第六章

計(jì)數(shù)原理6.3

二項(xiàng)式定理圖解課標(biāo)要點(diǎn)教材幫

新知課丨必備知識(shí)解讀知識(shí)點(diǎn)1

二項(xiàng)式定理1

二項(xiàng)式定理

2

二項(xiàng)式定理的證明

3

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

.

.

.

..

.學(xué)思用·典例詳解

（1）求展開式;

（2）求展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);

（3）求展開式中第2項(xiàng)的系數(shù).

【想一想丨問(wèn)題質(zhì)疑】從上例中你能體會(huì)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)、項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的區(qū)別嗎？

A

用）

C

知識(shí)點(diǎn)2

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1

兩個(gè)角度表示二項(xiàng)式系數(shù)

圖6.3-1

2

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

.

.

BA.4

B.6

C.8

D.10

ABCA.7

B.8

C.9

D.10

D

方法幫

解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建題型1

二項(xiàng)式定理的正用、逆用例7

[教材改編P34習(xí)題6.3

T3]用二項(xiàng)式定理展開：

.

.例8

化簡(jiǎn)：

.

.

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

.

.題型2

二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)的求解1

分析通項(xiàng)解決特定項(xiàng)

（1）第4項(xiàng)；

（2）常數(shù)項(xiàng)；

（3）有理項(xiàng).

2

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

ABD

2

多個(gè)多項(xiàng)式相乘問(wèn)題

AA.12

B.16

C.20

D.24

.

.

D

.

.

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

2

2

3

系數(shù)問(wèn)題

2

BA.45

B.27

C.15

D.3

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

AA.83

B.84

C.55

D.88

.

.題型3

三項(xiàng)式的展開問(wèn)題母題

致經(jīng)典·母題探究

命題探源

方法1、方法2、方法3的共同特點(diǎn)：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決.方法4是利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法來(lái)解決問(wèn)題，其本質(zhì)是分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，用這種方法可以直接求展開式中的某特定項(xiàng).子題

-20

三項(xiàng)式求特定項(xiàng)的常規(guī)方法（1）因式分解法：通過(guò)分解因式將三項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，然后用二項(xiàng)式定理展開.（2）逐層展開法：將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開.（3）利用組合知識(shí)：把三項(xiàng)式看成幾個(gè)一次項(xiàng)的積，利用組合知識(shí)分析項(xiàng)的構(gòu)成，注意最后應(yīng)把各個(gè)同類項(xiàng)合并.

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

DA.160

B.210

C.120

D.252

題型4

二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值問(wèn)題1

二項(xiàng)式系數(shù)最大問(wèn)題

給什么得什么沒(méi)有比第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)更大的項(xiàng)，換句話說(shuō)，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.求什么想什么差什么找什么

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

BA.4

B.8

C.12

D.16

C

2

展開式系數(shù)最大問(wèn)題

（1）系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

.

.（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（3）求系數(shù)最大的項(xiàng)；【解析】

由于展開式中各項(xiàng)的系數(shù)正負(fù)相間，因此系數(shù)最大的項(xiàng)必是奇數(shù)項(xiàng).

.

..

.

（4）求系數(shù)最小的項(xiàng).【解析】

由于展開式中各項(xiàng)的系數(shù)正負(fù)相間，因此系數(shù)最小的項(xiàng)必是偶數(shù)項(xiàng).

.

..

.

求項(xiàng)的系數(shù)的最值問(wèn)題的思路求展開式中有關(guān)系數(shù)最大的問(wèn)題時(shí)，要區(qū)分“項(xiàng)的系數(shù)最大”與“二項(xiàng)式系數(shù)最大”以及“最大項(xiàng)”等.（1）在系數(shù)均為正

.

.

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

題型5

利用賦值法解系數(shù)問(wèn)題

.

.

.

.

解決二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和的問(wèn)題的思維過(guò)程與方法

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

DA.4

B.7

C.8

D.9

題型6

二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1

利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題例19

[教材改編P35

T9]用二項(xiàng)式定理證明:

名師點(diǎn)評(píng)

證明整除問(wèn)題，可找除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)為因式，利用二項(xiàng)展開式求證.利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題的基本思路利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只需證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除.因此，一般先將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，再展開，此時(shí)常采用“配湊法”“消去法”，結(jié)合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)處理.2

利用二項(xiàng)式定理求余數(shù)

【解析】

.

.利用二項(xiàng)式定理求余數(shù)的注意點(diǎn)求余數(shù)時(shí)，要注意余數(shù)的范圍，即余數(shù)大于零且小于除數(shù).利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3

利用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算

4

利用二項(xiàng)式定理證明不等式

.

..

..

.名師點(diǎn)評(píng)

用二項(xiàng)式定理證明不等式時(shí)，應(yīng)注意巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，對(duì)展開式的項(xiàng)進(jìn)行放縮以達(dá)到求和的目的.新考法·思維創(chuàng)新

高考幫

考試課丨核心素養(yǎng)聚焦考情揭秘高考中主要考查求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)或其系數(shù)，求解的關(guān)鍵是寫出通項(xiàng)，處理方法較為固定，主要以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)候也會(huì)作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在解答題中，難度中等偏下.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算（系數(shù)的求解等）.考向1

求展開式中的特定項(xiàng)或其系數(shù)1

二項(xiàng)展開式問(wèn)題

20

命題探源主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，難度不大，體現(xiàn)了高考評(píng)價(jià)體系中“基礎(chǔ)性”的要求，高考中這類題目比較常見(jiàn).素養(yǎng)探源素養(yǎng)考查途徑數(shù)學(xué)運(yùn)算求二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及項(xiàng)的系數(shù).

A

2

多項(xiàng)式乘積展開式問(wèn)題

考向2

賦值法的應(yīng)用

115

高考新題型專練

AD

（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）展開式中所有的有理項(xiàng)．

練習(xí)幫

習(xí)題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)評(píng)A

基礎(chǔ)練丨知識(shí)測(cè)評(píng)建議時(shí)間：25分鐘

B

A

BA.1.000

B.1.024

C.1.025

D.1.023

B

B

AB

B

綜合練丨高考模擬建議時(shí)間：30分鐘

BA.0

B.1

C.11