3/3專題01直線與方程（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律直線傾斜角和斜率回顧直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義，掌握數(shù)形結(jié)合思想解決傾斜角和斜率的動態(tài)變化問題基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題直線的五種方程及相互轉(zhuǎn)化回顧直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程的推導(dǎo)，掌握五種直線的相互轉(zhuǎn)化并能熟練運(yùn)用點(diǎn)斜式與斜截式重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題兩條直線平行與垂直回顧直線的平行、垂直與斜率、截距之間的關(guān)系，能應(yīng)用兩條直線平行或垂直規(guī)律解決相關(guān)問題重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題直線交點(diǎn)回顧直線的交點(diǎn)與方程組的解內(nèi)在聯(lián)系，能熟練運(yùn)用兩條直線相交的性質(zhì)求待定參數(shù)?；A(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題平面上的距離回顧平面內(nèi)點(diǎn)與直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，兩平行線間的距離公式推導(dǎo)，并能解決與距離有關(guān)的平面幾何問題。重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題知識點(diǎn)01直線傾斜角的定義定義在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)，所轉(zhuǎn)過的最小正角α稱為這條直線的傾斜角規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0范圍{α|0≤α<π}作用(1)用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度；(2)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可知識點(diǎn)02直線的斜率(1)直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為____k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)_______.知識點(diǎn)03斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在知識點(diǎn)04直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點(diǎn)斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點(diǎn)式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②已知兩個(gè)截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點(diǎn)的直線①已知兩個(gè)截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程知識點(diǎn)05兩條直線平行與垂直1.兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，l1與l2的傾斜角都是90°，則l1∥l2.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.2.兩條直線垂直：如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：l1⊥l2?k1·k2＝－1或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零知識點(diǎn)06直線系方程1．平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個(gè)條件來確定的值.2．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個(gè)條件來確定的值.知識點(diǎn)07兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1，l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1，l2的位置關(guān)系相交重合平行知識點(diǎn)08：兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.知識點(diǎn)09點(diǎn)到直線的距離1.點(diǎn)到直線的距離定義：點(diǎn)到直線的垂線段的長度2.點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))知識點(diǎn)10兩條平行線間的距離1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱后得到點(diǎn)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得.2．直線關(guān)于點(diǎn)對稱求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線（1）法一：在所求直線上任取一點(diǎn)，則它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，代入已知直線中，則所求直線的方程為；（2）法二：在已知直線上任取一點(diǎn)（一般取整數(shù)點(diǎn)），求它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，利用然后關(guān)于點(diǎn)對稱的兩直線與斜率相等，求出斜率，再用點(diǎn)斜式求出的方程.3．點(diǎn)關(guān)于直線對稱求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)（1）法一：直接列方程組，解出；（2）法二：先求出線段所在直線（點(diǎn)斜式），再求出線段的中點(diǎn)（兩條直線的交點(diǎn)），利用交點(diǎn)關(guān)于中點(diǎn)對稱求出點(diǎn).4．直線關(guān)于直線對稱求直線關(guān)于直線對稱的直線（1）法一：在已知直線上任取一點(diǎn)，然后關(guān)于的對稱點(diǎn)，再結(jié)合與交點(diǎn)聯(lián)立求解；（2）法二：利用兩條相交直線的到角公式求解①直線到的角（方向角），，當(dāng)時(shí)，.②直線與的夾角，，當(dāng)時(shí)，.題型一直線的傾斜角與斜率解｜題｜技｜巧1、我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即2、如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換；（3）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平3、斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【典例1】（23-24高二上·江蘇泰州·期末）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致如圖，一座斜拉橋共有對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距、均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，計(jì)算即可得答案.【詳解】依題意，，，則點(diǎn)，，所以拉索所在直線的斜率.故選：D【變式1】（24-25高一上·江蘇·月考）已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件得到，又，從而得，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，所以，即直線的斜率，又，所以，又直線的傾斜角的取值范圍為，由正切函數(shù)的性質(zhì)可得，直線的傾斜角范圍為，故選：B.【變式2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）過兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)檫^兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：D【變式3】（23-24高二上·江蘇無錫·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩直線與的距離之和為，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡，畫出圖形，再利用的幾何意義求出最大值.【詳解】依題意，，即，于是得或或或，動點(diǎn)的軌跡如圖中正方形，其中，表示正方形邊上的點(diǎn)與定點(diǎn)確定直線的斜率，觀察圖象知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率最大，所以的最大值為.故答案為：題型二根據(jù)直線與線段的相交關(guān)系求斜率取值范圍解｜題｜技｜巧斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【典例1】（24-25高二上·江蘇·期中）已知三點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出草圖，先求出直線和直線的斜率，直線與線段有公共點(diǎn)時(shí)，找出直線的斜率的臨界狀態(tài)即可.【詳解】運(yùn)用兩點(diǎn)間的斜率公式，，，過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，如圖所示，直線斜率的取值范圍是.

故選：B.【變式1】已知直線l經(jīng)點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出直線與直線的斜率，再結(jié)合直線與線段相交的條件，確定直線斜率的取值范圍.【詳解】已知，，根據(jù)過兩點(diǎn)直線斜率公式，可得：已知，，同理可得：當(dāng)直線繞點(diǎn)從位置旋轉(zhuǎn)到與軸重合時(shí)，斜率的范圍是；當(dāng)直線繞點(diǎn)從與軸重合旋轉(zhuǎn)到位置時(shí)，斜率的范圍是.所以直線斜率的取值范圍是.故選：B.

【變式2】已知兩點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由直線，變形可得，由，解得，可得直線恒過定點(diǎn)，則，結(jié)合圖象可得：若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為，由斜率定義，可得直線傾斜角的取值范圍為.故選：D.題型三求直線方程解｜題｜技｜巧①點(diǎn)斜式方程形式：②斜截式方程形式：③兩點(diǎn)式方程形式：④截距式方程形式：⑤一般式：定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.【典例1】（25-26高二上·江蘇·期末）已知菱形中，，，邊所在直線過點(diǎn)，求：(1)邊所在直線的方程；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用互相平行的直線斜率相等，利用點(diǎn)斜式即可得直線方程；（2）利用，求得直線的方程，與直線方程聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）因?yàn)檫吽谥本€過點(diǎn)，，所以因?yàn)闉榱庑?，所以，所以，又，所以，整理得．?）因?yàn)?，，所以．因?yàn)闉榱庑危?，所以因?yàn)椋?，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以聯(lián)立方程組，解得，所以．【變式1】已知直線過點(diǎn)，且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】法一：分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)討論，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，由直線的斜率得到方程，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由截距式方程得到直線方程；法二：分直線過原點(diǎn)和直線斜率為1兩種情況討論，由直線的點(diǎn)斜式方程得到直線方程.【詳解】法一：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，則直線方程為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，得，解得，故直線方程為．綜上所述，直線方程為或．法二：因?yàn)橹本€在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，所以直線過原點(diǎn)或直線斜率為1．當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線斜率為，則直線方程為；當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線方程為，即．綜上所述，直線方程為或．故選：D．【變式2】（24-25高二上·江蘇常州·期末）若的三個(gè)頂點(diǎn)為，則邊上的高所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直關(guān)系，以及點(diǎn)斜式直線方程，即可求解.【詳解】，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，即.故選：A【變式3】（25-26高二上·江蘇鹽城·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為．(1)若邊上的高所在的直線方程為，求直線的方程；(2)若的平分線所在的直線方程為，求邊所在的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求得，由點(diǎn)斜式求得直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入直線的方程，將點(diǎn)代入直線的方程，分別可得的方程，求解得坐標(biāo)，求出點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，由三點(diǎn)共線求出，進(jìn)而可得直線的方程．【詳解】（1）∵直線的方程為，其斜率為，∵，∴，又，∴由點(diǎn)斜式得直線的方程為，即.（2）設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，將其代入所在直線方程中，得，將點(diǎn)代入所在的直線方程中，得，解得，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，則，得，即，因三點(diǎn)共線，則，所以直線所在的直線方程為，即．題型四直線過定點(diǎn)問題解｜題｜技｜巧直線系過定點(diǎn)問題核心解題技巧是分離參數(shù)法，同時(shí)可結(jié)合特殊值法輔助驗(yàn)證。1.將直線方程中含參數(shù)的項(xiàng)與不含參數(shù)的項(xiàng)分離開，整理為參數(shù)×含參代數(shù)式+不含參代數(shù)式=0的形式，即λ?f(x,y)+g(x,y)=0（其中λ為參數(shù)，f(x,y)、g(x,y)為關(guān)于x、y的代數(shù)式）。2.聯(lián)立方程：由于參數(shù)λ可取任意實(shí)數(shù)，要使等式恒成立，需滿足含參項(xiàng)和不含參項(xiàng)同時(shí)為0，即聯(lián)立方程組后解方程組即可求解【典例1】已知直線：.則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】【分析】轉(zhuǎn)換為恒等式成立問題，由恒等式成立的條件解方程組即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，所以直線恒過定點(diǎn)；【變式1】（23-24高二上·江蘇南通·期末）直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【分析】把方程化為關(guān)于的等式，然后由恒等式知識求解．【詳解】已知直線方程化為，由得，所以直線過定點(diǎn)．故答案為：．【變式2】（23-24高二上·江蘇南京·期末）方程所表示的直線（

）A．恒過點(diǎn) B．恒過點(diǎn)C．恒過點(diǎn)和點(diǎn) D．恒過點(diǎn)和點(diǎn)【答案】A【分析】將方程化為，令的系數(shù)等于0，即可得到答案.【詳解】，，令，解得，即方程所表示的直線恒過定點(diǎn)．故選：．題型五根據(jù)兩條直線平行或垂直關(guān)系求參數(shù)解｜題｜技｜巧1、若兩條直線的方程為，有(1)且;(2)與重合且;(3)與相交；(4);2、特別指出:上述給出的為斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情況下有：(1)兩條直線或均不存在，直線或中一個(gè)為零，另一個(gè)不存在.3.若直線不為零)，有：(1)且;(2);(3)與相交;(4)與重合且.【典例1】（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知直線，若，則的值為（）A． B．3 C．-1 D．3或-1【答案】A【分析】根據(jù)直線平行公式計(jì)算求參.【詳解】當(dāng)或時(shí)兩直線不平行，當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?，所以，故選:A．【變式1】已知直線與，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用兩直線垂直的充要條件得到，從而得到或，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】當(dāng)直線與垂直時(shí)，，即，解得或，所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要條件，故選：A.【變式2】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知，若，則a的值為（

）A． B． C．1 D．或1【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的公式求解即可.【詳解】若，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，重合；故.故選：C【變式3】（多選）（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知直線直線則（

）A．在y軸上的截距為 B．恒過點(diǎn)C．當(dāng)時(shí) D．當(dāng)時(shí)，【答案】AC【分析】利用截距概念可判斷A；根據(jù)直線方程可判斷B；利用兩直線垂直時(shí)，斜率之積為可判斷C；舉反例可判斷D.【詳解】對于A即故直線在y軸上的截距為故A正確；對于B即令可得即直線恒過點(diǎn)故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，即故故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，令此時(shí)直線與直線重合，兩直線不平行，故D錯(cuò)誤.故選：AC.題型六兩直線的交點(diǎn)問題解｜題｜技｜巧直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解【典例1】直線與直線相交，則m的取值范圍為．【答案】【詳解】因?yàn)橹本€與直線，即相交，所以，解得.所以m的取值范圍為.故答案為：【變式1】（24-25高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若直線：與：的交點(diǎn)在第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意可知，聯(lián)立方程組可得交點(diǎn)的坐標(biāo)為；又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，解得.即直線的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，即，所以傾斜角的取值范圍是.故答案為：.【變式2】下面三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三直線不能構(gòu)成三角形時(shí)共有4種情況，即三直線中其中有兩直線平行或者是三條直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，在這四種情況中，分別求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】當(dāng)直線平行于時(shí)，．當(dāng)直線平行于時(shí)，，當(dāng)平行于時(shí)，，無解．當(dāng)三條直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，把直線與的交點(diǎn)，代入，得，解得：或，綜上，滿足條件的的集合為為.故選：C．題型七平面中點(diǎn)線距離公式及其應(yīng)用解｜題｜技｜巧1、平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為2、點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))3、兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【典例1】（24-25高二上·江蘇徐州·期末）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線平行的充要條件求出，再由平行線間的距離公式求解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以且，解得，所以直線方程為與，故，故選：C【變式1】已知點(diǎn)P?2,?1和直線l:1+2λx+1?3λy+λ?2=0，則點(diǎn)P【答案】13【分析】先求得直線l的定點(diǎn)A1,1，分析可得PA⊥l時(shí)，點(diǎn)P到直線l【解析】由l:1+2λ即2x?3y+1λ+x+y?2=0令2x?3y+1=0x+y?2=0，解得x=1則直線l恒過定點(diǎn)A1,1當(dāng)PA⊥l時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，此時(shí)最大距離為PA=故答案為：13.【變式2】當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，直線到直線的距離的最大值是______.【答案】【分析】兩直線平行且垂直于時(shí)，距離最大【詳解】由可得過定點(diǎn)，由可得過定點(diǎn).又兩直線斜率相等，可知兩直線平行且垂直于時(shí)，距離最大，最大值即為兩點(diǎn)間的距離.故答案為：【變式3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合直線方程即可求解.【詳解】，表示平面上點(diǎn)與點(diǎn)，的距離和，連接，與軸交于，此時(shí)直線方程為，令，則的最小值為，此時(shí)故選：C．題型八平面內(nèi)點(diǎn)與直線間的對稱問題解｜題｜技｜巧1、點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題步驟：求點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：：中；②整理得：2.（1）直線：：（）和：：（）相交,求關(guān)于直線的對稱直線①求出與的交點(diǎn)②在上任意取一點(diǎn)(非點(diǎn)），求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)③根據(jù)，，兩點(diǎn)求出直線（2）直線：：（）和：：（）平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.【典例1】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)對稱點(diǎn)為，由題意可得，求解即可.【詳解】設(shè)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，又和關(guān)于直線對稱，所以有，解得，即對稱點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：．【變式1】點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式2】已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.【答案】或【詳解】直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在軸上，所以，則的中點(diǎn)在直線上，所以①，又②，聯(lián)立①②可得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.【變式3】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知的一條內(nèi)角平分線所在直線的方程為，兩個(gè)頂點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱列方程組求點(diǎn)即可；（2）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱列方程組求點(diǎn)即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）設(shè)，則有，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式4】直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用對稱的性質(zhì)得到點(diǎn)P關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為代入直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則,故對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線上，，故選：D【變式5】（25-26高二上·江蘇南通·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)在直線上，．(1)求直線的方程；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求證：點(diǎn)在軸上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出方程；（2）聯(lián)立直線與直線的方程求出點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以直線的斜率為.設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所?所以直線的方程，即.（2）因?yàn)?，所以，?設(shè)，則，所以，即.因?yàn)椋渣c(diǎn)在軸上.題型九直線方程與面積的綜合應(yīng)用解｜題｜技｜巧對于直線，令；令，則面積（1）解題時(shí)注意很容易忽略絕對值而造成錯(cuò)誤；（2）常設(shè)計(jì)基本不等式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)等方法求面積最值或范圍【典例1】已知一條動直線，直線l過動直線的定點(diǎn)P，且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．(2)當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)存在，3x＋4y－12＝0(2)3x＋3y－10＝0【分析】（1）將直線方程化為，再根據(jù)定點(diǎn)滿足條件列式，再設(shè)直線l的截距式方程，代入定點(diǎn)P，再分別表示△AOB的周長和面積，求解參數(shù)即可；（2）由（1）直線l的傾斜角，再根據(jù)三角函數(shù)表達(dá)出，令，再根據(jù)三角函數(shù)的范圍與函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1），即，由，解得，故動直線過定點(diǎn)．設(shè)直線l的方程為，將代入得．①由A（a，0），B（0，b），△AOB的周長為12，面積為6，得，令a＋b＝t，則，所以，即，化簡得24t＝168，解得t＝7，所以有，解得或．其中不滿足①，滿足①．所以存在直線l的方程為，即3x＋4y－12＝0滿足條件．（2）由（1）可知直線l過定點(diǎn)，直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，所以直線l的傾斜角，所以，，所以，②令，因?yàn)?，所以，所以，所以．則，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．此時(shí)直線l的方程為，即3x＋3y－10＝0．【變式1】（24-25高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知直線l：．（1）若直線不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸正半軸于A，交y軸負(fù)半軸于B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由方程可知：時(shí)，直線在x軸與y軸上的截距分別為：，．直線不經(jīng)過第二象限，，解得當(dāng)時(shí)，直線變?yōu)闈M足題意．綜上可得：k的取值范圍是；（2）由直線l的方程可得，．由題意可得，解得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為．【變式2】（25-26高二上·江蘇淮安·月考）已知直線.(1)當(dāng)時(shí)，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后過原點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程；(2)求證：直線恒過定點(diǎn)；(3)若直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)6【分析】（1）先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再求出直線的方程即可；（2）將直線的方程化為，再解方程組即可；（3）求出坐標(biāo)，結(jié)合不等式即可.【詳解】（1）時(shí)，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，，得，即，則直線的斜率為，則直線的方程為，故反射光線所在直線的方程為；（2）直線的方程可化為，，得，則直線恒過定點(diǎn)；（3），令，得，令，得，因直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，則，，，，得或，則利用可得，，等號成立時(shí)，則，故的最小值為.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：45分鐘）1．（24-25高二上·江蘇淮安·期末）已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，，則直線l的斜率是（

）A．2 B． C． D．－2【答案】C【分析】利用直線斜率公式直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過兩點(diǎn)，，所以直線l的斜率是，故選：C2．（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知直線與直線垂直，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)兩直線方程垂直，分類求解的值.【詳解】若則直線與垂直，滿足題意，若則,則.綜上所述，則或.故選：C3．（24-25高二上·江蘇南通·期末）以為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】求出直線和的斜率，判斷出，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故因此該三角形為直角三角形.故選：B.4．若過點(diǎn)，的直線的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，分斜率不存在與斜率存在計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，即；當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，則或，解得或；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.5．（24-25高二上·江蘇無錫·期末）若直線和直線平行，則直線與直線間距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先討論直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)兩直線是否平行，再討論直線的斜率存在時(shí)，兩直線平行，斜率相等，即可求得的值，再利用兩條平行線之間的距離公式即可求解.【詳解】由題可知直線的斜率一定存在，且為，若，則直線的斜率不存在且方程為：，即，直線：，即，此時(shí)直線與直線不平行，舍去；若，則直線的斜率存在，且為，，，即，或，當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，兩直線平行.則直線與直線之間距離為：.故選：C.6．（24-25高二上·江蘇·期末）若點(diǎn)A?3,?4,B6,3到直線l:ax+y+1=0的距離相等，則實(shí)數(shù)aA．79 B．C．?79或?13 【答案】C【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離公式得?3a?4+1a2+1=6a+3+1故選：C.7．（多選）（24-25高一下·江蘇南京·期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程表示B．方程表示的直線斜率一定存在C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程為【答案】AC【分析】根據(jù)特殊值法判斷A，C，應(yīng)用一般式求斜率判斷B，結(jié)合直線的兩點(diǎn)式判斷D.【詳解】A選項(xiàng)中直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，但不能用表示，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，方程表示的直線斜率為，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)中若則直線斜率不存在，直線不能用點(diǎn)斜式表示，故C錯(cuò).D選項(xiàng)，結(jié)合直線方程兩點(diǎn)式可知，D選項(xiàng)正確.故選：AC8．（多選）（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知直線，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．若，則斜率不存在 B．若不經(jīng)過第三象限，則C．若，則或 D．若，則【答案】BC【分析】綜合運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式，兩直線平行、垂直的充要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，則，則，所以的斜率為0，故A錯(cuò)誤；對于B，由，可得，若不經(jīng)過第三象限，則，故B正確；對于C，若，則，解得或，故C正確；對于D，若，則直線，，兩直線與重合，故D錯(cuò)誤．故選：BC.9．（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）若直線與垂直，則．【答案】1【分析】利用兩直線垂直的充要條件計(jì)算即可求得的值.【詳解】直線與垂直，所以，解得.故答案為：.10.（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)在直線上的運(yùn)動，則的最小值是______【答案】【分析】表示點(diǎn)與距離的平方，求出到直線的距離，即可得到答案.【解析】表示點(diǎn)與距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為．故答案為：11．（24-25高二上·江蘇鹽城·期末）（1）求過，且與直線平行的直線的方程.（2）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求邊上的高所在的直線方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)直線的平行關(guān)系，可得所求直線斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可求得；（2）根據(jù)直線的垂直關(guān)系，可得所求直線斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可求得.【詳解】（1）已知直線的斜率是，因?yàn)樗笾本€與已知直線平行，所以所求直線的斜率也是，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得所求直線的方程為，即；（2）由兩點(diǎn)式，可得，邊上高所在直線方程的斜率，的高所在直線的直線方程，即.12．（24-25高二上·江蘇泰州·期末）已知直線：（a為實(shí)數(shù)），與相交于點(diǎn)M．(1)若過點(diǎn)M，求a的值；(2)設(shè)直線過定點(diǎn)N，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）聯(lián)立直線求得交點(diǎn)，代入求參數(shù)值即可；（2）根據(jù)直線確定直線過定點(diǎn)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求.【詳解】（1）由，得，即，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即．（2）因?yàn)?，所以直線過定點(diǎn)，所以.期末重難突破練（測試時(shí)間：40分鐘）1．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故C項(xiàng)正確.2．（24-25高二上·江蘇常州·期末）點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得直線過定點(diǎn)，當(dāng)與直線垂直時(shí)距離有最大值，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由得，由得，故直線過定點(diǎn).記點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最大值，最大值為.故選：D.3．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知，，，均為實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】表示兩點(diǎn)與之間的距離，表示兩點(diǎn)與之間的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡方程為兩平行直線，可求最小值.【詳解】表示兩點(diǎn)與之間的距離，表示兩點(diǎn)與之間的距離，又點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，且直線與直線平行，所以的最小值即為直線與直線之間的距離，所以的最小值為.故選：B.4.（多選）（24-25高二上·江蘇南京·期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，直線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)變化時(shí)，恒過定點(diǎn)B．若，則在軸，軸上的截距之和為4C．若，則的斜率為1D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】AC【分析】對于A，將直線方程轉(zhuǎn)化為，由解方程組即可；對于B，求出直線在軸，軸上的截距即可；對于C，化為斜截式即可得解；對于D，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱的求法，求得對稱點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】對于A項(xiàng)，直線的方程為化為，由，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，A正確；對于B項(xiàng)，時(shí)，，令，，令，，此時(shí)在軸，軸上的截距之和為，B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由B項(xiàng)可知，故的斜率為1，C正確；對于D項(xiàng)，時(shí)，，設(shè)關(guān)于直線對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，D錯(cuò)誤.故選：AC5．（多選）（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）下列說法中正確的有（

）A．直線過定點(diǎn)B．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C．兩條平行直線與之間的距離為D．當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，直線和互相垂直【答案】BCD【分析】對于A，由直線過定點(diǎn)，按參數(shù)整理，令參數(shù)的系數(shù)為0求解即可；對于B，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱的性質(zhì)求解；對于C，利用平行線之間的距離公式求解；對于D，利用直線垂直的系數(shù)關(guān)系判定即可.【詳解】對于A，，，故直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則即點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，B正確；對于C，，，故C正確；對于D，時(shí)，，故直線和互相垂直，故D正確；故選：BCD.6．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)?shù)闹荛L取得最小值時(shí)，即取得最小，轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題，即可求解.【詳解】解：因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)?shù)闹荛L取得最小值時(shí)，即取得最小，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)取得最小，如圖所示：則，解得，得，因?yàn)辄c(diǎn)，故所求點(diǎn).故答案為：7．已知直線和點(diǎn)．(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最??；(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大；(3)若點(diǎn)B的坐標(biāo)變?yōu)?，再分別求（1），（2）問中的結(jié)果．【答案】(1)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3)當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，的值最小；當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，的值最大【分析】（1）求出點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，求出直線的方程，與直線l聯(lián)立，即可得答案.（2）因?yàn)辄c(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，分析可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，求得直線AB方程，與直線l聯(lián)立，即可得答案.（3）若點(diǎn)B的坐標(biāo)變?yōu)?，此時(shí)A、B在直線l的兩側(cè)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，求出直線AB方程，與直線l聯(lián)