1/3專題3.5圓錐曲線壓軸大題歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律面積最值掌握面積的表達(dá)式、求最值最常用的方法。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問(wèn)出現(xiàn)，跟函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考求最值。面積比考察幾何轉(zhuǎn)化能力，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比、坐標(biāo)比。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問(wèn)出現(xiàn)。三點(diǎn)共線問(wèn)題考察幾何轉(zhuǎn)化能力，將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率相等、向量共線等。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問(wèn)出現(xiàn)。四點(diǎn)共圓問(wèn)題考察幾何轉(zhuǎn)化能力，將四點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題或?qū)踊パa(bǔ)等。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問(wèn)出現(xiàn)。定點(diǎn)問(wèn)題掌握定點(diǎn)問(wèn)題的運(yùn)算方法，怎么進(jìn)行猜想證明，消參。重點(diǎn)必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問(wèn)出現(xiàn)。點(diǎn)在定直線上掌握點(diǎn)在定直線上的運(yùn)算方法，怎么進(jìn)行猜想證明，消參。重點(diǎn)必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問(wèn)出現(xiàn)。定值問(wèn)題掌握定值問(wèn)題的運(yùn)算方法，怎么進(jìn)行猜想證明，消參。重點(diǎn)必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問(wèn)出現(xiàn)。定比點(diǎn)差法掌握定比點(diǎn)差法的應(yīng)用條件及方法的運(yùn)用基礎(chǔ)必考點(diǎn)，在一些條件下，用定必點(diǎn)差法比傳統(tǒng)曲直聯(lián)立跟韋達(dá)定理更方便。移動(dòng)齊次化掌握移動(dòng)齊次化的應(yīng)用條件及方法的運(yùn)用基礎(chǔ)必考點(diǎn)，斜率和差的條件下，用移動(dòng)齊次化比傳統(tǒng)曲直聯(lián)立跟韋達(dá)定理更方便。非對(duì)稱韋達(dá)掌握非對(duì)稱韋達(dá)的應(yīng)用方法?；A(chǔ)必考點(diǎn)，在非對(duì)稱條件出現(xiàn)的情況下，應(yīng)用非對(duì)稱韋達(dá)常用的方法處理。知識(shí)點(diǎn)01面積最值求面積最值這類(lèi)問(wèn)題的核心是：將面積表示為某個(gè)變量的函數(shù)，然后通過(guò)代數(shù)方法求該函數(shù)的最值。

一、設(shè)參建模設(shè)直線：根據(jù)題意設(shè)出直線方程。如果直線過(guò)定點(diǎn)，使用點(diǎn)斜式y(tǒng)=k(x?x?)+y?最為常見(jiàn)。如果直線與y軸平行，需單獨(dú)考慮。設(shè)交點(diǎn)：設(shè)出直線與圓錐曲線兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)A(x?,y?),B(x?,y?)。二、聯(lián)立方程將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x或y，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程。三、表達(dá)目標(biāo)量1、弦長(zhǎng)公式設(shè)M(x1?，??①設(shè)直線為y=kx+m上，代入化簡(jiǎn)，得|MN|=1+②設(shè)直線方程為x=ty+m，代入化簡(jiǎn)，得|MN|=2、三角形的面積①SΔ②SΔ③在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△OMN的頂點(diǎn)分別為O(0?，??0)，M(x四、求最值目標(biāo)量（弦長(zhǎng)或面積）通常表示為一個(gè)關(guān)于參數(shù)（如斜率k）的函數(shù)f(k)。定義域優(yōu)先：在求最值前，必須確定參數(shù)的取值范圍。常用求最值方法：配方法：適用于二次函數(shù)?；静坏仁椒ǎ哼m用于能化為a+b≥2ab或ab≤導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)函數(shù)形式復(fù)雜（如分式、高次）時(shí)，這是最通用的方法。求導(dǎo)，找駐點(diǎn)，判斷單調(diào)性。知識(shí)點(diǎn)02面積比求面積比的核心在于將面積的比值轉(zhuǎn)化為線段比、坐標(biāo)比或直接面積表達(dá)式之比，然后利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行整體代換，最終化為一個(gè)變量的函數(shù)來(lái)求解或證明定值、或求范圍。利用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化比值共線或共點(diǎn)三角形：如果兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)或底邊在同一直線上，它們的面積比往往等于對(duì)應(yīng)底邊或高線的比值。這是最有效的簡(jiǎn)化方法。平行線：題目中若存在平行線，必然產(chǎn)生相似三角形，要充分利用其帶來(lái)的比例關(guān)系。分解復(fù)雜圖形：對(duì)于復(fù)雜的多邊形面積比，可以將其分割成若干個(gè)三角形面積之和或差，然后分別計(jì)算這些三角形的面積，再求比值。“設(shè)而不求”的極致運(yùn)用不僅對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“設(shè)而不求”，對(duì)于比值中出現(xiàn)的復(fù)雜項(xiàng)，有時(shí)可以將其視為一個(gè)整體，在化簡(jiǎn)過(guò)程中可能會(huì)被約去，從而避免繁瑣的計(jì)算。變量歸一化當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)變量時(shí)，要努力利用已知條件（如點(diǎn)共線、線垂直等）找到變量之間的關(guān)系，減少自由變量的個(gè)數(shù)，最終將比值化為單變量函數(shù)或常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)03三點(diǎn)共線問(wèn)題在圓錐曲線大題中證明三點(diǎn)共線是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。其核心思想是：將幾何共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系式。利用三點(diǎn)

A(x?,斜率相等：從三點(diǎn)中任意選擇兩點(diǎn)構(gòu)成兩條直線，證明兩直線斜率相等，注意斜率不存在的情況。向量共線：如果向量

AB

與向量

AC（或

BC）共線（即平行），則

A點(diǎn)在直線上：求出直線

AB

的方程，然后證明點(diǎn)

C

的坐標(biāo)滿足該方程。知識(shí)點(diǎn)04四點(diǎn)共圓問(wèn)題以四點(diǎn)共圓為背景的圓錐曲線大題是壓軸題中的經(jīng)典類(lèi)型，最經(jīng)典例題為2021年新高考I卷中的21題。其核心在于

“如何將幾何的圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可操作的代數(shù)條件”

。四點(diǎn)共圓中常用的幾何性質(zhì)有以下幾點(diǎn)一、對(duì)角互補(bǔ)當(dāng)四點(diǎn)在某種對(duì)稱結(jié)構(gòu)下，?？珊?jiǎn)化為兩組對(duì)邊的斜率互為相反數(shù)。則直接轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，非常適合與韋達(dá)定理結(jié)合。二、相交弦定理（冪定理）若四點(diǎn)共圓，兩條弦AC，BD相交于P點(diǎn)，滿足

PA·PB=PC·PD。對(duì)于四點(diǎn)共圓問(wèn)題，要建立起強(qiáng)大的信心：它看似是“圓”的問(wèn)題，但本質(zhì)上是通過(guò)一些優(yōu)美的幾何定理（如對(duì)角互補(bǔ)），被轉(zhuǎn)化成了一個(gè)純粹的直線斜率關(guān)系問(wèn)題，從而能夠完美地融入我們熟悉的韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的框架中予以解決。知識(shí)點(diǎn)05定點(diǎn)問(wèn)題找到動(dòng)直線（或動(dòng)點(diǎn)）方程中參數(shù)（如斜率k）的“不變部分”。將方程整理為關(guān)于參數(shù)的恒等式，令其系數(shù)為零，即可求出定點(diǎn)（或定直線）。一、直接推導(dǎo)設(shè)參：設(shè)出動(dòng)直線的方程。通常已知直線過(guò)某個(gè)定點(diǎn)或已知斜率，常用點(diǎn)斜式：y=kx+m。尋找關(guān)系：利用題目條件（如直線與圓錐曲線相切、相交，或與其他幾何條件如垂直、中點(diǎn)等相關(guān)），找到一個(gè)關(guān)于k和m的關(guān)系式。消參定型：將找到的k和m關(guān)系式代回原始的直線方程y=kx+m中。得到只含一個(gè)參數(shù)的解析式。關(guān)鍵步驟：將此方程整理為關(guān)于參數(shù)k的方程，要使這個(gè)方程對(duì)所有k值都成立，則k的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)必須同時(shí)為零。對(duì)于y?C=k(x?D)形式，定點(diǎn)顯然是(D,C)。對(duì)于更復(fù)雜的形式，將方程按k的冪次項(xiàng)整理，令各項(xiàng)系數(shù)為零，解方程組即可求出定點(diǎn)(x,y)。二、先猜后證法當(dāng)直接推導(dǎo)復(fù)雜或難以進(jìn)行時(shí)，此方法能指明方向，簡(jiǎn)化計(jì)算。猜定點(diǎn)：特殊位置法：取參數(shù)（如斜率k）的兩個(gè)特殊值（如0,斜率不存在（豎直直線）,1,-1等），畫(huà)出兩條對(duì)應(yīng)的特殊位置直線。求交點(diǎn)：解這兩條特殊直線的交點(diǎn)，該點(diǎn)即為猜測(cè)的定點(diǎn)(x0證定點(diǎn)：則動(dòng)直線的方程可以化簡(jiǎn)為y?y0=f(k)(x?x0)知識(shí)點(diǎn)06點(diǎn)在定直線上將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為某個(gè)參數(shù)（通常是斜率k）的函數(shù)，然后消參，得到一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程，即為定直線方程。主要步驟為：1、設(shè)參并表示動(dòng)點(diǎn)2、建立關(guān)系3、消參4、得到定直線方程在解題過(guò)程中，可以使用幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化，先猜后證等方法幫助解決計(jì)算問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)07定值問(wèn)題將待證的目標(biāo)量（如斜率積、線段乘積、面積等）用參數(shù)（通常是斜率

k）表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算消去參數(shù)，若結(jié)果是一個(gè)常數(shù)常見(jiàn)的定值類(lèi)型有：1、斜率的和、積、比為定值2、線段長(zhǎng)度、乘積或倒數(shù)和為定值3、面積為定值4、向量數(shù)量積為定值“先猜后證”：取參數(shù)的特殊值（如

k=0,

k=1,

k→∞），快速計(jì)算出目標(biāo)量的值。這個(gè)值很可能就是定值。這不僅能預(yù)知結(jié)果、增強(qiáng)信心，還能用來(lái)驗(yàn)證最終化簡(jiǎn)結(jié)果是否正確。“設(shè)而不求”的極致運(yùn)用：不僅對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“設(shè)而不求”，對(duì)于復(fù)雜的中間量，也保持其整體形式，在后續(xù)運(yùn)算中可能會(huì)相互抵消。參數(shù)關(guān)系式的挖掘：定值問(wèn)題的核心往往在于題目中隱藏的參數(shù)關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)08定比點(diǎn)差法定比點(diǎn)差法是解決圓錐曲線中涉及線段定比分點(diǎn)或中點(diǎn)問(wèn)題的一柄利器。它繞開(kāi)了傳統(tǒng)的聯(lián)立和韋達(dá)定理，直接從點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系入手，具有思路清晰、計(jì)算簡(jiǎn)捷的特點(diǎn)。核心思想：“設(shè)分點(diǎn)，代曲線，作差化簡(jiǎn)”直線與圓錐曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若P點(diǎn)滿足線性關(guān)系A(chǔ)P=λPB（λ≠?1),，通過(guò)將

A，B坐標(biāo)代入曲線方程，然后利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式作差，直接建立起點(diǎn)

定比點(diǎn)差法通過(guò)巧妙地構(gòu)造方程間的加權(quán)差，利用平方差公式和定比分點(diǎn)公式，直接溝通了分點(diǎn)坐標(biāo)、曲線參數(shù)和弦的斜率，實(shí)現(xiàn)了“化曲為直”，是解決此類(lèi)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題的典范方法。知識(shí)點(diǎn)09平移齊次化1、齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問(wèn)題，如過(guò)某定點(diǎn)的兩條直線的斜率之和與斜率之積。此時(shí)我們可以將曲線方程構(gòu)造成x2,xy,y2的齊次式方程，再除以2、如果目標(biāo)點(diǎn)不在原點(diǎn)，則需要平移圖形，將公共點(diǎn)平移到原點(diǎn)，無(wú)論如何平移，直線斜率是不變的.注意平移口訣是“左加右減，上減下加”.知識(shí)點(diǎn)10非對(duì)稱韋達(dá)我們常規(guī)解決圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，都是用到韋達(dá)定理，根據(jù)x1+x2=?ba?,?x1x1x2x1x2題型一面積最值解｜題｜技｜巧將面積表示為某個(gè)變量的函數(shù)，然后通過(guò)代數(shù)方法求該函數(shù)的最值。

【典例1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，位于第一象限的點(diǎn)在拋物線C上，且．直線l過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若l的傾斜角為，求弦長(zhǎng)的值；(2)若過(guò)F且與l垂直的直線交C于M，N兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值，【答案】(1)8(2)32【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出p的值，求出直線l的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求解；（2）設(shè)直線l的方程為：，，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出和的值，再利用基本不等式求出四邊形的面積的最小值．【詳解】（1）由題意可得，所以，得拋物線C的方程為：，焦點(diǎn)為，直線l的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，設(shè)，則，得弦長(zhǎng)．（2）設(shè)直線l的方程為：，，聯(lián)立方程，消去x得，設(shè)，則，所以，同理可得，所以四邊形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形的面積的最小值為：【典例2】（24-25高二上·河北保定·期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，離心率.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求四邊形EPFQ面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）利用弦長(zhǎng)公式表示面積，再利用換元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求最值.【詳解】（1）由，即，又，即，，，故橢圓C的方程為.（2）設(shè)四邊形EPFQ面積為S，當(dāng)直線PQ與直線EF有一條斜率為0時(shí)，另一條斜率不存在，不妨設(shè)直線PQ斜率不存在，此時(shí)直線EF與x軸重合，，且PQ方程為，將與聯(lián)立，求得兩交點(diǎn)為，，，故.當(dāng)直線PQ與直線EF有一條斜率為可設(shè)直線PQ的方程為，，，聯(lián)立方程，得且恒成立，，，同理可得，令，則，，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故.【變式1】（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；(3)若直線的斜率為，與橢圓交于、兩點(diǎn)，記以、為直徑的圓的面積分別為、，的面積為，求的最大值.【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）由題意易得、的值，得橢圓的方程；（2）先排除直線斜率為，然后設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理和可得，即可求解；（3）設(shè)直線為，聯(lián)立直線和橢圓結(jié)合韋達(dá)定理可得弦長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離可得，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得進(jìn)而可得,再利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】（1）由已知兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，得，由短軸長(zhǎng)為，得，則橢圓方程：.（2）易知，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，不妨設(shè)、，則，不滿足題意；所以，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，、；聯(lián)立直線與橢圓方程，消去可得，易知，由韋達(dá)定理可得，；所以，解得，所以，即或，綜上，直線的方程為或.（3）設(shè)直線的方程為，、，由，消去得，，即，則，，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，又，，所以，所以則當(dāng)即時(shí)，取最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【變式2】（24-25高二上·浙江金華·期末）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，下上頂點(diǎn)分別為．(1)若為直角三角形，的面積為，求橢圓方程．(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（P，Q分別在第一、四象限），連接并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)N；①若，求橢圓的離心率e．②在（1）條件下，求四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程求解；（2）①設(shè)，根據(jù)橢圓定義結(jié)合可得，又由，運(yùn)算求得答案；②設(shè)直線為與橢圓方程聯(lián)立，可得，由點(diǎn)P，Q分別在第一、四象限可得，求得，四邊形面積為，可得，換元令，利用函數(shù)單調(diào)性求得答案.【詳解】（1）由于為直角三角形，且的面積為，則，所以橢圓方程為.（2）①如圖，設(shè)，則，由于，則，則，所以，

則，又，得到，解得.

②設(shè)直線為或（舍去），設(shè)點(diǎn)，將直線與橢圓方程聯(lián)立，，可得，則，

記四邊形面積為，又因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別在第一、四象限，則，即，解得，

則，

令，則，由于，則當(dāng)，S單調(diào)遞減，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的②解題的關(guān)鍵是將四邊形面積表示為，可得，并根據(jù)條件求得，利用函數(shù)單調(diào)性求解.題型二面積比解｜題｜技｜巧求面積比的核心在于將面積的比值轉(zhuǎn)化為線段比、坐標(biāo)比或直接面積表達(dá)式之比，最終化為一個(gè)變量的函數(shù)來(lái)求解或證明定值、或求范圍?！镜淅?】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)若為上不同于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，，分別交軸于點(diǎn)P，Q，交軸于點(diǎn)，.①證明：；②證明：（S表示面積）.【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意建立方程求得，進(jìn)而求得，即可得解.（2）①設(shè)，設(shè)出切線方程并與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)判別式及韋達(dá)定理得，求出直線的方程及的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)P，Q坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算中點(diǎn)坐標(biāo)證明即可；②根據(jù)三角形面積公式，將所證等式化為線段長(zhǎng)度的比例關(guān)系，通過(guò)①中的坐標(biāo)，計(jì)算相關(guān)線段長(zhǎng)度，即可證明.【詳解】（1）由題可知，由直線與軸交于點(diǎn)，且，可得，若，則，即，無(wú)解，若，則，即，則，故的方程為.（2）如圖所示，設(shè)，易知過(guò)點(diǎn)且與相切的直線的斜率存在且不等于0和，設(shè)切線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去，整理得，由，整理得，設(shè)切線，的斜率分別為，，則，①由題可知直線的方程為，令，得，因?yàn)椋姆匠虨?，，所以，，所以，故是的中點(diǎn)，即.②因?yàn)椋?，，的高相等，所以，?由上述過(guò)程可知，，，.所以，，，.又，所以，，所以，即.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓的下頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為，橢圓上的點(diǎn)到距離的最小值為，且拋物線截軸所得的線段長(zhǎng)為的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別與相交于P，Q兩點(diǎn)．

①證明：直線AB與直線AC的斜率之積為定值；

②記和的面積分別是，，求的最小值．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②.【分析】（1）由的關(guān)系以及，即可求解.（2）①由題意設(shè)方程為.聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及斜率公式即可得證.②由三角形面積公式只需分別求出，分別聯(lián)立直線方程與拋物線、橢圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及同理思想即可求解，進(jìn)一步由基本不等式即可得解.【詳解】（1）已知拋物線：中，令，解得，所以，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到距離的最小值為，則，所以，從而，∴橢圓的方程為：.（2）①直線的斜率顯然存在，設(shè)方程為.由，整理得，設(shè)，，則，，，由已知，所以的斜率分別為，，故，所以直線與直線的斜率之積為定值；②設(shè)直線AB：，顯然，由，解得：或，∴，則，由①知，直線：，則，由，得，解得或，，則，由①知，直線：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即最小值為.【變式1】（25-26高二上·黑龍江大慶·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸與兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線.記，直線的方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)，點(diǎn)均位于軸右側(cè)）.記直線和的交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記，的面積分別為，，求的最小值.【答案】(1)，(2)3【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由可得，求得的坐標(biāo)，再求出過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程，從而得到、的關(guān)系，即可得解.（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式，推理計(jì)算可得，聯(lián)立直線與的方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出三角形的面積的函數(shù)關(guān)系并求出最小值.【詳解】（1）由，消去得，又，且是雙曲線與直線唯一的公共點(diǎn)，則，解得，，且點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為，令，得，令，得，因此，于是曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.（2）設(shè)，

由，消去x并整理得，由直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，得可得，解得，則，，即，而，所以，即，則直線：，直線：，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)．（i）記直線，的斜率分別為，，證明：是定值；（ii）設(shè)G為直線和的交點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的最小值．【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）利用雙曲線的頂點(diǎn)和離心率，結(jié)合雙曲線方程求出即可.（2）設(shè)出直線的方程與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率公式，推理計(jì)算即可.（3）由（2）可得斜率之間的關(guān)系，聯(lián)立方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出三角形面積的函數(shù)關(guān)系并求出最小值.【詳解】（1）（1）由題意知，因?yàn)椋?，，所以雙曲線的方程為.（2）（i）依題意，設(shè)直線的方程為，.由消去x并整理得.由直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得.解得.則，.即，而.所以為定值.（ii）由（2）知，直線：，直線：.則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.于是.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.題型三三點(diǎn)共線問(wèn)題解｜題｜技｜巧利用三點(diǎn)

A(x?,【典例1】（24-25高二上·四川瀘州·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率為2，分別為的左，右頂點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)在上．（?。┤酎c(diǎn)A在第一象限且直線的斜率為－2，求證：直線的斜率之和為定值；（ⅱ）若，過(guò)的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，，過(guò)且斜率為的直線與過(guò)且斜率為的直線交于點(diǎn)，若．求證：三點(diǎn)共線．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為或或或(2)（?。┳C明見(jiàn)解析，（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題可得雙曲線方程，設(shè)，由可得，然后由點(diǎn)A在雙曲線上可得答案；（2）（?。⒅本€PQ方程與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，據(jù)此可化簡(jiǎn)直線的斜率之和，由此可完成證明；（ⅱ）設(shè)直線MN方程為，，將直線MN方程與雙曲線漸近線方程聯(lián)立，可得，結(jié)合，可得，將直線PG方程代入雙曲線方程可得：P的橫坐標(biāo)與Q的橫坐標(biāo)，據(jù)此可得，隨后可完成證明.【詳解】（1）求雙曲線方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)：已知雙曲線右焦點(diǎn)，離心率，因?yàn)樵陔p曲線中（為半焦距），且，所以，又因?yàn)?，所以，則雙曲線的方程為；設(shè)，則，由，可得：，即，又因?yàn)樵陔p曲線上，所以，即，將代入，得：，整理，得，解得：，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為或或或；（2）（?。┳C明：直線的斜率之和為定值：因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，化簡(jiǎn)得：由韋達(dá)定理，得：，直線的斜率，直線的斜率，則，因?yàn)椋肷鲜?，得：，將上式的分子展開(kāi)，得：，整理，得：，代入，可得，即，所以直線的斜率之和為定值；（ⅱ）證明三點(diǎn)共線：雙曲線的漸近線方程為，由題可得直線PQ，MN斜率存在且不為0設(shè)直線MN方程為，設(shè)如圖，直線MN與交點(diǎn)為M，與交點(diǎn)為N.聯(lián)立，解得：，即，聯(lián)立，解得：，即，則.由，則移項(xiàng)并利用平方差公式，可得：.由題，直線PG斜率為，直線QG斜率為，又，則，則，又，則.直線PG方程為：，代入中，則，據(jù)此可得P的橫坐標(biāo)即，同理可得Q的橫坐標(biāo)即.則，.則.由，代入，則.則，則點(diǎn)G滿足直線MN方程，所以G，M，N三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明三點(diǎn)共線，通?？衫孟蛄?，由向量共線證明三點(diǎn)共線，也可利用斜率，由兩條線段相交且斜率相等完成證明，或類(lèi)似于本題，利用坐標(biāo)法完成證明.【典例2】（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為和，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程.(2)過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線與交于兩點(diǎn).（ⅰ）若的面積為，求的方程；（ⅱ）若線段的中點(diǎn)為，在點(diǎn)處分別作的切線，兩切線相交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線.【答案】(1)；(2)（?。┗蚧蚧?；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，解得，從而可得，即可得橢圓方程；（2）（?。┰O(shè)直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算的面積，可解得或，即可得直線方程；（ⅱ）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得；設(shè)出以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根的判別式可求出切線斜率，即可得出切線方程，同理可得點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立兩切線方程可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得，由可證得三點(diǎn)共線.【詳解】（1）由題意可得，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知，，設(shè)直線，聯(lián)立，可得，則，設(shè)，則.（?。?，則，整理可得即，解得或，則或，所以，直線的方程為或或或.（ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則，，所以.設(shè)以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為即，聯(lián)立，可得，則，整理得，則，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，所以，即，則，所以以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為.同理可得，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為.聯(lián)立兩切線方程，消去，可得，整理得,結(jié)合化簡(jiǎn)可得，由題意，，故，代入直線方程，可得，所以，則,其中，故，，三點(diǎn)共線.【變式1】（24-25高二上·河北邢臺(tái)·期末）若橢圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)滿足0，則稱為該橢圓的一組“相伴點(diǎn)對(duì)”，記作.已知橢圓的焦距為，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，證明橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足“相伴點(diǎn)對(duì)”，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)分別是，若直線與直線的斜率之積為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意求出得橢圓方程；（2）根據(jù)新定義列方程組求解；（3）由（2）求得，設(shè),求出方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去后，利用是此方程的解得出，然后可得，同理得，由得出的關(guān)系式，用坐標(biāo)法判斷得出三點(diǎn)共線．【詳解】（1）由題，，即，又，所以，，所以橢圓方程為：（2）設(shè)“相伴點(diǎn)對(duì)”的坐標(biāo)為，根據(jù)定義：點(diǎn)的坐標(biāo)滿足所以或于是有兩個(gè)點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）由（2），，所以，設(shè),,,直線方程為，由，得，其中，又，代入整理得，，，所以，，同理，，由得，由，，所以，所以三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及到直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題可設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，如題中，解決三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用坐標(biāo)法證明兩個(gè)向量共線，從而在證明平行的坐標(biāo)表示中需要得出兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，于是我們利用直線與橢圓相交解方程組的方程把的坐標(biāo)用坐標(biāo)表示，而利用得出所要關(guān)系式，完成證明．【變式2】（25-26高二上·重慶渝北·期中）已知橢圓的方程為，過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若為橢圓的右焦點(diǎn)，M，N是橢圓上的兩點(diǎn)且直線MN與曲線相切，證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由橢圓過(guò)已知點(diǎn)和離心率列方程組，求解即得；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，解得所以橢圓方程為；（2）由（1）得，，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)不共線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立，得，所以，所以，所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以由直線與曲線相切可得，所以，所以由，得化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．題型四四點(diǎn)共圓解｜題｜技｜巧四點(diǎn)共圓本質(zhì)上是通過(guò)一些幾何性質(zhì)（如對(duì)角互補(bǔ)），轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問(wèn)題，從而能夠完美地融入我們熟悉的韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的框架中予以解決?！镜淅?】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知雙曲線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求E的方程．(2)若直線l經(jīng)過(guò)E的右焦點(diǎn)F且與E的左、右兩支分別交于點(diǎn)C，D（C與A不重合），的中點(diǎn)為M，l與直線交于點(diǎn)G，直線與E交于另一點(diǎn)N，證明：（i）軸；（ii）四點(diǎn)共圓．【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求出的值，即可求E的方程；（2）（i）設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，求出，再求出直線，的方程，可得，從而得軸；（ii）求得，結(jié)合M為的中點(diǎn)，可得點(diǎn)N在以為直徑的圓上．再證明點(diǎn)A也在以為直徑的圓上即可．【詳解】（1）因?yàn)镋經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)镋經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，得，所以E的方程為（2）（i）由題意知l的斜率存在且不為0，，故設(shè)，，則，即由消去x，得所以設(shè)，則由，解得，所以所以直線，即．設(shè)，由得，又，所以，因?yàn)?，所以軸．（ii）由弦長(zhǎng)公式可知，因?yàn)樗运?，又M為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N在以為直徑的圓上．因?yàn)樗渣c(diǎn)A也在以為直徑的圓上．綜上，四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答（i）的關(guān)鍵是求出的縱坐標(biāo)并證明其相等；解答（ii）的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在以為直徑的圓上.【典例2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于第一象限的點(diǎn)為上一點(diǎn)，，且垂直于軸.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線與交于，兩點(diǎn)，求證：，，，四點(diǎn)共圓.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離即可求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系即可求解垂直，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由題意知，由軸，知，，由，知，解得，所以拋物線的方程為.（2）聯(lián)立得，解得，.設(shè)，，由，在拋物線上知，.又，，所以，，，，所以，，所以，，所以，在以為直徑的圓上，即，，，四點(diǎn)共圓.【變式1】（24-25高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知雙曲線的離心率為2，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），①證明：以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出的坐標(biāo)；②對(duì)于①中的，設(shè)過(guò)的中點(diǎn)且與軸平行的直線與的右支交于點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，證明：．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析，；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意可得關(guān)于的方程組，求解即可得雙曲線的方程；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立方程組可得，設(shè)，利用對(duì)恒成立可求得定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）求得的坐標(biāo)，可求得，進(jìn)而可得四點(diǎn)共圓，可證得結(jié)論．【詳解】（1）由題意．將點(diǎn)代入雙曲線方程得，解得．所以，雙曲線的方程為；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，直線方程為，聯(lián)立方程，得，所以，，．設(shè)，則，即對(duì)任意恒成立．所以，解得所以，以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)．（ii）．由題意可知，代入雙曲線方程可得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以．又，所以四點(diǎn)共圓．由相交弦定理得．【變式2】（24-25高三下·江蘇·月考）已知為離心率為的橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與交于兩點(diǎn)（在第一象限）.(1)求的方程；(2)求的面積的最大值；(3)若直線與軸交于點(diǎn)，求證：四點(diǎn)共圓.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用條件列出關(guān)于的方程組，求解即得橢圓方程；（2）先求出點(diǎn)，利用對(duì)稱性求得，寫(xiě)出的面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積最大值；（3）根據(jù)圖形對(duì)稱性，設(shè)的外接圓圓心，求出其半徑，寫(xiě)出外接圓方程，代入點(diǎn)，求得，化簡(jiǎn)圓的方程，利用直線的方程求得點(diǎn)，將代入圓的方程，推得，證明點(diǎn)在該圓上即可.【詳解】（1）依題意，，解得，故的方程為；（2）依題意，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，將代入，解得，因點(diǎn)在第一象限，則，，的面積為，因，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為；（3）因關(guān)于軸對(duì)稱，故的外接圓圓心在軸上，設(shè)，則的外接圓半徑為，于是的外接圓的方程為：，

因點(diǎn)在該圓上，代入圓的方程解得，則的外接圓方程為：（*）又直線的方程為：，令，可得，將其代入（*），可得：，即點(diǎn)在該圓上，故四點(diǎn)共圓.題型五定點(diǎn)問(wèn)題解｜題｜技｜巧推薦先猜后證法【典例1】（25-26高二上·江蘇常州·期中）橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的直線，，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線不平行軸，那么直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）由離心率計(jì)算可得，再將代入橢圓方程中計(jì)算可得其交點(diǎn)，結(jié)合弦長(zhǎng)即可得解；（2）設(shè)、直線與橢圓另一交點(diǎn)為，則有，設(shè)出并聯(lián)立橢圓方程，可得與橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，再表示出直線后，令計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由題意可得，則，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，，聯(lián)立，則，故，解得，則，即橢圓的方程為；（2）設(shè)，若直線與橢圓僅有交點(diǎn)，則直線與橢圓僅有交點(diǎn)，且平行軸，不符，故可設(shè)直線與橢圓另一交點(diǎn)為，由直線，關(guān)于軸對(duì)稱且直線不平行軸，則，且兩直線斜率存在，設(shè)，聯(lián)立，消去得，，即，有、，則，由對(duì)稱性可得，若直線過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上，令，則，故直線過(guò)定點(diǎn).【典例2】（25-26高二上·湖北武漢·期中）已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與直線交于點(diǎn).（?。┤?，求直線的斜率；（ⅱ）軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)（ⅰ）1；（ⅱ）存在，【分析】（1）由題意可得，解出即可得；（2）（?。┯煽傻茫霗E圓方程則可得，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間斜率公式計(jì)算即可得；（ⅱ）可猜想，使得平分，設(shè)，則可計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，再分斜率存在與否，得到，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)符合要求，即可得.【詳解】（1）由題意，得，解得，則，故橢圓的方程為；（2）（?。┯?，且，，三點(diǎn)共線，則，則，解得，又，則，由，則直線，即，令，則，故，又，則直線；（ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，由（ⅰ）猜想平分，由直線不與軸重合，可設(shè)，，聯(lián)立，消去得，則，即，將直線的方程與直線聯(lián)立，則，則，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，由（?。┑茫虎诋?dāng)斜率存在時(shí)，，則，又，故；由，得，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，則，由，則，又，故，則，故軸上存在定點(diǎn)，使得.【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（i）當(dāng)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程．（ii）若直線分別與軸交于兩點(diǎn)，且，試探究此時(shí)直線是否恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)（i），（ii）過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率即可求解；（2）（i）設(shè)，代入橢圓方程，由點(diǎn)差法求得斜率即可；（ii）聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理得到，再利用得到，最后分類(lèi)討論求解定點(diǎn)即可.【詳解】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，又，得，所以，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）設(shè)，則和，兩式相減化簡(jiǎn)可得：，又，代入可得：，所以直線的方程為，即；（ii）①若直線斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性可知為等腰直角三角形，得到，此時(shí)，則直線，與橢圓方程聯(lián)立，解得，故直線過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，即，②若直線斜率存在，如圖，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去得，由韋達(dá)定理可知，由已知得，且設(shè)，可以求出直線方程為，令，得到，，故，又因?yàn)?，故，代入韋達(dá)定理得，求得，即，得到或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)，此時(shí)三點(diǎn)重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線AB過(guò)定點(diǎn)綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn)．【變式2】（24-25高二上·廣西梧州·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)；①若直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，且的面積為求實(shí)數(shù)k的值；②若直線過(guò)定點(diǎn)，且，在x軸上是否存在點(diǎn)使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，則求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)①；②存在，【分析】（1）根據(jù)題意，求出得解；（2）①把直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出面積等式，最后求解的值；②把菱形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)角線互相垂直問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為兩對(duì)角線的斜率之積為，通過(guò)這個(gè)等式轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解取值范圍.【詳解】（1）由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，可得，又離心率為，則，所以由，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)可得：，即，所以由直線與橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組，消去得：，設(shè)兩交點(diǎn)，則有，所以，又橢圓左焦點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得：或（舍去），即；②假設(shè)存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，由于直線過(guò)定點(diǎn)，且，可知直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，由，且，解得，

設(shè)兩交點(diǎn)，中點(diǎn)，則有，且，所以，即，整理得，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，所以，則.

題型六點(diǎn)在定直線上解｜題｜技｜巧在解題過(guò)程中，可以使用幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化，先猜后證等方法幫助解決計(jì)算問(wèn)題【典例1】（24-25高二下·福建福州·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且橢圓上一點(diǎn)M到的距離的最大值為3，已知直線l過(guò)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求直線l的方程；(3)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)D作直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探究：點(diǎn)N是否在某條定直線上，若存在，求出該直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)直線l的方程為；(3)點(diǎn)N不在定直線上【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)確定a、c的值，即可求出橢圓方程.（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理和共線向量坐標(biāo)關(guān)系求解.（3）首先利用點(diǎn)差法求得直線的方程，然后分別取個(gè)不同的值，求解相應(yīng)個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，由向量不共線即可說(shuō)明點(diǎn)N不在某條定直線上.【詳解】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓，離心率（c為半焦距），且橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的最大值為．由離心率，可得，因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)M到的距離的最大值為3，即，將代入，可得，解得，那么，根據(jù)，可得．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，因?yàn)橹本€l過(guò)，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，與方向相反，不滿足，所以直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為．聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y可得：，由韋達(dá)定理得，．因?yàn)?，所以，即，也就是．將代入，可得，即，．再代入，可得，解得，所以直線l的方程為．（3）由（2）知直線AB過(guò)，由題意其斜率存在，設(shè)直線AB方程，令，得，所以．由過(guò)點(diǎn)，且，則是PQ中點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線即為軸，與軸交于原點(diǎn)即，與橢圓交于長(zhǎng)軸兩點(diǎn)，此時(shí)不妨取，則過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，恒有，由對(duì)稱性可知，即兩直線無(wú)交點(diǎn)，不符合題意，故，結(jié)合橢圓對(duì)稱性可知，設(shè)，，則，．由，兩式相減得：將，代入上式，可得，因?yàn)椋?，即PQ垂直于y軸，直線方程為．聯(lián)立，可得，，，不妨設(shè)，,其中，由（2）知，設(shè)，，不妨設(shè)，由，．故當(dāng)時(shí)，則，又由，可解得，則，且，此時(shí)交點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，則，又由，可解得，，且，此時(shí)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則，，，，此時(shí)交點(diǎn)；，，因?yàn)?，所以不共線，故動(dòng)點(diǎn)不在定直線上；同理由對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，也不在定直線上，綜上可得，動(dòng)點(diǎn)不在定直線上.【典例2】（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知橢圓的離心率為，A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)在定直線上；（ii）求的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式可求出，然后根據(jù)離心率求出，進(jìn)而可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（i）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，利用韋達(dá)定理，將直線的方程表示出來(lái)，進(jìn)而可求得定直線的方程；（ii）根據(jù)直線的斜率將表示出來(lái)，然后利用基本不等式的性質(zhì)求出最大值.【詳解】（1）由題意知，，，所以，即.又，所以，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）由于直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)直線的方程為.由，得，設(shè)，，則，，所以.因?yàn)闄E圓的左，右頂點(diǎn)分別為，，所以直線的方程為，直線的方程為，所以，解得，所以點(diǎn)在定直線上.（ii）設(shè)直線的傾斜角分別為，則，由（i）知，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.【變式1】（25-26高二上·陜西西安·期中）已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，上焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線的下焦點(diǎn)為，若，求；(3)記雙曲線的上、下頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)的直線與雙曲線的上支交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，直線與交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，借助雙曲線方程及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得時(shí)，取最小值，從而可得雙曲線方程；（2）結(jié)合雙曲線定義計(jì)算即可得；（3）設(shè)出直線的方程后聯(lián)立曲線，可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，再表示出直線與直線的方程后，聯(lián)立兩直線方程計(jì)算即可得解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)，則有，即，由，則，則，由，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即，則，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由雙曲線的定義可得，又，則有或，由（1）得，又，所以；（3）由（1）可得，，設(shè)，，顯然直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，顯然，聯(lián)立，消去有，，則，直線的方程為：，直線的方程為：，則，由可得，即，故點(diǎn)在定直線上.【變式2】（24-25高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最大距離為3．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于）．①若的面積為，求直線的方程；②若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上．【答案】(1)(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得，求出即可求解；（2）①設(shè)直線的方程和，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出弦長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式建立方程，解之即可求解；②聯(lián)立直線可得，由①知，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意可知，，所以．又，所以橢圓的方程為；（2）①設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，點(diǎn)，聯(lián)立，得，則，則．又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離．令，解得，所以直線的方程為．②由①知，則直線，直線，由，整理得．由①知，得，所以，即，解得，所以點(diǎn)在直線上．

題型七定值問(wèn)題解｜題｜技｜巧將待證的目標(biāo)量（如斜率積、線段乘積、面積等）用參數(shù)（通常是斜率

k）表示出來(lái)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算消去參數(shù)，若結(jié)果是一個(gè)常數(shù)【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓過(guò)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，設(shè)直線和直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為和．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線和直線的斜率分別為和都存在時(shí)，證明：為定值；(3)若關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，證明：的面積為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法，列方程組求解即可；（2）設(shè)，，利用點(diǎn)差法可證得為定值；（3）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積公式證明.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：過(guò)；（2）設(shè)，則，，則，兩式作差可得，所以；（3）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，根據(jù)對(duì)稱性，取直線的方程為，則，解得，即，此時(shí)；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，同理可得；③當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)樗?，在橢圓上，所以，即，設(shè)到直線的距離為，則，，所以.【典例2】（25-26高二上·山東菏澤·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中，以（且）代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過(guò)關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.已知橢圓：，橢圓：（）是由曲線通過(guò)關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)為上異于其左、右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過(guò)分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“伸縮變換”的定義得到的方程，然后求離心率即可；（2）根據(jù)得到的方程，然后設(shè)的方程，與的方程聯(lián)立，根據(jù)相切得到，即可得到，為關(guān)于的方程的兩根，然后利用韋達(dá)定理得到，最后將代入即可.【詳解】（1）

對(duì)于橢圓：，所以為，故橢圓：（）中，，故，則橢圓的離心率.（2）由題解得，所以橢圓：，設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以，為關(guān)于的方程的兩根，所以.又點(diǎn)在橢圓：上，所以，所以，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題，往往需聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元并結(jié)合韋達(dá)定理，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、斜率公式、向量數(shù)量積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，結(jié)合已知條件得出結(jié)果.【變式1】（25-26高二上·重慶·月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知定點(diǎn)，直線的方程為，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，軌跡上有一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)若，為軌跡上不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，當(dāng)面積取最大值時(shí)，是否存在兩定點(diǎn)S，T，使為定值？若存在，求出這個(gè)定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在兩定點(diǎn)S，T，使為定值.【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，化簡(jiǎn)后得到軌跡方程；（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，由橢圓定義和三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為直線上找到一點(diǎn)，使得最小，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為的坐標(biāo)，由對(duì)稱可得最小值為；（3）考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況，求出點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，由橢圓定義可知，存在兩定點(diǎn)S，T，分別為或，使為定值.【詳解】（1）由題意得，兩邊平方得，整理得，點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）中，，則，為的右焦點(diǎn)，設(shè)為的左焦點(diǎn)，連接，則，，則，其中當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，使得最小，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故，連接，與直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，使得最小，最小值為，故的最小值為.（3）存在兩定點(diǎn)S，T，使為定值,理由如下：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，即，設(shè)，則，故，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，滿足，因?yàn)?，所以，故，故，令，兩式相除得，故，將其代入得，結(jié)合得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，故，即，?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，則，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足，故當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由橢圓定義可知，存在兩定點(diǎn)S，T，分別為或，使為定值.【變式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知曲線的離心率為，分別為的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，面積的最大值為，點(diǎn)為的左頂點(diǎn)．(1)求曲線的方程；(2)證明：為定值；(3)已知雙曲線，若所在直線與雙曲線的左支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)（均異于點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，證明：存在點(diǎn)使得為定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓離心率及焦點(diǎn)三角形面積列式求出即可.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得證.（3）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程并與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式計(jì)算可得直線過(guò)定點(diǎn)，再探討直線的斜率不存在時(shí)的情況即可推理得證.【詳解】（1）設(shè)曲線的半焦距為c，由離心率為，得，由的最大值為，得，而，解得，，，所以曲線的方程為.（2）由（1）得，依題意，直線不垂直于軸，設(shè)，，由消去得，則，，則，所以為定值；（3）

設(shè)，由（2）知，則，①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由直線不過(guò)點(diǎn)，得，由消去得，，且，，，則，整理得，于是，化簡(jiǎn)得，即，而，則，符合題意，直線：，過(guò)定點(diǎn)；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)在第二象限，直線的斜率為，方程為，與方程聯(lián)立可得，同理得，此時(shí)直線也過(guò)點(diǎn)，因此直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為，由，得在為直徑的圓上，圓的方程為，半徑為，所以存在點(diǎn)使得為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．題型八定比點(diǎn)差法解｜題｜技｜巧定比點(diǎn)差法通過(guò)巧妙地構(gòu)造方程間的加權(quán)差，利用平方差公式和定比分點(diǎn)公式，直接溝通了分點(diǎn)坐標(biāo)、曲線參數(shù)和弦的斜率，實(shí)現(xiàn)了“化曲為直”，是解決此類(lèi)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題的典范方法。【典例1】（25-26高三上·山西太原·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，的周長(zhǎng)為6，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)為定值，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.（2）首先直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得到，，根據(jù)得，同理得，再計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意，可得，又，所以橢圓C的方程為；（2）由題，得直線斜率存在，由（1）知，設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立，消去，整理得，，設(shè)，則，，又，則，由得，所以，同理得，所以所以為定值.【典例2】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，延長(zhǎng)，分別與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線的斜率為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的幾何性質(zhì)解方程組可得結(jié)果；（2）解法一：由坎迪定理可直接得到結(jié)果；解法二：平移構(gòu)造曲線系可得結(jié)果；解法三：由定比點(diǎn)差計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，解得，又在橢圓中，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一（坎迪定理）：設(shè)橢圓左右頂點(diǎn)為，，交軸于，，根據(jù)坎迪定理，可知，故；所以，即.解法二（曲線系）：將橢圓向左平移一個(gè)單位得：，即：，，，，故曲線系方程為：即所以系數(shù)：，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)：，系數(shù)：，即，解得，因?yàn)橄禂?shù)：，所以.解法三（定比點(diǎn)差）：設(shè)，，，，，，，根據(jù)定比點(diǎn)差，，，即.【變式1】（25-26高二上·山東淄博·期中）已知橢圓I的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓Γ交于M、N兩點(diǎn)，(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方)，與y軸交于點(diǎn)E.(1)求橢圓Γ的離心率；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)求證：為定值，并求出該值；(3)當(dāng)為何值時(shí)，恒為定值，并求此時(shí)三角形面積的最大值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，；(3)時(shí)，三角形面積的最大值為1.【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)得到的值，從而得到橢圓方程，利用離心率公式求解即可；（2）將點(diǎn)代入直線得到和，將橢圓和直線聯(lián)立方程組，消去，整理得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可；（3）聯(lián)立與橢圓，消去，整理得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算，得到的值，利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到直線的距離，求出，利用基本不等式求最大值.【詳解】（1）橢圓I的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，，，橢圓，，，；（2）直線過(guò)點(diǎn)，，，，聯(lián)立，消去，整理得到，設(shè)，則，與y軸交于點(diǎn)E，，，，，，，，，，，，，，，，為定值，求定值為；（3）聯(lián)立與橢圓，即，消去，整理得到，設(shè)，則，，在上，，，，，，，，，當(dāng)為定值時(shí)，即與無(wú)關(guān)，故，解得，此時(shí)又點(diǎn)到直線的距離，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，滿足直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則三角形面積的最大值為1.【變式2】（25-26高二上·湖北·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(3)設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)是，為定值．【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形求出的值，再由離心率求出，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）法1：設(shè)，利用兩點(diǎn)之間距離公式化簡(jiǎn)計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求得答案；法2：設(shè)，計(jì)算，結(jié)合正弦函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得；（3）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由代入坐標(biāo)計(jì)算推得，，計(jì)算并化簡(jiǎn)，即可得到為定值.【詳解】（1）由題意的周長(zhǎng)為，解得，又由可得，則，故橢圓的方程為；（2）法1：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則滿足，，，因，則函數(shù)在時(shí)取得最大值為，故的最大值是．法2：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，，設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，此時(shí)的最大值是．（3）由題意，得直線斜率存在，由（1）知，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，整理得，，設(shè)，則，又，則，由得，所以，同理得，所以，所以為定值．題型九平移齊次化解｜題｜技｜巧處理斜率和、斜率積時(shí)，可以考慮用平移齊次化方法去解決?！镜淅?】（25-26高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，射線與橢圓交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)過(guò)點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出即得橢圓方程.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式為0求解.（3）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出該直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理求出直線所過(guò)定點(diǎn)，再驗(yàn)證直線斜率不存在所過(guò)定點(diǎn)即可.【詳解】（1）由的周長(zhǎng)為，得，解得，由橢圓過(guò)點(diǎn)，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，得該直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由消去得，由，解得，所以直線的方程為：.（3）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，如圖，設(shè)直線方程為，，

由消去得，，即，則，而，由，得，解得，則直線過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，由，得，解得，直線也過(guò)點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn).【典例2】（24-25高二上·河南許昌·期末）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，且的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，作于點(diǎn)．①證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；②是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)；②為定值，定值為．【分析】（1）由的面積可得出，再由點(diǎn)在橢圓上，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①方法一：對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)求出的值，可得出結(jié)論；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用結(jié)合韋達(dá)定理可得出與的關(guān)系，化簡(jiǎn)的方程，可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；方法二：設(shè)直線的方程為，將橢圓方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的二次齊次方程，令，可得出關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合可得出、的等量關(guān)系式，化簡(jiǎn)直線的方程，可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)在以為直徑的圓上，由直角三角形的幾何性質(zhì)可得出點(diǎn)為圓心，求出的坐標(biāo)，并由此可得出的值.【詳解】（1）由的面積為，得到：，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，且，所以，，解得，所以橢圓的方程為．（2）①方法一：常規(guī)方法當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，由對(duì)稱性質(zhì)可知，則有，可得，又，解得（舍）；②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由，消去得到，所以，即，由韋達(dá)定理可得，．所以，，將，，代入化簡(jiǎn)得，即，故或，當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，此時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，此時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，又因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)，故直線l過(guò)定點(diǎn).綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn).方法二：齊次式法設(shè)直線的方程為，由，所以，整理得，，，顯然，同除以得：，令，則有，易知、是關(guān)于的二次方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系得：，代入，由得，故直線過(guò)定點(diǎn)．②因?yàn)?，由①知直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故當(dāng)為圓心時(shí)，，故存在定點(diǎn)，使為定值，定值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.【變式1】（24-25高三上·山西陽(yáng)泉·期末）已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交橢圓C于點(diǎn)Q，直線AP，AQ的斜率分別為，．（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線PQ：，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)和離心率即可求解；（2）（i）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可代入化簡(jiǎn)求解，（ii）聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得韋達(dá)定理，即可結(jié)合化簡(jiǎn)求解定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓C過(guò)點(diǎn)得，又離心率為，即，則，∴．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）設(shè)，，，由（1）知，，顯然，，而，則．，又，即，∴為定值．（ii）由消去x，得，①，由①得，，又，則，解得（舍）或，滿足，因此直線PQ的方程為，∴直線PQ過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).【變式2】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，設(shè)D為PQ的中點(diǎn)，且D的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，已知OM，直線l，ON的斜率，k，成等比數(shù)列，記以O(shè)M，ON為直徑的圓的面積分別為，，試探究是否為定值，若是，求出此值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)是，.【分析】（1）設(shè)，，利用相關(guān)點(diǎn)法求解即可；（2）設(shè)MN方程為：，將橢圓方程齊次化，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合和定比定理求出，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相加轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程組，結(jié)合求解，然后由圓的面積公式可得.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)镈為PQ的中點(diǎn)，所以．因?yàn)樵趫A上，所以，所以曲線E的方程為：．

（2）設(shè)，因?yàn)榈男甭蚀嬖?，所以，設(shè)MN方程為：，橢圓方程齊次化：，所以，令，則，則，是其兩根，所以又，且，所以，所以，所以，則①，，②③：④，由①④得，，

題型十非對(duì)稱韋達(dá)解｜題｜技｜巧x1x2x1x2【典例1】（25-26高二上·廣東廣州·期中）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別為、．過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，且的周長(zhǎng)為．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值．(3)記直線、的斜率分別為、，證明：為定值．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)求出，利用離心率求出，進(jìn)而求出，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式得出面積表達(dá)式，進(jìn)而求出面積最大值；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率關(guān)系求出的值，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）的周長(zhǎng)為，由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，，解得，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，整理得，設(shè)點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，，令，則，，令，求導(dǎo)得，，，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得最大值，最大值為，的最大值為．（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，整理得，設(shè)點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，，，，，，為定值，命題得證．【典例2】（24-25高二上·山東棗莊·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)作點(diǎn)直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，（i）在軸上存在一點(diǎn)，使得兩條直線恰好關(guān)于軸對(duì)稱，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）再過(guò)該點(diǎn)作軸的垂線與交于點(diǎn)，過(guò)作直線與平行，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）由題可知，再由條件兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形可知，結(jié)合求解，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，由韋達(dá)定理得到兩根的關(guān)系，設(shè)，由，可求解點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）根據(jù)平行得到斜率相等，可以寫(xiě)出直線的方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，聯(lián)立直線得到點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可.【詳解】（1）依題意得，解得，所以橢圓的方程為；（2）（i）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理得，其中，則，設(shè)，因?yàn)榍『藐P(guān)于軸對(duì)稱，所以，即，即，即，整理可得，則，即得，即，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為；（ii）對(duì)于直線的方程，令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線的斜率為，直線直線，所以，從而直線的方程為，①令，得，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，②聯(lián)立方程①②得，即，即，其中，所以，于是有，從而得，，③方法一：由得，代入③式得，即，所以．方法二：③式中令，得，整理得，由，得，代入得.即，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式1】（25-26高二上·山東日照·期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)等于8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率為別為，，求證：為定值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義及焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的直線方程代入橢圓方程，再由根與系數(shù)關(guān)系及斜率公式可得定值.【詳解】（1）因橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，所以，由的周長(zhǎng)等于8，得，即，得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，設(shè)直線的方程為，.將方程代入橢圓方程，得，化簡(jiǎn)整理得，，.所以，同理.所以，若，則，代入根與系數(shù)關(guān)系得，即，再消去得，得無(wú)解，故.所以.故為定值.【變式2】（25-26高三上·陜西·月考）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的2倍.點(diǎn)在曲線上．(1)求的方程；(2)若直線，關(guān)于軸對(duì)稱，求直線MN的斜率的取值范圍；(3)若，直線過(guò)且直線與，交于P，Q，證明：為定值.【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，由題意建立等式化簡(jiǎn)即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，設(shè)，得到兩根之和，兩根之積，設(shè)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為，則，且在直線上，根據(jù)，得到方程，求出，從而求出直線的斜率的取值范圍；（3）設(shè)直線為，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，直線為，表達(dá)出直線，聯(lián)立直線得，同理可得，結(jié)合兩根之和，兩根之積，得到，（），由于，所以，當(dāng)時(shí)，其中一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為，與重合，不合要求，從而得到結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，由題意可得，化簡(jiǎn)可得，即曲線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，得到，故，設(shè)，故，直線，關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為，則，且在直線上，直線的斜率存在并且不為0，故直線斜率存在且不為0，其中，，即，所以，其中，所以，，將，代入可得，化簡(jiǎn)得，代入中，得到，即且，所以直線MN的斜率的取值范圍為；

（3）直線過(guò)點(diǎn)，若直線斜率不存在，則，曲線的左頂點(diǎn)為，此時(shí)直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，舍去；若直線斜率存在，設(shè)直線為，聯(lián)立得，，故，解得，設(shè)，則，直線為，直線為，聯(lián)立直線與直線得，同理可得，，其中，故將代入得，（），由于，所以，當(dāng)時(shí)，直線為，聯(lián)立得，即，解得或2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即其中一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為，與重合，不合要求，綜上，.

期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1.（24-25高二上·江西上饒·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．過(guò)點(diǎn)的直線與及圓依次相交于點(diǎn)，如圖．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：為定值；(3)過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求與的面積之積的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，可求的值，得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)題意，設(shè)直線方程：，與拋物線方程聯(lián)立，消去，可得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，，再利用焦半徑公式，表示出，化簡(jiǎn)整理即可.（3）先求出過(guò)兩點(diǎn)的切線方程，再求兩切線的交點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，表示出與的面積之積，再結(jié)合二次函數(shù)的值域問(wèn)題求最小值.【詳解】（1）由題意得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以.∴，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：，顯然直線/的斜率存在，所以設(shè)直線方程為：，由，設(shè)，則由拋物線的定義得：，所以：，即為定值1．（3）由設(shè)直線，聯(lián)立得：∴，直線，即同理求得直線，，則，∴到的距離，∴與的面積之積，當(dāng)時(shí)，與的面積之積的最小值1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查拋物線中弦長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題，常用的思路就是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法求解.2.（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為，是橢圓左右頂點(diǎn)，過(guò)做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點(diǎn)（在的左側(cè)），并過(guò)兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，直線交點(diǎn)的切線于，直線交點(diǎn)的切線于，過(guò)作的垂線交于．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，直線與的斜率分別為與，求的值；(3)求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求解；（2）設(shè)出過(guò)點(diǎn)R的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程，由相切知從而得到關(guān)于切線斜率的方程，利用韋達(dá)定理求解即可；（3）設(shè)，可得，聯(lián)立過(guò)點(diǎn)R的切線方程和橢圓方程，由相切知從而得到關(guān)于切線斜率的方程，利用韋達(dá)定理寫(xiě)出，，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可.【詳解】（1）由題意：．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，即，由，消去，得：，整理得：，由，整理得，整理得：，所以.（3）設(shè)（），的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，如圖：、兩點(diǎn)處切線斜率分別為，則．設(shè)過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為：，即，由消去，化簡(jiǎn)整理得：，由得：化簡(jiǎn)整理得：，由韋達(dá)定理，得：，，所以，，所以要證明，只需證明：，即，因?yàn)椋陨鲜匠闪?，即成?3．（25-26高二上·北京·期中）已知橢圓，其離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，求直線HA，HB的斜率之和；(3)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)H），設(shè)直線HP，HQ的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及所過(guò)點(diǎn)列出方程組求解即得.（2）由（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得解.（3）根據(jù)給定條件，設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得證.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，得，則，由橢圓過(guò)點(diǎn)，得，聯(lián)立解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，直線的斜率，所以直線的斜率之和為.（3）由直線過(guò)點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，得直線的斜率存在，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，其方程為，不妨令點(diǎn)，由（2）知；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，由消去并整理得，，解得或，，因此，所以為定值.4．（25-26高三上·安徽·月考）已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，的面積為.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)是橢圓上異于的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，且滿足=，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)+y2=1(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；（2）設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)=求出的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若直線的斜率為零，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，由于直線不過(guò)橢圓的左、右頂點(diǎn)，則，由，可得，由，可得，由韋達(dá)定理可得，，則ty1y2=，所以，解得，即直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).5．（25-26高二上·浙江溫州·期中）已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)（在左側(cè)），給定點(diǎn)、在拋物線上．(1)用表示；(2)若，，，四點(diǎn)共圓，求實(shí)數(shù)的值；(3)在（2）的條件下，求過(guò)，，，四點(diǎn)的圓的方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）聯(lián)立拋物線和直線方程，根據(jù)韋達(dá)定理列出關(guān)系式；（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，結(jié)合韋達(dá)定理分析四點(diǎn)共圓的成立條件求出的值；（3）先求出四點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的一般方程求解．【詳解】（1）拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立方程得，移項(xiàng)得，由已知、為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得：．（2）方法一：（代數(shù)法）設(shè)圓的方程為：，代入點(diǎn)得①，代入點(diǎn)得②，由①②式，消去，得，代入①式得，點(diǎn)在圓上，代入圓的方程，同理對(duì)成立，，是方程的兩根，但，也是的兩根，兩方程系數(shù)成比例，又得：，③，將，代入③得，化簡(jiǎn)得，檢驗(yàn)：當(dāng)