第三章數(shù)字圖像的基本運算《數(shù)字圖像處理》李俊山編著.《數(shù)字圖像處理（第5版）》

從嚴(yán)格的意義上來說，各種圖像處理方法都是一種圖像運算方法。

從一般意義上來說，圖像運算僅指對圖像中的所有像素實施了相同處理的那些運算，比如對圖像的點運算、直方圖運算、代數(shù)運算、幾何運算、灰度插值運算等。3.1灰度反轉(zhuǎn)

3.1灰度反轉(zhuǎn)

黑白圖像的反轉(zhuǎn)就是使灰度值為1的像素值變成0，使灰度值為0的像素值變成1。

對于256灰度級圖像來說，圖像的灰度反轉(zhuǎn)值就是用255分別減去原圖像的各個像素的灰度值。設(shè)圖像的灰度級為L，則圖像的灰度反轉(zhuǎn)可表示為：3.1灰度反轉(zhuǎn)

256灰度級圖像的灰度反轉(zhuǎn)如圖1所示。

2552550負(fù)片正片fg3.2對數(shù)變換

對原圖像f(x,y)進(jìn)行對數(shù)變換的解析式可表示為：2552550對數(shù)曲線fg

對數(shù)變換曲線如下圖所示：

3.2對數(shù)變換

對數(shù)變換的作用：

（1）通過對圖像的灰度值的動態(tài)范圍進(jìn)行壓縮，來主要用于調(diào)高輸入圖像的低灰度值。（2）人的視覺感覺與進(jìn)入人眼的光的強(qiáng)度成對數(shù)關(guān)系，常先給圖像進(jìn)行對數(shù)變換后再顯示輸出。3.2對數(shù)變換比如：傅里葉頻譜要顯示的值的范圍往往比較大，而傅里葉頻譜要顯示的重點是突出最亮的像素（對應(yīng)于低頻成分），而這在一個8比特的顯示系統(tǒng)中會把頻譜圖像中的低灰度值部分（對應(yīng)于高頻成分）損失掉。這樣，就可利用對數(shù)變換調(diào)高頻譜圖像的低灰度值而對高灰度值又盡可能地影響最小。3.2對數(shù)變換（a）圖像的傅里葉頻譜（b）對(a)進(jìn)行c=1的對數(shù)變換的結(jié)果3.3灰度直方圖

1、灰度圖像直方圖

（1）概念

灰度圖像的直方圖是關(guān)于灰度級分布的函數(shù)，描述的是灰度圖像中的每一灰度級與其出現(xiàn)的頻數(shù)（該灰度級的像素數(shù)目）的統(tǒng)計關(guān)系，是一種表示數(shù)字圖像中灰度級分布函數(shù)關(guān)系的柱狀圖表示形式。

◆灰度圖像直方圖的橫坐標(biāo)表示灰度級（也即亮度級別），取值范圍為0～255。

◆灰度直方圖的縱坐標(biāo)表示圖像中每一灰度級的像素的數(shù)目。3.3.1灰度圖像直方圖與灰度圖像的對比度1、灰度圖像直方圖

（2）定義

設(shè)一幅數(shù)字圖像的灰度級范圍為[0，L-1]，則該圖像的灰度直方圖可定義為：

3.3.1灰度圖像直方圖與灰度圖像的對比度（3.3a）

其中，表示第級灰度；表示圖像中灰度級別

為的像素的個數(shù)；是灰度圖像的直方圖函數(shù)。(k=0，1，2，…，L-1)（3.3b）

1、灰度圖像直方圖

（2）定義3.3.1灰度圖像直方圖與灰度圖像的對比度由matlab直方圖計算程序計算所得灰度直方圖表明圖像中每一個灰度級有多少個象素。3.3.1灰度圖像直方圖與灰度圖像的對比度（3.3a）

(k=0，1，2，…，L-1)（3.3b）

1、灰度圖像直方圖

（3）直方圖的柱狀表示方法3.3.1灰度圖像直方圖與灰度圖像的對比度

2、灰度圖像的對比度

（1）概念

灰度圖像的對比度是對一幅圖像中最亮的白和最暗的黑之間亮度層級的測量，一般用圖像畫面中最大的灰度值（最白亮度）與最小的灰度值（最黑亮度）的比值來表示。

◆白色越亮、黑色越暗，對比度就越高（大）。

◆對比度越大，圖像越清晰醒目。

◆對比度越小，圖像畫面會顯得灰蒙蒙而不清晰。3.3.1灰度圖像直方圖與灰度圖像的對比度

3、圖像直方圖的分布特征及其與圖像對比度的關(guān)系

◆

橫軸上各（亮度值）點對應(yīng)的柱狀高度就是分布在該亮度的像素個數(shù)。

◆左邊值大表示“圖像偏暗或暗色像素點比例大”，反之亦然。

◆

當(dāng)柱狀接近分布在整個橫軸上，且至少有一個峰值時，圖像的對比度較好。

3.3.1灰度直方圖的概念及分布特征(a)圖3.4四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖1、直方圖總體上偏左，說明圖像的灰度值普遍偏小，也即圖像偏暗。

2、直方圖分布在局部區(qū)域，說明圖像的對比度較低。例：根據(jù)圖像直方圖分布特點，分析對應(yīng)圖像的特征。3.3.1灰度直方圖的概念及分布特征(b)圖3.4四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖

1、直方圖總體上偏右，說明圖像的灰度值普遍偏大，也即圖像偏亮。

2、直方圖分布在局部區(qū)域，說明圖像的對比度較低。例：根據(jù)圖像直方圖分布特點，分析對應(yīng)圖像的特征。?3.3.1灰度直方圖的概念及分布特征圖2.15四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖

1、直方圖總體上居中，說明圖像的灰度值不太大也不太小，也即圖像亮度適中。

2、直方圖分布在局部區(qū)域，說明圖像的對比度較低。例：根據(jù)圖像直方圖分布特點，分析對應(yīng)圖像的特征。(d)3.3.1灰度直方圖的概念及分布特征圖3.4四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖

1、直方圖總體上均勻分布于整個灰度區(qū)間，且有峰值，說明圖像亮度值黑白分明，也即圖像清晰醒目。

2、直方圖分布均勻，說明圖像的對比度高。例：根據(jù)圖像直方圖分布特點，分析對應(yīng)圖像的特征。3.3.2灰度直方圖的特征

（1）直方圖僅能描述圖像中每個灰度值具有的像素個數(shù)，不能表示圖像中每個像素的位置(空間)信息。3.3.2灰度直方圖的特征

（2）任一特定的圖像都有惟一的直方圖，不同的圖像可以具有相同的直方圖；3.3.2灰度直方圖的特征

（3）對于空間分辨率為M×N，且灰度級范圍為[0，L-1]的圖像，有關(guān)系：=M×N

3.3.2灰度直方圖的特征

（1）直方圖僅能描述圖像中每個灰度值具有的像素個數(shù)，不能表示圖像中每個像素的位置(空間)信息；

（2）任一特定的圖像都有惟一的直方圖，不同的圖像可以具有相同的直方圖；（3）對于空間分辨率為M×N，且灰度級范圍為[0，L-1]的圖像，有關(guān)系：=M×N（4）如果一幅圖像由兩個不連接的區(qū)域組成，則整幅圖像的直方圖等于兩個不連接的區(qū)域的直方圖之和。3.3.3歸一化灰度圖像直方圖由于式（3.3）所定義的灰度直方圖反映的是圖像中各灰度的實際出現(xiàn)頻（個）數(shù)，這樣當(dāng)某個灰度值的頻數(shù)（計數(shù)值）遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它灰度值的頻數(shù)時，根據(jù)圖像的某個或某些像素出現(xiàn)的最大頻數(shù)來確定直方圖的縱坐標(biāo)的最大尺寸既不方便也不太現(xiàn)實，所以就引入了歸一化直方圖的概念

（3.3a）

(k=0，1，2，…，L-1)（3.3b）

3.3.3歸一化灰度圖像直方圖

設(shè)為圖像的第級灰度，是圖像中灰度級別為的像素的個數(shù)，是圖像中的像素總數(shù)，則圖像的歸一化灰度直方圖定義為：

；

=0，1，…，L-1

(3.5a)(3.5b)3.4圖像的代數(shù)運算

1、概念

圖像相加是通過對兩幅大小相同的圖像對應(yīng)位置像素的相加運算，以產(chǎn)生一幅新的含有兩幅圖像信息的圖像的方法。圖像相加也稱為圖像合成。3.4.1圖像的相加運算

3.4.1圖像的相加運算

設(shè)和分別表示大小為×的兩幅輸入圖像，圖像和圖像相加后得到的結(jié)果輸出圖像為，且：

[0，M-1]，[0，N-1]，則兩幅圖像的相加運算可表示為：（3.6）3.4.1圖像的相加運算

1.兩幅圖像內(nèi)容的疊加/合成

圖像相加運算的實現(xiàn)方式：

（1）灰度值折半相加（2）按不同比例灰度值的相加

其中：（3.7）（3.8）3.4.1圖像的相加運算

+=3.4.1圖像的相加運算

+=3.4.1圖像的相加運算

2、相加多幅圖像的疊加去加性噪聲

通過對同一場景的多幅圖像的灰度值求平均值（多幅灰度圖像的疊加運算），可以去除加性（Sdditive）隨機(jī)噪聲。（3.9）3.4.1圖像的相加運算

2、相加多幅圖像的疊加去加性噪聲3.4.2圖像的相減運算

設(shè)和分別表示大小為×

的兩幅輸入圖像，從圖像中的各位置的像素中減去的相應(yīng)位置的像素值后，得到的結(jié)果輸出圖像為，且[0,M-1]，[0,N-1]，則兩幅圖像的相減運算可表示為：（3.10）3.4.2圖像的相減運算

=—3.4.2圖像的相減運算

=—3.4.2圖像的相減運算

當(dāng)兩幅256灰度級圖像對應(yīng)坐標(biāo)位置像素值相減的結(jié)果大于或等于零時，則取其為結(jié)果圖像中的像素的灰度值；當(dāng)相減結(jié)果小于零時，一般都是取零為結(jié)果值。對于某些特殊的應(yīng)用目的，也可以取其絕對值為結(jié)果值。

圖像相減運算的典型應(yīng)用是圖像的變化檢測。

3.5圖像的幾何運算

圖像的幾何運算又稱為圖像的幾何變換，包括：

1、圖像的平移變換；

2、圖像的旋轉(zhuǎn)變換；

3、圖像鏡像；

4、圖像轉(zhuǎn)置；

5、圖像的縮放。

圖像平移變換是指將一幅圖像或一幅圖像中的子圖像塊（以下簡稱為圖像塊）中的所有像素點，都按指定的X方向偏移量△X和Y方向偏移量△Y進(jìn)行移動。

3.5.1圖像平移變換

3.5.1圖像平移變換

設(shè)初始坐標(biāo)為的像素平移后的坐標(biāo)為，則有0（3.11）圖像平移變換式的矩陣形式為

（3.12）3.5.1圖像平移變換

實現(xiàn)方式：

（1）圖像塊平移

原圖像平移圖像子塊后的圖像

3.5.1圖像平移變換

實現(xiàn)方式：

（2）整幅圖像平移：圖像平移保持原幅面大??；被移出的部分被截掉。

移動前的圖像平移后的圖像(背景灰度值為255)

3.5.1圖像平移變換

實現(xiàn)方式：

（2）整幅圖像平移：圖像平移保持原幅面大?。槐灰瞥龅牟糠直唤氐?。

(背景灰度值為0)

3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換

圖像旋轉(zhuǎn)變換是指，以圖像的中心為原點，將圖像中的所有像素（也即整幅圖像）旋轉(zhuǎn)一個相同的角度。

3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換

1、圖像旋轉(zhuǎn)變換公式的推導(dǎo)（1）以待旋轉(zhuǎn)圖像的中心作為顯示坐標(biāo)系的中心點，推導(dǎo)出圖像上的像素的旋轉(zhuǎn)變換公式。（2）把第一步推導(dǎo)的變換公式映射到原點位于屏幕左上角的圖像顯示坐標(biāo)，最終得出在顯示坐標(biāo)下的圖像旋轉(zhuǎn)變換公式。1、圖像旋轉(zhuǎn)變換公式的推導(dǎo)

1）基于xoy顯示坐標(biāo)系中心點(0,0)的圖像(像素)旋轉(zhuǎn)變換公式綠色框相當(dāng)于原圖像，O點位于原圖像中心3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換

1、圖像旋轉(zhuǎn)變換公式的推導(dǎo)1）基于xoy顯示坐標(biāo)系中心點(0,0)的圖像(像素)旋轉(zhuǎn)變換公式

·

···設(shè)位于處的點到坐標(biāo)原點的直線與軸的夾角為，直線順時針旋轉(zhuǎn)角度后使位于處的點被旋轉(zhuǎn)至處。以順時針旋轉(zhuǎn)為例，推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)變換公式旋轉(zhuǎn)前：

旋轉(zhuǎn)后：

（3.13）（3.14）（3.15）1）基于xoy顯示坐標(biāo)系的圖像像素點旋轉(zhuǎn)變換公式將式（3.13）帶入式（3.14）并整理可得3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換（3.16）（3.15）

由式（3.15）即可得到基于顯示坐標(biāo)圖像平面

坐標(biāo)系中心點的順時針旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示形式為：同理，可得逆時針旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示形式為：（3.17）

其矩陣表達(dá)式為：（3.20）

其矩陣表達(dá)式為：（3.21）

（3.22）3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換2、圖像旋轉(zhuǎn)變換的實現(xiàn)

分兩種情況：

（1）保持圖像旋轉(zhuǎn)前后的幅面大小，即把圖像旋轉(zhuǎn)后超出原幅面大小的那部分截斷。

（2）旋轉(zhuǎn)后的圖像幅面被放大（按外接矩形尺寸）。3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換

2、圖像旋轉(zhuǎn)變換的實現(xiàn)1）圖像旋轉(zhuǎn)前后幅面大小不變的實現(xiàn)思路3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換

2、圖像旋轉(zhuǎn)變換的實現(xiàn)2）圖像旋轉(zhuǎn)后圖像幅面變大的實現(xiàn)思路3.5.3圖像的鏡像變換

圖像鏡像變換分為：

（1）圖像水平鏡像變換

（2）圖像垂直鏡像變換3.5.3圖像的鏡像變換1.圖像水平鏡像原圖像水平鏡像結(jié)果圖像

（1）水平鏡像的概念

圖像水平鏡像是指以原圖像為參照，使原圖像和水平鏡像結(jié)果圖像與虛擬的垂直軸成對稱關(guān)系。3.5.3圖像的鏡像變換1.圖像水平鏡像

（1）水平鏡像的概念

圖像水平鏡像是指以原圖像為參照，使原圖像和水平鏡像結(jié)果圖像與虛擬的垂直軸成對稱關(guān)系。1.圖像水平鏡像（2）水平鏡像的數(shù)學(xué)表達(dá)及變換設(shè)圖像的高度high為，寬度width為；原圖像中位于處的像素點，經(jīng)水平鏡像后在水平鏡像結(jié)果圖像上的對應(yīng)像素點為。則圖像水平鏡像變換可表示為：(3.22)3.5.3圖像的鏡像變換圖像水平鏡像變換：

圖像水平鏡像變換矩陣表示形式為：

（3.23）（3.22）（2）水平鏡像的數(shù)學(xué)表達(dá)及變換3.5.3圖像的鏡像變換3.5.3圖像的鏡像變換2.圖像垂直鏡像（1）垂直鏡像的概念

圖像垂直鏡像是指以原圖像為參照，使原圖像和垂直鏡像結(jié)果圖像與虛擬的水平軸成對稱關(guān)系。

2.圖像垂直鏡像設(shè)圖像的高度high為，寬度width為；原圖像中位于處的像素點，經(jīng)垂直鏡像后在垂直鏡像結(jié)果圖像上的對應(yīng)像素點為。，則圖像垂直鏡像變換可表示為：原圖像·垂直鏡像圖像

·

（2）垂直鏡像的數(shù)學(xué)表達(dá)及變換（3.24）3.5.3圖像的鏡像變換

2.圖像垂直鏡像設(shè)圖像的高度high為，寬度width為；原圖像中位于處的像素點，經(jīng)垂直鏡像后在垂直鏡像結(jié)果圖像上的對應(yīng)像素點為，則圖像垂直鏡像變換可表示為：

（2）垂直鏡像的數(shù)學(xué)表達(dá)及變換（3.24）3.5.3圖像的鏡像變換

圖像垂直鏡像變換：

圖像垂直鏡像變換矩陣表示形式為：

（2）垂直鏡像的數(shù)學(xué)表達(dá)及變換（3.24）（3.25）3.5.3圖像的鏡像變換3.5.4圖像轉(zhuǎn)置變換

1、圖像的轉(zhuǎn)置概念

圖像轉(zhuǎn)置變換是指將圖像的行坐標(biāo)和列坐標(biāo)互換。需要注意的是，圖像轉(zhuǎn)置和圖像旋轉(zhuǎn)是兩回事，圖像旋轉(zhuǎn)是將圖像旋轉(zhuǎn)多少度。原圖像不論是順時針旋轉(zhuǎn)90°,還是逆時針旋轉(zhuǎn)90°都不會得到圖像轉(zhuǎn)置后的結(jié)果。

轉(zhuǎn)置前圖像轉(zhuǎn)置后圖像

3.5.4圖像轉(zhuǎn)置變換

2、圖像轉(zhuǎn)置表示及變換轉(zhuǎn)置后圖像顯示坐標(biāo)

·原圖像顯示坐標(biāo)·轉(zhuǎn)置前圖像轉(zhuǎn)置后圖像

(3.26)3.5.4圖像轉(zhuǎn)置變換

2、圖像轉(zhuǎn)置表示及變換

設(shè)原圖像位于處的像素點，經(jīng)圖像轉(zhuǎn)置變換后在轉(zhuǎn)置變換結(jié)果圖像上的對應(yīng)像素點為。則圖像轉(zhuǎn)置變換可表示為：

（3.26）（3.27）3.5.5圖像縮放

圖像縮放（imagescaling）是指對圖像進(jìn)行縮小或放大，也即對數(shù)字圖像的大小進(jìn)行調(diào)整的過程。

3.5.5圖像縮放

設(shè)原圖像中位于處的像素點，經(jīng)對原圖像的行和列按相同比例縮放后，在縮放后的結(jié)果圖像上的對應(yīng)像素點為。則圖像縮放前后像素點的坐標(biāo)可表示為：圖像縮放的矩陣表示形式為：

（3.28）（3.29）

圖像縮小的目的：一是為了使縮小后的圖像符合顯示區(qū)域的大小要求；二是為了生成原圖像的縮略圖。

3.5.5圖像縮放1.圖像縮小

最簡單的圖像縮小方法是：將圖像的行和列都縮小一半（保留原圖像的奇數(shù)行或偶數(shù)行和奇數(shù)列或偶數(shù)列），從整體上看就是將原圖像縮小到原來大小的四分之一。

一般小方法是：按整數(shù)比例縮小圖像。3.5.5圖像縮放僅取偶數(shù)行和偶數(shù)列像素縮小原圖像

僅取奇數(shù)行和奇數(shù)列像素縮小原圖像

放大圖像的目的一般是為了使放大后的圖像更好地顯示在更高分辨率的顯示設(shè)備上。3.5.5圖像縮放2.最近鄰域插值放大圖像方法

放大圖像的方法較多，也較復(fù)雜。典型的圖像放大方法是最近鄰域插值法和雙線性插值放大圖像方法。3.5.5圖像縮放2.最近鄰域插值放大圖像方法

1）按整數(shù)倍放大圖像的最近鄰域插值法

基本思想：將原圖像中的每一個原像素原封不動地復(fù)制映射到放大后的新圖像中的四個像素中。3.5.5圖像縮放

2)按非整數(shù)倍放大圖像的最近鄰域插值法

設(shè)：放大前的原圖像在顯示坐標(biāo)的X方向和Y方向的坐標(biāo)值分別用Xold和Yold表示；圖像高度（X方向）和寬度（Y方向）分別用Hold和Wold表示。

放大后的目標(biāo)圖像在顯示坐標(biāo)的X方向和Y方向的坐標(biāo)值分別用Xnew和Ynew表示；圖像高度（X方向）和寬度（Y方向）分別用Hnew和Wnew表示。

則最近鄰域插值法的原圖像像素和目標(biāo)圖像像素的坐標(biāo)關(guān)系為（3.30）3.5.5圖像縮放

（3.30）（3.31）3.5.5圖像縮放例3.1

設(shè)已知有一個3×3的灰度圖像如圖(a)所示。按非整數(shù)倍數(shù)放大圖像的最近鄰域插值法將該圖像放大為4×4的圖像。

2343822

234382222674412

67441212896563

89656363