． B． C． D．【變式1-4】.（多選）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“第一次的點(diǎn)數(shù)是5”，事件B為“第二次的點(diǎn)數(shù)大于4”，事件C為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，則（

）A． B．事件A與事件C互斥C．事件A與C相互獨(dú)立 D．【變式1-5】.（多選）已知隨機(jī)事件，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則事件與事件相互獨(dú)立B．若，則事件與事件互為對(duì)立C．若事件兩兩獨(dú)立，則D．若事件兩兩互斥，則【考點(diǎn)題型二】全概率公式【例2】.已知某家族有A、B兩種遺傳性狀，該家族某位成員出現(xiàn)A性狀的概率為，出現(xiàn)B性狀的概率為，A、B兩種遺傳性狀都不出現(xiàn)的概率為．則該成員在出現(xiàn)A性狀的條件下，出現(xiàn)B性狀的概率為．【變式2-1】.已知一批產(chǎn)品中有是合格品，檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個(gè)合格品被誤判為次品的概率為，一個(gè)次品被誤判為合格品的概率為．任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為（

）A． B． C． D．【變式2-2】.（多選）現(xiàn)有編號(hào)分別為的三個(gè)盒子，其中盒中共20個(gè)小球，其中紅球6個(gè)，盒中共20個(gè)小球，其中紅球5個(gè)，盒中共30個(gè)小球，其中紅球6個(gè).現(xiàn)從所有球中隨機(jī)抽取一個(gè)，記事件：“該球?yàn)榧t球”，事件：“該球出自編號(hào)為的盒中”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．若從所有紅球中隨機(jī)抽取一個(gè)，則該球來(lái)自盒的概率最小【變式2-3】.（多選）假設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.下列選項(xiàng)正確的是（

）A．從甲袋中任取2個(gè)球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為B．從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為C．從乙袋中取出的2個(gè)球是紅球的概率為D．已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為【變式2-4】.甲袋裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，乙袋也裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，四個(gè)球除顏色外，其他均相同．現(xiàn)從甲乙兩袋中各自任取一個(gè)球，且交換放入另一袋中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作后，記甲袋中的白球數(shù)為，甲袋中恰有一個(gè)白球的概率為(1)求；(2)求的解析式；(3)求．【考點(diǎn)題型3】隨機(jī)變量的分布列【例3】.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得分，沒(méi)有命中得分；向乙靶射擊一次，命中的概率為，命中得分，沒(méi)有命中得分。假設(shè)該射手完成以上三次射擊，且每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求該選手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【變式3-1】.下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則常數(shù)a的值是（

）3456A． B． C． D．【變式3-2】.（多選）某校在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間進(jìn)行了一場(chǎng)“不服來(lái)戰(zhàn)”對(duì)抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進(jìn)行對(duì)抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次.若甲組同學(xué)和乙組3名同學(xué)的命中率依次分別為，則（

）A．乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為B．甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率C．甲組同學(xué)命中次數(shù)的方差為D．乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為【變式3-3】.某工廠打算購(gòu)買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一種易損零件，在購(gòu)買設(shè)備時(shí)可以額外購(gòu)買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)200元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購(gòu)買該零件，價(jià)格為每個(gè)320元.在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)T的分布列為45670.30.20.40.1表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件個(gè)數(shù)，代表購(gòu)買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買易損零件的個(gè)數(shù).(1)求的分布列；(2)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問(wèn)在和中，應(yīng)選擇哪一個(gè)?【變式3-4】.門衛(wèi)室有5把鑰匙，其中只有一把能打開辦公室的門，由于借鑰匙開門的員工不知哪把是開門的鑰匙，他只好逐一嘗試．若不能開門，則標(biāo)記后換一把鑰匙繼續(xù)嘗試開門，記打開門時(shí)，試開門的次數(shù)為X．(1)試求X的分布；(2)該員工至多試開3次的概率．【考點(diǎn)題型四】二項(xiàng)分布、超幾何分布【例4】.（多選）已知離散型隨機(jī)變量，其中，則（

）A．若，則B．C．若，則D．若，則為奇數(shù)的概率為【變式4-1】.數(shù)軸上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔秒向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為，共移動(dòng)次，則質(zhì)點(diǎn)位于的位置的概率是（

）

A． B． C． D．【變式4-2】.（多選）一紙盒中共有6張形狀和質(zhì)地一樣的卡片，其中4張是紅色卡片，2張是黃色卡片.現(xiàn)從紙盒中有放回地隨機(jī)取4次，每次取1張卡片，取到紅色卡片記1分，取到黃色卡片記0分，記4次取卡片所得的總分?jǐn)?shù)為，則（

）A． B．C． D．【變式4-3】.某導(dǎo)彈試驗(yàn)基地對(duì)新研制的兩種導(dǎo)彈進(jìn)行試驗(yàn)，導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)?地面目標(biāo)的概率分別為，導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)?地面目標(biāo)的概率分別為.(1)若一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)，且一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)地面目標(biāo)的概率為，一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)地面目標(biāo)，且一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)的概率為，比較的大??；(2)現(xiàn)有兩枚A導(dǎo)彈，一枚導(dǎo)彈，用來(lái)射擊兩個(gè)空中目標(biāo)，一個(gè)地面目標(biāo)（每枚導(dǎo)彈各射擊一個(gè)目標(biāo)），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)射擊方案，使得擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的期望最大，并求此時(shí)擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的分布列和期望.【變式4-4】.某校為了了解學(xué)情，對(duì)各學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣作了問(wèn)卷調(diào)查，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)整理得到下表：語(yǔ)文興趣數(shù)學(xué)興趣英語(yǔ)興趣物理興趣化學(xué)興趣生物興趣答卷份數(shù)350470380400300500興趣良好頻率0.70.90.80.50.80.8假設(shè)每份調(diào)查問(wèn)卷只調(diào)查一科，各類調(diào)查是否達(dá)到良好的標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立．(1)從收集的答卷中隨機(jī)選取一份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語(yǔ)興趣良好的概率；(2)從該校任選一位同學(xué)，試估計(jì)他在語(yǔ)文興趣良好、數(shù)學(xué)興趣良好、生物興趣良好方面，至少具有兩科興趣良好的概率；(3)按分層抽樣的方法從參與物理興趣和化學(xué)興趣調(diào)查的同學(xué)中抽取7人，再?gòu)倪@7人中抽取3人，記3人中來(lái)自化學(xué)興趣的人數(shù)為，求的分布列和期望．【變式4-5】.北京冬奧會(huì)某個(gè)項(xiàng)目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服務(wù)等方面知識(shí)的測(cè)試，測(cè)試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題者視為合格，若甲能答對(duì)其中的5道題，求：(1)甲測(cè)試合格的概率；(2)甲答對(duì)的試題數(shù)X的分布列.【考點(diǎn)題型五】正態(tài)分布【例5】.某市為全面提高青少年健康素養(yǎng)水平，舉辦了一次“健康素養(yǎng)知識(shí)競(jìng)賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績(jī)采用百分制，排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取人，求至少有人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率；(2)由頻率分布直方圖，可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績(jī)?yōu)榉?，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①?gòu)?fù)賽題目由、兩類問(wèn)題組成，答對(duì)類問(wèn)題得分，不答或答錯(cuò)得分；答對(duì)類問(wèn)題得分，不答或答錯(cuò)得分；②、兩類問(wèn)題的答題順序可由參賽學(xué)生選擇，但只有在答對(duì)第一類問(wèn)題的情況下，才有資格答第二類問(wèn)題．已知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對(duì)類問(wèn)題的概率為，答對(duì)類問(wèn)題的概率為，答對(duì)每類問(wèn)題相互獨(dú)立，且與答題順序無(wú)關(guān)．為使累計(jì)得分的期望最大，學(xué)生甲應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．附：若，則，，；．【變式5-1】.（多選）某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個(gè)籃球的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，則（

）A． B．越小，越大C． D．【變式5-2】.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布．若，則．【變式5-3】.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過(guò)程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5458606364件數(shù)（單位：件）52545205(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；(2)已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線和第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件件數(shù)比是3:1．若第1、2條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相獨(dú)立的．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件．（?。┣蟪槿〉牧慵閺U品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，【變式5-4】.某校高三年級(jí)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，各位同學(xué)的成績(jī)，現(xiàn)規(guī)定：成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)為“成績(jī)頂尖”，在的同學(xué)為“成績(jī)優(yōu)秀”，低于90分的同學(xué)為“不及格”.(1)已知高三年級(jí)共有2000名同學(xué)，分別求“成績(jī)優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)（小數(shù)按四舍五入取整處理）；(2)現(xiàn)在要從“成績(jī)頂尖”的甲乙同學(xué)和“成績(jī)優(yōu)秀”的丙丁戊己共6位同學(xué)中隨機(jī)選4人作為代表交流學(xué)習(xí)心得，在已知至少有一名“成績(jī)頂尖”同學(xué)入選的條件下，求同學(xué)丙入選的概率：(3)為了了解班級(jí)情況，現(xiàn)從某班隨機(jī)抽取一名同學(xué)詢問(wèn)成績(jī)，得知該同學(xué)為142分.請(qǐng)問(wèn)：能否判斷該班成績(jī)明顯優(yōu)于或者差于年級(jí)整體情況，并說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：若，則，）.1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.20.10.10.3若隨機(jī)變量，則等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.72．設(shè)隨機(jī)變量，若，則的最大值為（

）A．4 B．3 C．43 D．3．（多選）下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)4，5，6，7，8，8的第50百分位數(shù)為6B．設(shè)隨機(jī)變量，若，則的最大值為43C．對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則與相互獨(dú)立D．已知采用分層隨機(jī)抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為172，方差為120，女生樣本平均數(shù)為165，方差為120，則總體樣本方差為1204．（多選）如果服從二項(xiàng)分布，當(dāng)且時(shí)，可以近似的認(rèn)為服從正態(tài)分布，據(jù)統(tǒng)計(jì)高中學(xué)生的近視率，某校有600名高中學(xué)生.設(shè)為該校高中學(xué)生近視人數(shù)，且服從正態(tài)分布，下列說(shuō)法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．變量服從正態(tài)分布B．C．D．5．（多選）下列命題中，真命題有（

）A．若隨機(jī)變量，則B．?dāng)?shù)據(jù)的第百分位數(shù)是C．若事件滿足且，則與獨(dú)立D．若隨機(jī)變量，則6．（多選）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．隨機(jī)變量的均值為8 B．隨機(jī)變量的方差為16C． D．7．甲?乙兩氣象站同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果甲站?乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7，且假定甲?乙兩氣象站預(yù)報(bào)是否準(zhǔn)確相互之間沒(méi)有影響，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲站?乙站預(yù)報(bào)都錯(cuò)誤的概率為.8．通過(guò)對(duì)某校高三年級(jí)兩個(gè)班的排球比賽成績(jī)分析可知，班的成績(jī)，班的成績(jī)，的分布密度曲線如圖所示，則在排球決賽中班獲勝的可能性更大．9．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則.10．單項(xiàng)選擇與多項(xiàng)選擇題是數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，單項(xiàng)選擇一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)正確答案，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，選錯(cuò)的得0分；多項(xiàng)選擇題一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分（兩個(gè)答案的每個(gè)答案3分，三個(gè)答案的每個(gè)答案2分），有選錯(cuò)的得0分.(1)考生甲有一道單項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得5分的概率；(2)考生乙有一道答案為ABD多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得4分的概率；(3)現(xiàn)有2道兩個(gè)正確答案的多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對(duì)與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.11．某中學(xué)舉辦科學(xué)競(jìng)技活動(dòng)，報(bào)名參加科學(xué)競(jìng)技活動(dòng)的同學(xué)需要通過(guò)兩輪選拔.第一輪為筆試，設(shè)有三門考試科目且每門是否通過(guò)相互獨(dú)立，至少有兩門通過(guò)，則認(rèn)為是筆試合格.若筆試不合格，則不能進(jìn)入下一輪選拔；若筆試合格，則進(jìn)入第二輪現(xiàn)場(chǎng)面試.面試合格者代表年級(jí)組參加全校的決賽.現(xiàn)有某年級(jí)甲、乙兩名學(xué)生報(bào)名參加本次競(jìng)技活動(dòng)，假設(shè)筆試中甲每門合格的概率均為，乙每門合格的概率分別是，，，甲、乙面試合格的概率分別是，.(1)求甲能夠代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率；(2)求甲、乙兩人中有且只有一人代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率.12．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京也成為全球唯一主辦過(guò)夏季奧運(yùn)會(huì)和冬季奧運(yùn)會(huì)的雙奧之城.某學(xué)校為了慶祝北京冬奧會(huì)的召開，特舉行奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽.參加的學(xué)生從夏奧知識(shí)題中抽取2題，冬奧知識(shí)題中抽取1題回答，已知學(xué)生（含甲）答對(duì)每道夏奧知識(shí)題的概率為，答對(duì)每道冬奧知識(shí)題的概率為，每題答對(duì)與否不影響后續(xù)答題.(1)學(xué)生甲恰好答對(duì)兩題的概率是多少？(2)求學(xué)生甲答對(duì)的題數(shù)X的分布列.13．從某學(xué)校的名男生中隨機(jī)抽取名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于和之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為人.

(1)求第七組的頻率；(2)估計(jì)該校名男生的身高的中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為，，事件，求.14．轉(zhuǎn)盤游戲的規(guī)則如下：將轉(zhuǎn)盤進(jìn)行十等分，從1到10依次進(jìn)行標(biāo)注，參與者轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指到的數(shù)字記為分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)盤游戲可進(jìn)行多輪，每輪轉(zhuǎn)動(dòng)兩次轉(zhuǎn)盤，進(jìn)行兩次分別計(jì)分，選手甲參加十輪游戲，分?jǐn)?shù)如下表：輪次一二三四五六七八九十第一次分?jǐn)?shù)85971077689第二次分?jǐn)?shù)89877987910若選手在某輪中，兩次分?jǐn)?shù)的平均值不低于8分，且二者之差的絕對(duì)值不超過(guò)1分，則稱其在該輪“穩(wěn)定發(fā)揮”．(1)若從以上選手甲的十輪游戲中任選兩輪，求這兩輪均“穩(wěn)定發(fā)揮”的概率；(2)假設(shè)選手甲再參加三輪游戲，每輪得分情況相互獨(dú)立，并對(duì)是否“穩(wěn)定發(fā)揮”以頻率估計(jì)概率．記X為甲在三輪游戲中“穩(wěn)定發(fā)揮”的輪數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．15．北京地鐵四號(hào)線被譽(yù)為“學(xué)霸地鐵”，因?yàn)樗灤┝藥姿鶉?guó)內(nèi)特別有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游學(xué)，他們?cè)趧?dòng)物園站開始乘坐4號(hào)線，以下幾個(gè)站：國(guó)家圖書館，魏公村，人民大學(xué)，中關(guān)村，北京大學(xué)為他們的可能參觀點(diǎn)，由于時(shí)間安排和個(gè)人喜好不同，他們各自行動(dòng)，每人選一個(gè)自己最喜歡的景點(diǎn)，每個(gè)人在北京大學(xué)站下車的概率為，在其他站下車的概率均為，且不走回頭路，在圓明園站匯合，每個(gè)人在各個(gè)車站下車互不影響.

(1)求在魏公村下車的人數(shù)的分布列及期望；(2)已知賈同學(xué)比李同學(xué)先下車，求賈同學(xué)在魏公村下車且李同學(xué)在北京大學(xué)站下車的概率.16．某校團(tuán)委為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)垃圾分類意義的認(rèn)識(shí)以及養(yǎng)成垃圾分類的習(xí)慣，組織了知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)高一和高二兩個(gè)年級(jí)各派一位學(xué)生代表參加決賽，決賽的規(guī)則如下：決賽一共五輪，在每一輪中，兩位學(xué)生各回答一次題目，累計(jì)答對(duì)題目數(shù)量多者勝；若五輪答滿，分?jǐn)?shù)持平，則并列為冠軍；如果在答滿5輪前，其中一方答對(duì)題目數(shù)量已經(jīng)多于另一方答滿5次題可能答對(duì)的題目數(shù)量，則不需再答題，譬如：第3輪結(jié)束時(shí)，雙方答對(duì)題目數(shù)量比為3∶0，則不需再答第4輪了；設(shè)高一年級(jí)的學(xué)生代表甲答對(duì)比賽題目的概率是，高二年級(jí)的學(xué)生代表乙答對(duì)比賽題目的概率是，每輪答題比賽中，答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)在一次賽前訓(xùn)練中，學(xué)生代表甲同學(xué)答了3輪題，且每次答題互不影響，記為答對(duì)題目的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表甲答對(duì)3道題并剛好勝出的概率．17．4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成0,2，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（寫出證明）.

專題05概率【清單01】隨機(jī)事件的條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．【清單02】相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（4）兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．（二）事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．【清單03】基全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．注意：全概率公式是用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且注意：貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．【清單04】離散型隨機(jī)變量及其分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．2、離散型隨機(jī)變量對(duì)于所有取值可以一一列出來(lái)的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱為的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．【清單05】離散型隨機(jī)變量均值和方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．【清單06】二項(xiàng)分布1、定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．【清單07】超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．【清單08】正態(tài)分布1、定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2、原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．【考點(diǎn)題型一】隨機(jī)變量的條件概率和相互獨(dú)立【例1】.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過(guò)去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對(duì)立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率為：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時(shí)下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨；③第一天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨，第二天上班時(shí)不下雨，下班時(shí)下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時(shí)不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：D.【變式1-1】.“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場(chǎng)者贏得比賽.若每場(chǎng)比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場(chǎng)后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榧s定連勝兩場(chǎng)者贏得比賽，所以比賽6場(chǎng)后甲贏得比賽的情況為：第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)乙勝，第三場(chǎng)甲勝，第四場(chǎng)乙勝，第五場(chǎng)甲勝，第六場(chǎng)甲勝，所以所求概率為.故選：C.【變式1-2】.已知事件和相互獨(dú)立，且則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由事件A與事件B相互獨(dú)立，得.故選：C【變式1-3】.高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)鐵釘恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€(gè)直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過(guò)兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球．理論上，小球落入2號(hào)容器的概率是多少（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)事件表示“小球落入2號(hào)容器”，若要小球落入2號(hào)容器，則需要在通過(guò)的四層中有三層向左，一層向右，所以．故選：B．【變式1-4】.（多選）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“第一次的點(diǎn)數(shù)是5”，事件B為“第二次的點(diǎn)數(shù)大于4”，事件C為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，則（

）A． B．事件A與事件C互斥C．事件A與C相互獨(dú)立 D．【答案】ACD【詳解】由題意可得，對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，事件A與事件C可以同時(shí)發(fā)生，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，所以事件A與C相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)D，，故D正確；故選：ACD.【變式1-5】.（多選）已知隨機(jī)事件，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則事件與事件相互獨(dú)立B．若，則事件與事件互為對(duì)立C．若事件兩兩獨(dú)立，則D．若事件兩兩互斥，則【答案】AD【詳解】對(duì)于A，根據(jù)事件獨(dú)立性的定義可得獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，記事件A：投擲一個(gè)骰子，骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：投擲一枚硬幣，正面朝上，則，滿足，但不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；.對(duì)于C：考慮從1，2，3，4中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)字，記事件“取出的數(shù)字為1或2”，“取出的數(shù)字為1或3”，“取出的數(shù)字為1或4”，則“取出的數(shù)字為1”，顯然，，滿足，，，所以事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但是，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若兩兩互斥，根據(jù)互斥事件的概率性質(zhì)可得，故選：AD【考點(diǎn)題型二】全概率公式【例2】.已知某家族有A、B兩種遺傳性狀，該家族某位成員出現(xiàn)A性狀的概率為，出現(xiàn)B性狀的概率為，A、B兩種遺傳性狀都不出現(xiàn)的概率為．則該成員在出現(xiàn)A性狀的條件下，出現(xiàn)B性狀的概率為．【答案】【詳解】記事件A為該家族某位成員出現(xiàn)A性狀；事件B為該家族某位成員出現(xiàn)B性狀，由題意得：，，又，則,且，則，因此，則．故答案為：．【變式2-1】.已知一批產(chǎn)品中有是合格品，檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個(gè)合格品被誤判為次品的概率為，一個(gè)次品被誤判為合格品的概率為．任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記事件抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，事件抽查一個(gè)產(chǎn)品被判為合格品，則，，，由全概率公式可得.所以，任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，檢查后被判為合格品的概率為.故選：B.【變式2-2】.（多選）現(xiàn)有編號(hào)分別為的三個(gè)盒子，其中盒中共20個(gè)小球，其中紅球6個(gè)，盒中共20個(gè)小球，其中紅球5個(gè)，盒中共30個(gè)小球，其中紅球6個(gè).現(xiàn)從所有球中隨機(jī)抽取一個(gè)，記事件：“該球?yàn)榧t球”，事件：“該球出自編號(hào)為的盒中”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．若從所有紅球中隨機(jī)抽取一個(gè)，則該球來(lái)自盒的概率最小【答案】ACD【詳解】A：由題，，故A正確；B：由選項(xiàng)A可得，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，所以，所以，故C正確；D：由題該球來(lái)自的概率為，該球來(lái)自的概率為，該球來(lái)自的概率為，所以該球來(lái)自的概率最小，故D正確.故選：ACD.【變式2-3】.（多選）假設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.下列選項(xiàng)正確的是（

）A．從甲袋中任取2個(gè)球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為B．從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為C．從乙袋中取出的2個(gè)球是紅球的概率為D．已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為【答案】ACD【詳解】從甲袋中取出個(gè)球有個(gè)紅球的事件為，從乙袋中取出個(gè)球紅球的事件為，，，，，，，對(duì)于A，從甲袋中任取2個(gè)球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為，A正確；對(duì)于B，從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，從乙袋中取出的2個(gè)球是紅球的概率，C正確；對(duì)于D，從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率，D正確.故選：ACD【變式2-4】.甲袋裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，乙袋也裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，四個(gè)球除顏色外，其他均相同．現(xiàn)從甲乙兩袋中各自任取一個(gè)球，且交換放入另一袋中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作后，記甲袋中的白球數(shù)為，甲袋中恰有一個(gè)白球的概率為(1)求；(2)求的解析式；(3)求．【答案】(1)，(2)(3)1【詳解】（1）記第次交換后甲袋中恰有兩個(gè)白球的概率為，則第次交換后甲袋中恰有零個(gè)白球的概率為，由題意得．；（2）由（1）知，所以，且，從而數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即；（3）顯然的所有可能取值為0，1，2，且，，即，從而，所以的分布列為012所以.【考點(diǎn)題型3】隨機(jī)變量的分布列【例3】.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得分，沒(méi)有命中得分；向乙靶射擊一次，命中的概率為，命中得分，沒(méi)有命中得分。假設(shè)該射手完成以上三次射擊，且每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求該選手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為2【詳解】（1）記：“該射手恰好命中一次”為事件，“該射手第一次射擊甲靶命中”為事件，“該射手第二次射擊甲靶命中”為事件，“該射手射擊乙靶命中”為事件．由題意知，，所以．（2）根據(jù)題意，的所有可能取值為0，1，2，3，4．，，，，，故的分布列是01234．【變式3-1】.下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則常數(shù)a的值是（

）3456A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，解得，故選：C.【變式3-2】.（多選）某校在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間進(jìn)行了一場(chǎng)“不服來(lái)戰(zhàn)”對(duì)抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進(jìn)行對(duì)抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次.若甲組同學(xué)和乙組3名同學(xué)的命中率依次分別為，則（

）A．乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為B．甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率C．甲組同學(xué)命中次數(shù)的方差為D．乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為【答案】BCD【詳解】對(duì)于A中，設(shè)“乙組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)“甲組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，因?yàn)?，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)榧捉M同學(xué)每次命中的概率都為，設(shè)甲組同學(xué)命中次數(shù)為，則，可得，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)乙組同學(xué)命中次數(shù)為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為，所以，，，故，所以D正確.故選：BCD.【變式3-3】.某工廠打算購(gòu)買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一種易損零件，在購(gòu)買設(shè)備時(shí)可以額外購(gòu)買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)200元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購(gòu)買該零件，價(jià)格為每個(gè)320元.在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)T的分布列為45670.30.20.40.1表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件個(gè)數(shù)，代表購(gòu)買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買易損零件的個(gè)數(shù).(1)求的分布列；(2)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問(wèn)在和中，應(yīng)選擇哪一個(gè)?【答案】(1)答案見解析(2)應(yīng)選【詳解】（1）由題意，的可能取值為8，9，10，11，12，13，14，則，，，，，，，則的分布列為：8910111213140.090.120.280.220.20.080.01（2）記為當(dāng)時(shí)購(gòu)買零件所需費(fèi)用，的可能取值為2000，2320，2640，2960，3280，則，，，，，則.記為當(dāng)時(shí)購(gòu)買零件所需費(fèi)用，的可能取值為2200，2520，2840，3160，則，，，，，顯然，所以應(yīng)選擇.【變式3-4】.門衛(wèi)室有5把鑰匙，其中只有一把能打開辦公室的門，由于借鑰匙開門的員工不知哪把是開門的鑰匙，他只好逐一嘗試．若不能開門，則標(biāo)記后換一把鑰匙繼續(xù)嘗試開門，記打開門時(shí)，試開門的次數(shù)為X．(1)試求X的分布；(2)該員工至多試開3次的概率．【答案】(1)分布列見解析(2)【詳解】（1）X的可能取值為1，2，3，4，5．，，，，．因此X的分布為：X12345P（2）【考點(diǎn)題型四】二項(xiàng)分布、超幾何分布【例4】.（多選）已知離散型隨機(jī)變量，其中，則（

）A．若，則B．C．若，則D．若，則為奇數(shù)的概率為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，得，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若則，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若則，所以，所以為奇數(shù)的概率為，故D正確.故選：ABD.【變式4-1】.數(shù)軸上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔秒向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為，共移動(dòng)次，則質(zhì)點(diǎn)位于的位置的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意此實(shí)驗(yàn)滿足重伯努利實(shí)驗(yàn)，設(shè)向左移動(dòng)次數(shù)為，則，從原點(diǎn)出發(fā)，共移動(dòng)次，最后質(zhì)點(diǎn)位于，則需向右移動(dòng)次，向左移動(dòng)次，所以質(zhì)點(diǎn)位于的位置的概率為.故選：D【變式4-2】.（多選）一紙盒中共有6張形狀和質(zhì)地一樣的卡片，其中4張是紅色卡片，2張是黃色卡片.現(xiàn)從紙盒中有放回地隨機(jī)取4次，每次取1張卡片，取到紅色卡片記1分，取到黃色卡片記0分，記4次取卡片所得的總分?jǐn)?shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】由題意可知每次取到紅色卡片的概率為，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B項(xiàng)正確；，故C項(xiàng)正確；，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC【變式4-3】.某導(dǎo)彈試驗(yàn)基地對(duì)新研制的兩種導(dǎo)彈進(jìn)行試驗(yàn)，導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)?地面目標(biāo)的概率分別為，導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)?地面目標(biāo)的概率分別為.(1)若一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)，且一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)地面目標(biāo)的概率為，一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)地面目標(biāo)，且一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)的概率為，比較的大??；(2)現(xiàn)有兩枚A導(dǎo)彈，一枚導(dǎo)彈，用來(lái)射擊兩個(gè)空中目標(biāo)，一個(gè)地面目標(biāo)（每枚導(dǎo)彈各射擊一個(gè)目標(biāo)），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)射擊方案，使得擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的期望最大，并求此時(shí)擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的分布列和期望.【答案】(1)(2)安排兩枚A導(dǎo)彈射擊兩個(gè)空中目標(biāo)，一枚B導(dǎo)彈射擊一個(gè)地面目標(biāo)，分布列見解析，【詳解】（1）由題意得，，所以.（2）因?yàn)?，所以安排兩枚A導(dǎo)彈射擊兩個(gè)空中目標(biāo)，一枚B導(dǎo)彈射擊一個(gè)地面目標(biāo).設(shè)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)為，則，，，，，的分布列為0123所以.【變式4-4】.某校為了了解學(xué)情，對(duì)各學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣作了問(wèn)卷調(diào)查，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)整理得到下表：語(yǔ)文興趣數(shù)學(xué)興趣英語(yǔ)興趣物理興趣化學(xué)興趣生物興趣答卷份數(shù)350470380400300500興趣良好頻率0.70.90.80.50.80.8假設(shè)每份調(diào)查問(wèn)卷只調(diào)查一科，各類調(diào)查是否達(dá)到良好的標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立．(1)從收集的答卷中隨機(jī)選取一份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語(yǔ)興趣良好的概率；(2)從該校任選一位同學(xué)，試估計(jì)他在語(yǔ)文興趣良好、數(shù)學(xué)興趣良好、生物興趣良好方面，至少具有兩科興趣良好的概率；(3)按分層抽樣的方法從參與物理興趣和化學(xué)興趣調(diào)查的同學(xué)中抽取7人，再?gòu)倪@7人中抽取3人，記3人中來(lái)自化學(xué)興趣的人數(shù)為，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；期望為【詳解】（1）設(shè)“這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語(yǔ)興趣良好”為事件A，答卷總份數(shù)為，其中英語(yǔ)興趣良好有，故．（2）設(shè)“語(yǔ)文興趣良好”“數(shù)學(xué)興趣良好”“生物興趣良好”分別為事件，，，，，，則所求的概率為：．（3）從參與物理興趣和化學(xué)興趣調(diào)查的700人中按分層抽樣的方法抽取7人，其中參與物理興趣調(diào)查的抽取4人，參與化學(xué)興趣調(diào)查的抽取3人，再?gòu)闹羞x取3人，則的所有取值為0，1，2，3．，，，，則的分布列為0123故．【變式4-5】.北京冬奧會(huì)某個(gè)項(xiàng)目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服務(wù)等方面知識(shí)的測(cè)試，測(cè)試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題者視為合格，若甲能答對(duì)其中的5道題，求：(1)甲測(cè)試合格的概率；(2)甲答對(duì)的試題數(shù)X的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）設(shè)甲測(cè)試合格為事件A，則.（2）甲答對(duì)的試題數(shù)X可以為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P【考點(diǎn)題型五】正態(tài)分布【例5】.某市為全面提高青少年健康素養(yǎng)水平，舉辦了一次“健康素養(yǎng)知識(shí)競(jìng)賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績(jī)采用百分制，排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取人，求至少有人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率；(2)由頻率分布直方圖，可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績(jī)?yōu)榉?，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①?gòu)?fù)賽題目由、兩類問(wèn)題組成，答對(duì)類問(wèn)題得分，不答或答錯(cuò)得分；答對(duì)類問(wèn)題得分，不答或答錯(cuò)得分；②、兩類問(wèn)題的答題順序可由參賽學(xué)生選擇，但只有在答對(duì)第一類問(wèn)題的情況下，才有資格答第二類問(wèn)題．已知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對(duì)類問(wèn)題的概率為，答對(duì)類問(wèn)題的概率為，答對(duì)每類問(wèn)題相互獨(dú)立，且與答題順序無(wú)關(guān)．為使累計(jì)得分的期望最大，學(xué)生甲應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．附：若，則，，；．【答案】(1)(2)有，理由見解析(3)先答類問(wèn)題，理由見解析【詳解】（1）由題意可知，抽取的人中，預(yù)賽成績(jī)不低于分的人數(shù)為，預(yù)賽成績(jī)不低于分的學(xué)生人數(shù)為，因此，從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取人，至少有人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率為.（2）由頻率分布直方圖可知，，，，，所以，小明有資格參加復(fù)賽.（3）若學(xué)生甲先答類問(wèn)題，設(shè)他的得分為隨機(jī)變量，則的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：則，若學(xué)生甲先答類問(wèn)題，設(shè)該同學(xué)的得分為隨機(jī)變量，則的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：則，所以，，因此，學(xué)生甲應(yīng)先回答類問(wèn)題.【變式5-1】.（多選）某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個(gè)籃球的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，則（

）A． B．越小，越大C． D．【答案】ABC【詳解】由條件可知，由正太密度曲線的對(duì)稱性可知：，，，越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中，故越大，故選：ABC【變式5-2】.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布．若，則．【答案】0.8【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，所以，故，又隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，所以，所以.故答案為：.【變式5-3】.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過(guò)程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5458606364件數(shù)（單位：件）52545205(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；(2)已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線和第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件件數(shù)比是3:1．若第1、2條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相獨(dú)立的．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件．（?。┣蟪槿〉牧慵閺U品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）由題意可知:，則，所以（2）（i）設(shè)事件表示“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，，，，所以；（ii）因?yàn)?，所以，所以．【變?-4】.某校高三年級(jí)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，各位同學(xué)的成績(jī)，現(xiàn)規(guī)定：成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)為“成績(jī)頂尖”，在的同學(xué)為“成績(jī)優(yōu)秀”，低于90分的同學(xué)為“不及格”.(1)已知高三年級(jí)共有2000名同學(xué)，分別求“成績(jī)優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)（小數(shù)按四舍五入取整處理）；(2)現(xiàn)在要從“成績(jī)頂尖”的甲乙同學(xué)和“成績(jī)優(yōu)秀”的丙丁戊己共6位同學(xué)中隨機(jī)選4人作為代表交流學(xué)習(xí)心得，在已知至少有一名“成績(jī)頂尖”同學(xué)入選的條件下，求同學(xué)丙入選的概率：(3)為了了解班級(jí)情況，現(xiàn)從某班隨機(jī)抽取一名同學(xué)詢問(wèn)成績(jī)，得知該同學(xué)為142分.請(qǐng)問(wèn)：能否判斷該班成績(jī)明顯優(yōu)于或者差于年級(jí)整體情況，并說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：若，則，）【答案】(1)“成績(jī)優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)分別為人、人(2)(3)班級(jí)成績(jī)由于年級(jí)成績(jī)【詳解】（1）由已知，“成績(jī)優(yōu)秀”的概率為：.“不及格”的概率為：，所以“成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為人，“不及格”的人數(shù)為人.（2）設(shè)事件：至少一名“成績(jī)頂尖”同學(xué)入選，事件：丙入選，則，（3）由條件知年級(jí)中，而在該班隨機(jī)抽查中，同學(xué)成績(jī)?cè)谝淮坞S機(jī)事件中就發(fā)生了，這說(shuō)明班級(jí)成績(jī)由于年級(jí)成績(jī).1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.20.10.10.3若隨機(jī)變量，則等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.2．設(shè)隨機(jī)變量，若，則的最大值為（

）A．4 B．3 C．43 D．【答案】C【詳解】隨機(jī)變量，由，得，解得，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故選：C3．（多選）下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)4，5，6，7，8，8的第50百分位數(shù)為6B．設(shè)隨機(jī)變量，若，則的最大值為43C．對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則與相互獨(dú)立D．已知采用分層隨機(jī)抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為172，方差為120，女生樣本平均數(shù)為165，方差為120，則總體樣本方差為120【答案】BC【詳解】對(duì)于A，由于，則數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，隨機(jī)變量，由，解得，所以方差，即方差在單調(diào)遞增，故，故B正確；對(duì)于C，若,根據(jù)條件概率公式則有,則,故與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，分層抽樣的平均數(shù)，，按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式，,故D錯(cuò)誤.故選：BC.4．（多選）如果服從二項(xiàng)分布，當(dāng)且時(shí)，可以近似的認(rèn)為服從正態(tài)分布，據(jù)統(tǒng)計(jì)高中學(xué)生的近視率，某校有600名高中學(xué)生.設(shè)為該校高中學(xué)生近視人數(shù)，且服從正態(tài)分布，下列說(shuō)法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．變量服從正態(tài)分布B．C．D．【答案】ABD【詳解】依題意，，，對(duì)于A，變量服從正態(tài)分布，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD5．（多選）下列命題中，真命題有（

）A．若隨機(jī)變量，則B．?dāng)?shù)據(jù)的第百分位數(shù)是C．若事件滿足且，則與獨(dú)立D．若隨機(jī)變量，則【答案】BCD【詳解】A：因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；B：將從小到大重新排列可得，，所以第百分位數(shù)是，故正確；C：因?yàn)?，且，所以，所以，所以相互?dú)立，故正確；D：因?yàn)?，所以，所以，故正確；故選：BCD.6．（多選）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．隨機(jī)變量的均值為8 B．隨機(jī)變量的方差為16C． D．【答案】ACD【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以隨機(jī)變量的均值為8，故A正確；隨機(jī)變量的方差為256，標(biāo)準(zhǔn)差為16，故B錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，，故C正確；由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，，所以，故D正確.故選：ACD.7．甲?乙兩氣象站同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果甲站?乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7，且假定甲?乙兩氣象站預(yù)報(bào)是否準(zhǔn)確相互之間沒(méi)有影響，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲站?乙站預(yù)報(bào)都錯(cuò)誤的概率為.【答案】【詳解】解：記“甲預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”，“乙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”，則所以甲?乙都預(yù)報(bào)錯(cuò)誤的概率為故答案為：0.068．通過(guò)對(duì)某校高三年級(jí)兩個(gè)班的排球比賽成績(jī)分析可知，班的成績(jī)，班的成績(jī)，的分布密度曲線如圖所示，則在排球決賽中班獲勝的可能性更大．【答案】B【詳解】從分布密度曲線可以得到如下結(jié)論：（1）B班的平均成績(jī)大于A班的平均成績(jī)；（2）B的方差小于A的方差，故B發(fā)揮較為穩(wěn)定，故B班獲勝的可能更大.故答案為：B.9．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則.【答案】【詳解】因?yàn)?，由二?xiàng)分布的期望公式可得，由期望的性質(zhì)可得，解得.故答案為：.10．單項(xiàng)選擇與多項(xiàng)選擇題是數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，單項(xiàng)選擇一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)正確答案，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，選錯(cuò)的得0分；多項(xiàng)選擇題一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分（兩個(gè)答案的每個(gè)答案3分，三個(gè)答案的每個(gè)答案2分），有選錯(cuò)的得0分.(1)考生甲有一道單項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得5分的概率；(2)考生乙有一道答案為ABD多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得4分的概率；(3)現(xiàn)有2道兩個(gè)正確答案的多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對(duì)與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有A，B，C，D共4種可能結(jié)果，樣本空間，其中正確選項(xiàng)只有一個(gè)，設(shè)M=“猜對(duì)本題得5分”，故.（2）乙同學(xué)所有可能的選擇答案有10種：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)N=“猜對(duì)本題得4分”，，有3個(gè)樣本點(diǎn)，故.（3）由題意得丙得0分的概率為，丁得0分的概率為，丙丁總分剛好得18分的情況包含：事件A：丙得12分有6+6一種情況，丁得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，則；事件B：丙得9分有6+3，3+6兩種情況，丁得9分有6+3，3+6兩種情況，則；事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，丁得12分有6+6一種情況，則；所以丙丁總分剛好得18分的概率.11．某中學(xué)舉辦科學(xué)競(jìng)技活動(dòng)，報(bào)名參加科學(xué)競(jìng)技活動(dòng)的同學(xué)需要通過(guò)兩輪選拔.第一輪為筆試，設(shè)有三門考試科目且每門是否通過(guò)相互獨(dú)立，至少有兩門通過(guò)，則認(rèn)為是筆試合格.若筆試不合格，則不能進(jìn)入下一輪選拔；若筆試合格，則進(jìn)入第二輪現(xiàn)場(chǎng)面試.面試合格者代表年級(jí)組參加全校的決賽.現(xiàn)有某年級(jí)甲、乙兩名學(xué)生報(bào)名參加本次競(jìng)技活動(dòng)，假設(shè)筆試中甲每門合格的概率均為，乙每門合格的概率分別是，，，甲、乙面試合格的概率分別是，.(1)求甲能夠代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率；(2)求甲、乙兩人中有且只有一人代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意甲能夠代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率為：；（2）由題意乙能夠代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率為：，所以甲、乙兩人中有且只有一人代表年級(jí)組參加全校的決賽的概率為：.12．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京也成為全球唯一主辦過(guò)夏季奧運(yùn)會(huì)和冬季奧運(yùn)會(huì)的雙奧之城.某學(xué)校為了慶祝北京冬奧會(huì)的召開，特舉行奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽.參加的學(xué)生從夏奧知識(shí)題中抽取2題，冬奧知識(shí)題中抽取1題回答，已知學(xué)生（含甲）答對(duì)每道夏奧知識(shí)題的概率為，答對(duì)每道冬奧知識(shí)題的概率為，每題答對(duì)與否不影響后續(xù)答題.(1)學(xué)生甲恰好答對(duì)兩題