第七章

隨機變量及其分布7.3

離散型隨機變量的數(shù)字特征圖解課標要點教材幫

新知課丨必備知識解讀知識點1

離散型隨機變量的均值1

定義

……

.

.2

意義

隨機變量的均值與樣本的平均值的聯(lián)系與區(qū)別

隨機變量的均值即總體均值，是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，在大量的試驗下，它總是穩(wěn)定的，不具有隨機性.而樣本的平均值是一個隨機變量，它隨樣本的不同而變化．對于簡單隨機樣本,隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近于總體的均值.因此，我們常用樣本的平均值來估計總體的均值.3

性質(zhì)

.

.知識延伸特例均值意義常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.隨機變量與常數(shù)之和的均值等于隨機變量的均值與這個常數(shù)的和.常數(shù)與隨機變量的乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機變量的均值的乘積.

學(xué)思用·典例詳解

123

37

50300.60.30.1

01

0

17

知識點2

離散型隨機變量的方差1

定義

……

.

.知識剖析方差公式的另一種表示

在方差的計算中，通過對其進一步的化簡可得到另一種形式，在計算時也會用到.

.

.2

意義

隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度（或波動大小）．（方差或標準差越小，取值越集中；方差或標準差越大，取值越分散）知識剖析

離散型隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)別與聯(lián)系

離散型隨機變量的方差即總體的方差，它是一個常數(shù)，不隨抽樣樣本的不同而變化，是客觀存在的;樣本方差則是隨機變量，它是隨樣本的不同而變化的.對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體方差.3

性質(zhì)

.

.特例方差意義常數(shù)的方差等于0.隨機變量與常數(shù)之和的方差與隨機變量的方差相同.

1234

DA.1

B.2

C.3

D.4

C

知識點3

兩點分布的均值與方差公式

01

.

.

0.50.25

方法幫

解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建題型1

離散型隨機變量的均值、方差

012

D

012

.

.

（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

.

.

.

.

04080120160

【學(xué)會了嗎丨變式題】

0123

2（答案不唯一）

12

3

234

題型2

均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用

247A

02A

0.80.20.20.50.3

5100.80.228120.20.50.3

【學(xué)會了嗎丨變式題】

D

對陣隊員

0123

0123

題型3

均值、方差在決策問題中的應(yīng)用母題

致經(jīng)典·母題探究圖7.3-1例14

(2025·上海市行知中學(xué)調(diào)研)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖（如圖7.3-1）：

.

.

161718192021220.040.160.240.240.20.080.04

.

..

..

.命題探源

數(shù)學(xué)期望在決策型問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望是隨機變量的數(shù)字特征之一，它代表了隨機變量總體取值的平均水平.隨著社會的進步和經(jīng)濟的發(fā)展，數(shù)學(xué)期望在日常生活中和經(jīng)濟活動中的運用越來越廣，如個人的采購，投資風險分析，企業(yè)的生產(chǎn)和經(jīng)營方案等，經(jīng)常需要對事物的進展情況進行決策，以便用最有利的方式來采取行動.人們常把數(shù)學(xué)期望作為決策參考的重要依據(jù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)期望討論某些經(jīng)濟問題，從而得到一些有意義的結(jié)論.離散型隨機變量的分布列及期望的應(yīng)用是歷年高考考查的重點，特別是與統(tǒng)計內(nèi)容結(jié)合的試題，背景新穎，與實際生活聯(lián)系緊密.子題子題1

依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖

7.3-2（1）所示；依據(jù)當?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖

7.3-2（2）所示．圖7.3-2（1）試估計該河流在8月份水位的中位數(shù).

（2）以頻率作為概率，試估計該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率.

（3）該河流域某企業(yè)在8月份若沒受1,2級災(zāi)害影響，利潤為500萬元；若受1級災(zāi)害影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)害影響，則虧損1

000萬元．現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：方案防控等級費用/萬元方案一無措施0方案二防控1級災(zāi)害40方案三防控2級災(zāi)害100試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說明理由．

5000.810.1550.035

4600.9650.035

子題2

五一勞動節(jié)前夕，某公司為全體員工發(fā)放獎勵，獎勵擬采用抽簽方式發(fā)放，每位員工分別從標有面值的4張卡片中隨機取出2張，2張卡片上的面值之和即為該員工的獎勵金額．（1）若4張卡片上的面值分別為100元、100元、300元、500元．①求每位員工所獲得的獎勵金額不低于500元的概率；

200400600800

（2）現(xiàn)面值有100元、200元、300元、400元、500元，選取其中的3個作為4張卡片上的面值.相較于（1）中的面值，如何選擇可以使得每位員工所獲得的獎勵金額的期望值不變，且獎勵金額更加均衡（只需給出一種方案并說明理由即可）？

300400600700

所以4張卡片上的面值分別為100元、200元、200元、500元時，此方案可以使每位員工所獲得的獎勵金額的期望值不變，且獎勵金額更加均衡．期望和方差在決策問題中的應(yīng)用思路離散型隨機變量的期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．因此，在利用期望和方差的意義去分析、解決實際問題時，兩者都要分析．注意：至于實際應(yīng)用中是方差大了好還是方差小了好，要看這組數(shù)據(jù)反映的實際問題，如在機器生產(chǎn)的零件質(zhì)量與標準件的誤差問題上，應(yīng)該是方差越小越好；在挑選人員參加比賽的問題上，通常既要考慮人員平時的水平，也要考慮人員發(fā)揮的潛能與后勁.【學(xué)會了嗎丨變式題】

020100P0.20.320.48（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

0801000.40.120.48

新考法·學(xué)科融合

01230.40.30.20.1

給什么得什么求什么想什么差什么找什么

（3）根據(jù)你的理解說明第（2）問結(jié)論的實際含義.

高考幫

考試課丨核心素養(yǎng)聚焦考情揭秘本節(jié)內(nèi)容為高考?？純?nèi)容,往往以分布列為載體,先求離散型隨機變量的分布列,再求離散型隨機變量的均值、方差,有時也會考查對均值、方差的理解以及利用計算出的均值作出決策或判斷.多以解答題的形式出現(xiàn),偶爾以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等或中等偏上.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算（求期望、方差等）,邏輯推理（概率模型的選擇、作出決策或判斷等），數(shù)據(jù)分析（通過分析題目中給出的數(shù)據(jù)解題）.考向1

均值與方差的相關(guān)計算

1234

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

01020300.160.440.340.06

素養(yǎng)探源素養(yǎng)考查途徑數(shù)學(xué)運算概率的求解，數(shù)學(xué)期望的計算.邏輯推理判斷離散型隨機變量的取值.數(shù)據(jù)分析由題干信息提取數(shù)據(jù)，制作分布列.變式探源

(2024·北京)某保險公司為了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1

000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.（1）估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率.

（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

考向2

均值與方差的應(yīng)用

（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?

（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?

高考新題型專練

123則下列說法正確的是(

)ABD

123

則下列說法不正確的是(

)ABD

練習幫

習題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測評A

基礎(chǔ)練丨知識測評建議時間：25分鐘

AA.2.5

B.3.5

C.0.25

D.2

C

D

X01PB

AA.0.9

B.0.8

C.1.2

D.1.1

ABD

X01P0.30.50.2

Y234P0.130.130.74

B

綜合練丨高考模擬建議時間：40分鐘

A

D

C

.

.

每天前8小時的銷售量15161718192021頻數(shù)1015161613

657585P

√60708090P

ACD

2

.

.15.某村積極引導(dǎo)村民種植一種名貴中藥材，但這種中藥材需加工成半成品才能銷售．現(xiàn)有甲、乙兩種針對這種中藥材的加工方式可供選擇，為比較這兩種加工方式的優(yōu)劣，村委會分別從甲、乙兩種加工方式所加工的半成品中，各自隨機抽取了100件作為樣本檢測其質(zhì)量指標值（質(zhì)量指標值越大，質(zhì)量越好），檢測結(jié)果如表1所示.表1指標區(qū)間甲種生產(chǎn)方式820362412乙種生產(chǎn)方式62638228已知每件中藥半成品的等級與純利潤（單位：元）間的關(guān)系如表2所示：表2指標區(qū)間等級二級一級特級純利潤3050100將頻率視為概率，解答下列問題．

X3050100P0.280.360.36

Y3050100P0.320.380.3（2）從數(shù)學(xué)期望的角度分析村民選擇哪種中藥材加工方式獲利更多．

C

培優(yōu)練丨能力提升16.