第七章

隨機(jī)變量及其分布7.1

條件概率與全概率公式圖解課標(biāo)要點(diǎn)教材幫

新知課丨必備知識(shí)解讀知識(shí)點(diǎn)1

條件概率1

條件概率的定義

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.2

從集合角度看條件概率

圖7.1-1.

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.3

條件概率的性質(zhì)

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.學(xué)思用·典例詳解例1-1

[教材改編P46例1](2025·北京市第十四中學(xué)月考)從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個(gè)數(shù)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)的概率是(

)D

C

.

.知識(shí)點(diǎn)2

事件的相互獨(dú)立性

2

條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系

.

.學(xué)思用·典例詳解

知識(shí)點(diǎn)3

乘法公式1

乘法公式

.

.2

乘法公式的推廣

學(xué)思用·典例詳解

0.72

知識(shí)點(diǎn)4

全概率公式和貝葉斯公式1

全概率公式

.

.知識(shí)剖析全概率公式的直觀解釋圖7.1-2

2

貝葉斯公式

.

.學(xué)思用·典例詳解

方法幫

解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建題型1

條件概率例7

[教材改編P48

T2](2025·浙江省杭州市期中)從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取2張,將其中的1張放在驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)是假鈔,則2張都是假鈔的概率是___.

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.

C

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

題型2

乘法公式的應(yīng)用例9

[教材改編P48

T3]已知口袋中有3個(gè)黑球和7個(gè)白球，這10個(gè)球除顏色外完全相同，先后三次從中不放回地各摸出一球.（1）求前兩次摸到的均為黑球的概率;

（2）求第一次摸到白球的條件下，第二次摸到黑球的概率；

（3）求第二次才摸到黑球的概率；

.

.（4）求第三次才摸到黑球的概率.

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【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

題型3

條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用例10

在某次考試中,要從20道題中隨機(jī)抽出6道題,若考生至少能答對(duì)其中4道題則可通過;若至少能答對(duì)其中5道題則獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對(duì)其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,則他獲得優(yōu)秀的概率為___.

給什么得什么考生“通過”包含三種情況：6道題全答對(duì)；答對(duì)5道、錯(cuò)1道；答對(duì)4道、錯(cuò)2道.獲得“優(yōu)秀”只包含前兩種情況.求什么想什么求該考生考試已“通過”的前提下，獲得“優(yōu)秀”的概率，屬于條件概率問題，應(yīng)利用條件概率公式求解.差什么找什么由古典概型的概率公式及概率的加法公式求出該考生在這次考試中“通過”的概率，進(jìn)而求在“通過”的條件下獲得“優(yōu)秀”的概率.

.

.【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】3.(2025·福建省福州市期中)在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球，在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率是__．

題型4

條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系例11

(2025·湖南省長沙市一中月考)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)BA.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立

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.【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

C

題型5

全概率公式的應(yīng)用例12

[教材改編P50例5](2025·山東省濰坊第一中學(xué)月考)某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有如下表所示的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家元件制造廠的元件在倉庫中是均勻混合的，且無標(biāo)志可區(qū)別.在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，則它是次品的概率為_________.

.

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【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

題型6

貝葉斯公式的應(yīng)用

AC

若隨機(jī)試驗(yàn)可以分兩個(gè)階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)結(jié)果具體怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個(gè)階段的某一個(gè)結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個(gè)結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率.熟記這個(gè)特征，在遇到相關(guān)的題目時(shí)，可以準(zhǔn)確地選擇相應(yīng)的方法進(jìn)行求解，保證解題正確、高效.【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

新考法·學(xué)科融合

圖7.1-3給什么得什么由每個(gè)繼電器閉合的概率及各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，可以求出指定線路通電的概率.求什么想什么.

.求什么想什么圖7.1-4續(xù)表差什么找什么續(xù)表

高考幫

考試課丨核心素養(yǎng)聚焦考情揭秘高考對(duì)本節(jié)的考查以條件概率、全概率公式為主，它們是概率的基本知識(shí)，高考既可以單獨(dú)命題，也可以與后續(xù)知識(shí)綜合命題，體現(xiàn)了高考命題的基礎(chǔ)性、綜合性.各種題型均有涉及，難度中等或中等偏下.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算（利用公式求概率等）,數(shù)學(xué)建模（由實(shí)際問題建立條件概率模型等）.考向1

條件概率的求解

AA.0.8

B.0.6

C.0.5

D.0.4

圖7.1-5

名師點(diǎn)評(píng)

本題取材于滑冰和滑雪這兩項(xiàng)典型的冰雪運(yùn)動(dòng)，具有時(shí)代氣息，貼近生活，意在引導(dǎo)學(xué)生積極參加體育活動(dòng)，強(qiáng)身健體，全面發(fā)展.

例18

(2022·新高考全國Ⅰ卷節(jié)選)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組）,得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090

.

.

考向2

全概率公式的應(yīng)用

0.6

高考新題型專練

ABD

BCD

練習(xí)幫

習(xí)題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測評(píng)A

基礎(chǔ)練丨知識(shí)測評(píng)建議時(shí)間：40分鐘

DA.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

AA.0.72

B.0.8

C.0.86

D.0.9

C

D

A

AC

0.70.8

B

綜合練丨高考模擬建議時(shí)間：40分鐘

B

C

BD

13.(2022·新高考全國Ⅱ卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如圖7.1-1所示的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:圖7.1-1（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;

（歲）.

圖7.1-214.如圖7.1-2，有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1，2，3，其中1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同.某人先從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球.（1）求取得紅球的概率；

（2）若取出的球是紅球，判斷該球取自幾號(hào)箱